Morfisme și izomorfisme de grupuri

Ce spune programa

Morfisme și izomorfisme de grupuri (programa de Bacalaureat la matematică)

Serie:

Se încarcă exercițiul…

Exemple de exerciții rezolvate: Morfisme și izomorfisme de grupuri

Câte un exercițiu pentru fiecare nivel, cu rezolvarea pas cu pas. Încearcă-l singur înainte să deschizi rezolvarea.

Exemplul 1 · nivel ușor

Funcția \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), \(f(x)=3x\), este morfism între grupurile \((\mathbb{Z},+)\) și \((\mathbb{Z},+)\). Calculați \(f(4)+f(5)\).

Vezi răspunsul și rezolvarea

Răspuns: 27

  1. Avem \(f(4)=3\cdot 4=12\).
  2. Avem \(f(5)=3\cdot 5=15\).
  3. Suma este \(12+15=27\), egală cu \(f(9)=27\), deci morfismul este respectat.

Exemplul 2 · nivel mediu

Fie funcția \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), \(f(x)=3x\), între grupurile \((\mathbb{Z},+)\) și \((\mathbb{Z},+)\). Care dintre afirmații este adevărată?

  1. a) f este morfism injectiv, dar nu este surjectiv
  2. b) f este izomorfism
  3. c) f este morfism surjectiv, dar nu injectiv
  4. d) f nu este morfism
Vezi răspunsul și rezolvarea

Răspuns: a) f este morfism injectiv, dar nu este surjectiv

  1. \(f(x+y)=3(x+y)=3x+3y=f(x)+f(y)\), deci f este morfism.
  2. Dacă \(3x=3y\), atunci \(x=y\), deci f este injectivă.
  3. Ecuația \(3x=1\) nu are soluție în \(\mathbb{Z}\), deci f nu este surjectivă.

Progresul tău se păstrează în acest browser. Fă-ți un cont gratuit ca să-l ai pe orice dispozitiv.