Rezolvare pas cu pas: Matematică – Științele naturii (M2) – Bacalaureat 2023, simulare

Arătați că \(2(1+i)-i(2-i)=1\), unde \(i^2=-1\).

Metoda: Calcul cu numere complexe

1. 1

   Desfacem parantezele

   2(1+i)-i(2-i)=2+2i-2i+i^2

   Înmulțim fiecare număr din fața parantezei cu fiecare termen din interior, la fel ca la numerele reale. Atenție la semnul minus din fața lui \(i\): \(-i\cdot(-i)=+i^2\).

2. 2

   Reducem termenii asemenea

   2+2i-2i+i^2=2+i^2

   Termenii \(2i\) și \(-2i\) sunt opuși, deci se anulează. Rămân \(2\) și \(i^2\).

3. 3

   Folosim \(i^2=-1\) și încheiem

   2+i^2=2-1=1

   Din definiția unității imaginare, \(i^2=-1\). Înlocuim și obținem exact valoarea cerută, deci egalitatea este demonstrată.

Răspuns: Am obținut \(2(1+i)-i(2-i)=2-1=1\), deci egalitatea este adevărată.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=3x+10\). Determinați numărul real \(a\) pentru care punctul \(A(2a,a)\) aparține graficului funcției \(f\).

Metoda: Punct pe graficul funcției

1. 1

   Scriem condiția de apartenență la grafic

   A(2a,a)\in G_f \iff f(2a)=a

   Punctul \(A(x_A,y_A)\) se află pe graficul lui \(f\) exact atunci când \(f(x_A)=y_A\). Aici abscisa este \(2a\), iar ordonata este \(a\), deci trebuie să avem \(f(2a)=a\).

2. 2

   Calculăm \(f(2a)\) și formăm ecuația

   f(2a)=3\cdot 2a+10=6a+10,\qquad 6a+10=a

   Înlocuim \(x\) cu \(2a\) în formula \(f(x)=3x+10\) și obținem \(6a+10\). Egalăm cu \(a\), pentru că ordonata punctului este \(a\).

3. 3

   Rezolvăm ecuația

   6a+10=a \iff 5a=-10 \iff a=-2

   Trecem pe \(a\) în membrul stâng: \(6a-a=-10\), adică \(5a=-10\). Împărțim la 5 și obținem \(a=-2\).

4. 4

   Verificare

   A(-4,-2):\ f(-4)=3\cdot(-4)+10=-2

   Pentru \(a=-2\) punctul este \(A(-4,-2)\). Calculăm \(f(-4)=-12+10=-2\), egal cu ordonata punctului, deci punctul chiar aparține graficului.

Răspuns: \(a=-2\)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(\sqrt{2x^2+2}=2x\).

Metoda: Ridicarea la pătrat și verificare

1. 1

   Ridicăm ecuația la pătrat

   2x^2+2=4x^2

   Ridicăm la pătrat ambii membri ai ecuației \(\sqrt{2x^2+2}=2x\). Radicalul dispare, iar în dreapta obținem \((2x)^2=4x^2\). Astfel ajungem la o ecuație de gradul al doilea, pe care știm s-o rezolvăm.

2. 2

   Aducem ecuația la forma redusă

   2x^2+2=4x^2 \Rightarrow x^2-1=0

   Mutăm termenii într-un singur membru: \(4x^2-2x^2=2\), deci \(2x^2=2\), adică \(x^2=1\), echivalent cu \(x^2-1=0\). Aceasta este ecuația din barem.

3. 3

   Aflăm soluțiile ecuației pătratice

   x^2=1 \Rightarrow x=-1 \text{ sau } x=1

   Din \(x^2=1\) rezultă două valori posibile: \(x=-1\) și \(x=1\). Acestea sunt doar candidate la soluție, pentru că am ridicat la pătrat.

4. 4

   Verificăm soluțiile în ecuația inițială

   x=-1:\ \sqrt{4}=2\neq -2;\quad x=1:\ \sqrt{4}=2=2

   Radicalul este mereu mai mare sau egal cu 0, deci membrul drept \(2x\) trebuie să fie \(\ge 0\), adică \(x\ge 0\). Pentru \(x=-1\): stânga \(\sqrt{2+2}=2\), dreapta \(2\cdot(-1)=-2\), deci nu convine. Pentru \(x=1\): stânga \(\sqrt{4}=2\), dreapta \(2\), deci convine.

