Rezolvare pas cu pas: Matematică – Mate-Info (M1) – Bacalaureat 2024, model de subiect

Arătați că \(2(1-2i)+i(4+i)=1\), unde \(i^2=-1\).

Metoda: Calcul cu numere complexe

1. 1

   Desfacem parantezele

   2(1-2i)+i(4+i)=2-4i+4i+i^2

   Înmulțim fiecare factor din afara parantezei cu termenii din paranteză, ca la orice expresie algebrică: \(2\cdot 1=2\), \(2\cdot(-2i)=-4i\), \(i\cdot 4=4i\), \(i\cdot i=i^2\). Facem asta pentru a scăpa de paranteze și a putea grupa termenii.

2. 2

   Folosim \(i^2=-1\) și reducem termenii

   2-4i+4i+i^2=2+(-1)=1

   Termenii \(-4i\) și \(4i\) sunt opuși, deci se reduc și dispare partea imaginară. Apoi înlocuim \(i^2\) cu \(-1\), conform ipotezei. Rămâne \(2+(-1)=1\), adică exact valoarea cerută.

Răspuns: Am obținut \(2(1-2i)+i(4+i)=2+(-1)=1\), deci egalitatea este demonstrată.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^2+ax-a\), unde \(a\) este număr real. Determinați numărul real \(a\) pentru care punctul \(A(3,-3)\) aparține graficului funcției \(f\).

Metoda: Punct pe graficul funcției

1. 1

   Condiția de apartenență la grafic

   A(3,-3)\in G_f \iff f(3)=-3

   Punctul \(A(3,-3)\) are abscisa \(3\) și ordonata \(-3\). El se află pe graficul lui \(f\) exact atunci când valoarea funcției în \(x=3\) este \(-3\), adică \(f(3)=-3\). Calculăm \(f(3)\) înlocuind \(x=3\) în \(f(x)=x^2+ax-a\): \(f(3)=3^2+3a-a=9+3a-a\). Egalăm cu \(-3\) și obținem \(9+3a-a=-3\).

2. 2

   Rezolvarea ecuației în a

   9+3a-a=-3 \Rightarrow 2a=-12 \Rightarrow a=-6

   Reducem termenii cu \(a\): \(3a-a=2a\), deci \(9+2a=-3\). Trecem \(9\) în partea dreaptă cu semn schimbat: \(2a=-3-9=-12\). Împărțim la \(2\): \(a=-6\). Verificare: pentru \(a=-6\), \(f(x)=x^2-6x+6\) și \(f(3)=9-18+6=-3\), deci punctul chiar se află pe grafic.

Răspuns: \(a=-6\)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(\log_2\left(x^2+8\right)=\log_2\left(8-2x\right)\).

Metoda: Ecuații logaritmice, condiții de existență

1. 1

   Condițiile de existență

   x^2+8>0,\quad 8-2x>0 \Rightarrow x<4

   Argumentul unui logaritm trebuie să fie strict pozitiv. Prima condiție, \(x^2+8>0\), este adevărată pentru orice \(x\in\mathbb{R}\), pentru că \(x^2\ge 0\). A doua condiție, \(8-2x>0\), dă \(x<4\). Deci soluțiile trebuie căutate în \((-\infty,4)\).

2. 2

   Egalăm argumentele

   x^2+8=8-2x

   Logaritmul în baza 2 este injectiv, deci din \(\log_2 A=\log_2 B\) rezultă \(A=B\). Așa scăpăm de logaritmi și obținem o ecuație obișnuită.

3. 3

   Rezolvăm ecuația de gradul al doilea

   x^2+2x=0 \Rightarrow x(x+2)=0 \Rightarrow x=0 \text{ sau } x=-2

   Dăm factor comun pe \(x\). Un produs este zero când unul dintre factori este zero, deci \(x=0\) sau \(x+2=0\), adică \(x=-2\).

4. 4

   Verificăm soluțiile

   x=-2:\ \log_2 12=\log_2 12;\quad x=0:\ \log_2 8=\log_2 8

   Ambele valori îndeplinesc condiția \(x<4\). Verificare: pentru \(x=-2\), \(x^2+8=12\) și \(8-2x=12\). Pentru \(x=0\), \(x^2+8=8\) și \(8-2x=8\). Deci ambele soluții convin.

Răspuns: Soluțiile ecuației sunt \(x=-2\) și \(x=0\), ambele convenind.

