Rezolvare pas cu pas: Matematică – Mate-Info (M1) – Bacalaureat 2022, sesiunea specială (varianta 03)

Arătați că \(5(1+2i)-2i(5-i)=3\), unde \(i^2=-1\).

Metoda: Calcul cu numere complexe

1. 1

   Desfacem parantezele

   5(1+2i)-2i(5-i)=5+10i-10i+2i^2

   Înmulțim fiecare număr din fața parantezei cu fiecare termen din interior, ca la numerele reale: \(5\cdot 1=5\), \(5\cdot 2i=10i\). Apoi \(-2i\cdot 5=-10i\), iar \(-2i\cdot(-i)=+2i^2\), pentru că minus ori minus dă plus.

2. 2

   Reducem termenii asemenea

   5+10i-10i+2i^2=5+2i^2

   Termenii \(10i\) și \(-10i\) se anulează între ei, deci partea cu \(i\) dispare. Rămân \(5\) și \(2i^2\).

3. 3

   Folosim \(i^2=-1\)

   5+2i^2=5+2\cdot(-1)=5-2=3

   Din enunț știm că \(i^2=-1\). Înlocuim și obținem \(5+2\cdot(-1)=5-2=3\), adică exact valoarea cerută. Așadar egalitatea este demonstrată.

Răspuns: Am obținut \(5(1+2i)-2i(5-i)=5+2\cdot(-1)=3\), deci egalitatea este adevărată.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^2-2x-3\). Determinați numărul real \(a\) pentru care \(f(a)=1+a^2\).

Metoda: Rezolvarea unei ecuații de gradul I

1. 1

   Calculăm f(a)

   f(a)=a^2-2a-3

   Funcția \(f\) spune ce facem cu un număr oarecare: îl ridicăm la pătrat, scădem dublul lui și apoi scădem 3. Dacă numărul este \(a\), înlocuim peste tot \(x\) cu \(a\) și obținem \(f(a)=a^2-2a-3\).

2. 2

   Punem condiția din enunț

   a^2-2a-3=1+a^2

   Enunțul cere ca \(f(a)\) să fie egal cu \(1+a^2\). Egalăm cele două expresii și obținem o ecuație în necunoscuta \(a\).

3. 3

   Reducem termenii și aflăm a

   a^2-2a-3=1+a^2 \Rightarrow -2a=4 \Rightarrow a=-2

   Scădem \(a^2\) din ambii membri: termenii \(a^2\) dispar. Rămâne \(-2a-3=1\). Adunăm 3 în ambii membri și obținem \(-2a=4\). Împărțim la \(-2\) și rezultă \(a=-2\).

4. 4

   Verificăm rezultatul

   f(-2)=(-2)^2-2\cdot(-2)-3=5,\quad 1+(-2)^2=5

   Pentru \(a=-2\) calculăm separat cei doi membri ai egalității cerute și vedem dacă sunt egali. Ambii sunt 5, deci soluția este corectă.

Răspuns: a = -2

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(\log_3\left(2x^2+1\right)=2\).

Metoda: Definiția logaritmului

1. 1

   Condiția de existență și trecerea de la logaritm la putere

   2x^2+1=3^2

   Logaritmul \(\log_3 A\) există doar dacă \(A>0\). Aici \(A=2x^2+1\ge 1>0\) pentru orice \(x\) real, deci nu apar restricții. Din definiția logaritmului, \(\log_a b=c\) înseamnă \(a^c=b\). Deci \(\log_3(2x^2+1)=2\) devine \(2x^2+1=3^2=9\).

2. 2

   Rezolvarea ecuației de gradul al doilea

   2x^2+1=9 \Rightarrow 2x^2=8 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x^2-4=0

   Scădem 1 din ambii membri și obținem \(2x^2=8\), apoi împărțim la 2 și avem \(x^2=4\), adică \(x^2-4=0\). Aceasta se descompune ca \((x-2)(x+2)=0\), deci \(x=-2\) sau \(x=2\).

3. 3

   Verificarea soluțiilor

   2\cdot(\pm 2)^2+1=9>0,\quad \log_3 9=2

   Condiția de existență \(2x^2+1>0\) este adevărată pentru orice \(x\) real. Pentru \(x=\pm2\) obținem \(2\cdot 4+1=9\), iar \(\log_3 9=2\) pentru că \(3^2=9\). Deci ambele soluții convin.

Răspuns: Soluțiile ecuației sunt \(x=-2\) și \(x=2\), ambele convin.

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifrele impare și distincte.

