Rezolvare pas cu pas: Matematică – Mate-Info (M1) – Bacalaureat 2023, simulare

Se consideră numerele complexe \(z_1 = 1+2i\) și \(z_2 = 1-i\). Arătați că \(z_1^2 + 4z_2 = 1\).

Metoda: Calcul cu numere complexe

1. 1

   Înlocuim numerele și dezvoltăm pătratul

   z_1^2+4z_2=(1+2i)^2+4(1-i)=1+4i+4i^2+4-4i

   Scriem \(z_1\) și \(z_2\) în expresie. Pătratul \((1+2i)^2\) se calculează cu formula \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\), deci \((1+2i)^2 = 1+4i+4i^2\). Pe \(4(1-i)\) îl distribuim: \(4-4i\).

2. 2

   Folosim \(i^2=-1\) și reducem termenii

   1+4i+4i^2+4-4i=5+4i^2=5+4\cdot(-1)

   Termenii cu \(i\) sunt \(4i\) și \(-4i\); ei se reduc. Părțile reale sunt \(1\) și \(4\), care dau \(5\). Rămâne \(5+4i^2\), iar cum \(i^2=-1\), obținem \(5+4\cdot(-1)\).

3. 3

   Obținem rezultatul

   5+4\cdot(-1)=5-4=1

   Calculăm \(5-4=1\). Am obținut exact valoarea cerută, deci egalitatea \(z_1^2+4z_2=1\) este demonstrată.

Răspuns: \(z_1^2+4z_2=5+4\cdot(-1)=5-4=1\), deci egalitatea este demonstrată.

Se consideră funcțiile \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=3x+1\) și \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(g(x)=x^2+x+m\), unde \(m\) este număr real. Determinați numărul real \(m\) pentru care graficele funcțiilor \(f\) și \(g\) au exact un punct comun.

Metoda: Egalarea funcțiilor și discriminant nul

1. 1

   Egalăm cele două funcții

   3x+1=x^2+x+m \Rightarrow x^2-2x+m-1=0

   Un punct comun are aceeași abscisă \(x\) și aceeași ordonată pe ambele grafice, deci \(f(x)=g(x)\). Mutăm tot în partea stângă: \(x^2+x+m-3x-1=0\), adică \(x^2-2x+m-1=0\). Numărul punctelor comune este egal cu numărul soluțiilor reale ale acestei ecuații.

2. 2

   Punem condiția \(\Delta=0\)

   \Delta=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(m-1)=8-4m

   O ecuație de gradul II are o singură soluție reală (soluție dublă) exact când discriminantul este zero. Aici \(a=1\), \(b=-2\), \(c=m-1\), deci \(\Delta=b^2-4ac=4-4(m-1)=8-4m\). Dacă \(\Delta>0\) am avea două puncte comune, iar dacă \(\Delta<0\) niciunul.

3. 3

   Rezolvăm \(8-4m=0\)

   8-4m=0 \Rightarrow m=2

   Din \(8-4m=0\) obținem \(4m=8\), deci \(m=2\). Verificare: pentru \(m=2\) ecuația devine \(x^2-2x+1=0\), adică \((x-1)^2=0\), cu soluția unică \(x=1\). Punctul comun este \((1,4)\), deoarece \(f(1)=4\) și \(g(1)=1+1+2=4\).

Răspuns: \(m=2\)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \( \lg\left(x^2+9\right)=2\lg\left(x\sqrt{10}\right) \).

Metoda: Ecuație logaritmică, egalarea argumentelor

1. 1

   Aducem membrul drept la un singur logaritm

   2\lg\left(x\sqrt{10}\right)=\lg\left(x\sqrt{10}\right)^2=\lg\left(10x^2\right)

   Folosim regula \(n\lg a=\lg a^n\). Astfel ambii membri devin logaritmi simpli și îi putem compara. Calculăm \(\left(x\sqrt{10}\right)^2=x^2\cdot 10=10x^2\). Reține că \(\lg\left(x\sqrt{10}\right)^2=\lg(10x^2)\) are sens pentru \(x\neq 0\), iar \(2\lg\left(x\sqrt{10}\right)\) cere \(x>0\). Verificăm asta la final.

2. 2

   Egalăm argumentele

   \lg\left(x^2+9\right)=\lg\left(10x^2\right)\Rightarrow x^2+9=10x^2

   Funcția \(\lg\) este injectivă: dacă două logaritmi sunt egali, argumentele lor sunt egale. Obținem o ecuație obișnuită, fără logaritmi.

3. 3

   Rezolvăm ecuația de gradul II

   x^2+9=10x^2\Rightarrow 9x^2=9\Rightarrow x^2-1=0\Rightarrow x\in\{-1,1\}

   Mutăm termenii: \(10x^2-x^2=9\), deci \(9x^2=9\), de unde \(x^2=1\). Ecuația \(x^2-1=0\) are soluțiile \(x=-1\) și \(x=1\). Acestea sunt doar candidați, trebuie verificați.