Răspuns: Ecuația are o singură soluție reală: \(x=1\) (valoarea \(x=-1\) nu convine).

Determinați câte numere naturale impare, de trei cifre, se pot forma cu elementele mulțimii \(A=\{0,1,2,3,4\}\).

Metoda: Principiul multiplicării (combinatorică)

1. 1

   Alegem cifra unităților

   \text{unități} \in \{1,3\} \Rightarrow 2 \text{ moduri}

   Numărul trebuie să fie impar, deci ultima cifră trebuie să fie impară. Din mulțimea \(A=\{0,1,2,3,4\}\) cifrele impare sunt doar \(1\) și \(3\). Începem cu această cifră pentru că are cea mai strictă condiție.

2. 2

   Alegem cifra zecilor

   \text{zeci} \in \{0,1,2,3,4\} \Rightarrow 5 \text{ moduri}

   Cifra zecilor poate fi orice element din \(A\), inclusiv \(0\), pentru că nu e prima cifră a numărului. Cifrele se pot repeta, deci alegerea unităților nu ne restrânge opțiunile.

3. 3

   Alegem cifra sutelor

   \text{sute} \in \{1,2,3,4\} \Rightarrow 4 \text{ moduri}

   Cifra sutelor nu poate fi \(0\), altfel numărul ar avea doar două cifre. Rămân \(1,2,3,4\), adică 4 posibilități, pentru orice alegere a celorlalte două cifre.

4. 4

   Aplicăm regula produsului

   2\cdot 5\cdot 4=40

   Alegerile sunt independente, așa că numărul total de numere se obține înmulțind numărul de posibilități de la fiecare pas: \(2\cdot 5\cdot 4=40\). Obținem același rezultat ca în barem.

Răspuns: Se pot forma 40 de numere.

Determinați numărul real \(a\) pentru care vectorii \(\vec{u}=a\vec{i}+(a-1)\vec{j}\) și \(\vec{v}=\vec{i}+2\vec{j}\) sunt coliniari.

Metoda: Condiția de coliniaritate a vectorilor

1. 1

   Identificăm coordonatele vectorilor

   \vec{u}(a,\,a-1),\quad \vec{v}(1,\,2)

   Un vector scris ca \(x\vec{i}+y\vec{j}\) are coordonatele \((x,y)\). Coeficientul lui \(\vec{i}\) este prima coordonată, iar cel al lui \(\vec{j}\) este a doua. Deci \(\vec{u}\) are coordonatele \((a,\,a-1)\), iar \(\vec{v}\) are coordonatele \((1,\,2)\).

2. 2

   Scriem condiția de coliniaritate

   \frac{a}{1}=\frac{a-1}{2}

   Vectorii \(\vec{u}(x_1,y_1)\) și \(\vec{v}(x_2,y_2)\) sunt coliniari când \(\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}\). Aici \(\vec{v}\) are coordonatele nenule, deci putem scrie raportul. Obținem \(\frac{a}{1}=\frac{a-1}{2}\).

3. 3

   Rezolvăm ecuația

   2a=a-1 \;\Rightarrow\; a=-1

   Înmulțim în cruce: \(2a=1\cdot(a-1)\), adică \(2a=a-1\). Trecem \(a\) în stânga: \(2a-a=-1\), deci \(a=-1\).

4. 4

   Verificăm rezultatul

   \vec{u}=-\vec{i}-2\vec{j}=-\vec{v}

   Pentru \(a=-1\) avem \(\vec{u}(-1,\,-2)\), iar \(\vec{v}(1,2)\). Se vede că \(\vec{u}=-\vec{v}\), deci vectorii sunt coliniari.

Răspuns: \(a=-1\)

Se consideră triunghiul \(ABC\), dreptunghic în \(A\), cu măsura unghiului \(B\) egală cu \(\frac{\pi}{6}\) și \(BC=24\). Bisectoarea unghiului \(C\) al triunghiului \(ABC\) intersectează latura \(AB\) în punctul \(D\). Determinați lungimea segmentului \(CD\).