Determinați câte numere naturale de două cifre distincte, cu cifra zecilor pară, se pot forma cu elementele mulțimii \(A=\{1,2,3,4,5\}\).

Metoda: Principiul fundamental al numărării

1. 1

   Alegem cifra zecilor

   a\in\{2,4\}\Rightarrow 2\text{ moduri}

   Cifra zecilor trebuie să fie pară și să aparțină mulțimii \(A=\{1,2,3,4,5\}\). Numerele pare din \(A\) sunt \(2\) și \(4\), deci cifra zecilor se poate alege în \(2\) moduri.

2. 2

   Alegem cifra unităților

   b\in A\setminus\{a\}\Rightarrow 5-1=4\text{ moduri}

   Cifrele trebuie să fie distincte, deci cifra unităților poate fi orice element din \(A\), în afară de cifra zecilor deja aleasă. Din cele \(5\) cifre rămân \(4\), indiferent dacă am ales \(2\) sau \(4\) la zeci.

3. 3

   Înmulțim numărul de posibilități

   2\cdot 4=8

   Pentru fiecare dintre cele \(2\) alegeri ale cifrei zecilor avem câte \(4\) alegeri pentru unități. Conform principiului înmulțirii, numărul total de numere este \(2\cdot 4=8\). Cele numere sunt: 21, 23, 24, 25, 41, 42, 43, 45.

Răspuns: Se pot forma 8 numere.

În sistemul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(0,3)\) și \(B(4,0)\). Determinați coordonatele punctului \(C\) pentru care \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}\).

Metoda: Vectori în reperul cartezian

1. 1

   Scriem vectorii \(\overrightarrow{OA}\) și \(\overrightarrow{OB}\)

   \overrightarrow{OA}=3\vec{j},\quad \overrightarrow{OB}=4\vec{i}

   Punctul \(A(0,3)\) se află pe axa \(Oy\), la 3 unități de origine, deci \(\overrightarrow{OA}=0\cdot\vec{i}+3\vec{j}=3\vec{j}\). Punctul \(B(4,0)\) se află pe axa \(Ox\), la 4 unități de origine, deci \(\overrightarrow{OB}=4\vec{i}\). Vectorul de poziție al unui punct \(M(x,y)\) este \(x\vec{i}+y\vec{j}\).

2. 2

   Adunăm vectorii

   \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=4\vec{i}+3\vec{j}

   Relația din enunț spune că \(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\). Adunăm separat componentele pe \(\vec{i}\) și pe \(\vec{j}\): \(4\vec{i}+3\vec{j}\).

3. 3

   Citim coordonatele lui C

   C(4,3)

   Din \(\overrightarrow{OC}=4\vec{i}+3\vec{j}\) rezultă că punctul C are abscisa 4 și ordonata 3, deci \(C(4,3)\). Este al patrulea vârf al dreptunghiului \(OACB\), ceea ce confirmă rezultatul.

Răspuns: \(C(4,3)\)

Se consideră triunghiul ascuțitunghic \(ABC\), cu \(AB=5\), \(C=\frac{\pi}{4}\) și înălțimea \(AD=4\). Arătați că \(BC=7\).

Metoda: Triunghiuri dreptunghice și Pitagora

1. 1

   Calculăm DC în triunghiul dreptunghic ADC

   \triangle ADC:\ \angle D=90^\circ,\ \angle C=45^\circ \Rightarrow DC=AD=4

   În triunghiul \(ADC\) unghiul \(D\) este drept, deoarece \(AD\) este înălțime, iar unghiul \(C\) are \(\frac{\pi}{4}=45^\circ\). Deci și unghiul \(DAC\) are \(45^\circ\), iar triunghiul este dreptunghic isoscel. Catetele sunt egale, deci \(DC=AD=4\). Se poate folosi și \(\tan 45^\circ=\frac{AD}{DC}=1\).

2. 2

   Calculăm BD cu teorema lui Pitagora

   BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3

   În triunghiul dreptunghic \(ADB\) cunoaștem ipotenuza \(AB=5\) și cateta \(AD=4\). Din teorema lui Pitagora, \(AB^2=AD^2+BD^2\), deci \(BD^2=25-16=9\) și \(BD=3\), pentru că lungimea este pozitivă.

3. 3

   Aflăm BC adunând segmentele

   BC=BD+DC=3+4=7

   Triunghiul \(ABC\) este ascuțitunghic, deci piciorul înălțimii \(D\) se află în interiorul segmentului \(BC\), între \(B\) și \(C\). Prin urmare \(BC=BD+DC=3+4=7\), ceea ce trebuia arătat.

