Rezolvare pas cu pas: Matematică – Mate-Info (M1) – Bacalaureat 2023, sesiunea iunie–iulie

Se consideră numărul complex \(z = 3 + i\). Arătați că \(z(z - 2i) = 10\).

Metoda: Produsul conjugaților complecși

1. 1

   Calculăm \(z - 2i\) și scriem produsul

   z(z-2i)=(3+i)(3+i-2i)=(3+i)(3-i)

   Înlocuim \(z = 3 + i\) în ambii factori. În al doilea factor reducem termenii cu \(i\): \(i - 2i = -i\). Rezultă \(z - 2i = 3 - i\), deci produsul este \((3+i)(3-i)\). Facem asta pentru că acum avem forma \((a+b)(a-b)\), pe care o putem calcula rapid.

2. 2

   Aplicăm formula diferenței de pătrate

   (3+i)(3-i)=3^2-i^2

   Produsul \((a+b)(a-b)\) este egal cu \(a^2 - b^2\). Aici \(a = 3\) și \(b = i\). Folosim formula pentru că termenii cu \(i\) din mijloc se anulează și nu mai avem de făcut înmulțiri lungi.

3. 3

   Folosim \(i^2 = -1\) și obținem rezultatul

   3^2-i^2=9-(-1)=9+1=10

   Prin definiție, unitatea imaginară are proprietatea \(i^2 = -1\). Înlocuind, \(9 - i^2 = 9 - (-1) = 9 + 1 = 10\). Astfel am arătat că \(z(z - 2i) = 10\), exact ce ni se cerea.

Răspuns: Am obținut \(z(z-2i) = (3+i)(3-i) = 9 - i^2 = 9 + 1 = 10\), deci egalitatea este demonstrată.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=5x+1\). Arătați că \(f(2x)-2f(x)=-1\), pentru orice număr real \(x\).

Metoda: Calcul direct cu valoarea funcției

1. 1

   Calculăm \(f(2x)\)

   f(2x)=5\cdot 2x+1=10x+1

   Funcția \(f\) înlocuiește pe \(x\) cu ce se află în paranteză. Aici în paranteză avem \(2x\), deci în formula \(f(x)=5x+1\) punem \(2x\) în locul lui \(x\): \(f(2x)=5\cdot 2x+1\). Cum \(5\cdot 2x=10x\), obținem \(10x+1\), pentru orice număr real \(x\).

2. 2

   Calculăm \(f(2x)-2f(x)\)

   f(2x)-2f(x)=10x+1-2(5x+1)=10x+1-10x-2=-1

   Acum scriem diferența cerută. Avem \(f(2x)=10x+1\) și \(2f(x)=2(5x+1)\). Atenție: înmulțim cu 2 ambii termeni din paranteză, deci \(2(5x+1)=10x+2\). Scăzând, trebuie să punem semnul minus în fața ambilor termeni: \(10x+1-10x-2\). Termenii \(10x\) se reduc, iar \(1-2=-1\). Rezultatul nu mai depinde de \(x\), deci egalitatea este adevărată pentru orice număr real \(x\).

Răspuns: \(f(2x)-2f(x)=10x+1-10x-2=-1\), pentru orice număr real \(x\), deci egalitatea este demonstrată.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(\sqrt[3]{x^3-2x+2}=x\).

Metoda: Ridicarea la puterea a treia

1. 1

   Ridicăm ecuația la puterea a treia

   \left(\sqrt[3]{x^3-2x+2}\right)^3=x^3 \Rightarrow x^3-2x+2=x^3

   Ridicăm la puterea a treia ambii membri ai ecuației. Radicalul de ordin 3 și puterea a treia se anulează: \((\sqrt[3]{a})^3=a\). Deoarece funcția \(t\mapsto t^3\) este injectivă pe \(\mathbb{R}\), ecuația obținută este echivalentă cu cea inițială, deci nu apar soluții străine.

2. 2

   Simplificăm și aflăm x

   x^3-2x+2=x^3 \Rightarrow -2x+2=0 \Rightarrow x=1

   Scădem \(x^3\) din ambii membri; termenii în \(x^3\) se reduc și rămâne o ecuație de gradul I: \(-2x+2=0\). De aici \(2x=2\), deci \(x=1\).

3. 3

   Verificăm soluția

   \sqrt[3]{1^3-2\cdot 1+2}=\sqrt[3]{1}=1

   Înlocuim \(x=1\) în ecuația inițială: sub radical avem \(1-2+2=1\), iar \(\sqrt[3]{1}=1\), egal cu membrul drept. Deci soluția este corectă.