Metoda: Trigonometrie în triunghi dreptunghic

1. 1

   Aflăm cateta AC

   AC=BC\cdot\sin B=24\cdot\sin\frac{\pi}{6}=24\cdot\frac{1}{2}=12

   În triunghiul \(ABC\), dreptunghic în \(A\), cateta \(AC\) este opusă unghiului \(B\), iar \(BC\) este ipotenuza. Deci \(\sin B=\frac{AC}{BC}\), de unde \(AC=BC\cdot\sin B\). Cum \(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\), obținem \(AC=12\). (Poți vedea și că într-un triunghi cu unghi de \(30^\circ\), cateta opusă este jumătate din ipotenuză.)

2. 2

   Aflăm unghiul ACD

   \angle C=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{3},\quad \angle ACD=\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}

   Suma unghiurilor ascuțite într-un triunghi dreptunghic este \(\frac{\pi}{2}\), deci \(\angle C=\frac{\pi}{3}\). Bisectoarea \(CD\) împarte unghiul \(C\) în două unghiuri egale, deci \(\angle ACD=\frac{\pi}{6}\).

3. 3

   Folosim cosinusul în triunghiul ACD

   \cos\angle ACD=\frac{AC}{CD}\Rightarrow CD=\frac{AC}{\cos\frac{\pi}{6}}=\frac{12}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{24}{\sqrt3}=8\sqrt3

   Triunghiul \(ACD\) este dreptunghic în \(A\) (pentru că \(D\) se află pe \(AB\)). \(CD\) este ipotenuza, iar \(AC\) este cateta alăturată unghiului \(ACD\). Deci \(\cos\frac{\pi}{6}=\frac{AC}{CD}\). Cu \(\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}\) obținem \(CD=\frac{12\cdot 2}{\sqrt3}=\frac{24}{\sqrt3}=8\sqrt3\), după raționalizare.

Răspuns: \(CD=8\sqrt3\)

Se consideră matricele \(I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\) și \(A(x)=\begin{pmatrix}x+1&-1&1\\0&x&0\\1&-1&x+1\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. a) Arătați că \(\det(A(1))=3\).

Metoda: Calculul determinantului de ordin 3

1. 1

   Scriem matricea A(1)

   A(1)=\begin{pmatrix}2&-1&1\\0&1&0\\1&-1&2\end{pmatrix}

   Înlocuim \(x=1\) în fiecare element al matricei \(A(x)\): \(x+1\) devine \(2\), iar \(x\) devine \(1\). Elementele constante (\(-1\), \(1\), \(0\)) rămân neschimbate.

2. 2

   Aplicăm regula lui Sarrus

   \det(A(1))=2\cdot1\cdot2+(-1)\cdot0\cdot1+0\cdot(-1)\cdot1-1\cdot1\cdot1-(-1)\cdot0\cdot2-0\cdot(-1)\cdot2

   La un determinant de ordin 3 adunăm produsele de pe diagonala principală și cele din cele două triunghiuri paralele cu ea, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și din triunghiurile paralele cu ea.

3. 3

   Efectuăm calculele și concluzionăm

   \det(A(1))=4+0+0-1-0-0=3

   Adunăm și scădem rezultatele produselor: \(4+0+0-1-0-0=3\). Am obținut exact valoarea cerută, deci egalitatea este demonstrată.

Răspuns: \(\det(A(1))=3\)

Se consideră matricele \(I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\) și \(A(x)=\begin{pmatrix}x+1&-1&1\\0&x&0\\1&-1&x+1\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. b) Determinați numărul real \(x\) pentru care \(A(0)\cdot A(x)=A(0)\).

Metoda: Calcul matriceal, egalarea matricelor

1. 1

   Scriem matricea A(0)

   A(0)=\begin{pmatrix}1&-1&1\\0&0&0\\1&-1&1\end{pmatrix}

   Înlocuim x cu 0 în matricea A(x): x+1 devine 1, iar x devine 0. Astfel obținem o matrice cu numere, mai ușor de înmulțit.

