Matematică 2023

Ministerul Educaţiei Centrul Naţional de Politici şi Evaluare în Educaţie Examenul național de bacalaureat 2023 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Simulare Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii  Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.  Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Arătați că 2 1  i   i  2  i   1 , unde i  1 . 2 5p 2. Se consideră funcția f : ℝ  ℝ , f  x   3x  10 . Determinați numărul real a pentru care punctul A  2a, a  aparține graficului funcției f . 5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 x 2  2  2 x . 5p 4. Determinați câte numere naturale impare, de trei cifre, se pot forma cu elementele mulțimii A  0,1, 2,3,4 .       5p 5. Determinați numărul real a pentru care vectorii u  ai   a  1 j și v  i  2 j sunt coliniari.  5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , cu măsura unghiului B egală cu și BC  24 . 6 Bisectoarea unghiului C al triunghiului ABC intersectează latura AB în punctul D . Determinați lungimea segmentului CD . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 0 0  x  1 1 1  1. Se consideră matricele I 3   0 1 0  și A  x    0   x  0  , unde x este număr real. 0 0 1  1 1 x  1    5p a) Arătați că det  A 1   3 . 5p b) Determinați numărul real x pentru care A  0   A  x   A  0  . 1 1 5p c) Determinați numerele reale a și b pentru care  A 1   aA 1  bI3 , unde  A 1  este inversa matricei A 1 . 2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x  y  xy  x  y  1  2 xy . 5p a) Arătați că 1  2  8 . 5p b) Arătați că e  0 este elementul neutru al legii de compoziție „  ”.  1 5p c) Determinați numărul natural nenul n pentru care n      0 .  n SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 2 x  1  ln x 1. Se consideră funcția f :  0,    ℝ , f  x   . x ln x 5p a) Arătați că f '  x   , x   0,   . x2 5p b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre  la graficul funcției f . ln y ln x 1 1 5p c) Demonstrați că    , pentru orice x, y  1,   cu x  y . y x x y 2. Se consideră funcția f : ℝ  ℝ , f  x   x3  x . 5  5p a) Arătați că  f  x   x3 dx  8 .  3 Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 1 din 2  Ministerul Educaţiei Centrul Naţional de Politici şi Evaluare în Educaţie 2 x2 ln 5 5p b) Arătați că  dx  . 0 f  x  x  2 3 f  x  e x 5p c) Se consideră funcția g :  0,    ℝ, g  x   . Arătați că orice primitivă G :  0,    ℝ x a funcției g este concavă. Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 2 din 2