Rezolvare pas cu pas: Matematică – Mate-Info (M1) – Bacalaureat 2022, model de subiect

Arătați că numerele \(6-3\sqrt{3}\), \(\sqrt{3}\) și \(2+\sqrt{3}\) sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

Metoda: Proprietatea progresiei geometrice

1. 1

   Alegem condiția de verificat

   b^2=a\cdot c

   În progresia geometrică fiecare termen (în afară de extreme) este media geometrică a vecinilor. Deci pentru \(a=6-3\sqrt{3}\), \(b=\sqrt{3}\), \(c=2+\sqrt{3}\) trebuie să arătăm că \((\sqrt{3})^2=(6-3\sqrt{3})(2+\sqrt{3})\).

2. 2

   Calculăm produsul extremelor

   (6-3\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=3(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})

   Dăm factor comun 3 în primul termen: \(6-3\sqrt{3}=3(2-\sqrt{3})\). Apare astfel produsul \((2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})\), pe care îl calculăm cu formula \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\): \(2^2-(\sqrt{3})^2=4-3=1\). Deci produsul este \(3\cdot 1=3\).

3. 3

   Comparăm cu pătratul termenului din mijloc și concluzionăm

   (\sqrt{3})^2=3=(6-3\sqrt{3})(2+\sqrt{3})

   Pătratul termenului din mijloc este \((\sqrt{3})^2=3\), iar produsul extremelor este tot 3. Cum \(b^2=a\cdot c\), numerele sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice (ratia este \(\frac{\sqrt{3}}{6-3\sqrt{3}}\), numitorul fiind nenul).

Răspuns: \((6-3\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=3=(\sqrt{3})^2\), deci numerele \(6-3\sqrt{3}\), \(\sqrt{3}\), \(2+\sqrt{3}\) sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^2+mx+1\), unde \(m\) este număr real. Determinați numerele reale \(m\) pentru care axa \(Ox\) este tangentă graficului funcției \(f\).

Metoda: Condiția \(\Delta=0\) la parabolă

1. 1

   Traducem tangența în condiția \(\Delta=0\)

   Ox \text{ tangentă la } G_f \iff \Delta=0

   Punctele de intersecție ale graficului cu axa \(Ox\) sunt soluțiile ecuației \(f(x)=0\), adică \(x^2+mx+1=0\). Axa este tangentă când parabola are cu ea un singur punct comun, deci ecuația de gradul al II-lea are o soluție dublă. Asta se întâmplă când \(\Delta=0\).

2. 2

   Calculăm discriminantul

   \Delta=m^2-4\cdot 1\cdot 1=m^2-4

   Pentru \(ax^2+bx+c\) avem \(\Delta=b^2-4ac\). Aici \(a=1\), \(b=m\), \(c=1\), deci \(\Delta=m^2-4\). Punem condiția \(\Delta=0\), adică \(m^2-4=0\).

3. 3

   Rezolvăm ecuația \(m^2-4=0\)

   m^2=4 \Rightarrow m=-2 \text{ sau } m=2

   Din \(m^2-4=0\) obținem \(m^2=4\), deci \(m=2\) sau \(m=-2\), pentru că ambele numere ridicate la pătrat dau 4. Pentru \(m=2\): \(f(x)=(x+1)^2\), tangentă în \(x=-1\). Pentru \(m=-2\): \(f(x)=(x-1)^2\), tangentă în \(x=1\).

Răspuns: \(m=-2\) sau \(m=2\)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(5^{x+2}=5^x+24\).

Metoda: Ecuație exponențială, factor comun

1. 1

   Descompunem puterea cu \(x+2\)

   5^{x+2}=5^x\cdot 5^2=25\cdot 5^x

   Folosim regula \(a^{m+n}=a^m\cdot a^n\). Astfel, \(5^{x+2}\) devine \(5^x\cdot 5^2\), adică \(25\cdot 5^x\). Facem asta ca să apară aceeași putere \(5^x\) în ambii membri ai ecuației.

2. 2

   Aducem ecuația la o formă simplă

   25\cdot 5^x-5^x=24 \Rightarrow 24\cdot 5^x=24

   Înlocuim în ecuație și mutăm \(5^x\) din dreapta în stânga: \(25\cdot 5^x-5^x=24\). Termenii cu \(5^x\) se reduc ca \(25t-t=24t\), unde \(t=5^x\). Deci \(24\cdot 5^x=24\), de unde \(5^x=1\).

3. 3

   Aflăm valoarea lui \(x\)

   5^x=1=5^0 \Rightarrow x=0

   Funcția exponențială \(5^x\) este injectivă (strict crescătoare), deci o valoare se obține pentru un singur \(x\). Cum \(1=5^0\), rezultă \(x=0\). Verificare: \(5^{0+2}=25\), iar \(5^0+24=25\), deci egalitatea este adevărată.

Răspuns: \(x=0\)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre distincte, acesta să aibă cifra zecilor multiplu de \(3\).

