Rezolvare pas cu pas: Matematică – Mate-Info (M1) – Bacalaureat 2023, sesiunea specială (varianta 06)

Arătați că \((2-i)^2+i(4+i)=2\), unde \(i^2=-1\).

Metoda: Calcul cu numere complexe

1. 1

   Dezvoltăm pătratul și produsul

   (2-i)^2+i(4+i)=4-4i+i^2+4i+i^2

   Folosim formula \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) pentru \((2-i)^2=4-4i+i^2\). Apoi distribuim \(i\) în paranteză: \(i(4+i)=4i+i^2\). Dezvoltăm mai întâi ca să putem folosi apoi \(i^2=-1\).

2. 2

   Folosim \(i^2=-1\) și reducem termenii

   4-4i-1+4i-1=4-1-1=2

   Înlocuim fiecare \(i^2\) cu \(-1\). Termenii \(-4i\) și \(+4i\) se anulează, deoarece sunt opuși. Rămân doar numerele reale: \(4-1-1=2\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: Am obținut \((2-i)^2+i(4+i)=4-1-1=2\), deci egalitatea este adevărată.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x+3\). Determinați numărul real \(m\) pentru care \((f\circ f)(m)=2m\).

Metoda: Compunerea funcțiilor

1. 1

   Calculăm compunerea (f∘f)(m)

   (f\circ f)(m)=f(f(m))=f(m+3)=(m+3)+3=m+6

   Compunerea \(f\circ f\) înseamnă că aplicăm funcția \(f\) de două ori. Mai întâi calculăm \(f(m)=m+3\), apoi pe acest rezultat aplicăm din nou \(f\): în loc de \(x\) punem \(m+3\). Obținem \(f(m+3)=m+3+3=m+6\), pentru orice \(m\) real.

2. 2

   Punem condiția din enunț și rezolvăm ecuația

   m+6=2m \Rightarrow m=6

   Enunțul cere ca \((f\circ f)(m)=2m\). Înlocuim ce am aflat: \(m+6=2m\). Trecem pe \(m\) în partea dreaptă: \(6=2m-m\), deci \(m=6\).

3. 3

   Verificăm rezultatul

   f(f(6))=f(9)=12=2\cdot 6

   Verificăm pe \(m=6\): \(f(6)=9\), apoi \(f(9)=12\). Iar \(2m=12\). Cele două valori coincid, deci soluția este corectă.

Răspuns: \(m=6\)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(5^{x+1}-3\cdot 5^{x}=10\).

Metoda: Factor comun și ecuație exponențială

1. 1

   Scriem \(5^{x+1}\) cu ajutorul lui \(5^x\)

   5^{x+1}=5\cdot 5^{x}

   Folosim regula \(a^{m+n}=a^m\cdot a^n\). Astfel \(5^{x+1}=5^x\cdot 5^1=5\cdot 5^x\). Facem asta ca să apară aceeași putere \(5^x\) în ambii termeni și să putem reduce termenii asemenea. Ecuația devine \(5\cdot 5^x-3\cdot 5^x=10\).

2. 2

   Reducem termenii asemenea

   5\cdot 5^{x}-3\cdot 5^{x}=10 \Rightarrow 2\cdot 5^{x}=10

   Ambii termeni conțin \(5^x\), deci îl dăm factor comun: \((5-3)\cdot 5^x=10\). Obținem \(2\cdot 5^x=10\). Este ca la \(5a-3a=2a\), unde \(a=5^x\).

3. 3

   Izolăm \(5^x\)

   5^{x}=\frac{10}{2}=5

   Împărțim ambii membri la 2 și obținem \(5^x=5\). Împărțim ca să rămână \(5^x\) singur într-o parte.

4. 4

   Aflăm \(x\) și verificăm

   5^{x}=5^{1}\Rightarrow x=1

   Cum \(5=5^1\), ecuația este \(5^x=5^1\). Funcția exponențială cu baza 5 este injectivă (strict crescătoare), deci exponenții sunt egali: \(x=1\). Verificare: \(5^{2}-3\cdot 5=25-15=10\), corect.

Răspuns: \(x=1\)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifrele mai mari sau egale cu \(7\).