Răspuns: \(BC=BD+DC=3+4=7\).

Se consideră matricele \(I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\) și \(A(a)=\begin{pmatrix}0&0&1\\a&-1&a\\1&0&0\end{pmatrix}\), unde \(a\) este număr real. a) Arătați că \(\det(A(1))=1\).

Metoda: Calculul determinantului de ordin 3

1. 1

   Scriem matricea A(1)

   A(1)=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&-1&1\\1&0&0\end{pmatrix}

   Matricea \(A(a)\) depinde de numărul \(a\). Pentru \(A(1)\) înlocuim peste tot \(a\) cu 1: linia a doua \((a,-1,a)\) devine \((1,-1,1)\), iar celelalte linii nu conțin pe \(a\), deci rămân la fel.

2. 2

   Calculăm determinantul prin regula lui Sarrus

   \det(A(1))=\begin{vmatrix}0&0&1\\1&-1&1\\1&0&0\end{vmatrix}=0+0+0-(-1)-0-0

   Regula lui Sarrus: adunăm produsele elementelor de pe diagonala principală și de pe cele două paralele cu ea, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și paralelele ei. Singurul produs nenul este \(1\cdot(-1)\cdot1=-1\) (diagonala secundară), care se scade: \(-(-1)=+1\). Celelalte cinci produse conțin un zero, deci sunt 0.

3. 3

   Concluzia

   \det(A(1))=1

   Din calcul rezultă \(0+0+0-(-1)-0-0=1\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\det(A(1))=1\)

Se consideră matricele \(I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\) și \(A(a)=\begin{pmatrix}0&0&1\\a&-1&a\\1&0&0\end{pmatrix}\), unde \(a\) este număr real. Subiectul II, itemul 1. b): Arătați că \(A(a)\cdot A(b)=A(a)-A(b)+I_3\), pentru orice numere reale \(a\) și \(b\).

Metoda: Calcul matriceal direct

1. 1

   Calculăm produsul \(A(a)\cdot A(b)\)

   A(a)\cdot A(b)=\begin{pmatrix}0&0&1\\a&-1&a\\1&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0&1\\b&-1&b\\1&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\a-b&1&a-b\\0&0&1\end{pmatrix}

   Înmulțim linie cu coloană. Linia 1 \((0,0,1)\) înmulțită cu coloanele lui \(A(b)\) dă \((1,0,0)\). Linia 2 \((a,-1,a)\): pe coloana 1 avem \(a\cdot0+(-1)\cdot b+a\cdot1=a-b\), pe coloana 2 avem \(0+1+0=1\), pe coloana 3 avem \(a\cdot1-b+0=a-b\). Linia 3 \((1,0,0)\) dă \((0,0,1)\).

2. 2

   Calculăm \(A(a)-A(b)+I_3\)

   A(a)-A(b)+I_3=\begin{pmatrix}0&0&0\\a-b&0&a-b\\0&0&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\a-b&1&a-b\\0&0&1\end{pmatrix}

   Scădem matricele element cu element. Liniile 1 și 3 sunt identice în \(A(a)\) și \(A(b)\), deci diferența lor este 0. Pe linia 2, \(a-b\) apare pe coloanele 1 și 3, iar \(-1-(-1)=0\) pe coloana 2. Apoi adunăm \(I_3\), care pune 1 pe diagonală.

3. 3

   Comparăm și concluzionăm

   A(a)\cdot A(b)=A(a)-A(b)+I_3

   Cele două matrici obținute la pașii anteriori sunt egale element cu element. Calculul a folosit doar litere \(a\) și \(b\), fără valori particulare, deci egalitatea este valabilă pentru orice numere reale \(a\) și \(b\).

Răspuns: Ambele părți sunt egale cu \(\begin{pmatrix}1&0&0\\a-b&1&a-b\\0&0&1\end{pmatrix}\), deci \(A(a)\cdot A(b)=A(a)-A(b)+I_3\), pentru orice \(a,b\in\mathbb{R}\).

Se consideră matricele \(I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\) și \(A(a)=\begin{pmatrix}0&0&1\\a&-1&a\\1&0&0\end{pmatrix}\), unde \(a\) este număr real. c) Determinați matricea \(X\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) pentru care \(A(1)\cdot X\cdot A(0)=I_3\).