Metoda: Probabilitate: cazuri favorabile / posibile

1. 1

   Numărăm cazurile posibile

   9\cdot 9=81

   Numărul are forma \(\overline{ab}\), cu \(a\neq 0\) (cifra zecilor) și \(b\neq a\). Pentru \(a\) avem 9 variante (1, 2, ..., 9). Pentru \(b\) avem 10 cifre, din care scoatem cifra \(a\), deci rămân 9 variante. Prin regula produsului obținem \(9\cdot 9=81\) cazuri posibile.

2. 2

   Numărăm cazurile favorabile

   3\cdot 9=27

   Cifra zecilor trebuie să fie multiplu de 3 și nenulă, deci \(a\in\{3,6,9\}\), adică 3 variante. Pentru fiecare, cifra unităților are tot 9 variante (diferită de \(a\)). Obținem \(3\cdot 9=27\) cazuri favorabile.

3. 3

   Calculăm probabilitatea

   p=\dfrac{27}{81}=\dfrac{1}{3}

   Aplicăm formula \(p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}\) și simplificăm fracția prin 27.

Răspuns: \(p=\dfrac{1}{3}\)

Se consideră triunghiul \(ABC\), punctul \(D\) mijlocul laturii \(AC\) și punctul \(M\) astfel încât \(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}=\vec{0}\). Arătați că dreptele \(MD\) și \(AB\) sunt paralele.

Metoda: Calcul vectorial, coliniaritate

1. 1

   Descompunem \(\overrightarrow{MB}\) prin regula triunghiului

   \overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}

   Vrem ca în relația dată să apară vectorul \(\overrightarrow{AB}\), pentru că el apare în concluzie. Din regula triunghiului, \(\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}\). Înlocuim în relația dată: \(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{MC}=\vec{0}\).

2. 2

   Grupăm termenii

   3\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\right)+2\overrightarrow{AB}=\vec{0}

   După înlocuire avem \(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{MC}=\vec{0}\). Adunăm \(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MA}=3\overrightarrow{MA}\) și dăm factor comun 3 la termenii cu \(\overrightarrow{MA}\) și \(\overrightarrow{MC}\). Astfel apare suma \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\), legată de mijlocul \(D\).

3. 3

   Folosim mijlocul \(D\) al lui \(AC\)

   \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MD}

   Deoarece \(D\) este mijlocul segmentului \(AC\), pentru orice punct \(M\) avem \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MD}\). Înlocuim în relația de la pasul anterior: \(6\overrightarrow{MD}+2\overrightarrow{AB}=\vec{0}\).

4. 4

   Exprimăm \(\overrightarrow{MD}\) în funcție de \(\overrightarrow{AB}\)

   6\overrightarrow{MD}=-2\overrightarrow{AB}\;\Rightarrow\;\overrightarrow{MD}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}

   Din \(6\overrightarrow{MD}+2\overrightarrow{AB}=\vec{0}\) obținem \(6\overrightarrow{MD}=-2\overrightarrow{AB}\), deci \(\overrightarrow{MD}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\), împărțind la 6.

5. 5

   Concluzia: dreptele sunt paralele

   \overrightarrow{MD}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\;\Rightarrow\;MD\parallel AB

   Egalitatea \(\overrightarrow{MD}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\) arată că vectorii sunt coliniari, adică au aceeași direcție. Deci dreptele \(MD\) și \(AB\) sunt paralele sau coincid. Cum \(M\) nu se află pe \(AB\) (altfel \(D\) ar fi pe \(AB\), dar \(D\) este pe \(AC\), diferit de \(A\)), ele nu coincid, deci sunt paralele.

Răspuns: Din \(\overrightarrow{MD}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\) rezultă că vectorii sunt coliniari, deci \(MD\parallel AB\).

Calculați lungimea laturii \(AB\) a triunghiului \(ABC\), în care \(AC = 3\) și măsurile unghiurilor \(A\) și \(B\) sunt de \(30^\circ\), respectiv \(60^\circ\).

Metoda: Triunghi dreptunghic și sinus

1. 1

   Aflăm măsura unghiului C

   m(\widehat{C}) = 180^\circ - 30^\circ - 60^\circ = 90^\circ

   Suma unghiurilor într-un triunghi este \(180^\circ\). Scădem din \(180^\circ\) unghiurile cunoscute, \(30^\circ\) și \(60^\circ\), și obținem \(90^\circ\). Deci triunghiul \(ABC\) este dreptunghic în \(C\), iar \(AB\) este ipotenuza.

2. 2

   Scriem sinusul unghiului B

   \sin B = \frac{AC}{AB} \Rightarrow \sin 60^\circ = \frac{3}{AB}

   În triunghiul dreptunghic \(ABC\), sinusul unui unghi ascuțit este raportul dintre cateta opusă și ipotenuză. Cateta opusă unghiului \(B\) este \(AC = 3\), iar ipotenuza este \(AB\). Folosim \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

3. 3

   Calculăm AB

   \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{AB} \Rightarrow AB = \frac{3\cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}

   Din proporție obținem \(AB = \frac{6}{\sqrt{3}}\). Raționalizăm amplificând cu \(\sqrt{3}\): \(\frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}\). Obținem aceeași valoare ca în barem.