Metoda: Probabilitate: cazuri favorabile pe posibile

1. 1

   Numărăm cazurile posibile

   99-10+1=90

   Numerele naturale de două cifre sunt toate numerele de la \(10\) la \(99\). Numărul lor este \(99-10+1=90\). Acestea sunt cazurile posibile, fiindcă oricare dintre ele poate fi ales.

2. 2

   Numărăm cazurile favorabile

   c_1,c_2\in\{7,8,9\}\Rightarrow 3\cdot 3=9

   Numărul are forma \(\overline{c_1c_2}\). Ambele cifre trebuie să fie mai mari sau egale cu \(7\), deci fiecare poate fi \(7\), \(8\) sau \(9\). Pentru prima cifră avem 3 alegeri, iar pentru a doua tot 3, deci \(3\cdot 3=9\) numere: 77, 78, 79, 87, 88, 89, 97, 98, 99. Acestea sunt cazurile favorabile.

3. 3

   Calculăm probabilitatea

   p=\frac{9}{90}=\frac{1}{10}

   Probabilitatea este raportul dintre cazurile favorabile și cele posibile: \(p=\frac{9}{90}\). Simplificăm prin \(9\) și obținem \(\frac{1}{10}\).

Răspuns: \(p=\dfrac{1}{10}\)

În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(0,4)\), \(B(3,-2)\) și \(C(2a,a)\), unde \(a\) este număr real nenul. Arătați că dreptele \(AB\) și \(OC\) sunt perpendiculare, pentru orice număr real nenul \(a\).

Metoda: Produsul pantelor egal cu -1

1. 1

   Panta dreptei AB

   m_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{-2-4}{3-0}=-2

   Panta unei drepte care trece prin două puncte este raportul dintre diferența ordonatelor și diferența absciselor. Aici \(A(0,4)\) și \(B(3,-2)\), deci \(m_{AB}=\frac{-2-4}{3-0}=\frac{-6}{3}=-2\).

2. 2

   Panta dreptei OC

   m_{OC}=\frac{a-0}{2a-0}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}

   Dreapta \(OC\) trece prin origine \(O(0,0)\) și prin \(C(2a,a)\). Panta este \(\frac{a-0}{2a-0}=\frac{a}{2a}\). Cum \(a\neq 0\), putem simplifica prin \(a\) și obținem \(\frac12\), valoare care nu depinde de \(a\). Condiția \(a\neq0\) ne asigură și că \(C\neq O\), deci dreapta \(OC\) există.

3. 3

   Produsul pantelor și concluzia

   m_{AB}\cdot m_{OC}=(-2)\cdot\frac{1}{2}=-1

   Înmulțim pantele: \((-2)\cdot\frac12=-1\). Cum produsul pantelor este \(-1\), dreptele \(AB\) și \(OC\) sunt perpendiculare. Rezultatul nu depinde de \(a\), deci este adevărat pentru orice număr real nenul \(a\), ceea ce trebuia arătat.

Răspuns: Cum \(m_{AB}=-2\), \(m_{OC}=\frac12\) și \(m_{AB}\cdot m_{OC}=-1\), dreptele \(AB\) și \(OC\) sunt perpendiculare pentru orice \(a\neq0\).

Se consideră expresia \(E(x)=\sin x+4\cos\frac{x}{3}\sin\frac{2x}{3}\), unde \(x\) este număr real. Arătați că \(E\left(\frac{\pi}{2}\right)=4\).

Metoda: Calcul prin valori trigonometrice

1. 1

   Înlocuim x = π/2 în expresie

   E\left(\frac{\pi}{2}\right)=\sin\frac{\pi}{2}+4\cos\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}

   Înlocuim \(x\) cu \(\frac{\pi}{2}\). Atunci \(\frac{x}{3}=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{\pi}{6}\), iar \(\frac{2x}{3}=\frac{2}{3}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{3}\). Astfel ajungem la unghiuri remarcabile, ale căror valori le știm.

2. 2

   Folosim valorile unghiurilor remarcabile

   \sin\frac{\pi}{2}=1,\quad \cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2},\quad \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}

   Acestea sunt valori din tabelul trigonometric pe care trebuie să le știm pe de rost: la \(90^\circ\) sinusul este 1, la \(30^\circ\) cosinusul este \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), iar la \(60^\circ\) sinusul este tot \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).