Metoda: Probabilitate: cazuri favorabile/posibile

1. 1

   Numărăm cazurile posibile

   99-10+1=90

   Numerele naturale de două cifre sunt cele de la 10 la 99. Numărul lor este ultimul minus primul plus 1, deoarece ambele capete se numără. Avem deci 90 de cazuri posibile.

2. 2

   Numărăm cazurile favorabile

   5\cdot 4=20

   Cifrele impare sunt 1, 3, 5, 7, 9, deci sunt 5. Cifra zecilor poate fi oricare dintre ele: 5 variante. Cifra unităților trebuie să fie impară și diferită de cea a zecilor, deci rămân 4 variante. Prin regula produsului obținem 5·4 = 20 de numere favorabile.

3. 3

   Calculăm probabilitatea

   p=\frac{20}{90}=\frac{2}{9}

   Probabilitatea este raportul dintre cazurile favorabile și cele posibile: 20/90. Simplificăm fracția prin 10 și obținem 2/9.

Răspuns: \(p=\dfrac{2}{9}\)

În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(2,0)\), \(B(1,6)\) și \(C(4,2)\). Determinați coordonatele punctului \(D\), știind că \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\).

Metoda: Paralelogram și mijlocul diagonalelor

1. 1

   Interpretăm egalitatea de vectori

   \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Rightarrow ABCD\text{ paralelogram}

   Doi vectori egali au aceeași direcție, același sens și aceeași lungime. Dacă \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\), atunci laturile AB și DC sunt paralele și egale, deci patrulaterul ABCD este paralelogram. Într-un paralelogram diagonalele AC și BD au același mijloc.

2. 2

   Calculăm mijlocul segmentului AC

   M\left(\frac{x_A+x_C}{2},\frac{y_A+y_C}{2}\right)=M\left(\frac{2+4}{2},\frac{0+2}{2}\right)=M(3,1)

   Mijlocul unui segment are coordonatele egale cu media aritmetică a coordonatelor capetelor. Cu A(2,0) și C(4,2) obținem abscisa (2+4)/2=3 și ordonata (0+2)/2=1.

3. 3

   Folosim că M este și mijlocul lui BD

   \frac{x_B+x_D}{2}=3,\ \frac{y_B+y_D}{2}=1\Rightarrow x_D=6-1=5,\ y_D=2-6=-4

   Mijlocul lui BD este tot M(3,1). Cu B(1,6) avem (1+x_D)/2=3, deci x_D=6-1=5, și (6+y_D)/2=1, deci y_D=2-6=-4. Așadar D(5,-4).

4. 4

   Verificăm cu vectorii

   \overrightarrow{AB}=(-1,6),\ \overrightarrow{DC}=(4-5,\,2-(-4))=(-1,6)

   Verificăm rezultatul: AB are coordonatele (1-2, 6-0)=(-1,6), iar DC are coordonatele (4-5, 2+4)=(-1,6). Sunt egali, deci D(5,-4) este corect.

Răspuns: D(5, −4)

Se consideră triunghiul \(ABC\), dreptunghic în \(A\), astfel încât \(BC=10\) și \(\sin B = 2\sin C\). Arătați că lungimea laturii \(AB\) este egală cu \(2\sqrt{5}\).

Metoda: Sinus în triunghi dreptunghic

1. 1

   Scriem sinusurile ca raporturi de laturi

   \sin B=\frac{AC}{BC},\quad \sin C=\frac{AB}{BC}

   În triunghiul dreptunghic \(ABC\) cu unghiul drept în \(A\), ipotenuza este \(BC\). Sinusul unui unghi ascuțit este raportul dintre cateta opusă și ipotenuză. Opusa unghiului \(B\) este \(AC\), iar opusa unghiului \(C\) este \(AB\).

2. 2

   Folosim condiția \(\sin B = 2\sin C\)

   \frac{AC}{BC}=2\cdot\frac{AB}{BC}\Rightarrow AC=2AB

   Înlocuim sinusurile cu raporturile găsite. Ambele au același numitor \(BC\), deci îl simplificăm și obținem o relație între catete: \(AC\) este dublul lui \(AB\).

3. 3

   Aplicăm teorema lui Pitagora

   AB^2+AC^2=BC^2\Rightarrow AB^2+4AB^2=100

   În triunghiul dreptunghic în \(A\), suma pătratelor catetelor este pătratul ipotenuzei \(BC=10\). Înlocuim \(AC=2AB\), deci \(AC^2=4AB^2\).