Metoda: Matrice inversabile, inversa din punctul b)

1. 1

   Aflăm inversele lui A(1) și A(0)

   A(a)\cdot A(a)=A(a)-A(a)+I_3=I_3

   Din punctul b) avem \(A(a)\cdot A(b)=A(a)-A(b)+I_3\) pentru orice \(a,b\). Dacă punem \(b=a\), obținem \(A(a)\cdot A(a)=I_3\). Deci \(A(a)\) este inversa ei însăși. Așadar \((A(1))^{-1}=A(1)\) și \((A(0))^{-1}=A(0)\). Matricele sunt inversabile, iar determinantul lui \(A(1)\) este 1, deci nenul.

2. 2

   Scoatem X din ecuație

   X=(A(1))^{-1}\cdot(A(0))^{-1}=A(1)\cdot A(0)

   Înmulțim ecuația \(A(1)\cdot X\cdot A(0)=I_3\) la stânga cu \((A(1))^{-1}\) și la dreapta cu \((A(0))^{-1}\). Obținem \(X=(A(1))^{-1}\cdot I_3\cdot(A(0))^{-1}=A(1)\cdot A(0)\). Ordinea contează, deoarece înmulțirea matricelor nu este comutativă.

3. 3

   Calculăm produsul A(1)·A(0)

   A(1)\cdot A(0)=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&-1&1\\1&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0&1\\0&-1&0\\1&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}

   Înmulțim linie cu coloană. Linia 1 \((0,0,1)\) dă \((1,0,0)\). Linia 2 \((1,-1,1)\): \(0+0+1=1\), \(0+1+0=1\), \(1+0+0=1\), deci \((1,1,1)\). Linia 3 \((1,0,0)\) dă \((0,0,1)\). Rezultatul coincide cu cel din barem.

Răspuns: \(X=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}\)

Pe mulțimea \(M=[3,+\infty)\) se definește legea de compoziție \(x\circ y=m(x-3)(y-3)+3\), unde \(m\in(0,+\infty)\). a) Arătați că \(3\circ 5=3\), pentru orice \(m\in(0,+\infty)\).

Metoda: Calcul direct prin înlocuire

1. 1

   Înlocuim în definiția legii

   3\circ 5=m(3-3)(5-3)+3

   Legea este \(x\circ y=m(x-3)(y-3)+3\). Punem \(x=3\) și \(y=5\) în locul lui \(x\) și \(y\), iar \(m\) rămâne neschimbat, fiindcă este un parametru oarecare din \((0,+\infty)\). Ambele numere, 3 și 5, aparțin lui \(M=[3,+\infty)\), deci operația se poate aplica.

2. 2

   Calculăm și observăm că \(m\) dispare

   3\circ 5=m\cdot 0\cdot 2+3=3

   Paranteza \(3-3\) este 0, iar un produs în care apare factorul 0 este 0, oricare ar fi \(m\) și oricare ar fi celălalt factor. Rămâne doar termenul \(+3\), deci \(3\circ 5=3\) pentru orice \(m\in(0,+\infty)\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(3\circ 5=m\cdot 0\cdot 2+3=3\), pentru orice \(m\in(0,+\infty)\).

Pe mulțimea \(M=[3,+\infty)\) se definește legea de compoziție \(x\circ y=m(x-3)(y-3)+3\), unde \(m\in(0,+\infty)\). b) Pentru \(m=2\), arătați că \(e=\frac{7}{2}\) este elementul neutru al legii de compoziție „\(\circ\)”.

Metoda: Definiția elementului neutru

1. 1

   Scriem legea pentru m = 2

   x\circ y=2(x-3)(y-3)+3

   Înlocuim \(m=2\) în definiția legii. Astfel lucrăm cu o lege concretă, fără parametru. Verificăm și că \(e=\frac{7}{2}\in M\), adică \(\frac{7}{2}\ge 3\), ceea ce este adevărat, deoarece \(\frac{7}{2}=3,5\).

2. 2

   Verificăm x ∘ e = x

   x\circ\frac{7}{2}=2(x-3)\left(\frac{7}{2}-3\right)+3=2(x-3)\cdot\frac{1}{2}+3=x-3+3=x

   Punem \(y=\frac{7}{2}\) în lege. Calculăm \(\frac{7}{2}-3=\frac{1}{2}\). Apoi \(2\cdot\frac{1}{2}=1\), deci rămâne \((x-3)+3=x\). Egalitatea este adevărată pentru orice \(x\in M\).