3. 3

   Calculăm valoarea expresiei

   E\left(\frac{\pi}{2}\right)=1+4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=1+4\cdot\frac{3}{4}=1+3=4

   Produsul \(\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{4}\), pentru că \((\sqrt{3})^2=3\) și \(2\cdot 2=4\). Apoi \(4\cdot\frac{3}{4}=3\), iar \(1+3=4\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(E\left(\frac{\pi}{2}\right)=1+4\cdot\frac{3}{4}=4\), deci egalitatea este demonstrată.

Se consideră matricea \(A(a)=\begin{pmatrix} a & -1 & 2a \\ 1 & -2 & a \\ 1 & 1 & 1-a \end{pmatrix}\) și sistemul de ecuații \(\begin{cases} ax-y+2az=0 \\ x-2y+az=0 \\ x+y+(1-a)z=0 \end{cases}\), unde \(a\) este număr real. a) Arătați că \(\det(A(0))=1\).

Metoda: Calculul determinantului de ordin 3

1. 1

   Scriem matricea A(0)

   A(0)=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

   Înlocuim peste tot \(a\) cu \(0\). Elementele \(a\), \(2a\) devin \(0\), iar \(1-a\) devine \(1\). Elementele fără \(a\) (\(-1, 1, -2, 1, 1\)) rămân neschimbate. Facem acest pas ca să avem o matrice cu numere concrete, al cărei determinant se calculează ușor.

2. 2

   Calculăm determinantul prin regula lui Sarrus

   \det(A(0))=\begin{vmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=0\cdot(-2)\cdot 1+(-1)\cdot 0\cdot 1+0\cdot 1\cdot 1-0\cdot(-2)\cdot 1-0\cdot 0\cdot 1-(-1)\cdot 1\cdot 1

   Regula lui Sarrus: adunăm produsele elementelor de pe diagonala principală și de pe cele două paralele cu ea, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei. Aici trei produse conțin un \(0\), deci sunt nule; singurul care contează este \((-1)\cdot 1\cdot 1\) de pe partea scăzută.

3. 3

   Concluzia

   \det(A(0))=1

   Am obținut exact valoarea cerută, deci egalitatea este demonstrată, la fel ca în barem (\(0+0+0-0-0-(-1)=1\)).

Răspuns: \(\det(A(0))=1\)

Se consideră matricea \(A(a)=\begin{pmatrix} a & -1 & 2a \\ 1 & -2 & a \\ 1 & 1 & 1-a \end{pmatrix}\) și sistemul de ecuații \(\begin{cases} ax-y+2az=0 \\ x-2y+az=0 \\ x+y+(1-a)z=0 \end{cases}\), unde \(a\) este număr real. b) Determinați mulțimea numerelor reale \(a\) pentru care sistemul de ecuații are soluție unică.

Metoda: Determinantul sistemului (Cramer)

1. 1

   Alegem criteriul: determinantul matricei sistemului

   \det(A(a))\neq 0

   Sistemul este omogen (toți termenii liberi sunt 0), deci are mereu soluția \((0,0,0)\). Pentru un sistem pătratic, soluția este unică (Cramer) exact când \(\det(A(a))\neq 0\). Dacă determinantul este 0, apar și alte soluții, deci soluția nu mai este unică.

2. 2

   Calculăm determinantul lui A(a)

   \det(A(a))=\begin{vmatrix} a & -1 & 2a \\ 1 & -2 & a \\ 1 & 1 & 1-a \end{vmatrix}=(a+1)^2

   Aplicăm regula lui Sarrus. Termenii pozitivi: \(a\cdot(-2)\cdot(1-a)+(-1)\cdot a\cdot 1+2a\cdot 1\cdot 1=-2a+2a^2-a+2a=2a^2-a\). Termenii negativi: \(2a\cdot(-2)\cdot 1+a\cdot a\cdot 1+(-1)\cdot 1\cdot(1-a)=-4a+a^2-1+a=a^2-3a-1\). Diferența este \(2a^2-a-(a^2-3a-1)=a^2+2a+1=(a+1)^2\), valabil pentru orice \(a\) real.

