Rezolvare pas cu pas: Matematică – Științele naturii (M2) – Bacalaureat 2023, sesiunea specială (varianta 06)

Arătați că \((\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+2)=2\).

Metoda: Formula diferenței de pătrate

1. 1

   Recunoaștem formula și o aplicăm

   (\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+2)=(\sqrt{6})^2-2^2

   Produsul are forma \((a-b)(a+b)\), cu \(a=\sqrt{6}\) și \(b=2\). Formula \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) transformă produsul într-o diferență de pătrate. Termenii cu \(\sqrt{6}\) se anulează între ei, de aceea formula e mai rapidă decât înmulțirea directă.

2. 2

   Calculăm pătratele

   (\sqrt{6})^2-2^2=6-4=2

   Pătratul unei radical este chiar numărul de sub radical: \((\sqrt{6})^2=6\), deoarece ridicarea la pătrat anulează radicalul. Apoi \(2^2=4\). Rămâne scăderea \(6-4=2\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \((\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+2)=(\sqrt{6})^2-2^2=6-4=2\), deci egalitatea este demonstrată.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^2+1\). Determinați numerele reale \(a\) pentru care \(f(a)=1-a\).

Metoda: Rezolvarea ecuației de gradul II

1. 1

   Calculăm f(a) și scriem ecuația

   f(a)=a^2+1,\quad a^2+1=1-a

   Funcția \(f\) ia orice număr \(x\) și îl transformă în \(x^2+1\). Dacă punem \(a\) în locul lui \(x\), obținem \(f(a)=a^2+1\). Condiția din enunț spune că \(f(a)\) trebuie să fie egal cu \(1-a\), deci scriem egalitatea \(a^2+1=1-a\).

2. 2

   Aducem ecuația la forma generală

   a^2+1=1-a \;\Rightarrow\; a^2+a=0

   Mutăm toți termenii în partea stângă: adunăm \(a\) în ambele părți și scădem \(1\) din ambele părți. Termenii \(1\) se reduc și rămâne \(a^2+a=0\). Am obținut o ecuație de gradul II incompletă, care se rezolvă ușor prin factorul comun.

3. 3

   Dăm factor comun și rezolvăm

   a(a+1)=0 \;\Rightarrow\; a=0 \text{ sau } a=-1

   Din \(a^2+a\) dăm factor comun pe \(a\) și obținem \(a(a+1)=0\). Un produs este zero doar dacă cel puțin unul dintre factori este zero. Deci \(a=0\) sau \(a+1=0\), adică \(a=-1\). Aceasta este exact soluția din barem.

4. 4

   Verificăm soluțiile

   f(0)=1=1-0,\quad f(-1)=2=1-(-1)

   Verificăm că ambele valori respectă condiția inițială. Pentru \(a=0\): \(f(0)=0^2+1=1\), iar \(1-0=1\). Pentru \(a=-1\): \(f(-1)=(-1)^2+1=2\), iar \(1-(-1)=2\). Ambele egalități sunt adevărate.

Răspuns: \(a=-1\) sau \(a=0\)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(\log_4\left(x^2+4\right)=\log_4\left(6x-4\right)\).

Metoda: Egalarea argumentelor logaritmilor

1. 1

   Egalăm argumentele logaritmilor

   x^2+4=6x-4

   Ambii logaritmi au baza 4. Dacă \(\log_4 A=\log_4 B\), atunci \(A=B\), pentru că logaritmul în baza 4 ia fiecare valoare o singură dată. Deci egalăm \(x^2+4\) cu \(6x-4\).

2. 2

   Aducem ecuația la forma generală

   x^2-6x+8=0

   Mutăm toți termenii în partea stângă: \(x^2+4-6x+4=0\), adică \(x^2-6x+8=0\). Obținem o ecuație de gradul al doilea.

3. 3

   Rezolvăm ecuația de gradul al doilea

   \Delta=36-32=4,\quad x=\frac{6\pm 2}{2}\Rightarrow x=2\text{ sau }x=4

   Calculăm discriminantul \(\Delta=b^2-4ac=36-32=4\). Apoi \(x=\dfrac{6\pm 2}{2}\), deci \(x=4\) sau \(x=2\). Putem și să descompunem: \((x-2)(x-4)=0\).

