Matematică 2023

Ministerul Educației Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație Examenul național de bacalaureat 2023 Proba E. c) Matematică M_mate-info Varianta 1 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Se consideră numărul complex z = 3 + i . Arătați că z ( z − 2i ) = 10 . 5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f ( x ) = 5 x + 1 . Arătați că f ( 2 x ) − 2 f ( x ) = −1 , pentru orice număr real x . 5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3 x3 − 2 x + 2 = x . 5p 4. Se consideră mulțimea A , a numerelor naturale de două cifre. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea A , numărul n + 5 să fie multiplu de 10 . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 4,0 ) și B ( 5, 4 ) . Determinați ecuația dreptei d care trece prin punctul O și este paralelă cu dreapta AB . 5p 6. Se consideră triunghiul isoscel ABC , dreptunghic în A , cu aria egală cu 4 . Arătați că BC = 4 . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 2 1 2 2 x + y + 2 z = 2 1. Se consideră matricea A ( a ) =  1  și sistemul de ecuații  x − y + az = 4 −1 a  , unde a    a +1 −2  ax + ( a + 1) y − 2 z = a a este număr real. 5p a) Arătați că det ( A ( 0 ) ) = 8 . 5p b) Determinați mulțimea numerelor reale a pentru care matricea A ( a ) este inversabilă. 5p c) Pentru a = −2 , arătați că x0 z0 + y0 = −2 , pentru orice soluție ( x0 , y0 , z0 ) a sistemului de ecuații. 2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x y = xy + 2 x − 2 2 y − 2 .( )( ) 5p a) Arătați că 2 3 = 18 . 5p b) Arătați că e = 1 este elementul neutru al legii de compoziție „ ”. 5p c) Demonstrați că x ( − x ) ≤ 1 , pentru orice număr real x . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) x+3 1. Se consideră funcția f : (1, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = x + 3ln . x −1 x 2 + 2 x − 15 5p a) Arătați că f ' ( x ) = , x ∈ (1, +∞ ) . ( x − 1)( x + 3) 5p b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞ la graficul funcției f . x+3 ≥ 1 − , pentru orice x ∈ (1, +∞ ) . x 5p c) Arătați că ln 3 ( x − 1) 3 ( 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 + 2 x e− x . ) 3 5p a) Arătați că  f ( x ) e dx = 18 . x 0 Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 1 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 1 din 2  Ministerul Educației Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație 1 f ( x) e−2 5p b) Arătați că  dx = . 0 x+2 e  1 x  5p c) Demonstrați că lim  2  f ( t ) dt  = 1 . x →0  x   0  Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 1 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 2 din 2