Răspuns: \(x=1\)

Se consideră mulțimea \(A\), a numerelor naturale de două cifre. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr \(n\) din mulțimea \(A\), numărul \(n+5\) să fie multiplu de \(10\).

Metoda: Probabilitate: cazuri favorabile/posibile

1. 1

   Numărăm cazurile posibile

   10,11,\dots,99 \Rightarrow 99-10+1=90

   Numerele naturale de două cifre sunt de la \(10\) la \(99\). Numărul lor este ultimul minus primul plus \(1\), pentru că ambele capete se numără. Deci sunt \(90\) de cazuri posibile.

2. 2

   Numărăm cazurile favorabile

   n+5 \in M_{10} \Rightarrow n\in\{15,25,35,\dots,95\}

   \(n+5\) este multiplu de \(10\) dacă se termină în \(0\), deci \(n\) trebuie să se termine în \(5\). Numerele de două cifre care se termină în \(5\) sunt \(15,25,\dots,95\): câte unul pentru fiecare cifră a zecilor de la \(1\) la \(9\). Sunt \(9\) cazuri favorabile.

3. 3

   Calculăm probabilitatea

   p=\frac{9}{90}=\frac{1}{10}

   Probabilitatea este raportul dintre cazurile favorabile și cele posibile: \(\frac{9}{90}\). Simplificăm prin \(9\) și obținem \(\frac{1}{10}\).

Răspuns: \(p=\dfrac{1}{10}\)

În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(4,0)\) și \(B(5,4)\). Determinați ecuația dreptei \(d\) care trece prin punctul \(O\) și este paralelă cu dreapta \(AB\).

Metoda: Pantele dreptelor paralele

1. 1

   Calculăm panta dreptei AB

   m_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{4-0}{5-4}=4

   Panta unei drepte care trece prin punctele \(A(x_A,y_A)\) și \(B(x_B,y_B)\) este raportul dintre variația lui \(y\) și variația lui \(x\). Cu \(A(4,0)\) și \(B(5,4)\) obținem \(m_{AB}=\frac{4-0}{5-4}=4\).

2. 2

   Panta dreptei d

   d\parallel AB \Rightarrow m_d=m_{AB}=4

   Dreptele paralele au aceeași pantă. Cum \(d\parallel AB\), rezultă \(m_d=4\).

3. 3

   Scriem ecuația dreptei prin O

   y-0=4(x-0)\Rightarrow y=4x

   Ecuația dreptei de pantă \(m\) care trece prin punctul \((x_0,y_0)\) este \(y-y_0=m(x-x_0)\). Dreapta \(d\) trece prin \(O(0,0)\) și are \(m=4\), deci \(y-0=4(x-0)\), adică \(y=4x\). Verificare: punctul \(O\) verifică ecuația, iar panta este 4.

Răspuns: \(d: y=4x\)

Se consideră triunghiul isoscel \(ABC\), dreptunghic în \(A\), cu aria egală cu \(4\). Arătați că \(BC = 4\).

Metoda: Aria triunghiului și înălțimea din A

1. 1

   Înălțimea din A este jumătate din ipotenuză

   AD=\frac{BC}{2}

   Fie \(AD\) înălțimea din \(A\) pe \(BC\). Într-un triunghi isoscel cu \(AB=AC\), înălțimea din vârf este și mediană, deci \(D\) este mijlocul lui \(BC\). În triunghiul dreptunghic \(ABC\), mediana corespunzătoare ipotenuzei are lungimea jumătate din ipotenuză. Deci \(AD = \frac{BC}{2}\). (Altfel: triunghiul \(ABD\) este dreptunghic isoscel, cu unghiuri de \(45^\circ\), deci \(AD = BD = \frac{BC}{2}\).)

2. 2

   Folosim formula ariei

   \mathcal{A}_{ABC}=\frac{AD\cdot BC}{2}=4

   Aria triunghiului este \(\frac{\text{bază}\cdot\text{înălțime}}{2}\). Luăm baza \(BC\) și înălțimea \(AD\). Cum \(AD=\frac{BC}{2}\), înlocuim: \(\frac{\frac{BC}{2}\cdot BC}{2}=\frac{BC^2}{4}=4\). Rezultă \(BC^2=16\), iar cum \(BC>0\), obținem \(BC=4\).