4. 4

   Verificăm condițiile de existență

   x^2+4>0,\quad 6x-4>0

   Logaritmul există doar dacă argumentul este pozitiv. Primul argument, \(x^2+4\), este mereu pozitiv. Pentru al doilea verificăm: la \(x=2\) avem \(6\cdot2-4=8>0\), iar la \(x=4\) avem \(6\cdot4-4=20>0\). Ambele soluții convin. Verificăm și egalitatea argumentelor: pentru \(x=2\) avem \(4+4=8\), iar pentru \(x=4\) avem \(16+4=20\).

Răspuns: Soluțiile ecuației sunt \(x=2\) și \(x=4\), amândouă convenind.

Determinați câte numere naturale de două cifre, cu cifra zecilor număr impar, se pot forma cu elementele mulțimii \(\{1,2,3,4,5\}\).

Metoda: Principiul multiplicării (numărare)

1. 1

   Alegem cifra zecilor

   \{1,3,5\}\Rightarrow 3\text{ moduri}

   Cifra zecilor trebuie să fie număr impar și să facă parte din mulțimea \(\{1,2,3,4,5\}\). Numerele impare din această mulțime sunt \(1, 3\) și \(5\). Deci cifra zecilor se poate alege în 3 moduri.

2. 2

   Alegem cifra unităților

   5\text{ moduri}

   Pentru cifra unităților nu avem nicio condiție, iar cifrele se pot repeta (de exemplu 11 sau 33 sunt numere valide). Putem alege oricare dintre cele 5 elemente ale mulțimii, deci 5 moduri, indiferent de cifra zecilor aleasă.

3. 3

   Aplicăm regula produsului

   3\cdot 5=15

   Pentru fiecare dintre cele 3 alegeri ale cifrei zecilor avem câte 5 alegeri ale cifrei unităților. Numărul total de numere este produsul: \(3\cdot5=15\).

Răspuns: Se pot forma 15 numere.

În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(1,-5)\) și \(B(5,5)\). Determinați distanța de la punctul \(O\) la mijlocul segmentului \(AB\).

Metoda: Mijlocul segmentului și distanța

1. 1

   Coordonatele mijlocului M

   x_M=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{1+5}{2}=3,\quad y_M=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{-5+5}{2}=0

   Coordonatele mijlocului unui segment sunt media aritmetică a coordonatelor capetelor. Facem media absciselor și media ordonatelor, deci \(M(3,0)\). Pentru că mijlocul este exact la jumătatea drumului dintre \(A\) și \(B\), fiecare coordonată este la jumătate între cele două valori.

2. 2

   Distanța de la O la M

   OM=\sqrt{(x_M-x_O)^2+(y_M-y_O)^2}=\sqrt{(3-0)^2+(0-0)^2}=\sqrt{9}=3

   Distanța dintre două puncte se calculează cu formula obținută din teorema lui Pitagora: radical din suma pătratelor diferențelor coordonatelor. Cum \(O(0,0)\) și \(M(3,0)\), diferențele sunt 3 și 0, deci \(OM=3\). Punctul \(M\) se află chiar pe axa \(Ox\), așa că distanța este simplu abscisa lui.

Răspuns: Distanța de la O la mijlocul segmentului AB este 3.

Se consideră triunghiul \(ABC\), dreptunghic în \(A\), cu \(AC=6\) și \(\mathrm{tg}\,C=\sqrt{3}\). Arătați că aria triunghiului \(ABC\) este egală cu \(18\sqrt{3}\).

Metoda: Tangenta în triunghi dreptunghic

1. 1

   Folosim tangenta unghiului C pentru a afla AB

   \mathrm{tg}\,C=\frac{AB}{AC}\Rightarrow \sqrt{3}=\frac{AB}{6}\Rightarrow AB=6\sqrt{3}

   În triunghiul dreptunghic \(ABC\) (unghiul drept în \(A\)), tangenta unghiului \(C\) este raportul dintre cateta opusă (\(AB\)) și cateta alăturată (\(AC\)): \(\mathrm{tg}\,C=\frac{AB}{AC}\). Cum \(\mathrm{tg}\,C=\sqrt{3}\) și \(AC=6\), obținem \(AB=6\sqrt{3}\).

