Rezolvare pas cu pas: Matematică – Evaluarea Națională 2026, simulare (a doua)

Rezultatul calculului \(39-9:3\) este egal cu: a) \(10\); b) \(12\); c) \(36\); d) \(90\).

Metoda: Ordinea efectuării operațiilor

1. 1

   Stabilim ordinea operațiilor

   39-9:3

   Într-un calcul fără paranteze, întâi se fac înmulțirile și împărțirile (în ordinea în care apar), apoi adunările și scăderile. Aici avem \(39-9:3\), deci împărțirea \(9:3\) se face înaintea scăderii.

2. 2

   Efectuăm împărțirea

   9:3=3

   Calculăm \(9:3\). Deoarece \(3\cdot 3=9\), rezultatul este \(3\). Acum expresia devine \(39-3\).

3. 3

   Efectuăm scăderea

   39-3=36

   După ce am înlocuit \(9:3\) cu \(3\), rămâne doar scăderea \(39-3=36\). Deci varianta corectă este c) \(36\).

4. 4

   Verificăm variantele

   (39-9):3=10

   Varianta a) \(10\) ar rezulta dacă am scădea întâi: \((39-9):3=30:3=10\), dar asta ignoră ordinea operațiilor. Variantele b) și d) nu se obțin din niciun calcul corect. Varianta c) \(36\) este corectă.

Răspuns: c) \(36\)

Cinci caiete de același fel costă \(50\) de lei. Prețul unui astfel de caiet este egal cu: a) 1 leu; b) 5 lei; c) 10 lei; d) 50 de lei.

Metoda: Metoda reducerii la unitate

1. 1

   Ce știm și ce aflăm

   5\text{ caiete}=50\text{ lei},\quad 1\text{ caiet}=?

   Citim atent datele: 5 caiete la fel costă împreună \(50\) de lei. Vrem prețul unui singur caiet. Deoarece toate caietele au același preț, putem împărți suma în părți egale.

2. 2

   Reducerea la unitate

   50:5=10

   Împărțim prețul total la numărul de caiete: \(50:5=10\). Deci un caiet costă \(10\) lei.

3. 3

   Alegerea variantei și verificarea

   5\cdot 10=50

   Varianta corectă este c) 10 lei. Verificăm: dacă un caiet costă 10 lei, cinci caiete costă \(5\cdot10=50\) de lei, exact cât spune enunțul. Celelalte variante nu merg: la 1 leu, 5 caiete ar costa 5 lei; la 5 lei ar costa 25 de lei; la 50 de lei ar costa 250 de lei.

Răspuns: Un caiet costă 10 lei, deci varianta corectă este c).

Subiectul I, itemul 3: Cel mai mare număr natural din intervalul \((-1,6)\) este egal cu: a) \(6\); b) \(5\); c) \(0\); d) \(-1\).

Metoda: Intervale de numere reale

1. 1

   Citim intervalul

   (-1,6)=\{x\in\mathbb{R}\mid -1<x<6\}

   Parantezele rotunde arată că extremitățile \(-1\) și \(6\) NU fac parte din interval. Intervalul conține toate numerele mai mari decât \(-1\) și mai mici decât \(6\).

2. 2

   Scriem numerele naturale din interval

   (-1,6)\cap\mathbb{N}=\{0,1,2,3,4,5\}

   Numerele naturale sunt \(0,1,2,3,\dots\). Dintre ele, cele care sunt mai mari decât \(-1\) și mai mici decât \(6\) sunt \(0,1,2,3,4,5\). Numărul \(-1\) nu este natural și oricum nu aparține intervalului.

3. 3

   Alegem cel mai mare și verificăm variantele

   \max\{0,1,2,3,4,5\}=5

   Cel mai mare număr din mulțime este \(5\), deci răspunsul este b). Varianta a) \(6\) nu merge, pentru că \(6\) nu aparține intervalului (paranteză rotundă). Varianta c) \(0\) este cel mai mic, nu cel mai mare. Varianta d) \(-1\) nu este număr natural și nici nu aparține intervalului.

Răspuns: b) 5

Fracția subunitară din mulțimea \(\left\{\frac{5}{2}, \frac{15}{16}, \frac{16}{15}, 5\right\}\) este: a) \(\frac{5}{2}\) b) \(\frac{15}{16}\) c) \(\frac{16}{15}\) d) \(5\)

Metoda: Compararea numărătorului cu numitorul

1. 1

   Ce este o fracție subunitară

   \frac{a}{b}<1 \iff a<b

   O fracție este subunitară dacă este mai mică decât 1. Asta se întâmplă când numărătorul este mai mic decât numitorul. Dacă numărătorul este mai mare, fracția este supraunitară (mai mare decât 1), iar dacă sunt egale, este echiunitară (egală cu 1).

2. 2

   Comparăm numărătorul cu numitorul la fiecare număr

   \frac{5}{2}:\ 5>2 \quad \frac{15}{16}:\ 15<16 \quad \frac{16}{15}:\ 16>15 \quad 5=\frac{5}{1}:\ 5>1

   Luăm pe rând fiecare element. Pentru \(\frac{5}{2}\), numărătorul 5 este mai mare decât 2, deci fracția e supraunitară. Pentru \(\frac{15}{16}\), numărătorul 15 este mai mic decât 16, deci fracția e subunitară. Pentru \(\frac{16}{15}\), 16 este mai mare decât 15, deci e supraunitară. Numărul 5 se scrie \(\frac{5}{1}\) și este mai mare decât 1, deci nu este subunitar.