3. 3

   Aflăm când determinantul este zero

   (a+1)^2=0\iff a=-1

   Un pătrat este 0 doar când baza este 0. Deci \(\det(A(a))=0\) numai pentru \(a=-1\). Pentru orice alt \(a\) real, \((a+1)^2>0\), deci determinantul este nenul și sistemul are soluție unică.

4. 4

   Formulăm concluzia

   a\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}

   Sistemul are soluție unică exact când \(\det(A(a))\neq 0\), adică \(a\neq -1\). Mulțimea căutată conține toate numerele reale, în afară de \(-1\).

Răspuns: Sistemul are soluție unică dacă și numai dacă \(a\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}\).

Se consideră matricea \(A(a)=\begin{pmatrix} a & -1 & 2a \\ 1 & -2 & a \\ 1 & 1 & 1-a \end{pmatrix}\) și sistemul \(\begin{cases} ax-y+2az=0 \\ x-2y+az=0 \\ x+y+(1-a)z=0 \end{cases}\), unde \(a\) este număr real. c) Pentru \(a=-1\), determinați soluțiile \((x_0,y_0,z_0)\) ale sistemului pentru care \(x_0^2+y_0^2+z_0^2=3\).

Metoda: Rezolvarea sistemului compatibil nedeterminat

1. 1

   Scriem sistemul pentru a = -1

   \begin{cases} -x-y-2z=0 \\ x-2y-z=0 \\ x+y+2z=0 \end{cases}

   Înlocuim a = -1 în fiecare ecuație. Prima ecuație devine -x - y - 2z = 0, a doua x - 2y - z = 0, iar a treia x + y + 2z = 0. Observăm că prima și a treia sunt aceeași ecuație (una este opusa celeilalte), deci de fapt avem doar două ecuații distincte la trei necunoscute.

2. 2

   Determinăm forma soluțiilor

   x+y+2z=0,\quad x-2y-z=0 \Rightarrow (x,y,z)=(-\alpha,-\alpha,\alpha)

   Scădem a doua ecuație din x + y + 2z = 0: obținem 3y + 3z = 0, deci y = -z. Apoi din x - 2y - z = 0 obținem x = 2y + z = -2z + z = -z. Notăm z = α și avem x = -α, y = -α, z = α. Aceasta este forma din barem: (-α, -α, α), cu α real.

3. 3

   Punem condiția pe suma pătratelor

   x_0^2+y_0^2+z_0^2=3\alpha^2=3 \Rightarrow \alpha^2=1

   Înlocuim x0 = -α, y0 = -α, z0 = α în condiția dată: α² + α² + α² = 3α². Cum aceasta trebuie să fie 3, obținem 3α² = 3, deci α² = 1.

4. 4

   Scriem soluțiile

   \alpha=1:\ (-1,-1,1);\qquad \alpha=-1:\ (1,1,-1)

   Pentru α = 1 obținem (-1, -1, 1), iar pentru α = -1 obținem (1, 1, -1). Verificare: 1 + 1 + 1 = 3 în ambele cazuri, iar ecuațiile sistemului sunt satisfăcute. Sunt aceleași două soluții ca în barem.

Răspuns: Soluțiile sunt \((1,1,-1)\) și \((-1,-1,1)\).

Subiectul II, itemul 2. a): Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x * y = x^2y^2 - 4(x+y)^2 + 1\). Arătați că \(0 * 1 = -3\).

Metoda: Calcul direct prin înlocuire

1. 1

   Înlocuim x = 0 și y = 1 în formulă

   0 * 1 = 0^2 \cdot 1^2 - 4(0+1)^2 + 1

   Legea este \(x * y = x^2y^2 - 4(x+y)^2 + 1\). Peste tot unde apare \(x\) punem 0, iar peste tot unde apare \(y\) punem 1. Așa obținem o expresie numerică, fără necunoscute.

