Matematică 2024

Ministerul Educaţiei Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație Examenul național de bacalaureat 2024 Proba E. c) Matematică M_mate-info Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică  Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.  Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Arătați că 2 1  2i   i  4  i   1 , unde i 2  1 . 5p 2. Se consideră funcția f : ℝ  ℝ , f  x   x 2  ax  a , unde a este număr real. Determinați numărul real a pentru care punctul A  3, 3 aparține graficului funcției f .   5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log 2 x 2  8  log 2  8  2 x  . 5p 4. Determinați câte numere naturale de două cifre distincte, cu cifra zecilor pară, se pot forma cu elementele mulțimii A  1, 2,3, 4,5 . 5p 5. În sistemul cartezian xOy se consideră punctele A  0,3 și B  4,0  . Determinați coordonatele    punctului C pentru care OA  OB  OC . 5p 6. Se consideră triunghiul ascuțitunghic ABC , cu AB  5 , C   și înălțimea AD  4 . Arătați că 4 BC  7 . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 0 0 0 0 1     1. Se consideră matricele I 3   0 1 0  și A  a    a 1 a  , unde a este număr real. 0 0 1 1 0 0     5p a) Arătați că det  A 1   1 . 5p b) Arătați că A  a   A  b   A  a   A  b   I3 , pentru orice numere reale a și b . 5p c) Determinați matricea X  M3  ℝ  pentru care A 1  X  A  0   I 3 . 2. Pe mulțimea M  3,   se definește legea de compoziție x  y  m  x  3 y  3  3 , unde m   0,   . 5p a) Arătați că 3  5  3 , pentru orice m   0,   . 7 5p b) Pentru m  2 , arătați că e  este elementul neutru al legii de compoziție „  ”. 2 5p c) Se consideră funcția f : M  M , f  x   3  x  3 . Pentru m  1 , arătați că f  x  y   f  x   f  y  , pentru orice x , y  M . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) e x 1. Se consideră funcția f : 1,    ℝ , f  x   x  . x 1  x  12  xe x , x  1,  . 5p a) Arătați că f '  x      x  12 5p b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre  la graficul funcției f . 5p c) Demonstrați că funcția f este bijectivă. Probă scrisă la matematică M_mate-info Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 1 din 2  Ministerul Educaţiei Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație x 2. Se consideră funcția f : ℝ  ℝ , f  x   .   2 x2  1 3   2 5p a) Arătați că  f  x  x  1 dx  4 . 2 1 1 1 5p b) Arătați că  f  x  dx  . 0 4 1 5p c) Pentru fiecare număr natural nenul n , se consideră numărul I n   x n x f  x  dx . Arătați că 0 2 I n  I n 4  , pentru orice număr natural nenul n .  n  2  n  4  Probă scrisă la matematică M_mate-info Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 2 din 2