Răspuns: BC = 4

Se consideră matricea \(A(a)=\begin{pmatrix}2&1&2\\1&-1&a\\a&a+1&-2\end{pmatrix}\) și sistemul de ecuații \(\begin{cases}2x+y+2z=2\\x-y+az=4\\ax+(a+1)y-2z=a\end{cases}\), unde \(a\) este număr real. a) Arătați că \(\det(A(0))=8\).

Metoda: Calculul determinantului de ordin 3

1. 1

   Scriem matricea A(0)

   A(0)=\begin{pmatrix}2&1&2\\1&-1&0\\0&1&-2\end{pmatrix}

   Înlocuim peste tot parametrul \(a\) cu \(0\) în matricea \(A(a)\). Elementele care nu conțin pe \(a\) rămân la fel. Pe poziția (2,3) avem \(a=0\), pe poziția (3,1) avem \(a=0\), iar pe poziția (3,2) avem \(a+1=0+1=1\).

2. 2

   Calculăm determinantul prin regula lui Sarrus

   \det(A(0))=\begin{vmatrix}2&1&2\\1&-1&0\\0&1&-2\end{vmatrix}=4+2+0-0-0+2=8

   Adunăm produsele elementelor de pe diagonala principală și de pe cele două paralele cu ea: \(2\cdot(-1)\cdot(-2)=4\), \(1\cdot0\cdot0=0\), \(2\cdot1\cdot1=2\). Apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și paralelele ei: \(2\cdot(-1)\cdot0=0\), \(1\cdot1\cdot(-2)=-2\), \(1\cdot0\cdot1=0\). Rezultă \(4+0+2-0-(-2)-0=8\), adică exact \(4+2+0-0-0+2=8\), ca în barem.

3. 3

   Concluzia

   \det(A(0))=8

   Am obținut exact valoarea cerută, deci egalitatea este demonstrată.

Răspuns: \(\det(A(0))=8\)

Se consideră matricea \(A(a)=\begin{pmatrix}2&1&2\\1&-1&a\\a&a+1&-2\end{pmatrix}\) și sistemul de ecuații \(\begin{cases}2x+y+2z=2\\x-y+az=4\\ax+(a+1)y-2z=a\end{cases}\), unde \(a\) este număr real. b) Determinați mulțimea numerelor reale \(a\) pentru care matricea \(A(a)\) este inversabilă.

Metoda: Condiția det(A) ≠ 0

1. 1

   Condiția de inversabilitate

   A(a)\text{ inversabilă} \Leftrightarrow \det(A(a))\neq 0

   O matrice pătratică are inversă dacă și numai dacă determinantul ei este diferit de zero. De aceea trebuie să calculăm \(\det(A(a))\) și să vedem când este nenul.

2. 2

   Calculul determinantului

   \det(A(a))=\begin{vmatrix}2&1&2\\1&-1&a\\a&a+1&-2\end{vmatrix}=-a^2+2a+8

   Folosim regula lui Sarrus. Termenii pozitivi: \(2\cdot(-1)\cdot(-2)=4\), \(1\cdot a\cdot a=a^2\), \(2\cdot1\cdot(a+1)=2a+2\). Termenii negativi: \(2\cdot(-1)\cdot a=-2a\), \(2\cdot a\cdot(a+1)=2a^2+2a\), \(1\cdot1\cdot(-2)=-2\). Determinantul este \(4+a^2+2a+2-(-2a+2a^2+2a-2)=a^2+2a+6-2a^2-0\cdot a+2\), adică \(-a^2+2a+8\).

3. 3

   Aflăm când determinantul se anulează

   -a^2+2a+8=0 \Leftrightarrow a^2-2a-8=0 \Leftrightarrow a\in\{-2,\,4\}

   Rezolvăm ecuația de gradul al doilea. Discriminantul este \(\Delta=4+32=36\), deci \(a=\frac{2\pm6}{2}\), adică \(a=4\) sau \(a=-2\). Pentru aceste două valori matricea nu este inversabilă.

4. 4

   Concluzia

   A(a)\text{ inversabilă} \Leftrightarrow a\in\mathbb{R}\setminus\{-2,4\}

   Matricea este inversabilă când \(\det(A(a))\neq0\), adică pentru orice \(a\) real diferit de \(-2\) și de \(4\). Aceasta este exact mulțimea cerută de barem.