4. 4

   Verificăm condițiile de existență

   x\sqrt{10}>0\Rightarrow x>0

   În ecuația inițială apare \(\lg\left(x\sqrt{10}\right)\), deci trebuie \(x\sqrt{10}>0\), adică \(x>0\). Pentru \(x=-1\) obținem \(-\sqrt{10}<0\), deci logaritmul nu există: \(x=-1\) nu convine. Pentru \(x=1\): \(\lg(1+9)=\lg 10=1\) și \(2\lg\sqrt{10}=\lg 10=1\), deci egalitatea e adevărată: \(x=1\) convine.

Răspuns: x = 1

Se consideră mulțimea \(A\), a numerelor naturale de cel mult două cifre. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea \(A\), acesta să fie divizibil cu \(9\).

Metoda: Probabilitate: cazuri favorabile / posibile

1. 1

   Aflăm numărul cazurilor posibile

   A=\{0,1,2,\ldots,99\},\quad |A|=100

   Numerele naturale de cel mult două cifre sunt toate numerele de la \(0\) la \(99\), deoarece \(0\) are o cifră, iar \(99\) este cel mai mare număr cu două cifre. De la \(0\) la \(99\) sunt \(99-0+1=100\) numere. Fiecare poate fi ales, deci avem \(100\) cazuri posibile.

2. 2

   Aflăm numărul cazurilor favorabile

   9\cdot 0,\ 9\cdot 1,\ 9\cdot 2,\ \ldots,\ 9\cdot 11

   Numerele divizibile cu \(9\) sunt multiplii lui \(9\), adică de forma \(9k\) cu \(k\) natural. Trebuie ca \(9k\le 99\), deci \(k\le 11\). Cum \(9\cdot 11=99\), iar \(9\cdot 12=108\) are trei cifre, valorile lui \(k\) sunt \(0,1,\ldots,11\), adică \(12\) valori. Avem deci \(12\) cazuri favorabile.

3. 3

   Calculăm probabilitatea

   p=\frac{12}{100}=\frac{3}{25}

   Aplicăm formula \(p=\dfrac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}\). Obținem \(\dfrac{12}{100}\), pe care o simplificăm prin \(4\) și ajungem la \(\dfrac{3}{25}\).

Răspuns: \(p=\dfrac{3}{25}\)

În triunghiul \(ABC\), punctul \(M\) este mijlocul laturii \(AC\), iar punctele \(D\) și \(E\) aparțin segmentului \(AB\), astfel încât \(AD = BE\). Arătați că \(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{CB}\).

Metoda: Regula triunghiului pentru vectori

1. 1

   Descompunem \(\overrightarrow{MD}\) cu regula triunghiului

   \overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}

   Pentru a ajunge din \(M\) în \(D\), putem merge întâi din \(M\) în \(A\), apoi din \(A\) în \(D\). Alegem punctul \(A\) pentru că \(M\) este pe \(AC\) și \(D\) este pe \(AB\), iar \(A\) este un punct comun util. Aceasta este regula triunghiului: \(\overrightarrow{XY}=\overrightarrow{XZ}+\overrightarrow{ZY}\).

2. 2

   Descompunem \(\overrightarrow{ME}\) trecând prin \(C\) și \(B\)

   \overrightarrow{ME}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BE}

   Acum mergem din \(M\) în \(C\), apoi în \(B\), apoi în \(E\). Alegem acest drum pentru că vrem să apară \(\overrightarrow{CB}\), vectorul din rezultatul cerut, și \(\overrightarrow{BE}\), care are legătură cu \(AD=BE\).

3. 3

   Adunăm și grupăm vectorii

   \overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}=(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC})+(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE})+\overrightarrow{CB}

   Adunăm cele două egalități și grupăm termenii convenabil: \(\overrightarrow{MA}\) cu \(\overrightarrow{MC}\), respectiv \(\overrightarrow{AD}\) cu \(\overrightarrow{BE}\).

4. 4

   Folosim ipotezele: mijlocul lui AC și AD = BE

   \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0},\quad \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{0}

   Deoarece \(M\) este mijlocul lui \(AC\), vectorii \(\overrightarrow{MA}\) și \(\overrightarrow{MC}\) au aceeași lungime și sensuri opuse, deci suma lor este vectorul nul. Pe segmentul \(AB\), \(AD=BE\), iar \(\overrightarrow{AD}\) merge de la \(A\) spre \(B\), în timp ce \(\overrightarrow{BE}\) merge de la \(B\) spre \(A\). Au aceeași lungime și sensuri opuse, deci suma lor este tot \(\overrightarrow{0}\). Rămâne \(\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CB}\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CB}\), deci egalitatea este demonstrată.

Determinați \(x\in[0,\pi]\) pentru care \(\sin 2x = 1+\cos 2x\).