2. 2

   Calculăm aria triunghiului

   \mathcal{A}_{\triangle ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{6\sqrt{3}\cdot 6}{2}=18\sqrt{3}

   Într-un triunghi dreptunghic, catetele sunt perpendiculare, deci una este înălțime pentru cealaltă. Aria este semiprodusul catetelor: \(\frac{6\sqrt{3}\cdot 6}{2}=\frac{36\sqrt{3}}{2}=18\sqrt{3}\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: Aria triunghiului \(ABC\) este \(18\sqrt{3}\), deoarece \(AB=6\sqrt{3}\) și \(\mathcal{A}=\frac{6\cdot 6\sqrt{3}}{2}=18\sqrt{3}\).

Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) și \(A(a)=\begin{pmatrix}1-a&a\\-3a&3a+1\end{pmatrix}\), unde \(a\) este număr real. a) Arătați că \(\det(A(2))=5\).

Metoda: Calculul determinantului de ordin 2

1. 1

   Scriem matricea A(2)

   A(2)=\begin{pmatrix}1-2&2\\-3\cdot 2&3\cdot 2+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&2\\-6&7\end{pmatrix}

   Matricea \(A(a)\) depinde de \(a\). Pentru a o avea pe \(A(2)\), înlocuim peste tot \(a\) cu \(2\). Avem: \(1-a=1-2=-1\), \(a=2\), \(-3a=-6\), \(3a+1=7\).

2. 2

   Calculăm determinantul

   \det(A(2))=\begin{vmatrix}-1&2\\-6&7\end{vmatrix}=(-1)\cdot 7-2\cdot(-6)=-7+12=5

   Pentru o matrice de ordin 2, determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: \(ad-bc\). Aici \((-1)\cdot 7=-7\) și \(2\cdot(-6)=-12\), iar \(-7-(-12)=-7+12=5\), exact cât trebuia arătat.

Răspuns: \(\det(A(2))=5\)

Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) și \(A(a)=\begin{pmatrix}1-a&a\\-3a&3a+1\end{pmatrix}\), unde \(a\) este număr real. b) Arătați că \(A(a)-I_2=a\left(A(1)-I_2\right)\), pentru orice număr real \(a\).

Metoda: Calcul cu matrice, scoaterea factorului

1. 1

   Calculăm partea stângă: \(A(a)-I_2\)

   A(a)-I_2=\begin{pmatrix}1-a-1&a\\-3a&3a+1-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-a&a\\-3a&3a\end{pmatrix}

   Scădem matricea \(I_2\) element cu element. Doar elementele de pe diagonala principală se schimbă, pentru că \(I_2\) are 1 acolo și 0 în rest. Astfel \(1-a-1=-a\) și \(3a+1-1=3a\).

2. 2

   Scoatem factorul \(a\) în fața matricei

   \begin{pmatrix}-a&a\\-3a&3a\end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}-1&1\\-3&3\end{pmatrix}

   Toate elementele matricei conțin factorul \(a\). Când înmulțim o matrice cu un număr, înmulțim fiecare element cu el. Deci putem scoate \(a\) în față. Așa obținem \(A(a)-I_2=a\begin{pmatrix}-1&1\\-3&3\end{pmatrix}\), pentru orice \(a\).

3. 3

   Calculăm \(A(1)-I_2\) pentru partea dreaptă

   A(1)=\begin{pmatrix}0&1\\-3&4\end{pmatrix},\quad A(1)-I_2=\begin{pmatrix}-1&1\\-3&3\end{pmatrix}

   Punem \(a=1\) în \(A(a)\): \(1-1=0\), \(a=1\), \(-3a=-3\), \(3a+1=4\). Apoi scădem \(I_2\), adică 1 de pe diagonala principală: \(0-1=-1\) și \(4-1=3\). Rezultă \(\begin{pmatrix}-1&1\\-3&3\end{pmatrix}\).