Răspuns: \(a\in\mathbb{R}\setminus\{-2,4\}\)

Subiectul II, 1. c) Se consideră matricea \(A(a)=\begin{pmatrix}2&1&2\\1&-1&a\\a&a+1&-2\end{pmatrix}\) și sistemul \(\begin{cases}2x+y+2z=2\\x-y+az=4\\ax+(a+1)y-2z=a\end{cases}\), unde \(a\) este număr real. Pentru \(a=-2\), arătați că \(x_0z_0+y_0=-2\), pentru orice soluție \((x_0,y_0,z_0)\) a sistemului de ecuații.

Metoda: Rezolvarea sistemului prin reducere

1. 1

   Scriem sistemul pentru a = −2

   \begin{cases}2x+y+2z=2\\x-y-2z=4\\-2x-y-2z=-2\end{cases}

   Înlocuim \(a=-2\) în sistem. În a doua ecuație avem \(az=-2z\). În a treia, \(ax=-2x\), \((a+1)y=-y\), iar membrul drept este \(a=-2\).

2. 2

   Adunăm primele două ecuații și aflăm x

   (2x+y+2z)+(x-y-2z)=2+4 \Rightarrow 3x=6 \Rightarrow x=2

   În primele două ecuații, \(y\) și \(z\) apar cu coeficienți opuși (\(+y\) și \(-y\), \(+2z\) și \(-2z\)). Adunându-le, aceste necunoscute se reduc și rămâne doar \(x\). Deci orice soluție are \(x_0=2\).

3. 3

   Înlocuim x = 2 și exprimăm y în funcție de z

   2\cdot 2+y+2z=2 \Rightarrow y+2z=-2 \Rightarrow y=-2-2z

   Punem \(x=2\) în prima ecuație. Obținem o singură relație între \(y\) și \(z\). A treia ecuație dă \(-4-y-2z=-2\), adică tot \(y+2z=-2\). Deci ea nu aduce nimic nou, iar \(z\) rămâne liber. Notăm \(z=\alpha\) și soluțiile sunt \((2,-2-2\alpha,\alpha)\).

4. 4

   Calculăm expresia x₀z₀ + y₀

   x_0z_0+y_0=2\alpha+(-2-2\alpha)=-2

   Orice soluție are forma \((2,-2-2\alpha,\alpha)\). Deci \(x_0=2\), \(z_0=\alpha\), \(y_0=-2-2\alpha\). Înlocuim în expresie: \(2\alpha-2-2\alpha\). Termenii cu \(\alpha\) se reduc, iar rezultatul este \(-2\), indiferent de \(\alpha\). Exact asta trebuia arătat.

Răspuns: Pentru \(a=-2\), orice soluție este de forma \((2,-2-2\alpha,\alpha)\), deci \(x_0z_0+y_0=2\alpha-2-2\alpha=-2\).

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \( x \circ y = xy + (2^x - 2)(2^y - 2) \). a) Arătați că \( 2 \circ 3 = 18 \).

Metoda: Calcul prin înlocuire în lege

1. 1

   Înlocuim x = 2 și y = 3 în lege

   2\circ 3 = 2\cdot 3 + (2^2-2)(2^3-2)

   Legea spune că \( x \circ y = xy + (2^x-2)(2^y-2) \). Pentru \( 2 \circ 3 \) punem \( x=2 \) și \( y=3 \) peste tot unde apar \( x \) și \( y \). Primul termen devine \( 2\cdot 3 \), iar în paranteze apar puterile \( 2^2 \) și \( 2^3 \).

2. 2

   Calculăm puterile și parantezele

   2\cdot 3 + (4-2)(8-2) = 6 + 2\cdot 6

   Avem \( 2\cdot 3=6 \), \( 2^2=4 \) și \( 2^3=8 \). Deci prima paranteză este \( 4-2=2 \), iar a doua este \( 8-2=6 \). Produsul parantezelor este \( 2\cdot 6=12 \).

3. 3

   Adunăm și obținem rezultatul

   6+12=18

   Adunăm cele două părți: \( xy=6 \) și produsul parantezelor \( 12 \). Rezultă \( 2\circ 3 = 18 \), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \( 2 \circ 3 = 6 + 12 = 18 \), deci egalitatea este adevărată.

Subiectul II, 2. b): Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x \circ y = xy + (2^x - 2)(2^y - 2)\). Arătați că \(e = 1\) este elementul neutru al legii de compoziție „\(\circ\)”.