Metoda: Formule trigonometrice și factorizare

1. 1

   Scriem formulele unghiului dublu

   \sin 2x = 2\sin x\cos x,\quad 1+\cos 2x = 2\cos^2 x

   Folosim \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\) și \(\cos 2x = 2\cos^2 x - 1\). Din a doua rezultă \(1+\cos 2x = 2\cos^2 x\). Astfel ambele părți ale ecuației au \(\cos x\) în ele și vom putea da factor comun.

2. 2

   Aducem ecuația la forma cu produs

   2\sin x\cos x = 2\cos^2 x \iff 2\cos x(\sin x-\cos x)=0

   Înlocuim în ecuație și mutăm totul în stânga. Dăm factor comun \(2\cos x\). Nu împărțim la \(\cos x\), pentru că am pierde soluțiile în care \(\cos x=0\). Un produs este zero când un factor este zero.

3. 3

   Rezolvăm cele două ecuații pe [0, π]

   \cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2};\quad \sin x=\cos x \Rightarrow \operatorname{tg}x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}

   Dacă \(\cos x=0\), pe \([0,\pi]\) obținem \(x=\frac{\pi}{2}\). Dacă \(\sin x=\cos x\), atunci \(\cos x\neq0\) (altfel și \(\sin x\) ar fi 0, imposibil) și putem împărți: \(\operatorname{tg}x=1\), deci \(x=\frac{\pi}{4}\) pe acest interval. Verificăm: pentru \(x=\frac{\pi}{2}\), \(\sin\pi=0\) și \(1+\cos\pi=0\). Pentru \(x=\frac{\pi}{4}\), \(\sin\frac{\pi}{2}=1\) și \(1+\cos\frac{\pi}{2}=1\).

Răspuns: \(x=\frac{\pi}{4}\) sau \(x=\frac{\pi}{2}\)

Se consideră matricea \(A(a)=\begin{pmatrix} a & 1 & 2 \\ 1 & a & -1 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}\) și sistemul de ecuații \(\begin{cases} ax+y+2z=-2 \\ x+ay-z=4 \\ 2x+2y+z=2 \end{cases}\), unde \(a\) este număr real. a) Arătați că \(\det(A(0))=1\).

Metoda: Calculul determinantului de ordin 3

1. 1

   Scriem matricea pentru a = 0

   A(0)=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}

   Cerința ne cere determinantul matricei pentru \(a=0\). De aceea înlocuim peste tot parametrul \(a\) cu \(0\). Se schimbă doar elementul din stânga sus și cel din mijloc, celelalte rămân la fel.

2. 2

   Aplicăm regula lui Sarrus: produsele pozitive

   0\cdot 0\cdot 1+1\cdot(-1)\cdot 2+1\cdot 2\cdot 2

   La regula lui Sarrus, termenii cu plus sunt produsul elementelor de pe diagonala principală și produsele de pe cele două paralele cu ea. Aici: \(0\cdot0\cdot1\), apoi \(1\cdot(-1)\cdot2\) și \(1\cdot2\cdot2\). Avem grijă la semnul lui \(-1\).

3. 3

   Produsele negative

   -\left(2\cdot 0\cdot 2+1\cdot 1\cdot 1+(-1)\cdot 2\cdot 0\right)

   Termenii cu minus sunt produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei: \(2\cdot0\cdot2\), \(1\cdot1\cdot1\) și \((-1)\cdot2\cdot0\). Apoi scădem toată suma. Doar produsul din mijloc este nenul.

4. 4

   Calculăm determinantul

   \det(A(0))=0-2+4-0-1-0=1

   Adunăm termenii pozitivi, \(0-2+4=2\), și scădem suma termenilor negativi, \(0+1+0=1\). Rezultă \(2-1=1\), exact ce trebuia arătat, la fel ca în barem.

Răspuns: \(\det(A(0))=1\)

Se consideră matricea \(A(a)=\begin{pmatrix} a & 1 & 2\\ 1 & a & -1\\ 2 & 2 & 1\end{pmatrix}\) și sistemul de ecuații \(\begin{cases} ax+y+2z=-2\\ x+ay-z=4\\ 2x+2y+z=2\end{cases}\), unde \(a\) este număr real. b) Determinați mulțimea numerelor reale \(a\) pentru care sistemul de ecuații are soluție unică.

Metoda: Determinantul matricei sistemului

1. 1

   Alegem criteriul pentru soluție unică

   \det(A(a))\neq 0

   Matricea sistemului este \(A(a)\), pătratică de ordin 3. Sistemul are soluție unică (este compatibil determinat) dacă și numai dacă \(\det(A(a))\neq 0\). Dacă determinantul este 0, sistemul fie nu are soluții, fie are infinit de multe.