2. 2

   Calculăm expresia și obținem -3

   0 * 1 = 0 - 4 \cdot 1^2 + 1 = 0 - 4 + 1 = -3

   Primul termen este \(0^2\cdot 1^2 = 0\). Al doilea este \(4(0+1)^2 = 4\cdot 1 = 4\), cu semnul minus în față. Apoi adunăm 1: \(0 - 4 + 1 = -3\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(0 * 1 = 0^2\cdot 1^2 - 4(0+1)^2 + 1 = 0 - 4 + 1 = -3\)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x * y = x^2y^2 - 4(x+y)^2 + 1\). Arătați că \(x * (-1) \le 2x\), pentru orice număr real \(x\).

Metoda: Calcul direct și formă canonică

1. 1

   Înlocuim y = -1 în lege

   x*(-1)=x^2\cdot(-1)^2-4(x-1)^2+1

   Legea spune că \(x*y=x^2y^2-4(x+y)^2+1\). Pentru a calcula \(x*(-1)\) punem peste tot \(-1\) în locul lui \(y\). Obținem \(x^2\cdot(-1)^2-4(x+(-1))^2+1=x^2-4(x-1)^2+1\).

2. 2

   Dezvoltăm și reducem termenii

   x*(-1)=x^2-4(x^2-2x+1)+1=-3x^2+8x-3

   Dezvoltăm \((x-1)^2=x^2-2x+1\). Apoi \(-4(x^2-2x+1)=-4x^2+8x-4\). Adunăm cu \(x^2\) și cu \(1\): \(x^2-4x^2+8x-4+1=-3x^2+8x-3\).

3. 3

   Trecem totul de aceeași parte

   2x-x*(-1)=2x+3x^2-8x+3=3x^2-6x+3

   Inegalitatea \(x*(-1)\le 2x\) este echivalentă cu \(2x-x*(-1)\ge 0\). Calculăm: \(2x-(-3x^2+8x-3)=3x^2-6x+3\).

4. 4

   Punem în evidență un pătrat perfect

   3x^2-6x+3=3(x^2-2x+1)=3(x-1)^2\ge 0

   Dăm factor comun 3 și recunoaștem \(x^2-2x+1=(x-1)^2\). Un pătrat este mereu mai mare sau egal cu 0, deci și \(3(x-1)^2\ge 0\) pentru orice \(x\) real. Rezultă \(2x-x*(-1)\ge 0\), adică \(x*(-1)\le 2x\). (În barem: \(x*(-1)=-3(x-1)^2+2x\le 2x\).)

Răspuns: x*(-1) = -3(x-1)^2 + 2x ≤ 2x, pentru orice x real, deoarece (x-1)^2 ≥ 0.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x*y=x^2y^2-4(x+y)^2+1\). c) Determinați perechile \((m,n)\) de numere naturale nenule, cu \(m\le n\), pentru care \(m*n=1\).

Metoda: Ecuație în numere naturale, factorizare

1. 1

   Scriem egalitatea cu legea dată

   m^2n^2-4(m+n)^2+1=1

   Înlocuim \(x\) cu \(m\) și \(y\) cu \(n\) în definiția legii și punem condiția \(m*n=1\). Apoi scădem 1 din ambii membri, ca să dispară termenul liber.

2. 2

   Folosim faptul că m și n sunt naturale nenule

   m^2n^2=4(m+n)^2 \Rightarrow mn=2(m+n)

   Ambii membri sunt pătrate perfecte: \((mn)^2=(2(m+n))^2\). Cum \(m,n\) sunt naturale nenule, \(mn>0\) și \(2(m+n)>0\), deci putem extrage rădăcina pătrată fără semn ±. Obținem \(mn=2m+2n\), adică \(mn-2m-2n=0\), ca în barem.

3. 3

   Factorizăm prin grupare

   mn-2m-2n=0 \Rightarrow (m-2)(n-2)=4

   Adunăm 4 în ambii membri ca să putem forma un produs: \(mn-2m-2n+4=4\). În stânga se grupează: \(m(n-2)-2(n-2)=(m-2)(n-2)\). Astfel produsul a două numere întregi este 4.