3. 3

   Alegem răspunsul corect

   \frac{15}{16}<1

   Singura fracție din mulțime la care numărătorul este mai mic decât numitorul este \(\frac{15}{16}\). Deci este subunitară, adică mai mică decât 1. Celelalte sunt mai mari decât 1: \(\frac{5}{2}\) și \(\frac{16}{15}\) sunt supraunitare, iar 5 este un număr mai mare decât 1, deci nu este fracție subunitară.

Răspuns: Răspunsul corect este b) \(\frac{15}{16}\).

Patru elevi, Ana, Mihaela, Paul și Tudor, au calculat suma numerelor \(a = 3+2\sqrt{2}\) și \(b = 3-\sqrt{8}\). Rezultatele obținute de cei patru elevi sunt: Ana – 17, Mihaela – 6, Paul – 5, Tudor – 1. Conform informațiilor din tabel, rezultatul corect a fost obținut de: a) Ana b) Mihaela c) Paul d) Tudor

Metoda: Scoaterea factorilor de sub radical

1. 1

   Scriem suma

   a+b=(3+2\sqrt{2})+(3-\sqrt{8})

   Înlocuim pe a și pe b cu valorile date. Aceasta este suma pe care au calculat-o cei patru elevi, deci de aici pornim.

2. 2

   Scoatem factorii de sub radical

   \sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}

   Numărul 8 conține factorul 4, care este pătrat perfect (\(4=2^2\)). Îl scoatem de sub radical ca 2. Așa obținem un radical la fel cu \(\sqrt{2}\) din a și putem reduce termenii.

3. 3

   Calculăm suma

   a+b=3+2\sqrt{2}+3-2\sqrt{2}=6

   Înlocuim \(\sqrt{8}\) cu \(2\sqrt{2}\). Termenii \(2\sqrt{2}\) și \(-2\sqrt{2}\) sunt opuși, deci se reduc (dau 0). Rămâne doar \(3+3=6\).

4. 4

   Alegem varianta corectă

   a+b=6\Rightarrow \text{Mihaela}

   În tabel, rezultatul 6 apare la Mihaela. Deci varianta corectă este b). Ceilalți au greșit: 17, 5 și 1 nu sunt egale cu 6. Probabil Paul sau Tudor nu au redus corect radicalii, iar Ana a înmulțit în loc să adune.

Răspuns: b) Mihaela – suma este 6.

Subiectul I, itemul 6. După o scumpire cu \(10\%\), un obiect costă \(110\) lei. Ana afirmă: „Prețul inițial al acestui obiect este de \(100\) de lei.” Afirmația Anei este: a) adevărată; b) falsă.

Metoda: Procente dintr-un număr

1. 1

   Calculăm cât reprezintă scumpirea

   10\% \text{ din } 100 = \frac{10}{100}\cdot 100 = 10

   Scumpirea de \(10\%\) se calculează din prețul inițial pe care Ana îl afirmă, adică \(100\) lei. \(10\%\) înseamnă \(\frac{10}{100}\), iar \(\frac{10}{100}\cdot 100 = 10\) lei.

2. 2

   Aflăm prețul după scumpire

   100 + 10 = 110

   Prețul nou este prețul inițial plus scumpirea: \(100+10=110\) lei. Acesta este exact prețul dat în enunț, deci prețul inițial de \(100\) lei este corect.

3. 3

   Concluzia

   110 = 110 \Rightarrow \text{afirmația este adevărată}

   Am obținut \(110\) lei, cât spune enunțul. Deci afirmația Anei este adevărată, varianta a). Varianta b) nu este bună, pentru că verificarea arată că prețul inițial de \(100\) lei duce exact la \(110\) lei.

Răspuns: Varianta a) adevărată: \(100+10\% \cdot 100 = 110\) lei.

Subiectul al II-lea, itemul 1. În figura alăturată, punctele \(A\), \(B\), \(C\) și \(D\) sunt coliniare, în această ordine, astfel încât \(AB = 20\text{ cm}\), lungimea segmentului \(BC\) este jumătate din lungimea segmentului \(AB\), iar punctul \(D\) este simetricul punctului \(B\) față de punctul \(C\). Lungimea segmentului \(AD\) este egală cu: a) \(40\text{ cm}\); b) \(35\text{ cm}\); c) \(30\text{ cm}\); d) \(10\text{ cm}\). Figura: pe o dreaptă, în ordine, punctele A, B, C, D.

Metoda: Calcul de lungimi pe segment

1. 1

   Aflăm lungimea segmentului BC

   BC = AB : 2 = 20 : 2 = 10

   Enunțul spune că BC este jumătate din AB. Jumătatea unui număr se află împărțind la 2. Deci \(BC = 20 : 2 = 10\text{ cm}\).

2. 2

   Aflăm lungimea segmentului CD

   CD = BC = 10

   D este simetricul lui B față de C. Asta înseamnă că C este mijlocul segmentului BD, deci \(CD = BC = 10\text{ cm}\), iar D este de cealaltă parte a lui C față de B.