Metoda: Verificarea definiției elementului neutru

1. 1

   Ce avem de arătat

   x \circ 1 = 1 \circ x = x,\ \forall x \in \mathbb{R}

   Din definiție, \(e\) este element neutru dacă \(x \circ e = e \circ x = x\) pentru orice \(x\) real. Legea nu știm încă dacă este comutativă, așa că verificăm ambele egalități, deși aici ele vor ieși la fel.

2. 2

   Calculăm \(x \circ 1\)

   x \circ 1 = x\cdot 1 + (2^x-2)(2^1-2) = x + (2^x-2)\cdot 0 = x

   Înlocuim \(y=1\) în definiție. Cum \(2^1-2=0\), al doilea termen dispare, deci rămâne doar \(x\cdot 1 = x\).

3. 3

   Calculăm \(1 \circ x\)

   1 \circ x = 1\cdot x + (2^1-2)(2^x-2) = x + 0\cdot(2^x-2) = x

   Acum \(1\) este în stânga. Același motiv: factorul \(2^1-2=0\) anulează al doilea termen, deci obținem \(x\).

4. 4

   Concluzia

   x\circ 1 = 1\circ x = x,\ \forall x\in\mathbb{R}\ \Rightarrow\ e=1

   Am obținut \(x\circ 1 = x\) și \(1\circ x = x\) pentru orice \(x\) real, deci \(e=1\) este elementul neutru al legii „\(\circ\)”.

Răspuns: Pentru orice \(x\in\mathbb{R}\): \(x\circ 1 = 1\circ x = x\), deci \(e=1\) este elementul neutru al legii „\(\circ\)”.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x \circ y = xy + (2^x - 2)(2^y - 2)\). Demonstrați că \(x \circ (-x) \le 1\), pentru orice număr real \(x\).

Metoda: Restrângere în pătrat perfect

1. 1

   Înlocuim y cu −x în definiția legii

   x\circ(-x)=x\cdot(-x)+(2^x-2)(2^{-x}-2)

   Legea este \(x\circ y = xy + (2^x-2)(2^y-2)\). Pentru \(x\circ(-x)\) punem peste tot \(-x\) în locul lui \(y\). Primul termen devine \(x\cdot(-x)=-x^2\), iar al doilea conține \(2^{-x}\).

2. 2

   Desfacem parantezele

   x\circ(-x)=-x^2+2^x\cdot2^{-x}-2\cdot2^x-2\cdot2^{-x}+4=-x^2+1-2\cdot2^x-2\cdot2^{-x}+4

   Înmulțim \((2^x-2)(2^{-x}-2)\) termen cu termen. Folosim \(2^x\cdot2^{-x}=2^{x-x}=2^0=1\). Apoi adunăm numerele: \(1+4=5\), deci avem \(-x^2+5-2\cdot2^x-2\cdot2^{-x}\). Baremul scrie forma \(-x^2+1-2\cdot 2^x-2\cdot 2^{-x}+4\), apoi grupează termenii.

3. 3

   Grupăm termenii pentru a forma un pătrat

   x\circ(-x)=-x^2+1-2\left(2^x-2+\frac{1}{2^x}\right)

   Din \(-2\cdot2^x-2\cdot2^{-x}+4\) scoatem factor comun \(-2\): obținem \(-2\left(2^x+2^{-x}-2\right)\). Aici \(2^{-x}=\frac1{2^x}\). Expresia \(2^x-2+\frac1{2^x}\) este tocmai dezvoltarea unui pătrat.

4. 4

   Recunoaștem pătratul perfect

   2^x-2+\frac1{2^x}=\left(\sqrt{2^x}-\frac1{\sqrt{2^x}}\right)^2

   Folosim \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) cu \(a=\sqrt{2^x}\), \(b=\frac1{\sqrt{2^x}}\). Atunci \(a^2=2^x\), \(b^2=\frac1{2^x}\) și \(2ab=2\). Deci \(x\circ(-x)=1-x^2-2\left(\sqrt{2^x}-\frac1{\sqrt{2^x}}\right)^2\).

5. 5

   Concluzia inegalității

   x\circ(-x)=1-x^2-2\left(\sqrt{2^x}-\frac1{\sqrt{2^x}}\right)^2\le1

   Avem \(x^2\ge0\) și \(\left(\sqrt{2^x}-\frac1{\sqrt{2^x}}\right)^2\ge0\). Din 1 scădem două cantități nenegative, deci rezultatul este cel mult 1. Egalitatea apare pentru \(x=0\).

Răspuns: Am obținut \(x\circ(-x)=1-x^2-2\left(\sqrt{2^x}-\frac1{\sqrt{2^x}}\right)^2\le1\), pentru orice \(x\in\mathbb{R}\), deci inegalitatea este demonstrată.