4. 4

   Căutăm perechile prin divizorii lui 4

   (m-2,n-2)\in\{(1,4),(2,2)\}\Rightarrow (m,n)\in\{(3,6),(4,4)\}

   Din \(m\ge1\) rezultă \(m-2\ge-1\), iar \(m\le n\) dă \(m-2\le n-2\). Cazul \(m-2=-1\) ar da \(n-2=-4\), adică \(n=-2\), imposibil. Cazul \(m-2=0\) dă produs 0, nu 4. Rămân factorii pozitivi cu \(m-2\le n-2\): \(1\cdot4\) și \(2\cdot2\). Obținem \((3,6)\) și \((4,4)\). Verificăm: \(3\cdot6=18=2\cdot9\) și \(4\cdot4=16=2\cdot8\).

Răspuns: Perechile sunt \((3,6)\) și \((4,4)\).

Se consideră funcția \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=\frac{x}{5}-\ln\left(x^2+x+5\right) \). Arătați că \( f'(x)=\frac{x^2-9x}{5\left(x^2+x+5\right)},\ x\in\mathbb{R} \).

Metoda: Derivarea unei diferențe de funcții

1. 1

   Derivăm cei doi termeni ai funcției

   f'(x)=\frac{1}{5}-\frac{2x+1}{x^2+x+5}

   Derivata unei diferențe este diferența derivatelor. Pentru \( \frac{x}{5} \) derivata este \( \frac{1}{5} \). Pentru \( \ln u(x) \) folosim formula \( (\ln u)'=\frac{u'}{u} \), cu \( u=x^2+x+5 \), deci \( u'=2x+1 \). Din cauza semnului minus din fața logaritmului, fracția se scade.

2. 2

   Aducem la numitor comun și simplificăm

   f'(x)=\frac{x^2+x+5-5(2x+1)}{5(x^2+x+5)}=\frac{x^2+x+5-10x-5}{5(x^2+x+5)}=\frac{x^2-9x}{5(x^2+x+5)}

   Numitorii sunt 5 și \( x^2+x+5 \), deci numitorul comun este \( 5(x^2+x+5) \). Prima fracție se amplifică cu \( x^2+x+5 \), a doua cu 5. Apoi reducem termenii: \( x+(-10x)=-9x \) și \( 5-5=0 \), iar rămâne \( x^2-9x \). Expresia \( x^2+x+5 \) are discriminantul \( 1-20<0 \), deci este mereu pozitivă și derivata există pentru orice \( x\in\mathbb{R} \).

Răspuns: \( f'(x)=\frac{x^2-9x}{5\left(x^2+x+5\right)},\ x\in\mathbb{R} \), exact ca în enunț.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\frac{x}{5}-\ln\left(x^2+x+5\right)\). b) Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției \(f\) în care tangenta la graficul funcției \(f\) este paralelă cu axa \(Ox\).

Metoda: Derivata și panta tangentei

1. 1

   Legătura dintre tangentă și derivată

   f'(a)=0

   Tangenta la graficul lui \(f\) în punctul \((a, f(a))\) are panta \(f'(a)\). Axa Ox are panta 0, iar dreptele paralele au pantele egale. Deci tangenta este paralelă cu Ox exact când \(f'(a)=0\).

2. 2

   Scrierea ecuației cu derivata de la punctul a)

   \frac{a^2-9a}{5\left(a^2+a+5\right)}=0

   Din punctul a) știm că \(f'(x)=\frac{x^2-9x}{5(x^2+x+5)}\). Înlocuim \(x\) cu \(a\) și egalăm cu 0. Numitorul este mereu pozitiv, pentru că \(x^2+x+5\) are discriminantul \(1-20<0\), deci o fracție este 0 doar când numărătorul este 0.

3. 3

   Rezolvarea ecuației

   a^2-9a=0 \Rightarrow a(a-9)=0 \Rightarrow a=0 \text{ sau } a=9

   Dăm factor comun pe \(a\): \(a(a-9)=0\). Un produs este zero când un factor este zero, deci \(a=0\) sau \(a=9\). Acestea sunt abscisele cerute.

Răspuns: Abscisele sunt \(a=0\) și \(a=9\).

Se consideră funcția \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=\dfrac{x}{5}-\ln(x^2+x+5) \). Item 1. c): Demonstrați că ecuația \( f(x)=0 \) are soluție unică.