2. 2

   Calculăm determinantul lui A(a)

   \det(A(a))=\begin{vmatrix} a&1&2\\1&a&-1\\2&2&1\end{vmatrix}=a^2+(-2)+4-4a-(-2a)-1=a^2-2a+1

   Aplicăm regula lui Sarrus. Termenii pozitivi: \(a\cdot a\cdot 1=a^2\), \(1\cdot(-1)\cdot 2=-2\), \(2\cdot1\cdot2=4\). Termenii cu minus: \(2\cdot a\cdot 2=4a\), \(a\cdot(-1)\cdot 2=-2a\), \(1\cdot 1\cdot 1=1\). Rezultă \(a^2-2-4a+... \) adică \(a^2-2+4-4a+2a-1=a^2-2a+1=(a-1)^2\), pentru orice \(a\in\mathbb{R}\).

3. 3

   Aflăm când determinantul este nul

   (a-1)^2=0\iff a=1

   Un pătrat este zero doar când baza este zero, deci \(\det(A(a))=0\) doar pentru \(a=1\). Pentru orice alt număr real determinantul este strict pozitiv, deci nenul.

4. 4

   Concluzia

   a\in\mathbb{R}\setminus\{1\}

   Sistemul are soluție unică exact când \(\det(A(a))\neq 0\), adică \(a\neq 1\). Mulțimea căutată este \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\), la fel ca în barem.

Răspuns: \(a\in\mathbb{R}\setminus\{1\}\)

Se consideră matricea \(A(a)=\begin{pmatrix} a & 1 & 2\\ 1 & a & -1\\ 2 & 2 & 1\end{pmatrix}\) și sistemul \(\begin{cases} ax+y+2z=-2\\ x+ay-z=4\\ 2x+2y+z=2\end{cases}\), unde \(a\) este număr real. Itemul 1. c): Pentru \(a=1\), determinați soluțiile \((x_0,y_0,z_0)\) ale sistemului pentru care \(x_0\), \(y_0\) și \(z_0\) sunt numere întregi și \(x_0>y_0>z_0\).

Metoda: Rezolvarea sistemului prin reducere

1. 1

   Scriem sistemul pentru a = 1

   \begin{cases} x+y+2z=-2\\ x+y-z=4\\ 2x+2y+z=2\end{cases}

   Înlocuim \(a=1\) în sistem. Observăm că în toate cele trei ecuații necunoscutele \(x\) și \(y\) apar doar sub forma sumei \(x+y\) (în a treia, \(2x+2y=2(x+y)\)). Asta ne arată că nu le putem afla separat, doar suma lor.

2. 2

   Aflăm z scăzând primele două ecuații

   (x+y+2z)-(x+y-z)=-2-4 \;\Rightarrow\; 3z=-6 \;\Rightarrow\; z=-2

   Scădem a doua ecuație din prima. Suma \(x+y\) dispare și rămâne o ecuație cu o singură necunoscută, \(z\).

3. 3

   Aflăm suma x+y și scriem soluția generală

   x+y-(-2)=4 \Rightarrow x+y=2;\quad 2(x+y)+z=2\cdot 2-2=2\ \checkmark;\quad (x,y,z)=(\alpha,\,2-\alpha,\,-2)

   Din a doua ecuație, cu \(z=-2\), obținem \(x+y=2\). A treia ecuație este verificată de aceste valori, deci nu aduce o condiție nouă. Notăm \(x=\alpha\) și atunci \(y=2-\alpha\). Obținem soluțiile \((\alpha,2-\alpha,-2)\), la fel ca în barem.

4. 4

   Impunem condițiile: numere întregi și ordinea

   \alpha\in\mathbb{Z},\quad \alpha>2-\alpha>-2 \;\Rightarrow\; \alpha>1 \text{ și } \alpha<4 \;\Rightarrow\; \alpha\in\{2,3\}

   Din \(\alpha>2-\alpha\) obținem \(2\alpha>2\), adică \(\alpha>1\). Din \(2-\alpha>-2\) obținem \(\alpha<4\). Cum \(\alpha\) este întreg, rămân \(\alpha=2\) și \(\alpha=3\). Pentru \(\alpha=2\) soluția este \((2,0,-2)\), iar pentru \(\alpha=3\) este \((3,-1,-2)\). Ambele au \(x_0>y_0>z_0\) și componente întregi.

Răspuns: Soluțiile cerute sunt \((2,0,-2)\) și \((3,-1,-2)\).

Subiectul II, itemul 2. a): Pe mulțimea \( M=[-1,1] \) se definește legea de compoziție \( x*y=\dfrac{xy}{1+\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}} \). Arătați că \( 1*\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2} \).