4. 4

   Concluzia: cele două părți coincid

   A(a)-I_2=a\begin{pmatrix}-1&1\\-3&3\end{pmatrix}=a\left(A(1)-I_2\right)

   Din pasul 2, partea stângă este \(a\begin{pmatrix}-1&1\\-3&3\end{pmatrix}\). Din pasul 3, \(A(1)-I_2=\begin{pmatrix}-1&1\\-3&3\end{pmatrix}\). Deci partea stângă este egală cu \(a\left(A(1)-I_2\right)\), pentru orice număr real \(a\). Egalitatea este demonstrată.

Răspuns: Am obținut \(A(a)-I_2=a\begin{pmatrix}-1&1\\-3&3\end{pmatrix}=a\left(A(1)-I_2\right)\), pentru orice \(a\in\mathbb{R}\), deci egalitatea este demonstrată.

Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) și \(A(a)=\begin{pmatrix}1-a&a\\-3a&3a+1\end{pmatrix}\), unde \(a\) este număr real. c) Determinați numărul întreg \(m\) pentru care \(A(m)\cdot A(2m)=A(1)\).

Metoda: Proprietatea A(a)·A(b)=A(a+b+3ab)

1. 1

   Calculăm produsul A(a)·A(b)

   A(a)\cdot A(b)=A(a+b+4ab)

   Scriem \(A(a)=I_2+aB\), unde \(B=\begin{pmatrix}-1&1\\-3&3\end{pmatrix}\) (de la punctul b) se vede că \(A(a)-I_2=aB\)). Calculăm \(B^2=\begin{pmatrix}1-3&-1+3\\3-9&-3+9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&2\\-6&6\end{pmatrix}=2B\). Atunci \(A(a)A(b)=(I_2+aB)(I_2+bB)=I_2+(a+b)B+abB^2=I_2+(a+b+2ab)B=A(a+b+2ab)\). Pentru \(a=m\), \(b=2m\) obținem \(A(m)A(2m)=A(m+2m+2\cdot m\cdot 2m)=A(4m^2+3m)\), exact ca în barem.

2. 2

   Folosim egalitatea matricelor

   A(4m^2+3m)=A(1)\ \Rightarrow\ 4m^2+3m=1

   Ecuația devine \(A(4m^2+3m)=A(1)\). Elementul de pe poziția (1,2) din \(A(x)\) este \(x\), deci două matrice A(x) și A(y) sunt egale doar dacă \(x=y\). Rezultă \(4m^2+3m=1\).

3. 3

   Rezolvăm ecuația și alegem soluția întreagă

   \Delta=9+16=25,\quad m=\frac{-3\pm5}{8}\Rightarrow m=-1\text{ sau }m=\frac14

   Pentru \(4m^2+3m-1=0\): \(\Delta=3^2-4\cdot4\cdot(-1)=25\), deci \(m=\frac{-3\pm5}{8}\), adică \(m=\frac14\) sau \(m=-1\). Cerința cere \(m\) întreg, deci rămâne doar \(m=-1\), ca în barem.

Răspuns: m = -1

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x \circ y = xy - x - y + 4\). a) Arătați că \(0 \circ 3 = 1\).

Metoda: Calcul prin înlocuire în lege

1. 1

   Înlocuim x = 0 și y = 3 în lege

   0 \circ 3 = 0\cdot 3 - 0 - 3 + 4

   Legea spune că \(x \circ y = xy - x - y + 4\). Pentru \(0 \circ 3\), pe \(x\) îl înlocuim cu 0, iar pe \(y\) cu 3, peste tot unde apar în formulă. Respectăm ordinea: întâi produsul \(xy\), apoi scădem \(x\), apoi scădem \(y\), apoi adunăm 4.

2. 2

   Efectuăm calculul

   0 \circ 3 = 0 - 0 - 3 + 4 = 1

   Produsul \(0\cdot 3\) este 0. Scăderea lui 0 nu schimbă nimic. Rămâne \(-3 + 4 = 1\). Am obținut exact valoarea cerută, deci egalitatea \(0 \circ 3 = 1\) este demonstrată.

Răspuns: \(0 \circ 3 = 1\)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x \circ y = xy - x - y + 4\). b) Determinați numerele reale \(x\) pentru care \(x \circ x = 3x\).