Metoda: Studiul monotoniei cu derivata

1. 1

   Semnul derivatei

   f'(x)=\frac{x(x-9)}{5(x^2+x+5)}

   Numitorul \( 5(x^2+x+5) \) este mereu pozitiv, deoarece \( x^2+x+5 \) are \( \Delta=1-20<0 \) și coeficientul lui \( x^2 \) pozitiv. Deci semnul lui \( f' \) este semnul numărătorului \( x(x-9) \). Acesta este pozitiv pe \( (-\infty,0) \), negativ pe \( (0,9) \) și pozitiv pe \( (9,+\infty) \).

2. 2

   Monotonia lui f

   f\nearrow \text{ pe } (-\infty,0],\quad f\searrow \text{ pe } [0,9],\quad f\nearrow \text{ pe } [9,+\infty)

   Din semnul derivatei: f este crescătoare pe \( (-\infty,0] \), descrescătoare pe \( [0,9] \) și strict crescătoare pe \( (9,+\infty) \). Deci \( f(x)\le f(0) \) pentru orice \( x\in(-\infty,9] \), pentru că f crește până în 0 și apoi scade până în 9.

3. 3

   Calculăm f(0)

   f(0)=\frac{0}{5}-\ln 5=-\ln 5<0

   Cum \( 5>1 \), avem \( \ln 5>0 \), deci \( f(0)<0 \). Atunci \( f(x)\le f(0)<0 \) pentru orice \( x\le 9 \), deci ecuația \( f(x)=0 \) nu are nicio soluție pe \( (-\infty,9] \).

4. 4

   Soluția pe (9, +∞)

   f(9)<0,\quad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty,\quad f \text{ continuă și strict crescătoare pe } (9,+\infty)

   Pe \( (9,+\infty) \) funcția este strict crescătoare, deci ia fiecare valoare cel mult o dată. Pentru limită: \( \ln(x^2+x+5) \) crește mult mai lent decât \( \frac{x}{5} \), deci \( f(x)\to+\infty \). Funcția fiind continuă, ia orice valoare între \( f(9)<0 \) și \( +\infty \), deci și 0, exact o dată (proprietatea lui Darboux).

5. 5

   Concluzia

   f(x)=0 \text{ are soluție unică, situată în } (9,+\infty)

   Pe \( (-\infty,9] \) nu există soluții, deoarece \( f(x)\le -\ln 5<0 \). Pe \( (9,+\infty) \) există exact una. Deci ecuația are soluție unică.

Răspuns: Ecuația \( f(x)=0 \) are soluție unică (în intervalul \( (9,+\infty) \)).

Se consideră funcția \(f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{4x}{x^3+8}\). a) Arătați că \(\displaystyle\int_0^2 (x^3+8)f(x)\,dx=8\).

Metoda: Simplificare și integrare directă

1. 1

   Simplificăm expresia de sub integrală

   (x^3+8)\,f(x)=(x^3+8)\cdot\frac{4x}{x^3+8}=4x

   Înlocuim \(f(x)\) cu formula ei. Pe intervalul \([0,2]\) avem \(x^3+8>0\), deci numitorul este nenul și putem simplifica prin \(x^3+8\). Rămâne doar \(4x\), iar integrala devine \(\int_0^2 4x\,dx\).

2. 2

   Calculăm integrala

   \int_0^2 4x\,dx=2x^2\Big|_0^2=2\cdot 2^2-2\cdot 0^2=8-0=8

   O primitivă a lui \(4x\) este \(2x^2\), pentru că derivata lui \(2x^2\) este \(4x\). Aplicăm formula Leibniz-Newton: valoarea primitivei în capătul de sus minus valoarea ei în capătul de jos. Obținem \(8\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\displaystyle\int_0^2 (x^3+8)f(x)\,dx=\int_0^2 4x\,dx=2x^2\Big|_0^2=8\)

Se consideră funcția \( f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R},\ f(x)=\dfrac{4x}{x^3+8} \). Arătați că \( \displaystyle\int_1^4 x f(x)\,dx = 4\ln 2 \).

Metoda: Integrare prin logaritm (derivata numitorului)

1. 1

   Scriem funcția de integrat

   x f(x)=\frac{4x^2}{x^3+8}

   Înmulțim f(x) cu x, așa cum cere integrala. Obținem \(x f(x)=\dfrac{4x^2}{x^3+8}\), deci integrala de calculat este \(\int_1^4 \dfrac{4x^2}{x^3+8}\,dx\).