2. 2

   Calculăm produsul A(0)·A(x)

   A(0)\cdot A(x)=\begin{pmatrix}x+2&-x-2&x+2\\0&0&0\\x+2&-x-2&x+2\end{pmatrix}

   Înmulțim linie cu coloană. Pe prima linie a lui A(0) avem (1, -1, 1). Primul element al produsului este 1·(x+1)+(-1)·0+1·1=x+2. Al doilea este 1·(-1)+(-1)·x+1·(-1)=-x-2. Al treilea este 1·1+(-1)·0+1·(x+1)=x+2. Linia a doua din A(0) este nulă, deci linia a doua a produsului este nulă. Linia a treia coincide cu prima, deci rezultatul este același.

3. 3

   Egalăm cu A(0) și aflăm x

   x+2=1 \Rightarrow x=-1

   Egalitatea A(0)·A(x)=A(0) cere ca elementele corespunzătoare să fie egale. Pe poziția (1,1): x+2=1, deci x=-1. Pe poziția (1,2): -x-2=-1, adică tot x=-1. Pe poziția (1,3): x+2=1, la fel. Linia a doua este nulă în ambele matrice. Linia a treia este identică cu prima. Toate condițiile dau același x, deci x=-1 este valoarea cerută.

Răspuns: x = -1

Se consideră matricele \(I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\) și \(A(x)=\begin{pmatrix}x+1&-1&1\\0&x&0\\1&-1&x+1\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. c) Determinați numerele reale \(a\) și \(b\) pentru care \((A(1))^{-1}=aA(1)+bI_3\), unde \((A(1))^{-1}\) este inversa matricei \(A(1)\).

Metoda: Înmulțire cu A(1) și identificare

1. 1

   Scriem matricea A(1) și transformăm egalitatea

   (A(1))^{-1}=aA(1)+bI_3 \iff aA(1)\cdot A(1)+bA(1)=I_3

   Matricea \(A(1)\) este inversabilă, deoarece \(\det(A(1))=3\neq 0\) (de la punctul a). Înmulțim egalitatea la dreapta cu \(A(1)\): în stânga obținem \(A(1)^{-1}\cdot A(1)=I_3\), iar în dreapta \((aA(1)+bI_3)\cdot A(1)=aA(1)\cdot A(1)+bA(1)\). Astfel am scăpat de inversă. Pentru \(x=1\): \(A(1)=\begin{pmatrix}2&-1&1\\0&1&0\\1&-1&2\end{pmatrix}\).

2. 2

   Calculăm A(1)·A(1)

   A(1)\cdot A(1)=\begin{pmatrix}5&-4&4\\0&1&0\\4&-4&5\end{pmatrix}

   Înmulțim linie cu coloană. De exemplu, elementul de pe linia 1, coloana 1 este \(2\cdot2+(-1)\cdot0+1\cdot1=5\). Linia 1, coloana 2: \(2\cdot(-1)+(-1)\cdot1+1\cdot(-1)=-4\). Linia 1, coloana 3: \(2\cdot1+(-1)\cdot0+1\cdot2=4\). Linia 2 este \((0,1,0)\). Linia 3 se calculează la fel: \(4,-4,5\).

3. 3

   Scriem egalitatea matriceală

   \begin{pmatrix}5a+2b&-4a-b&4a+b\\0&a+b&0\\4a+b&-4a-b&5a+2b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}

   Calculăm \(aA(1)\cdot A(1)+bA(1)\): pe diagonală, elementul din colțuri este \(5a+2b\), elementul din mijloc este \(a+b\), iar celelalte se obțin la fel: \(-4a-b\) și \(4a+b\). Egalăm cu \(I_3\).

4. 4

   Rezolvăm sistemul și aflăm a și b

   \begin{cases}a+b=1\\4a+b=0\end{cases}\Rightarrow a=-\frac{1}{3},\ b=\frac{4}{3}

   Din egalarea elementelor obținem \(a+b=1\) și \(4a+b=0\). Scăzând prima ecuație din a doua: \(3a=-1\), deci \(a=-\frac13\). Apoi \(b=1-a=\frac43\). Verificăm cu \(5a+2b=1\): \(-\frac53+\frac83=1\), corect.

Răspuns: \(a=-\frac{1}{3}\) și \(b=\frac{4}{3}\).