Se consideră funcția \(f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x+3\ln\frac{x+3}{x-1}\). a) Arătați că \(f'(x)=\frac{x^2+2x-15}{(x-1)(x+3)}\), \(x\in(1,+\infty)\).

Metoda: Derivarea funcțiilor cu logaritm

1. 1

   Descompunem logaritmul raportului

   f(x)=x+3\left(\ln(x+3)-\ln(x-1)\right)

   Folosim proprietatea \(\ln\frac{a}{b}=\ln a-\ln b\), valabilă pentru \(a,b>0\). Pe \((1,+\infty)\) avem \(x+3>0\) și \(x-1>0\), deci putem aplica regula. Așa derivăm două logaritmi simpli, nu o fracție compusă.

2. 2

   Derivăm termen cu termen

   f'(x)=1+3\left(\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x-1}\right)=1+\frac{3}{x+3}-\frac{3}{x-1}

   Derivata lui \(x\) este 1. Derivata lui \(\ln u\) este \(\frac{u'}{u}\), iar aici \((x+3)'=1\) și \((x-1)'=1\). Constanta 3 rămâne înmulțită cu paranteza.

3. 3

   Aducem la numitor comun

   f'(x)=\frac{(x+3)(x-1)+3(x-1)-3(x+3)}{(x+3)(x-1)}

   Numitorul comun al termenilor \(1\), \(\frac{1}{x+3}\) și \(\frac{1}{x-1}\) este \((x+3)(x-1)\). Amplificăm fiecare termen cu ce îi lipsește la numitor.

4. 4

   Reducem termenii și obținem rezultatul

   x^2+2x-3+3x-3-3x-9=x^2+2x-15 \Rightarrow f'(x)=\frac{x^2+2x-15}{(x-1)(x+3)}

   Dezvoltăm \((x+3)(x-1)=x^2+2x-3\). Apoi \(3(x-1)=3x-3\) și \(-3(x+3)=-3x-9\). Termenii \(3x\) și \(-3x\) se reduc, iar constantele dau \(-3-3-9=-15\). Obținem exact forma cerută.

Răspuns: \(f'(x)=\frac{x^2+2x-15}{(x-1)(x+3)}\), pentru orice \(x\in(1,+\infty)\), ceea ce era de demonstrat.

Se consideră funcția \(f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x+3\ln\frac{x+3}{x-1}\). b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre \(+\infty\) la graficul funcției \(f\).

Metoda: Asimptota oblică: limitele m și n

1. 1

   Calculăm panta m

   m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{3}{x}\ln\frac{x+3}{x-1}\right)=1

   Împărțim \(f(x)\) la \(x\): obținem \(1+\frac{3}{x}\ln\frac{x+3}{x-1}\). Când \(x\to+\infty\), fracția \(\frac{x+3}{x-1}\) tinde la 1, deci \(\ln\frac{x+3}{x-1}\to\ln 1=0\). Atunci \(\frac{3}{x}\) tinde la 0 și logaritmul tinde la 0, deci produsul lor tinde la 0. Rezultă \(m=1\). Facem acest pas pentru că panta se găsește mereu prima.

2. 2

   Calculăm termenul liber n

   n=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-x\right)=\lim_{x\to+\infty}3\ln\frac{x+3}{x-1}=3\ln 1=0

   Cu \(m=1\), calculăm \(f(x)-x\). Termenul \(x\) se reduce și rămâne \(3\ln\frac{x+3}{x-1}\). Fracția tinde la 1, iar \(\ln 1=0\), deci limita este 0. Limita este finită, deci asimptota oblică există.

3. 3

   Scriem ecuația asimptotei

   y=mx+n \Rightarrow y=x

   Înlocuim \(m=1\) și \(n=0\) în \(y=mx+n\) și obținem \(y=x\). Aceasta este asimptota oblică spre \(+\infty\) la graficul lui f, la fel ca în barem.

Răspuns: Asimptota oblică spre \(+\infty\) este \(y=x\).

Se consideră funcția \(f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x+3\ln\dfrac{x+3}{x-1}\). c) Arătați că \(\ln\dfrac{x+3}{3(x-1)}\ge 1-\dfrac{x}{3}\), pentru orice \(x\in(1,+\infty)\).