Metoda: Calcul direct prin înlocuire

1. 1

   Înlocuim x = 1 și y = 1/2 în formulă

   1*\frac{1}{2}=\frac{1\cdot\frac{1}{2}}{1+\sqrt{\left(1-1^2\right)\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^2\right)}}

   Legea de compoziție este definită prin formula \( x*y=\frac{xy}{1+\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}} \). Pentru a calcula \( 1*\frac{1}{2} \), punem peste tot \( 1 \) în locul lui \( x \) și \( \frac{1}{2} \) în locul lui \( y \). Numărătorul devine \( 1\cdot\frac{1}{2} \).

2. 2

   Calculăm radicalul și simplificăm

   \frac{\frac{1}{2}}{1+\sqrt{0}}=\frac{\frac{1}{2}}{1+0}=\frac{1}{2}

   Deoarece \( 1-1^2=0 \), produsul de sub radical este \( 0\cdot\left(1-\frac{1}{4}\right)=0 \), deci \( \sqrt{0}=0 \). Numitorul devine \( 1+0=1 \). Fracția este \( \frac{1/2}{1}=\frac{1}{2} \), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \( 1*\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2} \), așa cum se cere.

Pe mulțimea \(M=[-1,1]\) se definește legea de compoziție \(x*y=\dfrac{xy}{1+\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}}\). b) Arătați că \(x*(-x)\ge -x^2\), pentru orice \(x\in M\).

Metoda: Calcul direct și studiul semnului

1. 1

   Înlocuim în definiția legii

   x*(-x)=\frac{x\cdot(-x)}{1+\sqrt{(1-x^2)(1-(-x)^2)}}

   Punem \(y=-x\) în formula legii. Numărătorul devine \(-x^2\). Cum \((-x)^2=x^2\), cei doi factori de sub radical sunt egali: \((1-x^2)(1-x^2)=(1-x^2)^2\).

2. 2

   Eliminăm radicalul și modulul

   x*(-x)=\frac{-x^2}{1+|1-x^2|}=\frac{-x^2}{1+1-x^2}=\frac{-x^2}{2-x^2}

   Avem \(\sqrt{(1-x^2)^2}=|1-x^2|\). Deoarece \(x\in[-1,1]\), rezultă \(x^2\le 1\), deci \(1-x^2\ge 0\) și modulul se elimină: \(|1-x^2|=1-x^2\). Numitorul devine \(2-x^2\), care este strict pozitiv (cel puțin 1).

3. 3

   Formăm diferența cu \(-x^2\)

   \left(x*(-x)\right)+x^2=\frac{-x^2}{2-x^2}+x^2=\frac{-x^2+2x^2-x^4}{2-x^2}=\frac{x^2(1-x^2)}{2-x^2}

   Inegalitatea \(x*(-x)\ge -x^2\) este echivalentă cu \(x*(-x)+x^2\ge 0\). Aducem la numitor comun \(2-x^2\): \(x^2=\frac{x^2(2-x^2)}{2-x^2}=\frac{2x^2-x^4}{2-x^2}\). După reducere la numărător rămâne \(x^2-x^4=x^2(1-x^2)\).

4. 4

   Stabilim semnul și concluzionăm

   \frac{x^2(1-x^2)}{2-x^2}\ge 0\Rightarrow x*(-x)\ge -x^2,\ \forall x\in M

   Numărătorul este produs de doi factori nenegativi: \(x^2\ge0\) și \(1-x^2\ge0\) (pentru \(x\in[-1,1]\)). Numitorul \(2-x^2>0\). Deci fracția este \(\ge 0\), adică \(x*(-x)+x^2\ge0\), de unde \(x*(-x)\ge -x^2\) pentru orice \(x\in M\).

Răspuns: Am obținut \(\left(x*(-x)\right)+x^2=\dfrac{x^2(1-x^2)}{2-x^2}\ge 0\), deci \(x*(-x)\ge -x^2\) pentru orice \(x\in M\).

Subiectul II, 2. c): Pe mulțimea \(M=[-1,1]\) se definește legea de compoziție \(x*y=\dfrac{xy}{1+\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}}\). Determinați perechile \((a,b)\) de numere din mulțimea \(M\) pentru care \(a*b=1\).

Metoda: Ecuație cu radical și inegalități

1. 1

   Scriem condiția și eliminăm numitorul

   \frac{ab}{1+\sqrt{(1-a^2)(1-b^2)}}=1 \Rightarrow ab=1+\sqrt{(1-a^2)(1-b^2)}

   Din \(a*b=1\) obținem \(\dfrac{ab}{1+\sqrt{(1-a^2)(1-b^2)}}=1\). Numitorul este mereu cel puțin 1, deci nenul, și putem înmulți cu el. Rezultă \(ab=1+\sqrt{(1-a^2)(1-b^2)}\).

2. 2

   Deducem că ab ≥ 1

   \sqrt{(1-a^2)(1-b^2)}=ab-1 \ge 0 \Rightarrow ab\ge 1

   Mutăm 1 în stânga: \(\sqrt{(1-a^2)(1-b^2)}=ab-1\). Un radical este mereu \(\ge 0\), deci \(ab-1\ge 0\), adică \(ab\ge 1\). Radicalul există, pentru că \(a,b\in M\) înseamnă \(1-a^2\ge 0\) și \(1-b^2\ge 0\).