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x * y = xy + x + y - 1 + 2^{xy}\). a) Arătați că \(1 * 2 = 8\).

Metoda: Calcul direct prin înlocuire

1. 1

   Înlocuim x = 1 și y = 2 în formula legii

   1 * 2 = 1\cdot 2 + 1 + 2 - 1 + 2^{1\cdot 2}

   Legea \(x * y = xy + x + y - 1 + 2^{xy}\) ne spune cum să calculăm rezultatul pentru orice două numere. Punem \(1\) în locul lui \(x\) și \(2\) în locul lui \(y\), peste tot unde apar, inclusiv în exponentul lui \(2\).

2. 2

   Calculăm fiecare termen

   1 * 2 = 2 + 1 + 2 - 1 + 2^2 = 4 + 4

   Avem \(1\cdot 2 = 2\), apoi \(2 + 1 + 2 - 1 = 4\), iar \(2^{2} = 4\). Deci suma devine \(4 + 4\).

3. 3

   Obținem rezultatul

   1 * 2 = 4 + 4 = 8

   Adunăm cele două valori și obținem \(8\), exact cât trebuia arătat.

Răspuns: \(1 * 2 = 4 + 4 = 8\), deci egalitatea este demonstrată.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x * y = xy + x + y - 1 + 2^{xy}\). Arătați că \(e = 0\) este elementul neutru al legii de compoziție „\(*\)”.

Metoda: Definiția elementului neutru

1. 1

   Calculăm \(x * 0\)

   x*0 = x\cdot 0 + x + 0 - 1 + 2^{x\cdot 0} = x - 1 + 2^0 = x

   Înlocuim în formula legii pe \(y\) cu \(0\). Avem \(x\cdot 0 = 0\), deci termenul \(xy\) dispare, iar \(2^{xy}\) devine \(2^0 = 1\). Rămâne \(x + 0 - 1 + 1 = x\). Rezultatul este \(x\) pentru orice număr real \(x\), deci \(0\) este element neutru la dreapta.

2. 2

   Calculăm \(0 * x\)

   0*x = 0\cdot x + 0 + x - 1 + 2^{0\cdot x} = x - 1 + 2^0 = x

   Legea nu este dată ca fiind comutativă, deci trebuie verificată și ordinea inversă. Înlocuim pe \(x\) cu \(0\) și pe \(y\) cu \(x\). Din nou \(0\cdot x = 0\), \(2^0 = 1\), iar \(-1 + 1 = 0\), deci rămâne \(x\). Așadar \(0\) este element neutru și la stânga.

3. 3

   Concluzia

   x*0 = 0*x = x,\ \forall x\in\mathbb{R}\ \Rightarrow\ e=0

   Am obținut \(x * 0 = x\) și \(0 * x = x\) pentru orice număr real \(x\). Exact asta cere definiția elementului neutru, deci \(e = 0\) este elementul neutru al legii „\(*\)”.

Răspuns: Am arătat că \(x * 0 = 0 * x = x\) pentru orice \(x \in \mathbb{R}\), deci \(e = 0\) este elementul neutru al legii „\(*\)”.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x*y=xy+x+y-1+2^{xy}\). c) Determinați numărul natural nenul \(n\) pentru care \(n*\left(-\frac{1}{n}\right)=0\).

Metoda: Calcul direct cu legea de compoziție

1. 1

   Calculăm produsul \(xy\)

   n\cdot\left(-\frac{1}{n}\right)=-1

   În formula legii apare produsul \(xy\) de două ori: o dată simplu și o dată în exponent. Pentru \(x=n\) și \(y=-\frac{1}{n}\) produsul este \(-1\), deoarece \(n\neq 0\) și \(n\) se simplifică.

2. 2

   Înlocuim în formula legii

   n*\left(-\frac{1}{n}\right)=-1+n-\frac{1}{n}-1+2^{-1}

   Punem \(xy=-1\), \(x=n\), \(y=-\frac1n\) în \(xy+x+y-1+2^{xy}\). Termenul \(2^{xy}\) devine \(2^{-1}=\frac12\).