2. 2

   Recunoaștem derivata numitorului

   (x^3+8)'=3x^2 \ \Rightarrow\ \frac{4x^2}{x^3+8}=\frac{4}{3}\cdot\frac{(x^3+8)'}{x^3+8}

   Derivata lui \(x^3+8\) este \(3x^2\). Numărătorul \(4x^2\) este \(\frac{4}{3}\cdot 3x^2\), deci scoatem factorul \(\frac{4}{3}\) în fața integralei. Astfel avem forma \(\int \frac{u'}{u}\), care are primitiva \(\ln u\).

3. 3

   Calculăm integrala

   \int_1^4 \frac{4}{3}\cdot\frac{(x^3+8)'}{x^3+8}\,dx=\frac{4}{3}\ln(x^3+8)\Big|_1^4=\frac{4}{3}\big(\ln 72-\ln 9\big)

   Primitiva lui \(\frac{u'}{u}\) este \(\ln|u|\), iar \(x^3+8>0\) pe [1,4], deci nu avem nevoie de modul. Aplicăm formula Leibniz–Newton: \(4^3+8=72\) și \(1^3+8=9\).

4. 4

   Simplificăm și obținem rezultatul

   \frac{4}{3}\ln\frac{72}{9}=\frac{4}{3}\ln 8=\frac{4}{3}\ln 2^3=\frac{4}{3}\cdot 3\ln 2=4\ln 2

   Diferența de logaritmi devine logaritmul câtului: \(72/9=8\). Apoi \(8=2^3\), iar \(\ln 2^3=3\ln 2\). Factorul 3 se simplifică cu numitorul 3 și rămâne \(4\ln 2\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\displaystyle\int_1^4 x f(x)\,dx=\frac{4}{3}\ln 8=4\ln 2\).

Se consideră funcția \(f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{4x}{x^3+8}\). c) Calculați \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{x^3}\int_0^x t\cdot f(t)\,dt\right)\).

Metoda: Regula lui l'Hospital cu integrală

1. 1

   Recunoaștem cazul de nedeterminare 0/0

   \lim_{x\to 0}\int_0^x t f(t)\,dt=0,\quad \lim_{x\to 0}x^3=0

   Funcția \(t\cdot f(t)=\frac{4t^2}{t^3+8}\) este continuă pe \((-2,+\infty)\), deci integrala \(\int_0^x t f(t)\,dt\) este o funcție continuă de \(x\), egală cu 0 pentru \(x=0\). Numitorul \(x^3\) tinde și el la 0. Obținem forma \(\frac{0}{0}\), deci putem folosi regula lui l'Hospital.

2. 2

   Aplicăm regula lui l'Hospital

   \lim_{x\to 0}\frac{\int_0^x t f(t)\,dt}{x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{\left(\int_0^x t f(t)\,dt\right)'}{(x^3)'}=\lim_{x\to 0}\frac{x\cdot f(x)}{3x^2}

   Derivata unei integrale cu limita superioară variabilă este chiar funcția de sub integrală, calculată în \(x\): \(\left(\int_0^x g(t)\,dt\right)'=g(x)\). Aici \(g(t)=t f(t)\), deci derivata numărătorului este \(x f(x)\). Derivata numitorului este \(3x^2\).

3. 3

   Simplificăm și calculăm limita

   \lim_{x\to 0}\frac{x\cdot f(x)}{3x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{3x}=\lim_{x\to 0}\frac{4}{3(x^3+8)}=\frac{4}{3\cdot 8}=\frac{1}{6}

   Înlocuim \(f(x)=\frac{4x}{x^3+8}\). Atunci \(\frac{x f(x)}{3x^2}=\frac{4x^2}{3x^2(x^3+8)}\). Simplificăm prin \(x^2\) (permis, pentru că \(x\ne 0\) la limită) și rămâne \(\frac{4}{3(x^3+8)}\). Acum putem înlocui \(x=0\): \(\frac{4}{3\cdot 8}=\frac{4}{24}=\frac{1}{6}\).

Răspuns: \(\dfrac{1}{6}\)