Monotonie și puncte de extrem; teorema lui Fermat, teorema lui Rolle și a lui Lagrange

Ce spune programa

Monotonie și puncte de extrem; teorema lui Fermat, teorema lui Rolle și a lui Lagrange (programa de Bacalaureat la matematică)

Serie:

Se încarcă exercițiul…

Exemple de exerciții rezolvate: Monotonie și puncte de extrem; teorema lui Fermat, teorema lui Rolle și a lui Lagrange

Câte un exercițiu pentru fiecare nivel, cu rezolvarea pas cu pas. Încearcă-l singur înainte să deschizi rezolvarea.

Exemplul 1 · nivel ușor

Determină punctul de extrem local al funcției \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^2-6x+5\). Scrie abscisa acestui punct.

Vezi răspunsul și rezolvarea

Răspuns: 3

  1. Funcția este derivabilă pe \(\mathbb{R}\), iar \(f'(x)=2x-6\).
  2. Conform teoremei lui Fermat, într-un punct de extrem local avem \(f'(x)=0\), deci \(2x-6=0\).
  3. Rezultă \(x=3\). Derivata își schimbă semnul din minus în plus, deci este punct de minim.

Exemplul 2 · nivel mediu

Fie funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^3-12x+5\). Determinați abscisa punctului de minim local al funcției.

Vezi răspunsul și rezolvarea

Răspuns: 2

  1. Calculăm derivata: \(f'(x)=3x^2-12\).
  2. Rezolvăm \(f'(x)=0\): \(x^2=4\), deci \(x=-2\) sau \(x=2\).
  3. Pentru \(x<-2\), \(f'>0\); pentru \(x\in(-2,2)\), \(f'<0\); pentru \(x>2\), \(f'>0\).
  4. Derivata trece de la minus la plus în \(x=2\), deci acesta este punctul de minim local.

Progresul tău se păstrează în acest browser. Fă-ți un cont gratuit ca să-l ai pe orice dispozitiv.