3. 3

   Folosim faptul că a, b sunt în [-1,1]

   |a|\le 1,\ |b|\le 1 \Rightarrow |ab|\le 1 \Rightarrow ab\le 1

   Din \(a,b\in[-1,1]\) avem \(|a|\le1\) și \(|b|\le1\), deci \(|ab|\le 1\), adică \(ab\le 1\). Cu \(ab\ge 1\) de la pasul anterior obținem \(ab=1\).

4. 4

   Aflăm perechile

   ab=1,\ |a|\le1,\ |b|\le1 \Rightarrow |a|=|b|=1 \Rightarrow (a,b)\in\{(-1,-1),(1,1)\}

   Dacă \(|a|<1\), atunci \(|b|=\dfrac{1}{|a|}>1\), ceea ce nu se poate. Deci \(|a|=1\) și \(|b|=1\). Cum \(ab=1\), \(a\) și \(b\) au același semn, deci perechile sunt \((-1,-1)\) și \((1,1)\). Verificăm: pentru ele radicalul este \(\sqrt{0\cdot0}=0\), iar \(ab-1=0\), deci convin. Verificare directă: \(1*1=\dfrac{1}{1+0}=1\) și \((-1)*(-1)=\dfrac{1}{1+0}=1\).

Răspuns: Perechile sunt \((-1,-1)\) și \((1,1)\).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x-1-\ln\left(e^x+x^2\right)\). a) Arătați că \(f'(x)=\dfrac{x(x-2)}{e^x+x^2}\), \(x\in\mathbb{R}\).

Metoda: Derivata unei funcții compuse

1. 1

   Derivăm funcția termen cu termen

   f'(x)=(x-1)'-\left(\ln(e^x+x^2)\right)'

   Derivata unei diferențe este diferența derivatelor. Deci derivăm separat \(x-1\) și \(\ln(e^x+x^2)\). Cum \((x-1)'=1\), rămâne de calculat derivata logaritmului.

2. 2

   Derivăm logaritmul (funcție compusă)

   \left(\ln u\right)'=\frac{u'}{u},\quad u=e^x+x^2\Rightarrow f'(x)=1-\frac{1}{e^x+x^2}\cdot\left(e^x+2x\right)

   Folosim formula \((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\), unde \(u=e^x+x^2\). Derivata lui u este \(e^x+2x\), pentru că \((e^x)'=e^x\) și \((x^2)'=2x\). Astfel obținem exact forma din barem.

3. 3

   Aducem la numitor comun și simplificăm

   f'(x)=\frac{e^x+x^2-e^x-2x}{e^x+x^2}=\frac{x^2-2x}{e^x+x^2}=\frac{x(x-2)}{e^x+x^2},\ x\in\mathbb{R}

   Scriem \(1=\dfrac{e^x+x^2}{e^x+x^2}\) și scădem fracțiile. La numărător, \(e^x\) se reduce, rămâne \(x^2-2x\), pe care îl scoatem factor comun: \(x(x-2)\). Numitorul \(e^x+x^2>0\), deci derivata există pentru orice x real. Am obținut exact egalitatea cerută.

Răspuns: \(f'(x)=\dfrac{x(x-2)}{e^x+x^2}\), pentru orice \(x\in\mathbb{R}\), ceea ce trebuia arătat.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x-1-\ln\left(e^x+x^2\right)\). b) Determinați numerele reale \(a\) pentru care tangenta la graficul funcției \(f\) în punctul de coordonate \((a, f(a))\) este paralelă cu axa \(Ox\).

Metoda: Panta tangentei egală cu zero

1. 1

   Condiția de paralelism cu axa Ox

   f'(a)=0

   Tangenta la graficul lui \(f\) în punctul \((a,f(a))\) are panta \(f'(a)\). O dreaptă paralelă cu axa \(Ox\) este orizontală, deci panta ei este \(0\). Rezultă că tangenta este paralelă cu \(Ox\) exact când \(f'(a)=0\).

2. 2

   Scriem derivata din subpunctul a)

   f'(x)=\frac{x(x-2)}{e^x+x^2}

   Din subpunctul a) știm că \(f'(x)=\dfrac{x(x-2)}{e^x+x^2}\), pentru orice \(x\in\mathbb{R}\). Înlocuind \(x\) cu \(a\), condiția devine \(\dfrac{a(a-2)}{e^a+a^2}=0\).

3. 3

   Rezolvăm ecuația

   \frac{a(a-2)}{e^a+a^2}=0 \Leftrightarrow a(a-2)=0 \Leftrightarrow a=0 \text{ sau } a=2

   O fracție este zero când numărătorul este zero și numitorul este nenul. Numitorul \(e^a+a^2\) este strict pozitiv pentru orice \(a\), deoarece \(e^a>0\) și \(a^2\ge 0\). Deci rămâne doar \(a(a-2)=0\), de unde \(a=0\) sau \(a=2\).