3. 3

   Calculăm lungimea segmentului AD

   AD = AB + BC + CD = 20 + 10 + 10 = 40

   Punctele sunt coliniare în ordinea A, B, C, D, deci segmentul AD este format din trei bucăți puse cap la cap: AB, BC și CD. Le adunăm: \(20 + 10 + 10 = 40\text{ cm}\).

4. 4

   Alegem varianta corectă

   AD = 40\text{ cm}

   Lungimea obținută este 40 cm, deci varianta corectă este a). Varianta b) 35 cm ar apărea dacă am aduna doar \(20 + 10 + 5\), iar c) 30 cm dacă am uita de CD (\(20+10\)). Varianta d) 10 cm este doar lungimea lui BC.

Răspuns: Varianta a) — \(AD = 40\text{ cm}\).

Subiectul al II-lea, itemul 2. În figura alăturată sunt reprezentate dreptele paralele \(AB\) și \(CD\), cu punctele \(A\) și \(D\) de o parte și de alta a dreptei \(BC\). Măsura unghiului \(BCD\) este egală cu \(45^\circ\). Măsura unghiului \(ABC\) este egală cu: a) \(45^\circ\); b) \(75^\circ\); c) \(135^\circ\); d) \(145^\circ\). Din figură: dreapta \(BC\) este secantă pentru dreptele paralele \(AB\) și \(CD\); \(A\) și \(D\) sunt de o parte și de alta a secantei \(BC\).

Metoda: Unghiuri alterne interne

1. 1

   Identificăm secanta și unghiurile

   AB \parallel CD,\quad BC \text{ secantă}

   Dreptele \(AB\) și \(CD\) sunt paralele, iar dreapta \(BC\) le taie pe amândouă, deci este secantă. Unghiurile \(\angle ABC\) și \(\angle BCD\) au vârfurile pe secantă, în \(B\) și în \(C\), iar punctele \(A\) și \(D\) sunt de o parte și de alta a secantei. Asta înseamnă că sunt unghiuri alterne interne.

2. 2

   Aplicăm teorema unghiurilor alterne interne

   \angle ABC = \angle BCD = 45^\circ

   Când două drepte paralele sunt tăiate de o secantă, unghiurile alterne interne sunt congruente (au aceeași măsură). Cum \(AB \parallel CD\), rezultă că \(\angle ABC\) și \(\angle BCD\) au aceeași măsură. Deoarece \(\angle BCD = 45^\circ\), obținem \(\angle ABC = 45^\circ\).

3. 3

   Alegem varianta corectă

   \angle ABC = 45^\circ \Rightarrow \text{varianta a)}

   Rezultatul \(45^\circ\) corespunde variantei a). Varianta c) \(135^\circ\) ar fi corectă dacă unghiurile ar fi suplementare (\(45^\circ+135^\circ=180^\circ\)), adică dacă am căuta unghiul alăturat, nu cel altern intern. Variantele b) și d) nu rezultă din nicio relație dintre unghiurile formate de paralele.

Răspuns: Măsura unghiului \(ABC\) este \(45^\circ\), deci varianta corectă este a).

În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel \(ABC\), cu \(AB = AC\). Punctul \(E\) aparține laturii \(BC\), astfel încât \(AE = CE\) și măsura unghiului \(BEA\) este egală cu \(78^\circ\). Măsura unghiului \(CAB\) este egală cu: a) \(39^\circ\); b) \(78^\circ\); c) \(102^\circ\); d) \(141^\circ\). (În figură, punctele C, E, B sunt pe aceeași dreaptă, în această ordine, iar A este vârful triunghiului.)

Metoda: Unghi exterior și triunghi isoscel

1. 1

   Triunghiul AEC este isoscel

   AE = CE \Rightarrow \angle EAC = \angle ECA

   Deoarece \(AE = CE\), triunghiul \(AEC\) este isoscel cu baza \(AC\). Într-un triunghi isoscel unghiurile de la bază sunt egale, deci \(\angle EAC = \angle ECA\). Notăm \(\angle ECA = x\).

2. 2

   Folosim unghiul exterior \(BEA\)

   \angle BEA = \angle EAC + \angle ECA = 2x = 78^\circ \Rightarrow x = 39^\circ

   Unghiul \(BEA\) este unghi exterior triunghiului \(AEC\) (cu vârful în E), deoarece C, E, B sunt coliniare. Teorema unghiului exterior spune că el este egal cu suma celorlalte două unghiuri neadiacente lui, adică \(\angle EAC + \angle ECA = 2x\). Deci \(2x = 78^\circ\), de unde \(x = 39^\circ\).

3. 3

   Unghiul \(C\) al triunghiului \(ABC\)

   \angle ACB = \angle ECA = 39^\circ \Rightarrow \angle ABC = 39^\circ

   Punctul E se află pe \(BC\), deci \(\angle ACB = \angle ECA = 39^\circ\). Triunghiul \(ABC\) este isoscel cu \(AB = AC\), deci unghiurile de la baza \(BC\) sunt egale: \(\angle ABC = \angle ACB = 39^\circ\).