3. 3

   Reducem termenii și aducem la numitor comun

   n*\left(-\frac{1}{n}\right)=n-\frac{1}{n}-2+\frac12=n-\frac1n-\frac32=\frac{2n^2-3n-2}{2n}

   Adunăm numerele: \(-1-1+\frac12=-\frac32\). Apoi aducem totul la numitorul comun \(2n\): \(n=\frac{2n^2}{2n}\), \(\frac1n=\frac{2}{2n}\), \(\frac32=\frac{3n}{2n}\). Rezultă \(\frac{2n^2-2-3n}{2n}\), la fel ca în barem.

4. 4

   Rezolvăm ecuația

   \frac{2n^2-3n-2}{2n}=0\Rightarrow 2n^2-3n-2=0,\quad \Delta=25,\quad n=\frac{3\pm5}{4}

   O fracție este zero când numărătorul este zero (iar numitorul \(2n\neq0\), adevărat pentru \(n\) nenul). Ecuația de gradul II are \(\Delta=9+16=25\), deci \(n_1=2\) și \(n_2=-\frac12\). Cum \(n\) este natural nenul, \(-\frac12\) nu convine, deci rămâne \(n=2\).

5. 5

   Verificare

   2*\left(-\frac12\right)=-1+2-\frac12-1+\frac12=0

   Pentru \(n=2\): \(xy=-1\), deci \(-1+2-\frac12-1+\frac12=0\). Se confirmă rezultatul.

Răspuns: \(n=2\)

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{2x+1+\ln x}{x}\). a) Arătați că \(f'(x)=-\dfrac{\ln x}{x^2}\), \(x\in(0,+\infty)\).

Metoda: Derivata câtului de funcții

1. 1

   Aplicăm formula de derivare a câtului

   f'(x)=\frac{\left(2+\frac{1}{x}\right)\cdot x-(2x+1+\ln x)\cdot 1}{x^2}

   Funcția are forma \(\dfrac{u}{v}\), cu \(u(x)=2x+1+\ln x\) și \(v(x)=x\). Formula este \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\). Avem \(u'(x)=2+\dfrac{1}{x}\) (derivata lui \(2x\) este 2, a lui 1 este 0, a lui \(\ln x\) este \(\dfrac{1}{x}\)) și \(v'(x)=1\). Le introducem în formulă.

2. 2

   Simplificăm numărătorul

   \left(2+\frac{1}{x}\right)x=2x+1,\quad 2x+1-2x-1-\ln x=-\ln x

   Înmulțim \(\left(2+\dfrac{1}{x}\right)\cdot x=2x+1\). Apoi scădem \(2x+1+\ln x\): termenii \(2x\) și \(1\) se reduc, rămâne \(-\ln x\). Astfel numărătorul devine \(-\ln x\), iar numitorul rămâne \(x^2\).

3. 3

   Concluzia

   f'(x)=\frac{-\ln x}{x^2}=-\frac{\ln x}{x^2},\ x\in(0,+\infty)

   Am obținut exact expresia cerută, pentru orice \(x>0\), adică pe tot domeniul funcției.

Răspuns: \(f'(x)=-\dfrac{\ln x}{x^2}\), pentru orice \(x\in(0,+\infty)\).

Se consideră funcția \( f:(0,+\infty)\to\mathbb{R},\ f(x)=\dfrac{2x+1+\ln x}{x} \). b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre \( +\infty \) la graficul funcției \( f \).

Metoda: Limita funcției la infinit

1. 1

   Împărțim fracția și calculăm limita

   \lim_{x\to+\infty}\frac{2x+1+\ln x}{x}=\lim_{x\to+\infty}\left(2+\frac{1}{x}+\frac{\ln x}{x}\right)

   Împărțim fiecare termen de la numărător la \(x\). Obținem \(\dfrac{2x}{x}=2\), \(\dfrac{1}{x}\) și \(\dfrac{\ln x}{x}\). Astfel limita se desparte în limite simple. Avem \(\dfrac{1}{x}\to0\). Iar \(\dfrac{\ln x}{x}\to0\), pentru că \(x\) crește mult mai repede decât \(\ln x\). Rezultă că limita este \(2+0+0=2\). Baremul scrie \(2+\dfrac1x\) și folosește acest rezultat.