Metoda: Studiul monotoniei cu derivata

1. 1

   Găsim punctele critice ale lui f

   f'(x)=\frac{x^2+2x-15}{(x-1)(x+3)}=0\Rightarrow (x-3)(x+5)=0\Rightarrow x=3

   Din subpunctul a) avem \(f'(x)=\dfrac{x^2+2x-15}{(x-1)(x+3)}\). Pe \((1,+\infty)\) numitorul este pozitiv, deci derivata se anulează doar când numărătorul este 0. Avem \(x^2+2x-15=(x-3)(x+5)\), iar \(x=-5\) nu este în \((1,+\infty)\). Rămâne \(x=3\).

2. 2

   Semnul derivatei și monotonia

   f'(x)\le 0,\ x\in(1,3];\quad f'(x)\ge 0,\ x\in[3,+\infty)

   Numitorul \((x-1)(x+3)\) este pozitiv pe \((1,+\infty)\), deci semnul lui \(f'\) este semnul lui \((x-3)(x+5)\). Cum \(x+5>0\), semnul depinde de \(x-3\): negativ pentru \(x<3\), pozitiv pentru \(x>3\). Deci f este descrescătoare pe \((1,3]\) și crescătoare pe \([3,+\infty)\).

3. 3

   Deducem că f(x) ≥ f(3)

   f(x)\ge f(3),\ \forall x\in(1,+\infty)

   Cum f este descrescătoare înainte de 3 și crescătoare după 3, valoarea din x=3 este cea mai mică pe tot intervalul. Deci \(f(x)\ge f(3)\) pentru orice \(x>1\).

4. 4

   Calculăm f(3) și scriem inegalitatea

   f(3)=3+3\ln\frac{6}{2}=3+3\ln 3,\quad x+3\ln\frac{x+3}{x-1}\ge 3+3\ln 3

   Înlocuim \(x=3\): \(\dfrac{3+3}{3-1}=3\), deci \(f(3)=3+3\ln 3\). Inegalitatea \(f(x)\ge f(3)\) devine \(x+3\ln\dfrac{x+3}{x-1}\ge 3+3\ln 3\).

5. 5

   Aducem la forma cerută

   3\ln\frac{x+3}{x-1}-3\ln 3\ge 3-x\ \Rightarrow\ 3\ln\frac{x+3}{3(x-1)}\ge 3-x\ \Rightarrow\ \ln\frac{x+3}{3(x-1)}\ge 1-\frac{x}{3}

   Mutăm x și \(3\ln3\) în dreapta: \(3\ln\dfrac{x+3}{x-1}-3\ln3\ge 3-x\). Folosim \(\ln a-\ln b=\ln\dfrac{a}{b}\): \(\ln\dfrac{x+3}{x-1}-\ln3=\ln\dfrac{x+3}{3(x-1)}\). Împărțim la 3 (pozitiv, sensul inegalității rămâne) și obținem \(\ln\dfrac{x+3}{3(x-1)}\ge 1-\dfrac{x}{3}\), pentru orice \(x>1\), adică exact ce trebuia demonstrat.

Răspuns: Din \(f(x)\ge f(3)=3+3\ln3\) rezultă \(\ln\dfrac{x+3}{3(x-1)}\ge 1-\dfrac{x}{3}\), pentru orice \(x\in(1,+\infty)\).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=(x^2+2x)e^{-x}\). a) Arătați că \(\int_0^3 f(x)e^x\,dx=18\).

Metoda: Integrarea unei funcții polinomiale

1. 1

   Simplificăm produsul f(x)·e^x

   f(x)e^x=(x^2+2x)e^{-x}e^{x}=x^2+2x

   Înlocuim f(x) cu expresia dată și folosim regula \(e^{-x}\cdot e^{x}=e^{0}=1\). Astfel funcția de integrat devine un simplu polinom, mult mai ușor de integrat. Integrala devine \(\int_0^3 (x^2+2x)\,dx\).

2. 2

   Găsim o primitivă și aplicăm Leibniz-Newton

   \int_0^3 (x^2+2x)\,dx=\left(\frac{x^3}{3}+x^2\right)\Big|_0^3

   Integrăm termen cu termen, folosind \(\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\). Pentru \(x^2\) obținem \(\frac{x^3}{3}\), iar pentru \(2x\) obținem \(x^2\). Apoi calculăm primitiva în 3 și în 0 și facem diferența.

3. 3

   Calculăm valoarea integralei

   \frac{27}{3}+9=9+9=18

   Înlocuim x=3: \(\frac{3^3}{3}+3^2=\frac{27}{3}+9=18\). La limita inferioară x=0 primitiva dă 0, deci nu scădem nimic. Rezultatul coincide cu cel cerut: 18.