4. 4

   Aflăm lungimea \(AB\)

   AB^2=20\Rightarrow AB=\sqrt{20}=2\sqrt{5}

   Lungimea este pozitivă, deci luăm rădăcina pătrată pozitivă. Scriem \(20=4\cdot 5\), deci \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\). Am arătat ce se cerea.

Răspuns: \(AB=2\sqrt{5}\)

Se consideră matricele \(I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\), \(O_3=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\) și \(A(x)=\begin{pmatrix}x+1&-x&0\\x&1-x&0\\0&0&1\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. a) Arătați că \(\det(A(1))=1\).

Metoda: Calculul determinantului de ordin 3

1. 1

   Scriem matricea A(1)

   A(1)=\begin{pmatrix}2&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}

   Înlocuim \(x=1\) în fiecare element al matricei \(A(x)\). Avem: \(x+1=2\), \(-x=-1\), \(x=1\), \(1-x=0\). Ultima linie și ultima coloană rămân neschimbate (0, 0, 1), pentru că nu depind de \(x\). Facem asta pentru că determinantul se calculează pe o matrice cu numere concrete.

2. 2

   Calculăm determinantul

   \det(A(1))=\begin{vmatrix}2&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{vmatrix}=0+0+0-0-0-(-1)=1

   Folosim regula lui Sarrus: adunăm produsele pe diagonala principală și pe paralelele ei, apoi scădem produsele pe diagonala secundară și pe paralelele ei. Produsele de pe diagonala principală și paralele: \(2\cdot0\cdot1=0\), \(1\cdot0\cdot0=0\), \((-1)\cdot0\cdot0=0\). Cele de pe diagonala secundară și paralele: \(0\cdot0\cdot0=0\), \(0\cdot0\cdot2=0\), iar \(1\cdot(-1)\cdot1=-1\). Obținem \(0+0+0-0-0-(-1)=1\), deci \(\det(A(1))=1\), ceea ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\det(A(1))=1\)

Se consideră matricele \(I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\), \(O_3=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\) și \(A(x)=\begin{pmatrix}x+1&-x&0\\x&1-x&0\\0&0&1\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. II.1.b) Arătați că \((A(x)-I_3)(A(x)-I_3)=O_3\), pentru orice număr real \(x\).

Metoda: Calcul matriceal direct

1. 1

   Calculăm matricea A(x) − I₃

   A(x)-I_3=\begin{pmatrix}x&-x&0\\x&-x&0\\0&0&0\end{pmatrix}

   Scădem matricele element cu element. Pe diagonală scădem 1 din fiecare element: \(x+1-1=x\), \(1-x-1=-x\), \(1-1=0\). Celelalte elemente rămân neschimbate, pentru că în \(I_3\) sunt zerouri. Facem asta pentru ca produsul de la pasul următor să se calculeze cât mai simplu.

2. 2

   Calculăm produsul (A(x) − I₃)(A(x) − I₃)

   \begin{pmatrix}x&-x&0\\x&-x&0\\0&0&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x&-x&0\\x&-x&0\\0&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x^2-x^2&-x^2+x^2&0\\x^2-x^2&-x^2+x^2&0\\0&0&0\end{pmatrix}

   Înmulțim linie cu coloană. Pe linia 1: \(x\cdot x+(-x)\cdot x+0\cdot0=x^2-x^2=0\). Elementul de pe linia 1, coloana 2: \(x\cdot(-x)+(-x)(-x)+0=-x^2+x^2=0\). Linia 2 este identică cu linia 1, deci dă aceleași rezultate. Linia 3 și coloana 3 conțin doar zerouri, deci rezultă 0.

3. 3

   Concluzia

   (A(x)-I_3)^2=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}=O_3

   Toate cele nouă elemente ale produsului sunt 0, oricare ar fi \(x\), deci produsul este matricea nulă \(O_3\). Asta era de demonstrat.

Răspuns: \((A(x)-I_3)(A(x)-I_3)=O_3\), pentru orice număr real \(x\).

Se consideră matricele \(I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\), \(O_3\) (matricea nulă de ordin 3) și \(A(x)=\begin{pmatrix}x+1&-x&0\\x&1-x&0\\0&0&1\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. c) Determinați numerele reale \(x\) pentru care \(A(x)\cdot A(x)=xA(x)-(x-1)I_3\).