4. 4

   Verificare

   AB = 2\sqrt{3},\quad BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{12-9}=\sqrt{3}

   Verificăm cu teorema lui Pitagora: dacă \(AB = 2\sqrt3\), atunci \(AB^2 = 12\), iar \(BC^2 = 12 - 9 = 3\), deci \(BC=\sqrt3\). Raportul \(BC : AC = \sqrt3 : 3 = 1:\sqrt3\) corespunde unghiului \(A = 30^\circ\), deoarece \(\tan 30^\circ = \frac{\sqrt3}{3}\). Totul se potrivește.

Răspuns: \(AB = 2\sqrt{3}\)

Se consideră matricele \(I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&i&0\\-2&0&-1\end{pmatrix}\) și \(A(z)=aI_3+bB\), unde \(z=a+ib\), cu \(a\) și \(b\) numere reale și \(i^2=-1\). a) Arătați că \(\det B=i\).

Metoda: Calculul determinantului de ordin 3

1. 1

   Scriem determinantul și regula lui Sarrus

   \det B=\begin{vmatrix}1&0&1\\0&i&0\\-2&0&-1\end{vmatrix}

   Pentru un determinant de ordin 3 folosim regula lui Sarrus: adunăm produsele elementelor de pe diagonala principală și de pe cele două paralele cu ea, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei. Facem asta ca să transformăm determinantul într-un calcul obișnuit cu numere.

2. 2

   Calculăm cei șase produse

   \det B=1\cdot i\cdot(-1)+0+0-(-2)\cdot i\cdot 1-0-0

   Termenii de pe diagonala principală și paralelele ei sunt: \(1\cdot i\cdot(-1)=-i\), \(0\cdot0\cdot(-2)=0\) și \(1\cdot0\cdot0=0\). Cei de pe diagonala secundară și paralelele ei sunt: \((-2)\cdot i\cdot 1=-2i\), \(0\cdot0\cdot(-1)=0\) și \(1\cdot0\cdot0=0\). Aceștia se scad, deci apare \(-(-2i)=+2i\).

3. 3

   Adunăm și obținem rezultatul

   \det B=-i+2i=i

   Adunăm termenii rămași: \(-i+2i=i\). Astfel am obținut exact ceea ce trebuia demonstrat.

Răspuns: \(\det B=-i+2i=i\), deci egalitatea este demonstrată.

Se consideră matricele \(I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&i&0\\-2&0&-1\end{pmatrix}\) și \(A(z)=aI_3+bB\), unde \(z=a+ib\), cu \(a\) și \(b\) numere reale și \(i^2=-1\). b) Demonstrați că \(A(z_1)\cdot A(z_2)=A(z_1z_2)\), pentru orice numere complexe \(z_1\) și \(z_2\).

Metoda: Calcul matriceal cu \(B^2=-I_3\)

1. 1

   Calculăm \(B\cdot B\)

   B\cdot B=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&i&0\\-2&0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&1\\0&i&0\\-2&0&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}=-I_3

   Înmulțim linie cu coloană. Linia 1 cu coloana 1: \(1\cdot1+0\cdot0+1\cdot(-2)=-1\). Linia 1 cu coloana 3: \(1\cdot1+0+1\cdot(-1)=0\). Linia 2 cu coloana 2: \(i\cdot i=-1\). Linia 3 cu coloana 1: \((-2)\cdot1+0+(-1)(-2)=0\). Linia 3 cu coloana 3: \((-2)\cdot1+(-1)(-1)=-1\). Celelalte elemente ies 0. Rezultă \(B^2=-I_3\). Ne trebuie acest rezultat pentru că în produsul \(A(z_1)A(z_2)\) apare termenul \(B\cdot B\).

2. 2

   Scriem \(z_1,z_2\) și înmulțim \(A(z_1)\cdot A(z_2)\)

   A(z_1)A(z_2)=(aI_3+bB)(cI_3+dB)=acI_3+adB+bcB+bdB\cdot B

   Fie \(z_1=a+ib\) și \(z_2=c+id\), cu \(a,b,c,d\) reale. Orice număr complex are această formă, deci demonstrația e generală. Înmulțim parantezele prin distributivitate. Ținem cont că \(I_3\) este elementul neutru la înmulțirea matricelor: \(I_3\cdot I_3=I_3\), \(I_3B=BI_3=B\).

3. 3

   Folosim \(B^2=-I_3\) și grupăm

   acI_3+(ad+bc)B+bd(-I_3)=(ac-bd)I_3+(ad+bc)B

   Înlocuim \(B\cdot B=-I_3\) din pasul 1. Termenii cu \(I_3\) se adună: \(ac-bd\). Termenii cu \(B\) se adună: \(ad+bc\).