Răspuns: \(\int_0^3 f(x)e^x\,dx=\left(\frac{x^3}{3}+x^2\right)\Big|_0^3=\frac{27}{3}+9=18\).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=(x^2+2x)e^{-x}\). b) Arătați că \(\int_0^1 \frac{f(x)}{x+2}\,dx=\frac{e-2}{e}\).

Metoda: Integrare prin părți

1. 1

   Simplificăm fracția

   \frac{f(x)}{x+2}=\frac{x(x+2)e^{-x}}{x+2}=xe^{-x}

   Descompunem \(x^2+2x=x(x+2)\). Pe intervalul \([0,1]\) avem \(x+2>0\), deci putem simplifica. Obținem \(\frac{f(x)}{x+2}=xe^{-x}\), iar integrala devine \(\int_0^1 xe^{-x}\,dx\).

2. 2

   Pregătim integrarea prin părți

   xe^{-x}=x\cdot\left(-e^{-x}\right)'

   Observăm că \((-e^{-x})'=e^{-x}\). Deci putem scrie \(e^{-x}\) ca derivata lui \(-e^{-x}\). Formula de integrare prin părți este \(\int_a^b u\,v'\,dx=uv\big|_a^b-\int_a^b u'v\,dx\), cu \(u=x\) și \(v=-e^{-x}\).

3. 3

   Aplicăm formula

   \int_0^1 x\left(-e^{-x}\right)'dx=x\left(-e^{-x}\right)\Big|_0^1-\int_0^1 1\cdot\left(-e^{-x}\right)dx=-xe^{-x}\Big|_0^1-e^{-x}\Big|_0^1

   Cu \(u=x\), \(u'=1\), \(v=-e^{-x}\) obținem primul termen \(-xe^{-x}\big|_0^1\). Integrala rămasă este \(-\int_0^1(-e^{-x})dx=\int_0^1 e^{-x}dx=-e^{-x}\big|_0^1\).

4. 4

   Calculăm între limite

   \left(-\frac{1}{e}-0\right)+\left(-\frac{1}{e}+1\right)=1-\frac{2}{e}=\frac{e-2}{e}

   Termenul \(-xe^{-x}\big|_0^1=-\frac1e-0=-\frac1e\). Termenul \(-e^{-x}\big|_0^1=-\frac1e-(-1)=-\frac1e+1\). Adunăm: \(-\frac1e-\frac1e+1=1-\frac2e=\frac{e-2}{e}\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\int_0^1 \frac{f(x)}{x+2}\,dx=\frac{e-2}{e}\)

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=(x^2+2x)e^{-x}\). c) Demonstrați că \(\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{x^2}\int_0^x f(t)\,dt\right)=1\).

Metoda: Regula lui L'Hospital

1. 1

   Recunoaștem nedeterminarea 0/0

   \lim_{x\to 0}\frac{\int_0^x f(t)\,dt}{x^2}=\frac{0}{0}

   Funcția f este continuă pe \(\mathbb{R}\), deci \(F(x)=\int_0^x f(t)\,dt\) este derivabilă și \(F(0)=0\). Numitorul \(x^2\) tinde și el la 0. Deci avem cazul \(\frac{0}{0}\) și putem aplica regula lui L'Hospital.

2. 2

   Aplicăm regula lui L'Hospital

   \lim_{x\to 0}\frac{\left(\int_0^x f(t)\,dt\right)'}{(x^2)'}=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{2x}

   Derivăm separat numărătorul și numitorul. Derivata lui \(\int_0^x f(t)\,dt\) este \(f(x)\), deoarece f este continuă. Derivata lui \(x^2\) este \(2x\).

3. 3

   Înlocuim f(x) și calculăm limita

   \lim_{x\to 0}\frac{(x^2+2x)e^{-x}}{2x}=\lim_{x\to 0}\frac{x(x+2)e^{-x}}{2x}=\lim_{x\to 0}\frac{(x+2)e^{-x}}{2}=\frac{2\cdot 1}{2}=1

   Scoatem x factor comun la numărător, simplificăm cu x (x tinde la 0, dar este diferit de 0), apoi înlocuim x cu 0. Folosim \(e^{0}=1\). Rezultă 1, exact ce trebuia demonstrat.

Răspuns: \(\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{x^2}\int_0^x f(t)\,dt\right)=1\)