Metoda: Utilizarea relației din punctul b)

1. 1

   Aflăm \(A(x)\cdot A(x)\) din relația de la b)

   (A(x)-I_3)^2=O_3 \Rightarrow A(x)\cdot A(x)=2A(x)-I_3

   De la punctul b) știm că \((A(x)-I_3)(A(x)-I_3)=O_3\). Desfacem parantezele: \(A(x)\cdot A(x)-A(x)-A(x)+I_3=O_3\), deoarece \(I_3\) înmulțită cu orice matrice o lasă neschimbată și \(I_3\cdot I_3=I_3\). Rezultă \(A(x)\cdot A(x)=2A(x)-I_3\), pentru orice \(x\) real.

2. 2

   Înlocuim în ecuația dată

   2A(x)-I_3=xA(x)-(x-1)I_3

   Ecuația din enunț devine, după înlocuirea lui \(A(x)\cdot A(x)\) cu \(2A(x)-I_3\): \(2A(x)-I_3=xA(x)-(x-1)I_3\). Acum avem în ambele părți doar \(A(x)\) și \(I_3\), înmulțite cu numere.

3. 3

   Factorizăm ecuația

   2A(x)-I_3-xA(x)+(x-1)I_3=O_3 \Leftrightarrow (2-x)A(x)+(x-2)I_3=O_3 \Leftrightarrow (x-2)(A(x)-I_3)=O_3

   Mutăm tot în stânga. Termenii cu \(A(x)\) dau \((2-x)A(x)\), iar cei cu \(I_3\) dau \(-I_3+(x-1)I_3=(x-2)I_3\). Dăm factor comun \(x-2\) și obținem \((x-2)(A(x)-I_3)=O_3\).

4. 4

   Rezolvăm ecuația

   x-2=0 \text{ sau } A(x)=I_3 \Rightarrow x=2 \text{ sau } x=0

   Un produs dintre un număr și o matrice este matricea nulă dacă numărul este 0 sau matricea este nulă. Cazul 1: \(x-2=0\), deci \(x=2\). Cazul 2: \(A(x)-I_3=O_3\). Din b), \(A(x)-I_3=\begin{pmatrix}x&-x&0\\x&-x&0\\0&0&0\end{pmatrix}\), care este nulă doar pentru \(x=0\). Deci \(x\in\{0,2\}\).

Răspuns: \(x=0\) sau \(x=2\)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x * y = (x+y)^2 - 2(x-y) - 3\). a) Arătați că \(0 * 2 = 5\).

Metoda: Calcul direct în legea de compoziție

1. 1

   Înlocuim x = 0 și y = 2 în formulă

   0 * 2 = (0+2)^2 - 2(0-2) - 3

   Legea de compoziție ne spune cum se calculează \(x * y\) pentru orice numere reale. Pentru \(0 * 2\) punem \(x=0\) și \(y=2\) peste tot unde apar x și y în formulă. Atenție: ordinea contează, x este primul număr (0), iar y al doilea (2), deci \(x-y = 0-2\).

2. 2

   Calculăm pătratul și produsul

   (0+2)^2 = 4, \quad -2(0-2) = +4

   Mai întâi paranteza: \(0+2=2\), iar \(2^2=4\). Apoi \(0-2=-2\), și \(-2\cdot(-2)=+4\), pentru că minus ori minus dă plus. Acesta este locul unde elevii greșesc cel mai des semnul.

3. 3

   Adunăm și obținem rezultatul

   0 * 2 = 4 + 4 - 3 = 5

   Acum adunăm termenii obținuți: \(4+4-3=8-3=5\). Rezultatul coincide cu cel cerut, deci am arătat că \(0 * 2 = 5\), exact ca în barem.

Răspuns: \(0 * 2 = (0+2)^2 - 2(0-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5\), deci egalitatea este demonstrată.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x \ast y = (x+y)^2 - 2(x-y) - 3\). b) Determinați numerele reale \(x\) pentru care \(x \ast (x+1) = 8\).

Metoda: Calcul direct cu legea de compoziție

1. 1

   Înlocuim y cu x+1 în definiția legii

   x \ast (x+1) = (x + x + 1)^2 - 2(x - x - 1) - 3

   Legea spune că, pentru orice două numere \(x\) și \(y\), \(x \ast y = (x+y)^2 - 2(x-y) - 3\). Aici al doilea număr este \(x+1\), deci peste tot unde apare \(y\) scriem \(x+1\). Facem asta ca să rămânem cu o expresie care depinde doar de \(x\).

