Matematică 2023

Ministerul Educaţiei Centrul Naţional de Politici şi Evaluare în Educaţie Examenul național de bacalaureat 2023 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Varianta 6 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Arătați că ( 6 − 2 )( 6 + 2 ) = 2 . 5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 + 1 . Determinați numerele reale a pentru care f (a) = 1 − a . ( 5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log 4 x 2 + 4 = log 4 ( 6 x − 4 ) . ) 5p 4. Determinați câte numere naturale de două cifre, cu cifra zecilor număr impar, se pot forma cu elementele mulțimii {1, 2,3, 4,5} . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A (1, −5 ) și B ( 5,5 ) . Determinați distanța de la punctul O la mijlocul segmentului AB . 5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , cu AC = 6 și tgC = 3 . Arătați că aria triunghiului ABC este egală cu 18 3 . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 0 1 − a a  1. Se consideră matricele I 2 =   și A ( a ) =   , unde a este număr real. 0 1  −3a 3a + 1 5p a) Arătați că det ( A ( 2 ) ) = 5 . 5p b) Arătați că A ( a ) − I 2 = a ( A (1) − I 2 ) , pentru orice număr real a . 5p c) Determinați numărul întreg m pentru care A ( m ) ⋅ A ( 2m ) = A (1) . 2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x y = xy − x − y + 4 . 5p a) Arătați că 0 3 = 1 . 5p b) Determinați numerele reale x pentru care x x = 3x . 5p c) Determinați numărul real a , știind că x a = x + a , pentru orice număr real x . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) ( 1. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = e x x 2 + 2 x − 2 . ) ( 5p a) Arătați că f ' ( x ) = e x + 4 x , x ∈ℝ . x 2 ) f ( x) 5p b) Arătați că lim = 1. ( ) x →+∞ f ' x 5p c) Demonstrați că e x+4 ( ) x 2 + 2 x − 2 ≤ 6 , pentru orice x ∈ ( −∞,0] . 3 2. Se consideră funcția f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = x3 + . x 2 5p a) Arătați că   f ( x ) − 3  dx = 15 . 1 x 4 5p b) Demonstrați că orice primitivă G : ( 0, +∞ ) → ℝ a funcției g : ( 0, +∞ ) → ℝ , g ( x ) = 1 f ( x ) este x crescătoare. 3 1 π 5p c) Arătați că  dx = . 1 f ( x) 12 3 Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 6 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 1 din 1