4. 4

   Suma unghiurilor în triunghiul \(ABC\)

   \angle CAB = 180^\circ - 39^\circ - 39^\circ = 102^\circ

   Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este \(180^\circ\). Scădem cele două unghiuri de la bază din \(180^\circ\) și obținem \(\angle CAB = 102^\circ\). Este varianta c). Varianta a) este doar valoarea lui \(x\), b) este unghiul exterior, iar d) nu rezultă din niciun calcul corect.

Răspuns: Măsura unghiului \(CAB\) este \(102^\circ\), deci răspunsul corect este c).

În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic \(ABCD\), cu \(AD \perp AB\), \(AB \parallel CD\), \(AB = 8\) cm, \(CD = 4\) cm și \(AD = 4\sqrt{3}\) cm. Aria trapezului \(ABCD\) este egală cu: a) \(40\ \text{cm}^2\); b) \(24\sqrt{3}\ \text{cm}^2\); c) \(32\ \text{cm}^2\); d) \(8\sqrt{3}\ \text{cm}^2\). Din figură: bazele sunt AB (jos) și CD (sus), iar AD este latura perpendiculară pe baze.

Metoda: Aria trapezului

1. 1

   Identificăm bazele și înălțimea

   B = AB = 8,\quad b = CD = 4,\quad h = AD = 4\sqrt{3}

   Bazele unui trapez sunt laturile paralele: AB și CD, deoarece \(AB \parallel CD\). Fiindcă \(AD \perp AB\) și \(AB \parallel CD\), latura AD este perpendiculară pe ambele baze, deci distanța dintre baze, adică înălțimea, este \(AD = 4\sqrt{3}\) cm.

2. 2

   Scriem formula ariei trapezului

   \mathcal{A} = \frac{(B+b)\cdot h}{2}

   Aria unui trapez este semisuma bazelor înmulțită cu înălțimea. Înlocuim valorile cunoscute: \(\mathcal{A} = \frac{(8+4)\cdot 4\sqrt{3}}{2}\).

3. 3

   Calculăm aria

   \mathcal{A} = \frac{12\cdot 4\sqrt{3}}{2} = 6\cdot 4\sqrt{3} = 24\sqrt{3}\ \text{cm}^2

   Mai întâi simplificăm: \(12 : 2 = 6\). Apoi \(6 \cdot 4 = 24\), deci aria este \(24\sqrt{3}\) cm². Este varianta b). Varianta a) (40) și c) (32) ar apărea dacă am ignora radicalul sau am greși formula, iar d) ar rezulta dacă am lua doar o parte din calcul, de exemplu \(4\cdot 4\sqrt{3}/2\).

Răspuns: b) \(24\sqrt{3}\ \text{cm}^2\)

Subiectul al II-lea, itemul 5. În figură este cercul de centru \(O\) și diametru \(AB\). Punctele \(C\) și \(D\) aparțin cercului, astfel încât dreptele \(AB\) și \(CD\) sunt paralele, iar măsura unghiului \(BOC\) este egală cu \(60^\circ\). Măsura unghiului \(ADC\) este egală cu: a) \(30^\circ\); b) \(60^\circ\); c) \(110^\circ\); d) \(120^\circ\).

Metoda: Unghi înscris și paralelism

1. 1

   Aflăm măsura arcului BC și a unghiului COB

   \angle BOC=60^\circ \Rightarrow \widehat{BC}=60^\circ

   Unghiul \(BOC\) este unghi la centru, deci arcul \(BC\) pe care îl cuprinde are aceeași măsură, \(60^\circ\). Pentru că \(A, O, B\) sunt coliniare, unghiul \(AOC\) este suplementar cu \(BOC\).

2. 2

   Triunghiul OCD și unghiurile lui

   \angle OCD=\angle COB=60^\circ \text{ (alterne interne)}

   Dreptele \(AB\) și \(CD\) sunt paralele, iar \(OC\) este secantă. Unghiurile \(COB\) și \(OCD\) sunt alterne interne, deci congruente: \(\angle OCD=60^\circ\). Cum \(OC=OD\) (raze), triunghiul \(OCD\) este isoscel cu un unghi de \(60^\circ\), deci este echilateral.

3. 3

   Unghiul ADC ca unghi înscris

   \angle ADC=\frac{\widehat{AC}}{2}

   Unghiul \(ADC\) este înscris în cerc și cuprinde arcul mic \(AC\), adică arcul \(AC\) de la \(A\) la \(C\) care nu trece prin \(D\). Acest arc măsoară cât unghiul la centru \(AOC=120^\circ\). Măsura unui unghi înscris este jumătate din măsura arcului cuprins.

4. 4

   Verificare și alegerea variantei

   \angle ADC=120^\circ

   Din figură, punctul \(D\) este pe arcul de sus, deci unghiul \(ADC\) cuprinde arcul \(AC\) care trece prin \(B\), de \(240^\circ\). Rezultă \(120^\circ\), varianta d). Confirmare: \(ADCO\) este paralelogram (\(AD\parallel OC\) și \(CD\parallel AO\)), iar unghiurile opuse sunt egale, deci \(\angle ADC=\angle AOC=120^\circ\). Variantele a), b) ar veni din confuzia cu \(60^\circ\) (arcul \(BC\)), iar c) nu rezultă din niciun calcul.

Răspuns: Măsura unghiului \(ADC\) este \(120^\circ\), deci răspunsul corect este d).