4. 4

   Recunoaștem \(A(z_1z_2)\)

   z_1z_2=(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)\Rightarrow A(z_1z_2)=(ac-bd)I_3+(ad+bc)B

   Calculăm produsul numerelor complexe: partea reală este \(ac-bd\), iar partea imaginară este \(ad+bc\), cu \(ac-bd\) și \(ad+bc\) reale. Din definiția lui \(A\), \(A(z_1z_2)\) este exact matricea obținută la pasul 3. Deci \(A(z_1)\cdot A(z_2)=A(z_1z_2)\), pentru orice \(z_1,z_2\in\mathbb{C}\).

Răspuns: Am obținut \(A(z_1)\cdot A(z_2)=(ac-bd)I_3+(ad+bc)B=A(z_1z_2)\), pentru orice numere complexe \(z_1\) și \(z_2\), deci egalitatea este demonstrată.

Se consideră matricele \(I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&i&0\\-2&0&-1\end{pmatrix}\) și \(A(z)=aI_3+bB\), unde \(z=a+ib\), cu \(a\) și \(b\) numere reale și \(i^2=-1\). Itemul 1. c): Determinați numărul natural \(n\) pentru care \(A(1+i)\cdot A(2+i)\cdot A(3+i)\cdot A(1-i)\cdot A(2-i)\cdot A(3-i)=nI_3\).

Metoda: Înmulțire prin A(z1)·A(z2)=A(z1z2)

1. 1

   Folosim proprietatea de la punctul b)

   A(z_1)\cdot A(z_2)=A(z_1z_2)

   La punctul b) am demonstrat că produsul matricelor A(z1) și A(z2) este A(z1z2). Prin repetare, produsul oricâtor matrice de acest tip este A(produsul numerelor). Deci produsul cerut este \(A\big((1+i)(2+i)(3+i)(1-i)(2-i)(3-i)\big)\).

2. 2

   Grupăm convenabil factorii

   (1+i)(1-i)\cdot(2+i)(2-i)\cdot(3+i)(3-i)

   Înmulțirea numerelor complexe este comutativă, deci putem grupa fiecare număr cu conjugatul lui. Folosim \((a+i)(a-i)=a^2-i^2=a^2+1\).

3. 3

   Calculăm produsul numerelor

   (1+i)(1-i)(2+i)(2-i)(3+i)(3-i)=2\cdot 5\cdot 10=100

   Înmulțim rezultatele celor trei perechi: \(2\cdot5\cdot10=100\). Deci produsul matricelor este \(A(100)\).

4. 4

   Scriem A(100) și aflăm n

   A(100)=A(100+i\cdot 0)=100\cdot I_3+0\cdot B=100I_3

   Numărul 100 se scrie \(100=100+i\cdot0\), deci \(a=100\) și \(b=0\). Atunci \(A(100)=100I_3+0\cdot B=100I_3\). Comparând cu \(nI_3\), obținem \(n=100\), care este număr natural.

Răspuns: n = 100

Subiectul II, itemul 2. a): Pe \(M=[1,+\infty)\) se definește legea de compoziție asociativă \(x*y=\log_2\left(2^{x+y}-2^{x+1}-2^{y+1}+6\right)\). Arătați că \(x*y=\log_2\left(\left(2^x-2\right)\left(2^y-2\right)+2\right)\), pentru orice \(x,y\in M\).

Metoda: Descompunere în factori și grupare

1. 1

   Scriem puterile cu \(x+y\), \(x+1\), \(y+1\) cu ajutorul lui \(2^x\) și \(2^y\)

   2^{x+y}=2^x\cdot 2^y,\quad 2^{x+1}=2\cdot 2^x,\quad 2^{y+1}=2\cdot 2^y

   Folosim regula \(a^{m+n}=a^m\cdot a^n\). Astfel toate puterile se exprimă prin \(2^x\) și \(2^y\), iar expresia devine \(2^x\cdot 2^y-2\cdot 2^x-2\cdot 2^y+6\). Din forma aceasta putem lua factori comuni.

2. 2

   Grupăm termenii și dăm factor comun

   2^x\cdot 2^y-2\cdot 2^x-2\cdot 2^y+6=2^x\left(2^y-2\right)-2\left(2^y-2\right)+2

   Grupăm primii doi termeni și dăm factor comun \(2^x\), obținând \(2^x(2^y-2)\). Din \(-2\cdot 2^y+6\) scriem \(-2\cdot 2^y+4+2=-2(2^y-2)+2\). Pentru asta am descompus \(6=4+2\). Apare astfel factorul \(2^y-2\) în ambele grupuri.

3. 3

   Dăm factor comun \(2^y-2\) și încheiem

   2^x\left(2^y-2\right)-2\left(2^y-2\right)+2=\left(2^x-2\right)\left(2^y-2\right)+2

   Acum \(2^y-2\) apare în primii doi termeni, deci îl scoatem factor comun: \((2^y-2)(2^x-2)\). Rămâne \(+2\). Punem totul înapoi sub logaritm și obținem \(x*y=\log_2\left(\left(2^x-2\right)\left(2^y-2\right)+2\right)\), adică exact ce trebuia demonstrat, pentru orice \(x,y\in M\).

