Matematică 2023

Ministerul Educaţiei Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație Examenul național de bacalaureat 2023 Proba E. c) Matematică M_mate-info Simulare Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică  Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.  Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Se consideră numerele complexe z1  1  2i și z2  1  i . Arătați că z12  4 z2  1 . 5p 2. Se consideră funcțiile f : ℝ  ℝ , f  x   3 x  1 și g : ℝ  ℝ , g  x   x 2  x  m , unde m este număr real. Determinați numărul real m pentru care graficele funcțiilor f și g au exact un punct comun.  5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația lg x 2  9  2lg x 10 .    5p 4. Se consideră mulțimea A , a numerelor naturale de cel mult două cifre. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A , acesta să fie divizibil cu 9 . 5p 5. În triunghiul ABC , punctul M este mijlocul laturii AC , iar punctele D și E aparțin    segmentului AB , astfel încât AD  BE . Arătați că MD  ME  CB . 5p 6. Determinați x   0,   pentru care sin 2 x  1  cos 2 x . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) a 1 2   ax  y  2 z  2    1. Se consideră matricea A  a    1 a 1  și sistemul de ecuații  x  ay  z  4 , unde a este 2 2 1   2x  2 y  z  2    număr real. 5p a) Arătați că det  A  0    1 . 5p b) Determinați mulțimea numerelor reale a pentru care sistemul de ecuații are soluție unică. 5p c) Pentru a  1 , determinați soluțiile  x0 , y0 , z0  ale sistemului pentru care x0 , y0 și z0 sunt numere întregi și x0  y0  z0 . xy 2. Pe mulțimea M   1,1 se definește legea de compoziție x  y  . 1   1  x2 1  y2  1 1 5p a) Arătați că 1   . 2 2 5p b) Arătați că x    x    x 2 , pentru orice x  M . 5p c) Determinați perechile  a, b  de numere din mulțimea M pentru care a  b  1 . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)  1. Se consideră funcția f : ℝ  ℝ , f  x   x  1  ln e x  x 2 .  x  x  2 5p a) Arătați că f '  x   , xℝ . e x  x2 5p b) Determinați numerele reale a pentru care tangenta la graficul funcției f în punctul de coordonate  a, f  a   este paralelă cu axa Ox . 5p c) Determinați imaginea funcției f . Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 1 din 2  Ministerul Educaţiei Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație x2  1 2. Se consideră funcția f :  3,    ℝ , f  x   . x3 3 5p a) Arătați că  f  x  x  3 dx  12 . 0 1 f  x 5p b) Arătați că  2 dx  2 . 2 x  1 1 1  5p c) Demonstrați că  dx  . 0 f  x 2 Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 2 din 2