Subiectul al II-lea, itemul 6: În figura alăturată este reprezentat un cub \(ABCDEFGH\). Măsura unghiului dreptelor \(BF\) și \(CD\) este egală cu: a) \(30^\circ\) b) \(45^\circ\) c) \(60^\circ\) d) \(90^\circ\). (În figură: baza de jos este \(ABCD\), baza de sus \(EFGH\), iar muchiile \(AE\), \(BF\), \(CG\), \(DH\) sunt muchiile verticale.)

Metoda: Unghiul a două drepte în spațiu

1. 1

   Observăm poziția dreptelor BF și CD

   BF \perp (ABC), \quad CD \subset (ABC)

   BF este muchie verticală a cubului, deci este perpendiculară pe planul bazei \(ABC\). Dreapta CD este o muchie a bazei, deci se află în acest plan. BF și CD nu se intersectează (F este sus, iar CD e jos), așa că sunt drepte necoplanare și trebuie să găsim unghiul lor prin paralelism.

2. 2

   Mutăm dreapta BF printr-un punct de pe CD

   BF \parallel CG

   Muchiile laterale ale cubului sunt paralele între ele: \(BF \parallel CG\). Punctul C se află pe dreapta CD, iar CG trece prin C. Deci unghiul dreptelor BF și CD este egal cu unghiul dreptelor CG și CD, adică cu unghiul \(\angle GCD\).

3. 3

   Calculăm unghiul dintre CG și CD

   CG \perp CD \Rightarrow \angle(BF, CD)=\angle GCD = 90^\circ

   Fața \(CDHG\) a cubului este un pătrat. Într-un pătrat laturile alăturate sunt perpendiculare, deci \(CG \perp CD\), adică \(\angle GCD = 90^\circ\). Așadar unghiul dreptelor BF și CD este de \(90^\circ\).

4. 4

   Alegem varianta corectă

   \text{Răspuns: d) } 90^\circ

   Unghiul dreptelor BF și CD este \(90^\circ\), deci varianta corectă este d). Variantele a), b) și c) (\(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\)) nu merg, pentru că un cub are doar unghiuri drepte între muchiile sale; unghiurile de \(45^\circ\) sau \(60^\circ\) apar la diagonale, nu între muchii.

Răspuns: d) 90°

Silvia a scris pe o foaie un număr natural pe care, dacă îl împarte la \(5\), obține restul \(2\), iar dacă îl împarte la \(6\) obține restul \(3\). a) Este posibil ca numărul scris de Silvia să fie \(158\)? Justifică răspunsul dat. (2p) b) Silvia a scris pe foaie cel mai mic număr natural care îndeplinește condițiile din enunț. Determină acest număr. (3p)

Metoda: Teorema împărțirii cu rest

1. 1

   a) Împărțim 158 la 5

   158 = 5 \cdot 31 + 3

   Pentru a afla restul împărțirii lui 158 la 5, scriem numărul sub forma deîmpărțit = împărțitor · cât + rest. Avem \(5\cdot 31=155\), iar \(158-155=3\). Deci restul este 3, cu 3 < 5, așa cum cere regula restului.

2. 2

   a) Concluzia

   3 \neq 2

   Restul împărțirii lui 158 la 5 este 3, dar enunțul cere restul 2. Cum 3 nu este egal cu 2, numărul 158 nu poate fi cel scris de Silvia. Răspuns: nu este posibil.

3. 3

   b) Scriem numărul cu ajutorul câturilor

   n = 5a + 2 \quad \text{și} \quad n = 6b + 3

   Notăm cu \(n\) numărul scris de Silvia. Din teorema împărțirii cu rest, dacă la împărțirea cu 5 restul este 2, atunci \(n=5a+2\), unde \(a\) este câtul. La fel, la împărțirea cu 6: \(n=6b+3\).

4. 4

   b) Adunăm 3 la număr

   n+3 = 5a+5 = 5(a+1) \quad \text{și} \quad n+3 = 6b+6 = 6(b+1)

   Adunăm 3 la ambele scrieri. Din prima: \(n+3=5a+2+3=5a+5=5(a+1)\). Din a doua: \(n+3=6b+3+3=6b+6=6(b+1)\). Deci \(n+3\) este multiplu și de 5, și de 6, adică multiplu comun al lor. Facem asta pentru că 2+3 = 5 și 3+3 = 6, exact împărțitorii.

5. 5

   b) Cel mai mic număr

   n+3 = [5,6] = 30 \Rightarrow n = 27

   Cel mai mic număr natural nenul care este multiplu și de 5, și de 6 este 30 (c.m.m.m.c.). Numărul n este cel mai mic posibil când \(n+3\) este cel mai mic multiplu comun, deci \(n+3=30\), de unde \(n=27\).

6. 6

   Verificare

   27 = 5\cdot 5 + 2 = 6\cdot 4 + 3

   Verificăm: \(5\cdot5+2=27\), deci restul la împărțirea cu 5 este 2. Apoi \(6\cdot4+3=27\), deci restul la împărțirea cu 6 este 3. Ambele condiții sunt îndeplinite.

Răspuns: a) Nu, deoarece 158 = 5·31 + 3, iar restul 3 nu este 2. b) Numărul este 27.