2. 2

   Scriem ecuația asimptotei

   y=2

   Limita la \(+\infty\) este finită și egală cu \(2\). Prin urmare graficul are asimptotă orizontală spre \(+\infty\) dreapta \(y=2\). Aceasta este ecuația cerută.

Răspuns: Asimptota orizontală spre \(+\infty\) are ecuația \(y=2\).

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{2x+1+\ln x}{x}\). c) Demonstrați că \(\dfrac{\ln y}{y}-\dfrac{\ln x}{x}<\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}\), pentru orice \(x,y\in(1,+\infty)\) cu \(x<y\).

Metoda: Monotonia funcției cu derivata întâi

1. 1

   Semnul derivatei pe (1, +∞)

   f'(x)=-\frac{\ln x}{x^2}<0,\ x>1

   De la punctul a) știm că \(f'(x)=-\dfrac{\ln x}{x^2}\). Dacă \(x>1\), atunci \(\ln x>0\) și \(x^2>0\), deci fracția \(\dfrac{\ln x}{x^2}\) este pozitivă. Cu minusul din față, \(f'(x)<0\) pentru orice \(x\in(1,+\infty)\). Cum derivata este negativă pe tot intervalul, funcția \(f\) este strict descrescătoare pe \((1,+\infty)\).

2. 2

   Compararea lui f(x) cu f(y)

   1<x<y\Rightarrow f(x)>f(y)

   Funcția \(f\) este strict descrescătoare pe \((1,+\infty)\). Dacă \(x<y\), valoarea în punctul mai mic este mai mare: \(f(x)>f(y)\).

3. 3

   Scrierea inegalității în forma cerută

   \frac{2x+1+\ln x}{x}>\frac{2y+1+\ln y}{y}\iff 2+\frac1x+\frac{\ln x}{x}>2+\frac1y+\frac{\ln y}{y}\iff \frac{\ln y}{y}-\frac{\ln x}{x}<\frac1x-\frac1y

   Împărțim fiecare fracție: \(f(x)=2+\dfrac1x+\dfrac{\ln x}{x}\), iar \(f(y)=2+\dfrac1y+\dfrac{\ln y}{y}\). Inegalitatea \(f(x)>f(y)\) devine \(\dfrac1x+\dfrac{\ln x}{x}>\dfrac1y+\dfrac{\ln y}{y}\), după ce eliminăm 2. Mutăm termenii: \(\dfrac{\ln y}{y}-\dfrac{\ln x}{x}<\dfrac1x-\dfrac1y\). Aceasta este exact inegalitatea cerută, valabilă pentru orice \(x,y\in(1,+\infty)\) cu \(x<y\).

Răspuns: Deoarece \(f'(x)<0\) pe \((1,+\infty)\), \(f\) este strict descrescătoare, deci pentru \(1<x<y\) avem \(f(x)>f(y)\), adică \(\dfrac{\ln y}{y}-\dfrac{\ln x}{x}<\dfrac1x-\dfrac1y\).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^3+x\). a) Arătați că \(\int_3^5 \left(f(x)-x^3\right)dx=8\).

Metoda: Integrala unei funcții simplificate

1. 1

   Simplificăm funcția de integrat

   f(x)-x^3=(x^3+x)-x^3=x

   Știm că \(f(x)=x^3+x\). Când scădem \(x^3\), termenii \(x^3\) se reduc și rămâne doar \(x\). Astfel integrala devine \(\int_3^5 x\,dx\), mult mai ușor de calculat.

2. 2

   Calculăm integrala cu formula Leibniz-Newton

   \int_3^5 x\,dx=\frac{x^2}{2}\Big|_3^5=\frac{25}{2}-\frac{9}{2}

   O primitivă a lui \(x\) este \(\frac{x^2}{2}\). Formula Leibniz-Newton spune că integrala definită este valoarea primitivei în capătul de sus minus valoarea ei în capătul de jos, adică în 5 minus în 3.

3. 3

   Obținem rezultatul și verificăm

   \frac{25}{2}-\frac{9}{2}=\frac{16}{2}=8

   Fracțiile au același numitor, deci scădem numărătorii: \(25-9=16\), iar \(\frac{16}{2}=8\). Rezultatul coincide cu cel cerut, deci egalitatea este demonstrată.