3. 3

   Verificăm e ∘ x = x și concluzionăm

   \frac{7}{2}\circ x=2\left(\frac{7}{2}-3\right)(x-3)+3=x-3+3=x

   Legea este comutativă, deoarece produsul \((x-3)(y-3)\) nu depinde de ordinea factorilor. Calculul este același și obținem \(\frac{7}{2}\circ x=x\). Cum \(x\circ\frac{7}{2}=\frac{7}{2}\circ x=x\) pentru orice \(x\in M\), numărul \(e=\frac{7}{2}\) este elementul neutru al legii.

Răspuns: Pentru \(m=2\) avem \(x\circ\frac{7}{2}=\frac{7}{2}\circ x=x\) pentru orice \(x\in M\), deci \(e=\frac{7}{2}\) este elementul neutru al legii.

Pe mulțimea \(M=[3,+\infty)\) se definește legea de compoziție \(x\circ y=m(x-3)(y-3)+3\), unde \(m\in(0,+\infty)\). Se consideră funcția \(f:M\to M\), \(f(x)=3+\sqrt{x-3}\). Pentru \(m=1\), arătați că \(f(x\circ y)=f(x)\circ f(y)\), pentru orice \(x,y\in M\).

Metoda: Calcul direct al celor doi membri

1. 1

   Scriem legea pentru m = 1

   x\circ y=(x-3)(y-3)+3

   Înlocuim \(m=1\) în definiția legii. Obținem \(x\circ y=(x-3)(y-3)+3\). Pentru \(x,y\in M=[3,+\infty)\) avem \(x-3\ge 0\) și \(y-3\ge 0\), deci \(x\circ y-3=(x-3)(y-3)\ge 0\). Așadar \(x\circ y\in M\), iar radicalul din pasul următor are sens.

2. 2

   Calculăm membrul stâng f(x∘y)

   f(x\circ y)=3+\sqrt{(x-3)(y-3)+3-3}=3+\sqrt{(x-3)(y-3)}

   În \(f(t)=3+\sqrt{t-3}\) punem \(t=x\circ y=(x-3)(y-3)+3\). Atunci \(t-3=(x-3)(y-3)\), deci \(f(x\circ y)=3+\sqrt{(x-3)(y-3)}\). Deoarece \(x-3\ge0\) și \(y-3\ge0\), putem scrie radicalul unui produs ca produs de radicali: \(3+\sqrt{x-3}\cdot\sqrt{y-3}\).

3. 3

   Calculăm membrul drept f(x)∘f(y)

   f(x)\circ f(y)=\big(f(x)-3\big)\big(f(y)-3\big)+3=\sqrt{x-3}\cdot\sqrt{y-3}+3

   Folosim legea cu \(m=1\) pentru numerele \(f(x)\) și \(f(y)\). Cum \(f(x)-3=\sqrt{x-3}\) și \(f(y)-3=\sqrt{y-3}\), obținem \(f(x)\circ f(y)=\sqrt{x-3}\cdot\sqrt{y-3}+3\). Rețineți că \(f(x)\ge 3\), deci \(f(x)\in M\) și legea se poate aplica.

4. 4

   Concluzia

   f(x\circ y)=3+\sqrt{x-3}\sqrt{y-3}=f(x)\circ f(y)

   Cei doi membri sunt egali, ambii fiind \(3+\sqrt{x-3}\cdot\sqrt{y-3}\). Egalitatea a fost obținută pentru orice \(x,y\in M\), deci \(f(x\circ y)=f(x)\circ f(y)\) pentru orice \(x,y\in M\), ceea ce trebuia demonstrat. Verificăm pe exemplul numeric: ambii membri dau 5.

Răspuns: Pentru m = 1, ambii membri sunt egali cu \(3+\sqrt{x-3}\cdot\sqrt{y-3}\), deci \(f(x\circ y)=f(x)\circ f(y)\) pentru orice \(x,y\in M\).

Se consideră funcția \(f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x-\dfrac{e^{-x}}{x-1}\). a) Arătați că \(f'(x)=\dfrac{(x-1)^2+xe^{-x}}{(x-1)^2}\), \(x\in(1,+\infty)\).