Se consideră expresia \(E(x)=\left(\frac{x-4}{x-2}-\frac{2-x}{x-4}-2\right):\frac{1}{x-2}\), unde \(x\) este număr real, \(x\neq 2\) și \(x\neq 4\). a) Arată că \(x^2-6x+8=(x-2)(x-4)\), pentru orice număr real \(x\). b) Determină suma soluțiilor ecuației \(E(x)=\frac{x+4}{12}\), unde \(x\) este număr real, \(x\neq 2\) și \(x\neq 4\).

Metoda: Calcul algebric și formule prescurtate

1. 1

   a) Descompunerea lui x²−6x+8

   x^2-6x+8=x^2-2x-4x+8=x(x-2)-4(x-2)=(x-2)(x-4)

   Scriem -6x ca -2x-4x (suma lor este -6x, iar produsul coeficienților -2 și -4 este 8, termenul liber). Apoi grupăm termenii și dăm factor comun pe x-2. Astfel obținem produsul cerut.

2. 2

   b) Aducerea la numitor comun în paranteză

   \frac{x-4}{x-2}+\frac{x-2}{x-4}-2=\frac{(x-4)^2+(x-2)^2-2(x-2)(x-4)}{(x-2)(x-4)}

   Observăm că \(\frac{2-x}{x-4}\) cu minus în față devine \(+\frac{x-2}{x-4}\). Numitorul comun este (x-2)(x-4). Amplificăm fiecare fracție, iar pe 2 îl scriem cu acest numitor.

3. 3

   b) Calculul numărătorului

   (x^2-8x+16)+(x^2-4x+4)-2(x^2-6x+8)=x^2-8x+16+x^2-4x+4-2x^2+12x-16=4

   Folosim formula \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) și rezultatul de la a) pentru \((x-2)(x-4)=x^2-6x+8\). Termenii cu \(x^2\) și cei cu \(x\) se reduc, rămâne 4.

4. 4

   b) Împărțirea cu 1/(x-2) și simplificarea

   E(x)=\frac{4}{(x-2)(x-4)}\cdot\frac{x-2}{1}=\frac{4}{x-4}

   A împărți la o fracție înseamnă a înmulți cu inversa ei, adică cu x-2. Simplificăm factorul x-2, care este nenul deoarece \(x\neq 2\).

5. 5

   b) Rezolvarea ecuației și suma soluțiilor

   \frac{4}{x-4}=\frac{x+4}{12}\Rightarrow (x-4)(x+4)=48\Rightarrow x^2-16=48\Rightarrow x^2=64\Rightarrow x=\pm 8

   Folosim proprietatea fundamentală a proporțiilor (produsul mezilor egal cu produsul extremilor), apoi formula \((x-4)(x+4)=x^2-16\). Soluțiile 8 și -8 sunt diferite de 2 și 4, deci convin. Suma lor este -8+8=0.

Răspuns: a) \(x^2-6x+8=(x-2)(x-4)\); b) \(E(x)=\frac{4}{x-4}\), soluțiile sunt \(-8\) și \(8\), iar suma lor este \(0\).

În sistemul de axe ortogonale \(xOy\) se consideră punctele \(A(2,0)\) și \(B(6,3)\). a) (2p) Arată că \(AB = 5\). b) (3p) Calculează aria triunghiului \(AOB\). (În figură: sistemul de axe xOy, cu gradații pe fiecare axă din 2 în 2.)

Metoda: Teorema lui Pitagora, aria triunghiului

1. 1

   a) Proiecția lui B pe axa Ox

   C(6,0),\; AC=6-2=4,\; BC=3

   Notăm cu \(C\) proiecția punctului \(B\) pe axa \(Ox\). Are aceeași abscisă ca B, deci \(C(6,0)\). Segmentul \(BC\) este perpendicular pe axa \(Ox\), deci triunghiul \(ABC\) este dreptunghic în \(C\). Lungimea \(AC\) este diferența absciselor: \(6-2=4\). Lungimea \(BC\) este ordonata lui B: \(3\).

2. 2

   a) Teorema lui Pitagora în triunghiul ABC

   AB^2=AC^2+BC^2=16+9=25\Rightarrow AB=\sqrt{25}=5

   În triunghiul \(ABC\), dreptunghic în \(C\), ipotenuza este \(AB\). Teorema lui Pitagora spune că pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor. Calculăm \(4^2+3^2=25\), iar \(AB=\sqrt{25}=5\).

3. 3

   b) Alegem baza și înălțimea

   OA=2,\; d(B,Ox)=3

   Punctul \(O\) este originea, deci \(OA=2\), pentru că A are abscisa 2 și se află pe axa \(Ox\). Luăm \(OA\) ca bază a triunghiului \(AOB\). Înălțimea corespunzătoare este distanța de la \(B\) la axa \(Ox\), adică ordonata lui B, egală cu \(3\).

4. 4

   b) Aria triunghiului AOB

   \mathcal{A}=\frac{OA\cdot d(B,Ox)}{2}=\frac{2\cdot 3}{2}=3

   Aria unui triunghi este \(\frac{\text{bază}\cdot\text{înălțime}}{2}\). Înlocuim baza \(2\) și înălțimea \(3\): \(\frac{2\cdot3}{2}=3\).