2. 2

   Simplificăm expresia

   x \ast (x+1) = (2x+1)^2 - 2\cdot(-1) - 3 = 4x^2 + 4x + 1 + 2 - 3 = 4x^2 + 4x

   Avem \(x+y = 2x+1\) și \(x-y = -1\). Dezvoltăm \((2x+1)^2 = 4x^2+4x+1\) (formula \((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\)). Apoi \(-2\cdot(-1) = +2\), iar \(1 + 2 - 3 = 0\). Rămâne \(4x^2 + 4x\), valabil pentru orice număr real \(x\).

3. 3

   Punem condiția din enunț și rezolvăm ecuația

   4x^2 + 4x = 8 \iff x^2 + x - 2 = 0

   Enunțul cere \(x \ast (x+1) = 8\). Deci egalăm \(4x^2+4x\) cu 8. Împărțim totul la 4 și obținem ecuația \(x^2 + x - 2 = 0\). Aici \(\Delta = 1 + 8 = 9\), deci \(x = \frac{-1 \pm 3}{2}\), adică \(x = -2\) sau \(x = 1\). Același rezultat se obține prin descompunere: \((x+2)(x-1)=0\).

4. 4

   Verificăm soluțiile

   x=1:\ 4\cdot1+4\cdot1 = 8 \qquad x=-2:\ 4\cdot4 - 8 = 8

   Verificăm în expresia \(4x^2+4x\). Pentru \(x=1\): \(4+4=8\). Pentru \(x=-2\): \(4\cdot 4 + 4\cdot(-2) = 16 - 8 = 8\). Ambele valori convin, deci ambele sunt soluții.

Răspuns: \(x \in \{-2,\ 1\}\)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x*y=(x+y)^2-2(x-y)-3\). c) Determinați perechile \((m,n)\) de numere naturale pentru care \(m*n=2mn\).

Metoda: Forma canonică: sumă de pătrate

1. 1

   Scriem ecuația

   (m+n)^2-2(m-n)-3=2mn

   Legea este \(x*y=(x+y)^2-2(x-y)-3\). Pentru \(x=m\) și \(y=n\) obținem \(m*n=(m+n)^2-2(m-n)-3\). Egalăm cu \(2mn\), așa cum cere enunțul.

2. 2

   Desfacem parantezele și reducem

   m^2+2mn+n^2-2m+2n-3=2mn \Rightarrow m^2+n^2-2m+2n-3=0

   Dezvoltăm \((m+n)^2=m^2+2mn+n^2\). Termenul \(2mn\) apare în ambii membri și se reduce. Rămâne o ecuație doar cu pătrate și termeni de gradul I.

3. 3

   Formăm pătrate perfecte

   (m-1)^2+(n+1)^2=5

   Scriem \(m^2-2m=(m-1)^2-1\) și \(n^2+2n=(n+1)^2-1\). Ecuația devine \((m-1)^2-1+(n+1)^2-1-3=0\), adică \((m-1)^2+(n+1)^2=5\).

4. 4

   Analizăm cazurile

   5=1+4=4+1 \Rightarrow (0,1),\ (2,1),\ (3,0)

   Pătratele perfecte mai mici decât 5 sunt 0, 1 și 4. Cum \(n\ge 0\), avem \((n+1)^2\ge 1\). Sumele posibile sunt \(1+4\) și \(4+1\); \(0+5\) nu merge, pentru că 5 nu e pătrat perfect. Cazul 1: \((n+1)^2=1\) dă \(n=0\), iar \((m-1)^2=4\) dă \(m=3\) (valoarea \(m=-1\) nu e număr natural). Cazul 2: \((n+1)^2=4\) dă \(n=1\), iar \((m-1)^2=1\) dă \(m=2\) sau \(m=0\). Perechile sunt \((3,0)\), \((2,1)\), \((0,1)\).

5. 5

   Verificare

   3*0=0,\quad 2*1=4,\quad 0*1=0

   Verificăm perechile în ecuația inițială. Pentru \((3,0)\): \(9-6-3=0=2\cdot3\cdot0\). Pentru \((2,1)\): \(9-2-3=4=2\cdot2\cdot1\). Pentru \((0,1)\): \(1+2-3=0=2\cdot0\cdot1\). Toate verifică.

Răspuns: Perechile sunt \((0,1)\), \((2,1)\) și \((3,0)\).

Se consideră funcția \( f:(0,+\infty)\to\mathbb{R},\ f(x)=(x^2-5x+10)\sqrt{x} \). a) Arătați că \( f'(x)=\dfrac{5(x^2-3x+2)}{2\sqrt{x}},\ x\in(0,+\infty) \).

