Matematică 2022

Ministerul Educaţiei Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație Examenul național de bacalaureat 2022 Proba E. c) Matematică M_mate-info Varianta 3 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Arătați că 5 (1 + 2i ) − 2i ( 5 − i ) = 3 , unde i 2 = −1 . 5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x2 − 2 x − 3 . Determinați numărul real a pentru care f ( a ) = 1 + a2 . 5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log3 2 x 2 + 1 = 2 . ( ) 5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifrele impare și distincte. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 2,0 ) , B (1,6 ) şi C ( 4, 2 ) . Determinați coordonatele punctului D , știind că AB = DC . 5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , astfel încât BC = 10 și sin B = 2sin C . Arătați că lungimea laturii AB este egală cu 2 5 . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 0 0 0 0 0  x +1 −x 0        1. Se consideră matricele I 3 =  0 1 0  , O3 =  0 0 0  și A ( x ) =  x 1 − x 0  , unde x este 0 0 1 0 0 0  0 0 1       număr real. 5p a) Arătați că det ( A (1) ) = 1 . 5p b) Arătați că ( A ( x ) − I3 ) ( A ( x ) − I3 ) = O3 , pentru orice număr real x . 5p c) Determinați numerele reale x pentru care A ( x ) ⋅ A ( x ) = xA ( x ) − ( x − 1) I3 . 2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∗ y = ( x + y ) − 2 ( x − y ) − 3 . 2 5p a) Arătați că 0 ∗ 2 = 5 . 5p b) Determinați numerele reale x pentru care x ∗ ( x + 1) = 8 . 5p c) Determinați perechile ( m, n ) de numere naturale pentru care m ∗ n = 2mn . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) ( 1. Se consideră funcția f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = x 2 − 5 x + 10 ) x. 5p a) Arătați că f ′ ( x ) = ( 5 x2 − 3x + 2 ) , x ∈ ( 0, +∞ ) . 2 x 5p b) Determinați intervalele de monotonie a funcției f . x  f ( x) 5 1 5p c) Arătați că lim  2  = . x →+∞  x x e Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 3 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 1 din 2  Ministerul Educaţiei Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație 1 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x + e x + . e +1 x 2  1  5p a) Arătați că   f ( x ) − x 2  dx = e + 1 . 0 e +1 1 ( 5p b) Arătați că  e f ( x ) − x − e dx = 1 . x x ) −1 1 m 2 5p c) Determinați numărul real m pentru care  x ( f ( x ) + f ( − x ) ) dx = − . 0 2 e Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 3 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 2 din 2