Metoda: Înlocuire în lege și ecuație de gradul II

1. 1

   Calculăm \(x \circ x\)

   x \circ x = x\cdot x - x - x + 4 = x^2 - 2x + 4

   În formula \(x \circ y = xy - x - y + 4\) punem \(y = x\). Atunci \(xy\) devine \(x^2\), iar \(-x-y\) devine \(-2x\). Astfel \(x \circ x = x^2 - 2x + 4\), pentru orice număr real \(x\).

2. 2

   Scriem ecuația

   x^2 - 2x + 4 = 3x

   Egalăm rezultatul de la pasul 1 cu \(3x\), cum cere enunțul: \(x \circ x = 3x\).

3. 3

   Aducem ecuația la forma generală

   x^2 - 5x + 4 = 0

   Mutăm \(3x\) în stânga cu semn schimbat: \(x^2 - 2x - 3x + 4 = 0\), adică \(x^2 - 5x + 4 = 0\). Acum e o ecuație de gradul II, cu \(a=1\), \(b=-5\), \(c=4\).

4. 4

   Rezolvăm ecuația de gradul II

   \Delta = 25 - 16 = 9,\quad x = \frac{5 \pm 3}{2}

   Calculăm discriminantul \(\Delta = b^2 - 4ac = 25 - 16 = 9\). Deoarece \(\Delta>0\), avem două soluții reale: \(x_1 = \frac{5-3}{2} = 1\) și \(x_2 = \frac{5+3}{2} = 4\). Se poate verifica și prin Viète: suma este 5, produsul este 4, deci 1 și 4.

5. 5

   Verificăm soluțiile

   1 \circ 1 = 1-1-1+4 = 3 = 3\cdot 1,\quad 4 \circ 4 = 16-4-4+4 = 12 = 3\cdot 4

   Înlocuim fiecare soluție în ecuația inițială \(x \circ x = 3x\). Pentru \(x=1\): \(1 \circ 1 = 3\) și \(3\cdot 1 = 3\). Pentru \(x=4\): \(4 \circ 4 = 12\) și \(3 \cdot 4 = 12\). Ambele sunt corecte.

Răspuns: x = 1 sau x = 4

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x \circ y = xy - x - y + 4\). c) Determinați numărul real \(a\), știind că \(x \circ a = x + a\), pentru orice număr real \(x\).

Metoda: Identificare de coeficienți

1. 1

   Scriem egalitatea folosind definiția legii

   x \circ a = xa - x - a + 4 \quad \Rightarrow \quad xa - x - a + 4 = x + a

   Înlocuim în formula \(x \circ y = xy - x - y + 4\) pe \(y\) cu \(a\). Apoi egalăm rezultatul cu \(x + a\), așa cum cere enunțul.

2. 2

   Aducem totul într-o singură parte

   xa - x - a + 4 - x - a = 0 \iff xa - 2x - 2a + 4 = 0

   Mutăm \(x + a\) în stânga cu semn schimbat și reducem termenii asemenea: \(-x - x = -2x\) și \(-a - a = -2a\).

3. 3

   Dăm factor comun pe x

   x(a - 2) - 2a + 4 = 0

   Scriem expresia ca \(x\) înmulțit cu ceva, plus o parte care nu mai conține pe \(x\). Astfel vedem clar cine este coeficientul lui \(x\): \(a-2\), iar termenul liber este \(-2a+4\).

4. 4

   Egalitatea e valabilă pentru orice x, deci a = 2

   x(a-2) - 2a + 4 = 0, \ \forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow a - 2 = 0 \Rightarrow a = 2

   Dacă \(a - 2\) ar fi diferit de zero, egalitatea ar da o singură valoare pentru \(x\). Dar ea trebuie să fie adevărată pentru orice \(x\), deci \(a - 2 = 0\), adică \(a = 2\). Verificăm: pentru \(a=2\), termenul liber este \(-2\cdot 2 + 4 = 0\), deci totul se potrivește.

Răspuns: a = 2

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=e^x\left(x^2+2x-2\right)\). a) Arătați că \(f'(x)=e^x\left(x^2+4x\right)\), \(x\in\mathbb{R}\).

Metoda: Derivata produsului de funcții

1. 1

   Alegem regula de derivare

   (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'

   Funcția \(f\) este un produs: \(u(x)=e^x\) și \(v(x)=x^2+2x-2\). Pentru un produs nu derivăm factorii separat și îi înmulțim, ci folosim regula \((u\cdot v)'=u'v+uv'\). Avem \(u'(x)=e^x\) și \(v'(x)=2x+2\).