Metoda: Derivata unui produs de funcții

1. 1

   Aplicăm formula derivatei unui produs

   f'(x)=(x^2-5x+10)'\cdot\sqrt{x}+(x^2-5x+10)\cdot(\sqrt{x})'

   Funcția \( f \) este produsul dintre \( u(x)=x^2-5x+10 \) și \( v(x)=\sqrt{x} \). Regula este \( (uv)'=u'v+uv' \). O folosim pentru că nu există o regulă directă pentru derivata unui produs ca produs al derivatelor.

2. 2

   Înlocuim derivatele

   f'(x)=(2x-5)\sqrt{x}+(x^2-5x+10)\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x}}

   Punem \( (x^2-5x+10)'=2x-5 \) și \( (\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} \) în formula de la pasul anterior. Astfel obținem o expresie de calculat, cu doi termeni.

3. 3

   Aducem la numitor comun și simplificăm

   f'(x)=\dfrac{2(2x-5)x+x^2-5x+10}{2\sqrt{x}}=\dfrac{5x^2-15x+10}{2\sqrt{x}}

   Amplificăm primul termen cu \( 2\sqrt{x} \), deci \( (2x-5)\sqrt{x}=\dfrac{2(2x-5)\sqrt{x}\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}=\dfrac{2(2x-5)x}{2\sqrt{x}} \), pentru că \( \sqrt{x}\cdot\sqrt{x}=x \). La numărător: \( 4x^2-10x+x^2-5x+10=5x^2-15x+10 \).

4. 4

   Dăm factor comun și încheiem

   f'(x)=\dfrac{5x^2-15x+10}{2\sqrt{x}}=\dfrac{5(x^2-3x+2)}{2\sqrt{x}},\ x\in(0,+\infty)

   Numerele \( 5,\ -15,\ 10 \) se împart toate la 5, deci scoatem factor comun 5 la numărător. Astfel ajungem exact la forma cerută în enunț, deci egalitatea este demonstrată.

Răspuns: \( f'(x)=\dfrac{5(x^2-3x+2)}{2\sqrt{x}} \), pentru orice \( x\in(0,+\infty) \), ceea ce trebuia arătat.

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=(x^2-5x+10)\sqrt{x}\). b) Determinați intervalele de monotonie a funcției \(f\).

Metoda: Studiul semnului primei derivate

1. 1

   Punem derivata egală cu zero

   f'(x)=0 \Leftrightarrow x^2-3x+2=0 \Leftrightarrow x\in\{1,2\}

   Din punctul a) avem \(f'(x)=\dfrac{5(x^2-3x+2)}{2\sqrt{x}}\). Pe \((0,+\infty)\) numitorul \(2\sqrt{x}\) este strict pozitiv, deci fracția se anulează doar când numărătorul este zero: \(x^2-3x+2=0\). Discriminantul este \(\Delta=9-8=1\), deci \(x=\dfrac{3\pm1}{2}\), adică \(x=1\) sau \(x=2\). Aceste puncte împart intervalul \((0,+\infty)\) în trei zone în care semnul derivatei nu se schimbă.

2. 2

   Studiem semnul derivatei

   x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\ge 0 \text{ pe } (0,1]\cup[2,+\infty),\quad \le 0 \text{ pe } [1,2]

   Numitorul \(2\sqrt{x}\) este pozitiv, deci semnul lui \(f'\) este semnul lui \(x^2-3x+2\). Acesta este o parabolă cu ramurile în sus, deci este pozitiv în afara rădăcinilor și negativ între ele. Verificăm cu valori de test: pentru \(x=\tfrac12\) avem \(\tfrac14-\tfrac32+2=\tfrac34>0\); pentru \(x=\tfrac32\) avem \(\tfrac94-\tfrac92+2=-\tfrac14<0\); pentru \(x=3\) avem \(9-9+2=2>0\).

3. 3

   Concluzia asupra monotoniei

   f \text{ crescătoare pe } (0,1],\ \text{descrescătoare pe } [1,2],\ \text{crescătoare pe } [2,+\infty)

   Unde \(f'\ge 0\) funcția este crescătoare, iar unde \(f'\le 0\) este descrescătoare. Deci \(f\) crește pe \((0,1]\), scade pe \([1,2]\) și crește din nou pe \([2,+\infty)\). Punctul \(x=1\) este maxim local, iar \(x=2\) este minim local.

Răspuns: f este crescătoare pe (0,1], descrescătoare pe [1,2] și crescătoare pe [2,+∞).