Răspuns: a) \(AB=5\); b) \(\mathcal{A}_{AOB}=3\)

Subiectul III, itemul 4. În figura alăturată este reprezentat cercul de centru \(O\), în care \(AB\) și \(CD\) sunt diametre perpendiculare. Punctul \(M\) aparține arcului mic \(BC\), dreptele \(DM\) și \(AB\) se intersectează în punctul \(N\), \(DN = 6\) cm și \(MN = 3\) cm. (2p) a) Arată că măsura unghiului \(BMN\) este egală cu \(45^\circ\). (3p) b) Calculează aria discului cu centrul în \(O\) și rază \(OD\).

Metoda: Unghi înscris și asemănarea triunghiurilor

1. 1

   a) Arcul \(BD\)

   AB\perp CD \Rightarrow \widehat{BD}=90^\circ

   Diametrele \(AB\) și \(CD\) sunt perpendiculare, deci unghiul la centru \(BOD\) este drept, adică are \(90^\circ\). Măsura unui arc este egală cu măsura unghiului la centru corespunzător, deci arcul mic \(BD\) are \(90^\circ\).

2. 2

   a) Unghiul înscris \(BMN\)

   \angle BMN=\angle BMD=\dfrac{\widehat{BD}}{2}=\dfrac{90^\circ}{2}=45^\circ

   Punctul \(N\) se află pe dreapta \(MD\), deci unghiul \(BMN\) este același cu unghiul \(BMD\). Acesta este un unghi înscris în cerc care cuprinde arcul \(BD\). Măsura unui unghi înscris este jumătate din măsura arcului cuprins, deci \(90^\circ:2=45^\circ\).

3. 3

   b) Triunghiuri asemenea

   \triangle OND\sim\triangle MCD

   În triunghiul \(OND\) avem \(\angle NOD=90^\circ\), pentru că diametrele sunt perpendiculare. În triunghiul \(MCD\) avem \(\angle DMC=90^\circ\), pentru că este înscris și se sprijină pe diametrul \(CD\). În plus, unghiul \(ODN\) coincide cu unghiul \(CDM\). Două unghiuri congruente în fiecare triunghi dau asemănarea (criteriul UU).

4. 4

   b) Raportul de asemănare și raza

   \dfrac{ND}{CD}=\dfrac{OD}{MD}\Rightarrow\dfrac{6}{2OD}=\dfrac{OD}{9}\Rightarrow OD^2=27

   Laturile corespunzătoare sunt proporționale. Avem \(CD=2\cdot OD\), pentru că \(CD\) este diametru, și \(MD=DN+MN=6+3=9\). Din proporție, prin înmulțirea pe diagonală: \(6\cdot 9=2\cdot OD\cdot OD\), deci \(2\cdot OD^2=54\), adică \(OD^2=27\).

5. 5

   b) Aria discului

   \mathcal{A}=\pi\cdot OD^2=27\pi\ \text{cm}^2

   Aria discului este \(\pi\) înmulțit cu pătratul razei. Noi știm direct \(OD^2=27\), deci nu mai e nevoie să calculăm raza.

Răspuns: a) \(\angle BMN=45^\circ\); b) aria discului este \(27\pi\ \text{cm}^2\).

Subiectul III, itemul 5. În figură este reprezentat triunghiul \(ABC\), dreptunghic în \(A\), cu \(AB = 6\text{ cm}\) și \(AC = 8\text{ cm}\). Punctul \(Q\) se află pe latura \(AB\), astfel încât \(BQ = 2\text{ cm}\). Paralela prin \(Q\) la dreapta \(AC\) intersectează dreapta \(BC\) în punctul \(P\), punctul \(G\) este centrul de greutate al triunghiului \(ABC\) și \(AG \cap BC = \{M\}\). (2p) a) Calculează lungimea segmentului \(BC\). (3p) b) Determină perimetrul patrulaterului \(BQGP\).

Metoda: Pitagora și asemănarea triunghiurilor

1. 1

   a) Calculăm BC cu teorema lui Pitagora

   BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10

   Triunghiul \(ABC\) este dreptunghic în \(A\), deci \(BC\) este ipotenuza. Teorema lui Pitagora spune că pătratul ipotenuzei este suma pătratelor catetelor: \(BC^2=AB^2+AC^2=6^2+8^2=100\). Deci \(BC=10\text{ cm}\).

2. 2

   b) Arătăm că QG este paralelă cu BM

   \frac{AG}{AM}=\frac{2}{3},\quad \frac{AQ}{AB}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\Rightarrow QG\parallel BM

   Centrul de greutate este pe mediana \(AM\) la \(\frac{2}{3}\) de vârf, deci \(\frac{AG}{AM}=\frac{2}{3}\). Avem \(AQ=AB-BQ=6-2=4\), deci \(\frac{AQ}{AB}=\frac{2}{3}\). Rapoartele sunt egale, deci din reciproca teoremei lui Thales \(QG\parallel BM\), adică \(QG\parallel BP\).

3. 3

   b) Calculăm QG

   \Delta AQG\sim\Delta ABM\Rightarrow \frac{QG}{BM}=\frac{2}{3}\Rightarrow QG=\frac{2}{3}\cdot 5=\frac{10}{3}

   Din \(QG\parallel BM\), triunghiurile \(AQG\) și \(ABM\) sunt asemenea, cu raportul \(\frac{2}{3}\). \(AM\) este mediană, deci \(BM=\frac{BC}{2}=5\). Atunci \(QG=\frac{2}{3}\cdot5=\frac{10}{3}\text{ cm}\).