Metoda: Derivata câtului de funcții

1. 1

   Derivăm termenul x și scriem derivata câtului

   f'(x)=1-\frac{\left(e^{-x}\right)'(x-1)-e^{-x}(x-1)'}{(x-1)^2}

   Derivata unei diferențe este diferența derivatelor: \((x)'=1\). Pentru fracția \(\dfrac{u}{v}\) folosim formula \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\), cu \(u=e^{-x}\) și \(v=x-1\). Semnul minus din fața fracției rămâne în fața întregii fracții.

2. 2

   Înlocuim derivatele

   f'(x)=1-\frac{-e^{-x}(x-1)-e^{-x}}{(x-1)^2}

   Avem \(\left(e^{-x}\right)'=-e^{-x}\) și \((x-1)'=1\). Înlocuim în formula de la pasul anterior și obținem numărătorul \(-e^{-x}(x-1)-e^{-x}\).

3. 3

   Simplificăm numărătorul fracției

   f'(x)=1+\frac{e^{-x}(x-1)+e^{-x}}{(x-1)^2}=1+\frac{xe^{-x}}{(x-1)^2}

   Minusul din fața fracției schimbă semnul numărătorului. În numărător avem \(e^{-x}(x-1)+e^{-x}=e^{-x}(x-1+1)=xe^{-x}\). Așa obținem forma \(1+\dfrac{xe^{-x}}{(x-1)^2}\).

4. 4

   Aducem la același numitor

   f'(x)=\frac{(x-1)^2+xe^{-x}}{(x-1)^2},\ x\in(1,+\infty)

   Scriem \(1=\dfrac{(x-1)^2}{(x-1)^2}\), valabil pentru \(x>1\), deoarece atunci \(x-1\neq 0\). Adunăm numărătorii și obținem exact expresia cerută în enunț.

Răspuns: \(f'(x)=\dfrac{(x-1)^2+xe^{-x}}{(x-1)^2}\), pentru orice \(x\in(1,+\infty)\), ceea ce trebuia arătat.

Se consideră funcția \(f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x-\dfrac{e^{-x}}{x-1}\). b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre \(+\infty\) la graficul funcției \(f\).

Metoda: Asimptota oblică prin limite

1. 1

   Calculăm panta \(m\)

   m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\left(1-\frac{e^{-x}}{x(x-1)}\right)=1

   Panta asimptotei oblice se obține ca limita raportului \(\frac{f(x)}{x}\) când \(x\to+\infty\). Împărțim fiecare termen din \(f(x)\) la \(x\): \(\frac{x}{x}=1\), iar al doilea termen devine \(\frac{e^{-x}}{x(x-1)}\). Când \(x\to+\infty\), \(e^{-x}\to 0\), iar \(x(x-1)\to+\infty\), deci fracția tinde la 0. Rezultă \(m=1\), un număr finit și nenul, deci există posibilitatea unei asimptote oblice.

2. 2

   Calculăm termenul liber \(n\)

   n=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-x\right)=\lim_{x\to+\infty}\left(-\frac{e^{-x}}{x-1}\right)=0

   Termenul liber este \(n=\lim_{x\to+\infty}(f(x)-mx)\), iar aici \(m=1\). Scăzând \(x\) din \(f(x)\), rămâne doar \(-\frac{e^{-x}}{x-1}\). Numărătorul \(e^{-x}\) tinde la 0, iar numitorul \(x-1\) tinde la \(+\infty\), deci limita este 0. Așadar \(n=0\), un număr real finit, deci asimptota oblică există.

3. 3

   Scriem ecuația asimptotei

   y=mx+n \Rightarrow y=x

   Cu \(m=1\) și \(n=0\), ecuația \(y=mx+n\) devine \(y=x\). Cum ambele limite sunt finite, dreapta \(y=x\) este asimptota oblică spre \(+\infty\) la graficul lui \(f\), la fel ca în barem.

Răspuns: Asimptota oblică spre \(+\infty\) la graficul lui \(f\) este dreapta \(y=x\).

Se consideră funcția \(f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x-\dfrac{e^{-x}}{x-1}\). c) Demonstrați că funcția \(f\) este bijectivă.

Metoda: Monotonie, limite și continuitate

1. 1

   Semnul derivatei

   f'(x)=\frac{(x-1)^2+xe^{-x}}{(x-1)^2}>0,\ \forall x\in(1,+\infty)

   De la punctul a) știm că \(f'(x)=\frac{(x-1)^2+xe^{-x}}{(x-1)^2}\). Pe intervalul \((1,+\infty)\) avem \(x>1>0\), deci \(xe^{-x}>0\), pentru că \(e^{-x}>0\). De asemenea \((x-1)^2>0\). Numărătorul este o sumă de doi termeni pozitivi, deci pozitiv, iar numitorul este pozitiv. Prin urmare \(f'(x)>0\).