Răspuns: Am obținut \(2^{x+y}-2^{x+1}-2^{y+1}+6=\left(2^x-2\right)\left(2^y-2\right)+2\), deci \(x*y=\log_2\left(\left(2^x-2\right)\left(2^y-2\right)+2\right)\) pentru orice \(x,y\in M\).

Pe \(M=[1,+\infty)\) se definește legea de compoziție asociativă \(x*y=\log_2\left(2^{x+y}-2^{x+1}-2^{y+1}+6\right)\). b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „\(*\)”.

Metoda: Definiția elementului neutru

1. 1

   Scriem condiția elementului neutru

   x*e=x,\ \forall x\in M

   Prin definiție, \(e\) este elementul neutru dacă \(x*e=x\) pentru orice \(x\in M\). Legea este asociativă, dar nu am demonstrat că este comutativă, așa că am putea verifica și \(e*x=x\). Totuși, din forma de la a) se vede că expresia este simetrică în \(x\) și \(y\), deci este suficient să lucrăm cu \(x*e\).

2. 2

   Folosim forma din punctul a)

   \log_2\left(\left(2^x-2\right)\left(2^e-2\right)+2\right)=x

   Din a) avem \(x*y=\log_2\left(\left(2^x-2\right)\left(2^y-2\right)+2\right)\). Punem \(y=e\) și egalăm cu \(x\). Forma factorizată este mai comodă decât cea inițială.

3. 3

   Rezolvăm ecuația în e

   \left(2^x-2\right)\left(2^e-2\right)=2^x-2\Rightarrow\left(2^x-2\right)\left(2^e-3\right)=0

   Din \(2^{\log_2 A}=A\) obținem \(\left(2^x-2\right)\left(2^e-2\right)+2=2^x\), adică \(\left(2^x-2\right)\left(2^e-2\right)=2^x-2\). Mutăm totul într-o parte și dăm factor comun: \(\left(2^x-2\right)\left(2^e-3\right)=0\). Egalitatea trebuie să fie adevărată pentru orice \(x\in M\). Pentru \(x>1\) avem \(2^x-2\neq0\), deci \(2^e=3\), de unde \(e=\log_2 3\).

4. 4

   Verificăm că e aparține lui M și este neutru

   e=\log_2 3\in[1,+\infty)

   Cum \(2<3<4\), avem \(1<\log_2 3<2\), deci \(e\in M\). Pentru \(e=\log_2 3\) avem \(2^e-3=0\), deci \(\left(\log_2 3\right)*x=\log_2\left(0+2\right)\) nu intră în calcul, ci direct: \(\left(2^x-2\right)\left(2^e-2\right)+2=\left(2^x-2\right)\cdot1+2=2^x\), deci \(x*e=\log_2 2^x=x\). Legea fiind comutativă (expresia e simetrică în \(x,y\)), avem și \(e*x=x\). Deci \(e=\log_2 3\) este elementul neutru.

Răspuns: Elementul neutru este \(e=\log_2 3\).

Subiectul al II-lea, punctul 2.c): Pe \(M=[1,+\infty)\) se definește legea de compoziție asociativă \(x*y=\log_2\left(2^{x+y}-2^{x+1}-2^{y+1}+6\right)\). Arătați că \(x*x*x<3x\), pentru orice \(x\in M\).

Metoda: Forma factorizată a legii și logaritmi

1. 1

   Calculăm x*x*x

   x*x*x=\log_2\left((2^x-2)^3+2\right)

   Din punctul a) avem \(2^{x*y}-2=(2^x-2)(2^y-2)\). Deci \(2^{x*x}-2=(2^x-2)^2\). Aplicăm încă o dată: \(2^{x*x*x}-2=(2^{x*x}-2)(2^x-2)=(2^x-2)^3\). Rezultă \(x*x*x=\log_2\left((2^x-2)^3+2\right)\). Legea este asociativă, deci ordinea parantezelor nu contează.

2. 2

   Scriem diferența ca logaritm

   (x*x*x)-3x=\log_2\frac{(2^x-2)^3+2}{2^{3x}}

   Scriem \(3x=\log_2 2^{3x}\). Diferența a doi logaritmi în aceeași bază este logaritmul raportului. Ambele argumente sunt pozitive, pentru că \(x\ge1\) dă \(2^x-2\ge0\), deci \((2^x-2)^3+2>0\).

3. 3

   Simplificăm fracția

   \frac{(2^x-2)^3+2}{2^{3x}}=1-\frac{6(2^x-1)^2}{2^{3x}}

   Notăm \(t=2^x-2\), deci \(2^x=t+2\). Atunci \(2^{3x}=(t+2)^3=t^3+6t^2+12t+8\). Numărătorul este \(t^3+2\), deci \(t^3+2-2^{3x}=-6t^2-12t-6=-6(t+1)^2=-6(2^x-1)^2\). Împărțind la \(2^{3x}\), obținem \(1-\frac{6(2^x-1)^2}{2^{3x}}\).