Răspuns: a = 0 sau a = 2

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x-1-\ln\left(e^x+x^2\right)\). c) Determinați imaginea funcției \(f\).

Metoda: Studiul monotoniei și limitelor

1. 1

   Semnul derivatei

   f'(x)=\frac{x(x-2)}{e^x+x^2}

   De la punctul a) avem \(f'(x)=\frac{x(x-2)}{e^x+x^2}\). Numitorul \(e^x+x^2\) este mereu strict pozitiv, deci semnul derivatei este dat de numărătorul \(x(x-2)\), o funcție de gradul II cu rădăcinile 0 și 2.

2. 2

   Monotonia funcției

   f\nearrow \text{ pe } (-\infty,0],\quad f\searrow \text{ pe } [0,2],\quad f\nearrow \text{ pe } [2,+\infty)

   Pe \((-\infty,0]\) avem \(f'(x)\ge 0\), deci f este crescătoare. Pe \([0,2]\) avem \(f'(x)\le 0\), deci f este descrescătoare. Pe \([2,+\infty)\) avem \(f'(x)\ge 0\), deci f este crescătoare.

3. 3

   Valoarea în 0 și limitele

   f(0)=0-1-\ln(1+0)=-1,\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=-1

   Calculăm \(f(0)=-1-\ln 1=-1\). Pentru \(x\to-\infty\), \(e^x\to0\), iar \(x^2\) crește, deci \(\ln(e^x+x^2)\) crește mult mai încet decât \(x\) scade: \(f(x)\to-\infty\). Pentru \(x\to+\infty\), scriem \(f(x)=-1+x-\ln(e^x+x^2)=-1-\ln\left(1+\frac{x^2}{e^x}\right)\), pentru că \(x=\ln e^x\). Cum \(\frac{x^2}{e^x}\to0\), obținem \(f(x)\to-1\).

4. 4

   Imaginea funcției

   \operatorname{Im}f=(-\infty,-1]

   Pe \((-\infty,0]\) f este continuă și crescătoare de la \(-\infty\) la \(f(0)=-1\), deci ia toate valorile din \((-\infty,-1]\). Pe \([0,2]\) f scade din \(-1\), deci valorile sunt mai mici sau egale cu \(-1\). Pe \([2,+\infty)\) f crește de la \(f(2)<-1\) spre limita \(-1\), fără să o atingă, deci rămâne sub \(-1\). Astfel valoarea maximă este \(-1\), atinsă în \(x=0\), iar f este continuă și ia valori oricât de mici.

Răspuns: Imaginea funcției este \((-\infty,-1]\).

Se consideră funcția \( f:(-3,+\infty)\to\mathbb{R},\ f(x)=\dfrac{x^2+1}{\sqrt{x+3}} \). Arătați că \( \displaystyle\int_0^3 f(x)\sqrt{x+3}\,dx=12 \).

Metoda: Simplificare și integrală definită

1. 1

   Simplificăm expresia de sub integrală

   f(x)\sqrt{x+3}=\frac{x^2+1}{\sqrt{x+3}}\cdot\sqrt{x+3}=x^2+1

   Înlocuim \(f(x)\) cu formula ei. Deoarece \(x\in[0,3]\), avem \(x+3>0\), deci \(\sqrt{x+3}\neq 0\) și putem simplifica radicalul de la numitor cu cel din înmulțire. Rămâne doar \(x^2+1\), pe care știm să-l integrăm.

2. 2

   Scriem integrala și aflăm o primitivă

   \int_0^3 (x^2+1)\,dx=\left(\frac{x^3}{3}+x\right)\Big|_0^3

   Integrala devine integrală de polinom. Folosim \(\int x^2dx=\dfrac{x^3}{3}\) și \(\int 1\,dx=x\). Astfel, o primitivă a lui \(x^2+1\) este \(\dfrac{x^3}{3}+x\).

3. 3

   Aplicăm formula Leibniz-Newton

   \left(\frac{3^3}{3}+3\right)-\left(\frac{0^3}{3}+0\right)=9+3-0=12

   Calculăm primitiva în limita superioară \(3\) și scădem valoarea ei în limita inferioară \(0\). Obținem \(9+3=12\), exact valoarea cerută, deci egalitatea este demonstrată.

Răspuns: \(\displaystyle\int_0^3 f(x)\sqrt{x+3}\,dx=\int_0^3(x^2+1)\,dx=\left(\frac{x^3}{3}+x\right)\Big|_0^3=9+3=12\).

Se consideră funcția \( f:(-3,+\infty)\to\mathbb{R},\ f(x)=\dfrac{x^2+1}{\sqrt{x+3}} \). Arătați că \( \displaystyle\int_{-2}^{1}\dfrac{f(x)}{x^2+1}\,dx=2 \).