2. 2

   Aplicăm regula produsului

   f'(x)=e^x\left(x^2+2x-2\right)+e^x(2x+2)

   Înlocuim în formulă: \(u'v=e^x(x^2+2x-2)\) și \(uv'=e^x(2x+2)\). Adunăm cele două produse. Aceasta este prima linie din barem.

3. 3

   Dăm factor comun și reducem termenii

   f'(x)=e^x\left(x^2+2x-2+2x+2\right)=e^x\left(x^2+4x\right)

   Scoatem \(e^x\) factor comun. În paranteză adunăm: \(2x+2x=4x\) și \(-2+2=0\). Rămâne \(x^2+4x\), exact forma cerută, valabilă pentru orice \(x\in\mathbb{R}\), deoarece \(f\) este derivabilă pe \(\mathbb{R}\).

Răspuns: \(f'(x)=e^x\left(x^2+4x\right)\), pentru orice \(x\in\mathbb{R}\), ceea ce trebuia arătat.

Se consideră funcția \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=e^x\left(x^2+2x-2\right) \). b) Arătați că \( \lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{f'(x)}=1 \).

Metoda: Limită de raport de polinoame

1. 1

   Scriem raportul \( f(x)/f'(x) \)

   \frac{f(x)}{f'(x)}=\frac{e^x\left(x^2+2x-2\right)}{e^x\left(x^2+4x\right)}

   Înlocuim \( f(x) \) cu definiția dată și \( f'(x) \) cu rezultatul de la punctul a). Scriem ambele funcții sub formă de produs, ca să vedem ce factori comuni apar.

2. 2

   Simplificăm prin \( e^x \)

   \lim_{x\to+\infty}\frac{e^x\left(x^2+2x-2\right)}{e^x\left(x^2+4x\right)}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+2x-2}{x^2+4x}

   Factorul \( e^x \) este nenul pentru orice \( x \), deci putem simplifica fracția cu el. Astfel scăpăm de exponențială și rămânem cu un raport de polinoame, mult mai ușor de tratat.

3. 3

   Dăm factor comun \( x^2 \)

   \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2\left(1+\frac{2}{x}-\frac{2}{x^2}\right)}{x^2\left(1+\frac{4}{x}\right)}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1+\frac{2}{x}-\frac{2}{x^2}}{1+\frac{4}{x}}

   Avem o nedeterminare de tipul \( \infty/\infty \). O rezolvăm dând factor comun puterea cea mai mare, \( x^2 \), la numărător și la numitor, apoi simplificăm cu \( x^2 \).

4. 4

   Calculăm limita și tragem concluzia

   \frac{1+0-0}{1+0}=1

   Când \( x\to+\infty \), fracțiile \( \frac{2}{x},\ \frac{2}{x^2},\ \frac{4}{x} \) tind la 0. Rămâne \( \frac{1}{1}=1 \), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \( \lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{f'(x)}=1 \)

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=e^x(x^2+2x-2)\). c) Demonstrați că \(e^{x+4}(x^2+2x-2)\le 6\), pentru orice \(x\in(-\infty,0]\).

Metoda: Studiul monotoniei cu derivata

1. 1

   Reducem inegalitatea la \(f(x)\)

   e^{x+4}(x^2+2x-2)=e^4\cdot f(x)\le 6 \iff f(x)\le \frac{6}{e^4}

   Observăm că \(e^{x+4}=e^4\cdot e^x\), deci expresia din stânga este \(e^4\cdot f(x)\). Împărțind la \(e^4>0\), inegalitatea devine \(f(x)\le \frac{6}{e^4}\). Rămâne să arătăm că \(\frac{6}{e^4}\) este cea mai mare valoare a lui \(f\) pe \((-\infty,0]\).

2. 2

   Rezolvăm ecuația \(f'(x)=0\)

   f'(x)=e^x(x^2+4x)=0 \iff x(x+4)=0 \iff x=-4 \text{ sau } x=0

   Din punctul a) știm că \(f'(x)=e^x(x^2+4x)\). Cum \(e^x>0\), semnul derivatei este dat de \(x(x+4)\). Punctele în care derivata se anulează sunt \(-4\) și \(0\).