4. 4

   Concluzia

   (x*x*x)-3x=\log_2\left(1-\frac{6(2^x-1)^2}{2^{3x}}\right)<0

   Pentru \(x\ge1\) avem \(2^x-1\ge1>0\), deci fracția \(\frac{6(2^x-1)^2}{2^{3x}}\) este strict pozitivă. Argumentul logaritmului este mai mic decât 1. El este și pozitiv, fiind egal cu fracția inițială, care este pozitivă. Pentru un număr din intervalul \((0,1)\), \(\log_2\) este negativ. Rezultă \((x*x*x)-3x<0\), adică \(x*x*x<3x\), pentru orice \(x\in M\).

Răspuns: Am obținut \((x*x*x)-3x=\log_2\left(1-\frac{6(2^x-1)^2}{2^{3x}}\right)<0\), deci \(x*x*x<3x\), pentru orice \(x\in M\).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=(x^3+3x+1)e^{-x}\). a) Arătați că \(f'(x)=(2-x)(x^2-x+1)e^{-x}\), \(x\in\mathbb{R}\).

Metoda: Derivata produsului de funcții

1. 1

   Aplicăm formula derivatei unui produs

   f'(x)=(x^3+3x+1)'e^{-x}+(x^3+3x+1)(e^{-x})'

   Funcția are forma \(u\cdot v\), cu \(u=x^3+3x+1\) și \(v=e^{-x}\). Regula de derivare este \((uv)'=u'v+uv'\). O folosim pentru că nu putem deriva direct un produs ca produs al derivatelor.

2. 2

   Calculăm derivatele celor doi factori

   (x^3+3x+1)'=3x^2+3,\quad (e^{-x})'=-e^{-x}

   Derivata polinomului este \(3x^2+3\). Pentru \(e^{-x}\) folosim derivata funcției compuse: \((e^{u})'=e^{u}\cdot u'\), iar cu \(u=-x\) avem \(u'=-1\), deci rezultă \(-e^{-x}\).

3. 3

   Înlocuim și scoatem factor comun

   f'(x)=(3x^2+3)e^{-x}-(x^3+3x+1)e^{-x}=(-x^3+3x^2-3x+2)e^{-x}

   Înlocuim în formula produsului. Ambii termeni conțin \(e^{-x}\), deci îl scoatem factor comun. În paranteză: \(3x^2+3-x^3-3x-1=-x^3+3x^2-3x+2\).

4. 4

   Descompunem polinomul și ajungem la forma cerută

   -x^3+3x^2-3x+2=(2-x)(x^2-x+1)

   Verificăm prin înmulțire: \((2-x)(x^2-x+1)=2x^2-2x+2-x^3+x^2-x=-x^3+3x^2-3x+2\). Rezultă \(f'(x)=(2-x)(x^2-x+1)e^{-x}\), pentru orice \(x\in\mathbb{R}\), adică exact ce trebuia arătat. Alternativ, observăm că \(x=2\) este rădăcină a polinomului și împărțim la \(x-2\).

Răspuns: \(f'(x)=(2-x)(x^2-x+1)e^{-x}\), pentru orice \(x\in\mathbb{R}\).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=(x^3+3x+1)e^{-x}\). b) Arătați că \(\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{f(x)-e^{-x}}{f(x)+e^{-x}}\right)^{f(x)e^{x}}=e^{-2}\).

Metoda: Limita de tip \(1^{\infty}\)

1. 1

   Simplificăm baza și exponentul

   f(x)-e^{-x}=(x^3+3x)e^{-x},\; f(x)+e^{-x}=(x^3+3x+2)e^{-x},\; f(x)e^{x}=x^3+3x+1

   Înlocuim \(f(x)=(x^3+3x+1)e^{-x}\). La numărător: \((x^3+3x+1-1)e^{-x}=(x^3+3x)e^{-x}\). La numitor: \((x^3+3x+1+1)e^{-x}\). Factorul \(e^{-x}\) se simplifică. Exponentul: \(f(x)e^x=x^3+3x+1\), deoarece \(e^{-x}e^{x}=1\).

2. 2

   Recunoaștem forma \(1^{\infty}\) și scriem baza ca \(1+\ldots\)

   \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x^3+3x}{x^3+3x+2}\right)^{x^3+3x+1}=\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{-2}{x^3+3x+2}\right)^{x^3+3x+1}

   Baza \(\frac{x^3+3x}{x^3+3x+2}\) tinde la 1, iar exponentul tinde la \(+\infty\), deci avem cazul \(1^{\infty}\). Scriem \(\frac{x^3+3x}{x^3+3x+2}=1+\frac{-2}{x^3+3x+2}\), pentru că \(x^3+3x=(x^3+3x+2)-2\).

3. 3

   Aplicăm limita \(\left(1+\frac1u\right)^u\to e\)

   \lim_{x\to+\infty}\left[\left(1+\frac{-2}{x^3+3x+2}\right)^{\frac{x^3+3x+2}{-2}}\right]^{\frac{-2(x^3+3x+1)}{x^3+3x+2}}=e^{\lim_{x\to+\infty}\frac{-2(x^3+3x+1)}{x^3+3x+2}}

   Punem exponentul sub forma \(\frac{x^3+3x+2}{-2}\cdot\frac{-2(x^3+3x+1)}{x^3+3x+2}\). Primul factor este inversul cantității mici din bază, deci acea paranteză tinde la \(e\). Rămâne \(e\) la limita celui de-al doilea exponent.