Metoda: Integrare prin identificarea derivatei

1. 1

   Simplificăm funcția de integrat

   \frac{f(x)}{x^2+1}=\frac{1}{\sqrt{x+3}}

   Înlocuim \(f(x)\) cu expresia ei: \(\dfrac{f(x)}{x^2+1}=\dfrac{x^2+1}{\sqrt{x+3}\,(x^2+1)}\). Factorul \(x^2+1\) este nenul pentru orice \(x\), deci se simplifică. Rămâne \(\dfrac{1}{\sqrt{x+3}}\), mult mai ușor de integrat.

2. 2

   Recunoaștem o derivată

   (x+3)'=1,\quad \left(2\sqrt{x+3}\right)'=\frac{1}{\sqrt{x+3}}

   Știm că \((\sqrt{u})'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\). Pentru \(u=x+3\) avem \(u'=1\), deci \((\sqrt{x+3})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x+3}}\). Înmulțind cu 2 obținem \((2\sqrt{x+3})'=\dfrac{1}{\sqrt{x+3}}\). Așadar \(2\sqrt{x+3}\) este o primitivă a funcției noastre. Baremul scrie funcția ca \(\dfrac{(x+3)'}{\sqrt{x+3}}\), ceea ce duce la același rezultat.

3. 3

   Aplicăm formula Leibniz-Newton

   \int_{-2}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x+3}}=2\sqrt{x+3}\,\Big|_{-2}^{1}=2\sqrt{4}-2\sqrt{1}=4-2=2

   Calculăm primitiva în limita de sus, \(x=1\), și scădem valoarea ei în limita de jos, \(x=-2\). Pentru \(x=1\): \(x+3=4\), deci \(2\sqrt{4}=4\). Pentru \(x=-2\): \(x+3=1\), deci \(2\sqrt{1}=2\). Diferența este \(4-2=2\), exact valoarea cerută. Funcția este continuă pe \([-2,1]\) deoarece \(x+3>0\) acolo.

Răspuns: Integrala este egală cu 2, deci \(\displaystyle\int_{-2}^{1}\dfrac{f(x)}{x^2+1}\,dx=2\).

Se consideră funcția \( f:(-3,+\infty)\to\mathbb{R} \), \( f(x)=\dfrac{x^2+1}{\sqrt{x+3}} \). c) Demonstrați că \( \displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{f(x)}\,dx \le \dfrac{\pi}{2} \).

Metoda: Majorarea integralei

1. 1

   Scriem expresia lui 1/f(x)

   \frac{1}{f(x)}=\frac{\sqrt{x+3}}{x^2+1}

   Inversăm fracția \( f(x)=\frac{x^2+1}{\sqrt{x+3}} \). Pe \( [0,1] \) avem \( x+3>0 \) și \( x^2+1>0 \), deci totul este bine definit și pozitiv.

2. 2

   Majorăm radicalul

   x\in[0,1]\Rightarrow x+3\le 4\Rightarrow \sqrt{x+3}\le 2

   Pentru \( x\in[0,1] \) avem \( x+3\le 4 \). Radicalul este o funcție crescătoare, deci \( \sqrt{x+3}\le\sqrt{4}=2 \). Împărțim apoi la \( x^2+1>0 \), iar sensul inegalității se păstrează.

3. 3

   Obținem inegalitatea între funcții

   \frac{1}{f(x)}=\frac{\sqrt{x+3}}{x^2+1}\le\frac{2}{x^2+1},\ \forall x\in[0,1]

   Împărțim inegalitatea \( \sqrt{x+3}\le 2 \) la \( x^2+1>0 \). Funcția din dreapta are o primitivă cunoscută.

4. 4

   Integrăm inegalitatea și calculăm

   \int_0^1\frac{1}{f(x)}dx\le 2\int_0^1\frac{1}{x^2+1}dx=2\,\mathrm{arctg}\,x\Big|_0^1=2\left(\frac{\pi}{4}-0\right)=\frac{\pi}{2}

   Integrala păstrează inegalitățile dintre funcții pe un interval \( [0,1] \). Scoatem constanta 2 în fața integralei. Apoi aplicăm formula Leibniz-Newton: \( \mathrm{arctg}\,1=\frac{\pi}{4} \) și \( \mathrm{arctg}\,0=0 \). Rezultă \( \int_0^1\frac{1}{f(x)}dx\le\frac{\pi}{2} \), adică exact ce trebuia demonstrat.

Răspuns: Am arătat că \( \frac{1}{f(x)}\le\frac{2}{x^2+1} \) pe \( [0,1] \), deci \( \int_0^1\frac{1}{f(x)}dx\le 2\,\mathrm{arctg}\,x\big|_0^1=\frac{\pi}{2} \).