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=(x^2-5x+10)\sqrt{x}\). c) Arătați că \(\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{f(x)}{x^2\sqrt{x}}\right)^{\frac{x}{5}}=\frac{1}{e}\).

Metoda: Cazul de nedeterminare 1^∞

1. 1

   Simplificăm raportul

   \frac{f(x)}{x^2\sqrt{x}}=\frac{(x^2-5x+10)\sqrt{x}}{x^2\sqrt{x}}=\frac{x^2-5x+10}{x^2}

   Înlocuim \(f(x)\) și simplificăm cu \(\sqrt{x}\), care este nenul pentru \(x>0\). Rămâne o fracție rațională, mai ușor de studiat. Limita devine \(\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x^2-5x+10}{x^2}\right)^{\frac{x}{5}}\).

2. 2

   Identificăm cazul 1^∞

   \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2-5x+10}{x^2}=1,\quad \frac{x}{5}\to+\infty

   Raportul are același grad sus și jos, iar coeficienții dominanți sunt 1, deci limita este 1. Exponentul tinde la \(+\infty\). Avem \(1^\infty\), deci folosim limita remarcabilă cu numărul \(e\). Scriem fracția ca \(1+\frac{-5x+10}{x^2}\).

3. 3

   Aplicăm limita remarcabilă

   \left(1+\frac{-5x+10}{x^2}\right)^{\frac{x}{5}}=\left[\left(1+\frac{-5x+10}{x^2}\right)^{\frac{x^2}{-5x+10}}\right]^{\frac{-5x+10}{x^2}\cdot\frac{x}{5}}

   Facem apărea exponentul \(\frac{1}{u}\) cu \(u=\frac{-5x+10}{x^2}\to 0\). Înmulțim și împărțim exponentul cu \(u\) ca să nu schimbăm valoarea expresiei. Expresia din paranteza mare tinde la \(e\), iar restul rămâne ca exponent.

4. 4

   Calculăm limita exponentului

   \lim_{x\to+\infty}\frac{-5x+10}{x^2}\cdot\frac{x}{5}=\lim_{x\to+\infty}\frac{-5x+10}{5x}=-1

   Înmulțim fracțiile: \(\frac{(-5x+10)x}{5x^2}=\frac{-5x+10}{5x}\). Raportul are același grad sus și jos, deci limita este raportul coeficienților dominanți: \(\frac{-5}{5}=-1\).

5. 5

   Concluzia

   \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{f(x)}{x^2\sqrt{x}}\right)^{\frac{x}{5}}=e^{-1}=\frac{1}{e}

   Limita este \(e\) la puterea limitei exponentului, adică \(e^{-1}=\frac1e\). Am obținut exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{f(x)}{x^2\sqrt{x}}\right)^{\frac{x}{5}}=e^{-1}=\frac{1}{e}\)

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x+e^x+\dfrac{1}{e^x+1}\). a) Arătați că \(\displaystyle\int_0^2\left(f(x)-\dfrac{1}{e^x+1}\right)dx=e^2+1\).

Metoda: Integrare directă a funcțiilor elementare

1. 1

   Simplificăm expresia de sub integrală

   f(x)-\frac{1}{e^x+1}=x+e^x

   Înlocuim f(x) cu definiția ei: \(f(x)-\frac{1}{e^x+1}=x+e^x+\frac{1}{e^x+1}-\frac{1}{e^x+1}\). Fracțiile se reduc, deci rămâne doar \(x+e^x\). Facem asta pentru că \(\frac{1}{e^x+1}\) este greu de integrat, iar \(x+e^x\) este foarte simplu.

2. 2

   Aflăm primitiva

   \int (x+e^x)\,dx=\frac{x^2}{2}+e^x

   Integrăm termen cu termen: primitiva lui \(x\) este \(\frac{x^2}{2}\), iar primitiva lui \(e^x\) este \(e^x\). Integrala unei sume este suma integralelor.

3. 3

   Aplicăm formula Leibniz-Newton

   \left(\frac{x^2}{2}+e^x\right)\Big|_0^2=\left(\frac{4}{2}+e^2\right)-\left(0+e^0\right)=2+e^2-1=e^2+1

   Calculăm primitiva în limita de sus (2) și scădem valoarea ei în limita de jos (0). Folosim \(e^0=1\). Rezultă \(2+e^2-1=e^2+1\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: Integrala este egală cu \(e^2+1\), deci egalitatea este demonstrată.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x+e^x+\dfrac{1}{e^x+1}\). b) Arătați că \(\displaystyle\int_{-1}^{1} e^x\left(f(x)-x-e^x\right)dx=1\).

