Matematică 2022

Ministerul Educației Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație Examenul național de bacalaureat 2022 Proba E. c) Matematică M_mate-info Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică  Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.  Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Arătați că numerele 6  3 3 , 3 și 2  3 sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice. 5p 2. Se consideră funcția f : ℝ  ℝ , f  x   x 2  mx  1 , unde m este număr real. Determinați numerele reale m pentru care axa Ox este tangentă graficului funcției f . 5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5x  2  5x  24 . 5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre distincte, acesta să aibă cifra zecilor multiplu de 3 . 5p 5. Se consideră triunghiul ABC , punctul D mijlocul laturii AC și punctul M astfel încât     MA  2 MB  3MC  0 . Arătați că dreptele MD și AB sunt paralele. 5p 6. Calculați lungimea laturii AB a triunghiului ABC , în care AC  3 și măsurile unghiurilor A și B sunt de 30 , respectiv 60 . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 0 0 1 0 1     1. Se consideră matricele I 3   0 1 0  , B   0 i 0  și A  z   aI 3  bB , unde z  a  ib , cu 0 0 1  2 0 1     a și b numere reale și i 2  1 . 5p a) Arătați că det B  i . 5p b) Demonstrați că A  z1   A  z2   A  z1 z2  , pentru orice numere complexe z1 și z2 . 5p c) Determinați numărul natural n pentru care A 1 i   A  2  i   A  3  i   A 1  i   A  2  i   A  3  i   nI 3 .  2. Pe M  1,   se definește legea de compoziție asociativă x  y  log 2 2 x  y  2 x 1  2 y 1  6 .  x  y    5p a) Arătați că x  y  log 2 2  2 2  2  2 , pentru orice x, y  M . 5p b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „  ”. 5p c) Arătați că x  x  x  3 x , pentru orice x  M . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcția f : ℝ  ℝ , f  x   x3  3 x  1 e x .     5p a) Arătați că f   x    2  x  x 2  x  1 e x , x  ℝ . f  x e x 5p b) Arătați că lim     f x  e x    e 2 . x   f  x   e  x    f  x 5p c) Demonstrați că funcția g : ℝ  ℝ , g  x    1 are un singur punct de extrem. e x Probă scrisă la matematică M_mate-info Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 1 din 2  Ministerul Educației Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație 2. Se consideră funcția f : 1,    ℝ , f  x   x ln  x  1 . 6 f  x 5p a) Arătați că  dx  10 . 4 ln  x  1 5p b) Demonstrați că F  7   F 3 , pentru orice primitivă F a funcției f . 5 5p c) Determinați numărul real m , știind că  f  x  dx  m  4ln 2  1 . 3 Probă scrisă la matematică M_mate-info Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 2 din 2