3. 3

   Semnul derivatei și monotonia

   x\in(-\infty,-4]\Rightarrow f'(x)\ge0;\quad x\in[-4,0]\Rightarrow f'(x)\le0

   Trebuie să vedem semnul lui \(x(x+4)\). Pentru \(x<-4\) ambii factori sunt negativi, deci produsul este pozitiv. Pentru \(-4<x<0\), \(x<0\) și \(x+4>0\), deci produsul este negativ. Așadar \(f\) crește pe \((-\infty,-4]\) și scade pe \([-4,0]\), deci \(x=-4\) este punct de maxim pe \((-\infty,0]\).

4. 4

   Calculăm maximul și încheiem

   f(x)\le f(-4)=e^{-4}\left(16-8-2\right)=\frac{6}{e^4}

   Din monotonie, \(f(x)\le f(-4)\) pentru orice \(x\le0\). Calculăm \(f(-4)=e^{-4}\cdot((-4)^2+2\cdot(-4)-2)=e^{-4}\cdot 6=\frac{6}{e^4}\). Deci \(f(x)\le\frac{6}{e^4}\), iar înmulțind cu \(e^4\) obținem \(e^{x+4}(x^2+2x-2)\le 6\), pentru orice \(x\in(-\infty,0]\).

Răspuns: Cum \(f(x)\le f(-4)=\frac{6}{e^4}\) pe \((-\infty,0]\), rezultă \(e^{x+4}(x^2+2x-2)\le 6\), pentru orice \(x\in(-\infty,0]\).

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^3+\dfrac{3}{x}\). a) Arătați că \(\displaystyle\int_1^2 \left(f(x)-\dfrac{3}{x}\right)dx=\dfrac{15}{4}\).

Metoda: Calculul integralei cu primitive

1. 1

   Simplificăm funcția de sub integrală

   f(x)-\frac{3}{x}=x^3+\frac{3}{x}-\frac{3}{x}=x^3

   Înlocuim \(f(x)\) cu expresia ei. Termenii \(\dfrac{3}{x}\) se reduc, deci rămâne doar \(x^3\). Astfel integrala devine \(\displaystyle\int_1^2 x^3\,dx\), mult mai simplă.

2. 2

   Găsim primitiva și aplicăm formula Leibniz-Newton

   \int_1^2 x^3\,dx=\left.\frac{x^4}{4}\right|_1^2=\frac{2^4}{4}-\frac{1^4}{4}

   Folosim formula \(\displaystyle\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\), deci o primitivă a lui \(x^3\) este \(\dfrac{x^4}{4}\). Apoi calculăm valoarea ei în limita de sus (2), din care scădem valoarea în limita de jos (1).

3. 3

   Calculăm rezultatul final

   \frac{16}{4}-\frac{1}{4}=\frac{15}{4}

   Avem \(2^4=16\) și \(1^4=1\). Scădem fracțiile cu același numitor: \(\dfrac{16-1}{4}=\dfrac{15}{4}\). Aceasta este exact valoarea cerută în enunț, deci egalitatea este demonstrată.

Răspuns: \(\displaystyle\int_1^2\left(f(x)-\dfrac{3}{x}\right)dx=\dfrac{15}{4}\)

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^3+\dfrac{3}{x}\). b) Demonstrați că orice primitivă \(G:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\) a funcției \(g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}f(x)\), este crescătoare.

Metoda: Legătura dintre primitivă și monotonie

1. 1

   Scriem derivata primitivei

   G'(x)=g(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\left(x^3+\frac{3}{x}\right),\ x\in(0,+\infty)

   Prin definiție, G este o primitivă a lui g dacă \(G'(x)=g(x)\) pentru orice \(x\) din domeniu. Deci derivata lui G este chiar g, pe care o cunoaștem: \(g(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}f(x)\), iar \(f(x)=x^3+\frac{3}{x}\). Astfel nu trebuie să aflăm G, ne ajunge derivata ei.

