Matematică 2023

Ministerul Educaţiei Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație Examenul național de bacalaureat 2023 Proba E. c) Matematică M_mate-info Varianta 6 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Arătați că ( 2 − i )2 + i ( 4 + i ) = 2 , unde i 2 = −1 . 5p 2. Se consideră funcția f :ℝ → ℝ, f ( x ) = x + 3 . Determinați numărul real m pentru care (f f )( m) = 2m . 5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5 x +1 − 3 ⋅ 5 x = 10 . 5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifrele mai mari sau egale cu 7 . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 0,4 ) , B ( 3, −2 ) și C ( 2a, a ) , unde a este număr real nenul. Arătați că dreptele AB și OC sunt perpendiculare, pentru orice număr real nenul a . x 2x π  5p 6. Se consideră expresia E ( x ) = sin x + 4cos sin , unde x este număr real. Arătați că E   = 4 . 3 3 2 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  a −1 2a   ax − y + 2az = 0    1. Se consideră matricea A ( a ) =  1 −2 a  și sistemul de ecuații  x − 2 y + az = 0 , unde a  1 1 1− a  x + y + (1 − a ) z = 0    este număr real. 5p a) Arătați că det ( A ( 0 ) ) = 1 . 5p b) Determinați mulțimea numerelor reale a pentru care sistemul de ecuații are soluție unică. 5p c) Pentru a = −1 , determinați soluțiile ( x0 , y0 , z0 ) ale sistemului pentru care x02 + y02 + z02 = 3 . 2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∗ y = x 2 y 2 − 4 ( x + y ) + 1 . 2 5p a) Arătați că 0 ∗1 = −3 . 5p b) Arătați că x ∗ ( −1) ≤ 2 x , pentru orice număr real x . 5p c) Determinați perechile ( m, n ) de numere naturale nenule, cu m ≤ n , pentru care m ∗ n = 1 . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 5 ( ) − ln x 2 + x + 5 . x2 − 9 x 5p a) Arătați că f ' ( x ) = , x ∈ℝ . ( 5 x2 + x + 5 ) 5p b) Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției f în care tangenta la graficul funcției f este paralelă cu axa Ox . 5p c) Demonstrați că ecuația f ( x ) = 0 are soluție unică. 4x 2. Se consideră funcția f : ( −2, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = 3 . x +8 2 ( ) 5p a) Arătați că  x + 8 f ( x ) dx = 8 . 3 0 Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 6 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 1 din 2  Ministerul Educaţiei Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație 4 5p b) Arătați că  x f ( x ) dx = 4ln 2 . 1  1 x  5p c) Calculați lim  3  t ⋅ f ( t ) dt  . x →0  x   0  Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 6 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 2 din 2