Metoda: Integrare prin logaritm (formula u'/u)

1. 1

   Simplificăm expresia de sub integrală

   f(x)-x-e^x=\frac{1}{e^x+1}\ \Rightarrow\ e^x\left(f(x)-x-e^x\right)=\frac{e^x}{e^x+1}

   Din \(f(x)=x+e^x+\frac{1}{e^x+1}\) scădem \(x\) și \(e^x\). Rămâne doar fracția \(\frac{1}{e^x+1}\). O înmulțim cu \(e^x\) și obținem o integrală mult mai simplă.

2. 2

   Recunoaștem forma u'/u

   \int_{-1}^{1}\frac{e^x}{e^x+1}dx=\int_{-1}^{1}\frac{(e^x+1)'}{e^x+1}dx=\ln(e^x+1)\Big|_{-1}^{1}

   Derivata numitorului \(e^x+1\) este \(e^x\), exact numărătorul. Deci fracția este \(\frac{u'}{u}\) și o primitivă este \(\ln u\). Aici \(u=e^x+1>0\), deci nu avem nevoie de modul.

3. 3

   Aplicăm formula Leibniz-Newton

   \ln(e+1)-\ln\left(e^{-1}+1\right)=\ln(e+1)-\ln\frac{1+e}{e}

   Calculăm primitiva în limitele \(1\) și \(-1\) și scădem. Avem \(e^{-1}+1=\frac{1}{e}+1=\frac{1+e}{e}\).

4. 4

   Folosim proprietățile logaritmilor

   \ln(e+1)-\ln\frac{1+e}{e}=\ln\frac{e+1}{\frac{1+e}{e}}=\ln e=1

   Diferența logaritmilor este logaritmul câtului. Câtul este \((e+1)\cdot\frac{e}{1+e}=e\). Cum \(\ln e=1\), obținem rezultatul cerut.

Răspuns: \(\displaystyle\int_{-1}^{1} e^x\left(f(x)-x-e^x\right)dx=\ln e=1\), deci egalitatea este demonstrată.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x+e^x+\dfrac{1}{e^x+1}\). Itemul 2. c) de la Subiectul III: Determinați numărul real \(m\) pentru care \(\displaystyle\int_0^1 x\big(f(x)+f(-x)\big)dx=\frac{m}{2}-\frac{2}{e}\).

Metoda: Integrare prin părți

1. 1

   Calculăm f(x)+f(−x)

   f(x)+f(-x)=x+e^x+\frac{1}{e^x+1}-x+e^{-x}+\frac{1}{e^{-x}+1}=e^x+e^{-x}+1

   Termenii \(x\) și \(-x\) se reduc. Pentru fracții: \(\dfrac{1}{e^{-x}+1}=\dfrac{e^x}{1+e^x}\), deci \(\dfrac{1}{e^x+1}+\dfrac{e^x}{e^x+1}=\dfrac{1+e^x}{e^x+1}=1\). Rămâne \(e^x+e^{-x}+1\). Facem asta ca să scăpăm de fracții înainte de integrare.

2. 2

   Scriem integrala și pregătim integrarea prin părți

   \int_0^1 x\left(e^x+e^{-x}+1\right)dx=\int_0^1 x\left(e^x-e^{-x}+x\right)'dx

   Derivata lui \(e^x-e^{-x}+x\) este \(e^x+e^{-x}+1\). Deci putem aplica formula \(\int u\,v'=uv-\int u'v\) cu \(u=x\) și \(v=e^x-e^{-x}+x\).

3. 3

   Aplicăm integrarea prin părți

   x\left(e^x-e^{-x}+x\right)\Big|_0^1-\int_0^1\left(e^x-e^{-x}+x\right)dx

   Primul termen: la 1 obținem \(e-\frac1e+1\), la 0 obținem 0. Integrala rămasă: \(\left(e^x+e^{-x}+\frac{x^2}{2}\right)\Big|_0^1=e+\frac1e+\frac12-2=e+\frac1e-\frac32\). Diferența: \(e-\frac1e+1-e-\frac1e+\frac32=\frac52-\frac2e\).

4. 4

   Determinăm m

   \frac{5}{2}-\frac{2}{e}=\frac{m}{2}-\frac{2}{e}\Rightarrow m=5

   Egalăm rezultatul cu partea dreaptă. Termenii \(-\frac2e\) se reduc, deci \(\frac m2=\frac52\), adică \(m=5\).

Răspuns: m = 5