Răspuns: \(\int_3^5 (f(x)-x^3)dx=\frac{25}{2}-\frac{9}{2}=8\), deci egalitatea este adevărată.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^3+x\). b) Arătați că \(\int_0^2 \frac{x^2}{f(x)-x+2}\,dx=\frac{\ln 5}{3}\).

Metoda: Integrare prin substituție logaritmică

1. 1

   Simplificăm numitorul

   f(x)-x+2=x^3+x-x+2=x^3+2

   Înlocuim \(f(x)=x^3+x\) în numitor. Termenii \(x\) și \(-x\) se reduc, iar numitorul devine \(x^3+2\). Integrala devine \(\int_0^2 \frac{x^2}{x^3+2}\,dx\).

2. 2

   Recunoaștem derivata numitorului

   (x^3+2)'=3x^2 \Rightarrow \int_0^2 \frac{x^2}{x^3+2}dx=\frac13\int_0^2\frac{(x^3+2)'}{x^3+2}dx

   Derivata numitorului este \(3x^2\), iar la numărător avem \(x^2\). Scriem \(x^2=\frac13(x^3+2)'\) și scoatem factorul \(\frac13\) în fața integralei. Astfel apare forma \(\frac{u'}{u}\), care are primitiva \(\ln|u|\).

3. 3

   Calculăm integrala

   \frac13\ln(x^3+2)\Big|_0^2=\frac13\left(\ln10-\ln2\right)=\frac13\ln\frac{10}{2}=\frac{\ln5}{3}

   Aplicăm formula Leibniz-Newton. La \(x=2\): \(2^3+2=10\). La \(x=0\): \(0^3+2=2\). Apoi folosim \(\ln a-\ln b=\ln\frac ab\) și obținem \(\frac{\ln 5}{3}\), adică exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\int_0^2 \frac{x^2}{f(x)-x+2}dx=\frac{\ln 5}{3}\)

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^3+x\). Se consideră funcția \(g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(g(x)=\dfrac{f(x)e^{-x}}{x}\). Arătați că orice primitivă \(G:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\) a funcției \(g\) este concavă.

Metoda: Derivata a doua și concavitatea

1. 1

   Simplificăm expresia lui g

   g(x)=\frac{(x^3+x)e^{-x}}{x}=(x^2+1)e^{-x}

   Înlocuim \(f(x)=x^3+x\) în formula lui \(g\). Pe \((0,+\infty)\) avem \(x\neq 0\), deci putem simplifica prin \(x\): \(x^3+x=x(x^2+1)\). Obținem o formă mai simplă de derivat.

2. 2

   Legătura dintre G și g

   G'(x)=g(x)\ \Rightarrow\ G''(x)=g'(x)

   G este primitivă a lui g, deci prin definiție \(G'=g\). Atunci derivata a doua a lui G este derivata lui g. Concavitatea lui G depinde de semnul lui \(G''\): dacă \(G''\le 0\) pe interval, G este concavă.

3. 3

   Calculăm g'(x)

   G''(x)=g'(x)=2xe^{-x}-(x^2+1)e^{-x}=(-x^2+2x-1)e^{-x}

   Derivăm produsul \((x^2+1)e^{-x}\) cu formula \((uv)'=u'v+uv'\). Avem \((x^2+1)'=2x\) și \((e^{-x})'=-e^{-x}\). Apoi dăm factor comun \(e^{-x}\).

4. 4

   Stabilim semnul lui G'' și concluzia

   G''(x)=-(x-1)^2e^{-x}\le 0,\ \forall x\in(0,+\infty)

   Observăm că \(-x^2+2x-1=-(x-1)^2\). Pentru orice x avem \((x-1)^2\ge 0\) și \(e^{-x}>0\), deci produsul \((x-1)^2e^{-x}\ge 0\), iar cu minus în față obținem \(G''(x)\le 0\). Cum \(G''\le 0\) pe \((0,+\infty)\), orice primitivă G este concavă.

Răspuns: Cum \(G''(x)=-(x-1)^2e^{-x}\le 0\) pentru orice \(x\in(0,+\infty)\), orice primitivă G a lui g este concavă.