2. 2

   Injectivitatea

   f'(x)>0\Rightarrow f\text{ strict crescătoare}\Rightarrow f\text{ injectivă}

   Dacă derivata este strict pozitivă pe un interval, funcția este strict crescătoare pe acel interval. O funcție strict crescătoare ia valori diferite pentru argumente diferite: dacă \(x_1<x_2\), atunci \(f(x_1)<f(x_2)\). Deci \(f\) este injectivă.

3. 3

   Limitele la capetele intervalului

   \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty,\quad \lim_{x\searrow1}f(x)=-\infty

   Pentru \(x\to+\infty\): \(x\to+\infty\) iar \(\frac{e^{-x}}{x-1}\to0\), deci \(f(x)\to+\infty\). Pentru \(x\to1\), \(x>1\): \(x\to1\), \(e^{-x}\to e^{-1}>0\), iar \(x-1\to0^+\), deci \(\frac{e^{-x}}{x-1}\to+\infty\). Atunci \(f(x)=x-\frac{e^{-x}}{x-1}\to1-\infty=-\infty\).

4. 4

   Surjectivitatea și concluzia

   f\text{ continuă},\ \lim_{x\searrow1}f=-\infty,\ \lim_{x\to+\infty}f=+\infty\Rightarrow f((1,+\infty))=\mathbb{R}

   Funcția \(f\) este continuă pe \((1,+\infty)\), fiind obținută din funcții continue prin operații (numitorul \(x-1\) nu se anulează). O funcție continuă are proprietatea lui Darboux: ia toate valorile dintre două valori pe care le atinge. Cum valorile ei ajung oricât de jos și oricât de sus, imaginea este \(\mathbb{R}\). Deci \(f\) este surjectivă. Fiind și injectivă, \(f\) este bijectivă.

Răspuns: Funcția \(f\) este strict crescătoare (deci injectivă) și, fiind continuă cu limitele \(-\infty\) și \(+\infty\) la capete, este surjectivă; deci \(f\) este bijectivă.

Se consideră funcția \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=\dfrac{x}{(x^2+1)^2} \). Arătați că \( \displaystyle\int_1^3 f(x)(x^2+1)^2\,dx=4 \).

Metoda: Simplificare și integrală de bază

1. 1

   Simplificăm expresia de sub integrală

   f(x)(x^2+1)^2=\frac{x}{(x^2+1)^2}\cdot (x^2+1)^2=x

   Înlocuim \(f(x)\) cu formula ei. Factorul \((x^2+1)^2\) de la numitor se reduce cu \((x^2+1)^2\) din integrală (numitorul este mereu nenul, deoarece \(x^2+1\ge 1\)). Rămâne doar \(x\), deci integrala devine \(\int_1^3 x\,dx\).

2. 2

   Calculăm integrala lui x

   \int_1^3 x\,dx=\left.\frac{x^2}{2}\right|_1^3

   O primitivă a funcției \(x\) este \(\frac{x^2}{2}\). Aplicăm formula Leibniz-Newton: valoarea primitivei în limita de sus minus valoarea ei în limita de jos.

3. 3

   Înlocuim limitele și obținem rezultatul

   \frac{3^2}{2}-\frac{1^2}{2}=\frac{9}{2}-\frac{1}{2}=\frac{8}{2}=4

   Calculăm \(\frac{x^2}{2}\) pentru \(x=3\) și pentru \(x=1\), apoi scădem. Obținem exact valoarea cerută, 4, deci egalitatea este demonstrată.

Răspuns: \(\int_1^3 f(x)(x^2+1)^2\,dx=\int_1^3 x\,dx=\frac{9}{2}-\frac{1}{2}=4\), deci egalitatea este demonstrată.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{x}{(x^2+1)^2}\). Arătați că \(\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx=\dfrac{1}{4}\).

Metoda: Integrare prin substituție (derivata numitorului)

1. 1

   Scriem integrala și observăm derivata lui \(x^2+1\)

   \int_0^1 \frac{x}{(x^2+1)^2}\,dx=\frac{1}{2}\int_0^1 \frac{(x^2+1)'}{(x^2+1)^2}\,dx

   Derivata lui \(x^2+1\) este \(2x\). Noi avem doar \(x\) la numărător, deci îl scriem ca \(x=\frac{1}{2}\cdot 2x=\frac{1}{2}(x^2+1)'\). Astfel integrala ia forma \(\int \frac{u'}{u^2}\), pentru care știm primitiva.