4. 4

   Calculăm limita exponentului

   \lim_{x\to+\infty}\frac{-2(x^3+3x+1)}{x^3+3x+2}=-2,\quad \text{deci limita este } e^{-2}

   Numărătorul și numitorul sunt polinoame de gradul 3 cu coeficienți dominanți \(-2\) și \(1\). Raportul lor tinde la raportul coeficienților dominanți, adică \(-2\). Rezultă că limita inițială este \(e^{-2}\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{f(x)-e^{-x}}{f(x)+e^{-x}}\right)^{f(x)e^{x}}=e^{-2}\)

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=(x^3+3x+1)e^{-x}\). c) Demonstrați că funcția \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(g(x)=\left|\dfrac{f(x)}{e^{-x}}-1\right|\) are un singur punct de extrem.

Metoda: Studiul monotoniei cu derivata

1. 1

   Simplificăm expresia lui g

   g(x)=\left|\frac{(x^3+3x+1)e^{-x}}{e^{-x}}-1\right|=|x^3+3x|

   Factorul \(e^{-x}\) este nenul, deci se simplifică. Rămâne \(x^3+3x+1-1=x^3+3x\). Astfel scăpăm de exponențială și lucrăm doar cu un polinom în modul.

2. 2

   Eliminăm modulul

   x^3+3x=x(x^2+3),\quad g(x)=\begin{cases}-x^3-3x, & x\in(-\infty,0)\\ x^3+3x, & x\in[0,+\infty)\end{cases}

   Deoarece \(x^2+3>0\), semnul lui \(x^3+3x\) este cel al lui \(x\). Pentru \(x<0\) expresia e negativă, deci modulul schimbă semnul. Pentru \(x\ge 0\) e pozitivă și rămâne la fel.

3. 3

   Derivata pe fiecare interval

   g'(x)=-3x^2-3<0,\ x<0;\qquad g'(x)=3x^2+3>0,\ x>0

   Pe \((-\infty,0)\) derivăm \(-x^3-3x\) și obținem \(-3x^2-3=-3(x^2+1)\), mereu negativă. Pe \((0,+\infty)\) derivăm \(x^3+3x\) și obținem \(3x^2+3\), mereu pozitivă. Deci nu există puncte de extrem în interiorul celor două intervale, fiindcă derivata nu se anulează.

4. 4

   Concluzia

   g\ \text{descrescătoare pe }(-\infty,0),\ g\ \text{crescătoare pe }(0,+\infty)

   Funcția g este continuă (modul de polinom), deci în \(x=0\) trece de la descrescătoare la crescătoare. Acolo avem un minim, \(g(0)=0\). În rest nu avem alte puncte de extrem, deci g are un singur punct de extrem, \(x=0\).

Răspuns: g(x)=|x^3+3x| este strict descrescătoare pe (-∞,0) și strict crescătoare pe (0,+∞), deci are un singur punct de extrem, x=0 (minim).

Se consideră funcția \(f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x\ln(x-1)\). a) Arătați că \(\int_{4}^{6}\frac{f(x)}{\ln(x-1)}\,dx=10\).

Metoda: Integrare directă după simplificare

1. 1

   Simplificăm fracția de sub integrală

   \frac{f(x)}{\ln(x-1)}=\frac{x\ln(x-1)}{\ln(x-1)}=x

   Înlocuim \(f(x)=x\ln(x-1)\). Pe intervalul \([4,6]\) avem \(x-1\ge 3>1\), deci \(\ln(x-1)>0\), în particular diferit de zero, și putem simplifica. Rămâne doar \(x\), deci \(\int_4^6 \frac{f(x)}{\ln(x-1)}dx=\int_4^6 x\,dx\).

2. 2

   Calculăm integrala lui x

   \int_{4}^{6} x\,dx=\left.\frac{x^2}{2}\right|_{4}^{6}

   O primitivă a lui \(x\) este \(\frac{x^2}{2}\). Aplicăm formula Leibniz-Newton: valoarea primitivei în capătul de sus minus valoarea ei în capătul de jos.

3. 3

   Înlocuim limitele și obținem rezultatul

   \frac{6^2}{2}-\frac{4^2}{2}=18-8=10

   Calculăm \(\frac{36}{2}=18\) și \(\frac{16}{2}=8\). Diferența este \(18-8=10\), exact valoarea cerută, deci egalitatea este demonstrată.

Răspuns: \(\int_{4}^{6}\frac{f(x)}{\ln(x-1)}dx=\int_4^6 x\,dx=\frac{x^2}{2}\Big|_4^6=18-8=10\).

Se consideră funcția \(f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x\ln(x-1)\). b) Demonstrați că \(F(\sqrt{7})<F(3)\), pentru orice primitivă \(F\) a funcției \(f\).