2. 2

   Studiem semnul derivatei

   \frac{1}{\sqrt{x}}>0,\ x^3>0,\ \frac{3}{x}>0\ \Rightarrow\ \frac{1}{\sqrt{x}}\left(x^3+\frac{3}{x}\right)>0

   Pentru orice \(x>0\): \(\frac{1}{\sqrt{x}}>0\), \(x^3>0\) și \(\frac{3}{x}>0\). Suma a doi termeni pozitivi este pozitivă, iar produsul a două numere pozitive este pozitiv. Deci \(G'(x)>0\) pentru orice \(x\in(0,+\infty)\).

3. 3

   Concluzia

   G'(x)>0,\ \forall x\in(0,+\infty)\ \Rightarrow\ G\ \text{este crescătoare}

   Dacă derivata unei funcții este strict pozitivă pe un interval, funcția este strict crescătoare pe acel interval. Cum \(G'(x)>0\) pe \((0,+\infty)\), G este crescătoare. Raționamentul nu depinde de constanta aleasă la primitivă, deci este valabil pentru orice primitivă G.

Răspuns: Cum \(G'(x)=g(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\left(x^3+\frac{3}{x}\right)>0\) pentru orice \(x\in(0,+\infty)\), orice primitivă G a lui g este crescătoare.

Subiectul III, 2. c): Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^3+\frac{3}{x}\). Arătați că \(\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{f(x)}\,dx=\frac{\pi}{12\sqrt{3}}\).

Metoda: Substituție și integrala cu arctg

1. 1

   Scriem 1/f(x) ca fracție simplă

   \frac{1}{f(x)}=\frac{1}{x^3+\frac{3}{x}}=\frac{x}{x^4+3}

   Aducem la același numitor expresia \(x^3+\frac{3}{x}=\frac{x^4+3}{x}\). Inversul unei fracții se obține prin întoarcerea ei, deci obținem \(\frac{x}{x^4+3}\). Astfel scăpăm de fracția din numitor și vedem mai ușor ce integrală avem.

2. 2

   Pregătim substituția \(t=x^2\)

   \int_1^{\sqrt3}\frac{x}{x^4+3}\,dx=\frac12\int_1^{\sqrt3}\frac{(x^2)'}{(x^2)^2+3}\,dx

   Avem \((x^2)'=2x\), deci \(x=\frac{1}{2}(x^2)'\). Scoatem factorul \(\frac12\) în față și \(x^4=(x^2)^2\). Acum numărătorul este derivata lui \(x^2\), iar numitorul conține \((x^2)^2+3\), adică forma \(u^2+a^2\) cu \(u=x^2\).

3. 3

   Folosim primitiva cu arctg

   \frac12\cdot\frac{1}{\sqrt3}\operatorname{arctg}\frac{x^2}{\sqrt3}\Big|_1^{\sqrt3}=\frac{1}{2\sqrt3}\left(\operatorname{arctg}\frac{3}{\sqrt3}-\operatorname{arctg}\frac{1}{\sqrt3}\right)

   Formula este \(\int\frac{du}{u^2+a^2}=\frac1a\operatorname{arctg}\frac{u}{a}\), aici cu \(a=\sqrt3\) și \(u=x^2\). Calculăm între limite: pentru \(x=\sqrt3\) avem \(x^2=3\), iar pentru \(x=1\) avem \(x^2=1\). Deci în paranteză apar \(\operatorname{arctg}\frac{3}{\sqrt3}=\operatorname{arctg}\sqrt3\) și \(\operatorname{arctg}\frac{1}{\sqrt3}\).

4. 4

   Calculăm valorile arctg și încheiem

   \operatorname{arctg}\sqrt3=\frac{\pi}{3},\quad \operatorname{arctg}\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\pi}{6}\;\Rightarrow\;\frac{1}{2\sqrt3}\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2\sqrt3}\cdot\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{12\sqrt3}

   Din valorile cunoscute ale tangentei: \(\operatorname{tg}\frac{\pi}{3}=\sqrt3\) și \(\operatorname{tg}\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt3}\). Diferența \(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}\). Înmulțind cu \(\frac{1}{2\sqrt3}\) obținem \(\frac{\pi}{12\sqrt3}\), exact ce trebuia demonstrat.

Răspuns: \(\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{f(x)}\,dx=\frac{\pi}{12\sqrt{3}}\), ceea ce trebuia arătat.