2. 2

   Găsim primitiva

   \frac{1}{2}\int_0^1 \frac{(x^2+1)'}{(x^2+1)^2}\,dx=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^2+1}\Big|_0^1

   Știm că \(\left(\frac{1}{u}\right)'=-\frac{u'}{u^2}\). Deci o primitivă a lui \(\frac{u'}{u^2}\) este \(-\frac{1}{u}\). Cu \(u=x^2+1\) obținem primitiva \(-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^2+1}\).

3. 3

   Aplicăm formula Leibniz-Newton

   -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^2+1}\Big|_0^1=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1}=-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{1}{4}

   Calculăm valoarea primitivei în limita de sus (\(x=1\)) și scădem valoarea ei în limita de jos (\(x=0\)). La \(x=1\): \(-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}\). La \(x=0\): \(-\frac{1}{2}\cdot 1=-\frac{1}{2}\). Diferența este \(-\frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\int_0^1 f(x)\,dx=\frac{1}{4}\)

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{x}{(x^2+1)^2}\). Pentru fiecare număr natural nenul \(n\), se consideră numărul \(I_n=\displaystyle\int_0^1 x^n\sqrt{x f(x)}\,dx\). Arătați că \(I_n-I_{n+4}=\dfrac{2}{(n+2)(n+4)}\), pentru orice număr natural nenul \(n\).

Metoda: Simplificarea radicalului și integrare directă

1. 1

   Simplificăm expresia de sub radical

   x f(x)=\frac{x^2}{(x^2+1)^2}\ \Rightarrow\ \sqrt{xf(x)}=\frac{x}{x^2+1}

   Înmulțim \(f(x)\) cu \(x\) și obținem \(\dfrac{x^2}{(x^2+1)^2}\), care este un pătrat perfect la numărător și la numitor. Pe intervalul \([0,1]\) avem \(x\ge 0\) și \(x^2+1>0\), deci \(\sqrt{\dfrac{x^2}{(x^2+1)^2}}=\dfrac{x}{x^2+1}\) fără modul. Prin urmare \(I_n=\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{n+1}}{x^2+1}\,dx\).

2. 2

   Scriem diferența sub o singură integrală

   I_n-I_{n+4}=\int_0^1\frac{x^{n+1}-x^{n+5}}{x^2+1}\,dx=\int_0^1\frac{x^{n+1}(1-x^4)}{x^2+1}\,dx

   Din pasul anterior \(I_{n+4}=\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{n+5}}{x^2+1}dx\). Cele două integrale au același numitor și aceleași limite, deci le scădem sub un singur semn integral. La numărător dăm factor comun \(x^{n+1}\).

3. 3

   Simplificăm fracția

   \frac{1-x^4}{x^2+1}=\frac{(1-x^2)(1+x^2)}{x^2+1}=1-x^2\ \Rightarrow\ I_n-I_{n+4}=\int_0^1 x^{n+1}(1-x^2)\,dx

   Folosim diferența de pătrate: \(1-x^4=(1-x^2)(1+x^2)\). Factorul \(1+x^2\) se simplifică cu numitorul și rămâne o integrală de polinom. Apoi desfacem parantezele: \(x^{n+1}(1-x^2)=x^{n+1}-x^{n+3}\).

4. 4

   Calculăm integrala și obținem rezultatul

   \int_0^1\left(x^{n+1}-x^{n+3}\right)dx=\left.\frac{x^{n+2}}{n+2}\right|_0^1-\left.\frac{x^{n+4}}{n+4}\right|_0^1=\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+4}=\frac{2}{(n+2)(n+4)}

   Integrăm fiecare putere cu formula \(\int x^k dx=\dfrac{x^{k+1}}{k+1}\). La limitele 0 și 1 obținem \(\dfrac{1}{n+2}\) și \(\dfrac{1}{n+4}\). Aducem la numitor comun: \(\dfrac{(n+4)-(n+2)}{(n+2)(n+4)}=\dfrac{2}{(n+2)(n+4)}\), exact ce trebuia demonstrat, pentru orice \(n\) natural nenul.

Răspuns: \(I_n-I_{n+4}=\dfrac{2}{(n+2)(n+4)}\), pentru orice număr natural nenul \(n\).