Metoda: Monotonia unei primitive

1. 1

   Legătura dintre F și f

   F'(x)=f(x)=x\ln(x-1),\ x\in(1,+\infty)

   Prin definiție, o primitivă F a lui f este o funcție derivabilă cu \(F'(x)=f(x)\). Deci semnul derivatei lui F este semnul lui f. Aceasta ne permite să aflăm monotonia lui F fără să o calculăm.

2. 2

   Semnul lui F' pe (2, +∞)

   x>2\Rightarrow x-1>1\Rightarrow \ln(x-1)>0;\ x>0\Rightarrow F'(x)>0

   Pentru \(x>2\) avem \(x-1>1\), deci \(\ln(x-1)>\ln 1=0\), deoarece logaritmul natural este crescător. Și \(x>0\). Produsul a două numere pozitive este pozitiv, deci \(F'(x)>0\) pe \((2,+\infty)\).

3. 3

   F este strict crescătoare pe (2, +∞)

   F'(x)>0\ \forall x\in(2,+\infty)\Rightarrow F\text{ strict crescătoare pe }(2,+\infty)

   O funcție cu derivata strict pozitivă pe un interval este strict crescătoare pe acel interval. Deci pe \((2,+\infty)\), dacă \(a<b\), atunci \(F(a)<F(b)\).

4. 4

   Compararea lui √7 cu 3 și concluzia

   2<\sqrt{7}<3\Rightarrow F(\sqrt{7})<F(3)

   Avem \(4<7<9\), deci \(2<\sqrt{7}<3\). Ambele numere \(\sqrt{7}\) și 3 se află în intervalul \((2,+\infty)\), unde F este strict crescătoare. Cum \(\sqrt{7}<3\), rezultă \(F(\sqrt{7})<F(3)\). Este valabil pentru orice primitivă F.

Răspuns: Deoarece \(F'(x)=x\ln(x-1)>0\) pe \((2,+\infty)\), F este strict crescătoare pe acest interval. Cum \(2<\sqrt{7}<3\), obținem \(F(\sqrt{7})<F(3)\), pentru orice primitivă F a lui f.

Se consideră funcția \(f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x\ln(x-1)\). c) Determinați numărul real \(m\), știind că \(\int_{3}^{5} f(x)\,dx = m(4\ln 2-1)\).

Metoda: Integrare prin părți

1. 1

   Alegem funcțiile pentru integrarea prin părți

   \int_3^5 x\ln(x-1)\,dx=\int_3^5\left(\frac{x^2-1}{2}\right)'\ln(x-1)\,dx

   Formula integrării prin părți este \(\int u'v=uv-\int uv'\). Derivata lui \(\frac{x^2-1}{2}\) este \(x\), deci putem scrie \(x=\left(\frac{x^2-1}{2}\right)'\). Constanta \(-1\) o alegem intenționat: \(x^2-1=(x-1)(x+1)\), iar factorul \(x-1\) se va simplifica cu numitorul derivatei lui \(\ln(x-1)\).

2. 2

   Aplicăm formula integrării prin părți

   \frac{x^2-1}{2}\ln(x-1)\Big|_3^5-\frac12\int_3^5\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}\,dx

   Termenul integrat este \(\frac{x^2-1}{2}\ln(x-1)\), evaluat între 3 și 5. Al doilea termen este \(\int \frac{x^2-1}{2}\cdot\frac{1}{x-1}dx=\frac12\int (x+1)\,dx\), după simplificarea cu \(x-1\).

3. 3

   Calculăm termenul din afara integralei

   \frac{x^2-1}{2}\ln(x-1)\Big|_3^5=12\ln 4-4\ln 2=24\ln 2-4\ln 2=20\ln 2

   La \(x=5\): \(\frac{25-1}{2}=12\) și \(\ln 4\). La \(x=3\): \(\frac{9-1}{2}=4\) și \(\ln 2\). Cum \(\ln 4=2\ln 2\), obținem \(12\cdot2\ln 2-4\ln 2=20\ln 2\).

4. 4

   Calculăm integrala rămasă

   \frac12\int_3^5(x+1)\,dx=\frac12\left(\frac{x^2}{2}+x\right)\Big|_3^5=\frac12\left(\frac{35}{2}-\frac{15}{2}\right)\cdot\!\!\;\;\text{adică }5

   Primitiva lui \(x+1\) este \(\frac{x^2}{2}+x\). La 5: \(\frac{25}{2}+5=\frac{35}{2}\). La 3: \(\frac92+3=\frac{15}{2}\). Diferența este \(\frac{20}{2}=10\), iar jumătate din ea este 5.

5. 5

   Obținem valoarea lui m

   \int_3^5 f(x)\,dx=20\ln 2-5=5(4\ln 2-1)\Rightarrow m=5

   Integrala este \(20\ln 2\) minus 5. Dăm factor comun 5: \(5(4\ln 2-1)\). Comparând cu \(m(4\ln 2-1)\) rezultă \(m=5\).

Răspuns: m = 5