4. 4

   b) Calculăm BP

   \Delta BQP\sim\Delta BAC\Rightarrow \frac{BP}{BC}=\frac{BQ}{BA}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\Rightarrow BP=\frac{10}{3}

   Deoarece \(QP\parallel AC\), triunghiurile \(BQP\) și \(BAC\) sunt asemenea. Raportul este \(\frac{BQ}{BA}=\frac{1}{3}\), deci \(BP=\frac{10}{3}\text{ cm}\).

5. 5

   b) Perimetrul lui BQGP

   QG\parallel BP,\ QG=BP\Rightarrow BQGP\text{ paralelogram}\Rightarrow P=2\left(2+\frac{10}{3}\right)=\frac{32}{3}

   \(QG\parallel BP\) și \(QG=BP=\frac{10}{3}\), deci \(BQGP\) este paralelogram, iar laturile opuse sunt egale: \(GP=BQ=2\). Perimetrul este \(2\cdot\left(2+\frac{10}{3}\right)=2\cdot\frac{16}{3}=\frac{32}{3}\text{ cm}\).

Răspuns: a) \(BC=10\text{ cm}\); b) \(P_{BQGP}=\frac{32}{3}\text{ cm}\).

Subiectul III, itemul 6. În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă \(ABCA'B'C'\), cu baza triunghiul echilateral \(ABC\), \(AB = 12\) cm și \(AA' = 3\sqrt{3}\) cm. a) (2p) Calculează perimetrul triunghiului \(ABC\). b) (3p) Determină tangenta unghiului dintre dreapta \(MC'\) și planul \((B'BC)\), unde punctul \(M\) este mijlocul segmentului \(AB\).

Metoda: Unghi dreaptă-plan, proiecție și trigonometrie

1. 1

   a) Perimetrul triunghiului ABC

   P_{ABC}=3\cdot AB=3\cdot 12=36\text{ cm}

   Triunghiul \(ABC\) este echilateral, deci are toate cele trei laturi egale cu \(AB = 12\) cm. Perimetrul este suma celor trei laturi, adică \(3\cdot 12\).

2. 2

   b) Construim perpendiculara din M pe BC

   MN\perp BC,\ N\in BC,\ MN\perp B'B \Rightarrow MN\perp (B'BC)

   Ducem \(MN\perp BC\), cu \(N\in BC\). Prisma este dreaptă, deci \(B'B\perp (ABC)\), deci \(MN\perp B'B\). Dreapta \(MN\) este perpendiculară pe două drepte concurente din planul \((B'BC)\), anume \(BC\) și \(B'B\), deci \(MN\perp (B'BC)\). Atunci \(N\) este proiecția lui \(M\) pe plan, iar proiecția dreptei \(MC'\) este dreapta \(C'N\). Unghiul căutat este \(\angle MC'N\).

3. 3

   b) Calculăm MN

   \sin(\angle B)=\frac{MN}{MB}\Rightarrow MN=6\cdot\frac{\sqrt3}{2}=3\sqrt3\text{ cm}

   \(M\) este mijlocul lui \(AB\), deci \(MB=6\) cm. Triunghiul \(MNB\) este dreptunghic în \(N\), iar unghiul \(B\) are \(60^\circ\) (triunghi echilateral). Deci \(MN=MB\cdot\sin 60^\circ=6\cdot\frac{\sqrt3}{2}=3\sqrt3\) cm.

4. 4

   b) Calculăm C'N

   C'N=\sqrt{C'C^2+CN^2}=\sqrt{27+9}=6\text{ cm}

   Ce trebuie calculat aici: \(C'N\) în triunghiul dreptunghic \(C'CN\) (dreptunghic în \(C\), deoarece \(C'C\perp (ABC)\)). \(N\) este mijlocul lui \(BC\) (în triunghiul echilateral \(AB=AC\) ar fi înălțimea, dar \(N\) rezultă din \(MN\parallel\) înălțimii din \(A\)); mai precis, \(MN\) este linie mijlocie în triunghiul format cu înălțimea din \(A\), deci \(BN=\frac{BM}{2}=3\) și \(CN=12-3=9\) cm. Atunci \(C'N=\sqrt{(3\sqrt3)^2+9^2}=\sqrt{27+81}=\sqrt{108}=6\sqrt3\) cm.

5. 5

   b) Tangenta unghiului MC'N

   \operatorname{tg}(\angle MC'N)=\frac{MN}{C'N}=\frac{3\sqrt3}{6\sqrt3}=\frac12

   Deoarece \(MN\perp (B'BC)\) și \(C'N\subset (B'BC)\), avem \(MN\perp C'N\), deci triunghiul \(C'MN\) este dreptunghic în \(N\). Tangenta unghiului \(C'\) este raportul dintre cateta opusă \(MN\) și cateta alăturată \(C'N\).

Răspuns: a) Perimetrul triunghiului ABC este 36 cm. b) Tangenta unghiului dintre dreapta MC' și planul (B'BC) este 1/2.