Rezolvare pas cu pas: Matematică – Mate-Info (M1) – Bacalaureat 2024, simulare

Arătați că \(\left(3+\lg\frac{1}{10}\right)\cdot\lg\sqrt{10}=1\).

Metoda: Proprietățile logaritmilor

1. 1

   Calculăm paranteza

   3+\lg\frac{1}{10}=3+\lg 10^{-1}=3-1=2

   Scriem \(\frac{1}{10}=10^{-1}\) și folosim \(\lg a^{k}=k\lg a\). Cum \(\lg 10=1\), obținem \(\lg\frac{1}{10}=-1\). Deci paranteza este \(3-1=2\), iar expresia devine \(2\cdot\lg\sqrt{10}\).

2. 2

   Calculăm \(\lg\sqrt{10}\)

   \lg\sqrt{10}=\lg 10^{\frac12}=\frac12\lg 10=\frac12

   Radicalul este o putere: \(\sqrt{10}=10^{1/2}\). Scoatem exponentul în fața logaritmului și folosim \(\lg 10=1\).

3. 3

   Efectuăm înmulțirea

   \left(3+\lg\frac{1}{10}\right)\cdot\lg\sqrt{10}=2\cdot\frac12=1

   Înlocuim rezultatele din pașii anteriori: prima paranteză este 2, iar al doilea factor este \(\frac12\). Produsul este 1, exact ce trebuia arătat.

Răspuns: Expresia este egală cu 1, deci egalitatea este demonstrată.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^2+ax-1\), unde \(a\) este număr real. Determinați numerele reale \(a\) pentru care \((f\circ f)(1)=1\).

Metoda: Compunerea funcțiilor

1. 1

   Calculăm f(1)

   f(1)=1^2+a\cdot 1-1=a

   Prin definiție, \((f\circ f)(1)=f(f(1))\). Deci trebuie să aflăm mai întâi \(f(1)\), pentru că acest rezultat intră apoi în a doua aplicare a funcției. Înlocuim \(x=1\) în \(f(x)=x^2+ax-1\): \(1+a-1=a\).

2. 2

   Calculăm (f∘f)(1)

   (f\circ f)(1)=f(a)=a^2+a\cdot a-1=2a^2-1

   Acum aplicăm f numărului \(a\), obținut la pasul anterior. Înlocuim x cu \(a\): \(a^2+a\cdot a-1=2a^2-1\).

3. 3

   Punem condiția și rezolvăm ecuația

   2a^2-1=1 \Rightarrow a^2=1 \Rightarrow a=-1 \text{ sau } a=1

   Problema cere ca \((f\circ f)(1)=1\), deci \(2a^2-1=1\). Atunci \(2a^2=2\), deci \(a^2=1\). O ecuație \(a^2=1\) are două soluții reale: \(a=1\) și \(a=-1\), pentru că ambele ridicate la pătrat dau 1.

Răspuns: \(a\in\{-1,\,1\}\)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(2^{x+1}\cdot 8^{x}=32\).

Metoda: Aducerea la aceeași bază

1. 1

   Scriem 8 ca putere a lui 2

   8^{x}=(2^{3})^{x}=2^{3x}

   Deoarece \(8=2^3\), putem scrie \(8^x=(2^3)^x=2^{3x}\), conform regulii \((a^m)^n=a^{mn}\). Facem asta ca să avem aceeași bază, 2, în ambii factori.

2. 2

   Înmulțim puterile cu aceeași bază

   2^{x+1}\cdot 2^{3x}=2^{x+1+3x}=2^{4x+1}

   La înmulțirea puterilor cu aceeași bază adunăm exponenții: \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\). Obținem \(2^{x+1+3x}=2^{4x+1}\).

3. 3

   Scriem 32 ca putere a lui 2

   2^{4x+1}=32=2^{5}

   Avem \(32=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=2^5\). Acum ambii membri ai ecuației sunt puteri ale lui 2.

4. 4

   Egalăm exponenții și rezolvăm

   4x+1=5 \Rightarrow 4x=4 \Rightarrow x=1

   Funcția \(2^t\) este injectivă (strict crescătoare), deci din \(2^{4x+1}=2^5\) rezultă \(4x+1=5\). De aici \(4x=4\), deci \(x=1\).

5. 5

   Verificare

   2^{1+1}\cdot 8^{1}=4\cdot 8=32

   Înlocuim \(x=1\) în ecuația inițială: \(2^{2}\cdot 8=4\cdot8=32\), adevărat. Deci soluția este corectă.

Răspuns: \(x=1\)

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr \(n\) din mulțimea numerelor naturale de două cifre, numărul \(\sqrt{n+100}\) să fie natural.

Metoda: Probabilitate: cazuri favorabile/posibile

1. 1

   Cazurile posibile

   10,11,\dots,99 \Rightarrow 99-10+1=90

   Numerele naturale de două cifre sunt de la \(10\) la \(99\). Le numărăm: \(99-10+1=90\). Deci avem \(90\) de cazuri posibile.

2. 2

   Domeniul în care se află \(n+100\)

   10\le n\le 99 \Rightarrow 110\le n+100\le 199

   Adunăm \(100\) la fiecare membru al inegalității. Rezultă că \(n+100\) este între \(110\) și \(199\). Ne trebuie ca \(\sqrt{n+100}\) să fie natural, adică \(n+100\) să fie pătrat perfect.

3. 3

   Cazurile favorabile

   11^2=121,\ 12^2=144,\ 13^2=169,\ 14^2=196 \Rightarrow n\in\{21,44,69,96\}

   Pătratele perfecte din intervalul \([110,199]\): \(10^2=100\) este prea mic, \(15^2=225\) este prea mare. Rămân \(121,144,169,196\). Scădem \(100\) și obținem \(n=21,44,69,96\), toate de două cifre. Sunt \(4\) cazuri favorabile.

4. 4

   Calculul probabilității

   p=\frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}=\frac{4}{90}=\frac{2}{45}

   Împărțim numărul cazurilor favorabile (\(4\)) la numărul cazurilor posibile (\(90\)) și simplificăm prin \(2\).

Răspuns: \(p=\dfrac{2}{45}\)

În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(1,4)\), \(B(4,6)\) și \(C(4,2)\). Determinați coordonatele punctului \(D\), știind că \(\overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\).

Metoda: Vectori în reperul cartezian

1. 1

   Calculăm vectorul AB

   \overrightarrow{AB}=(x_B-x_A)\,\vec i+(y_B-y_A)\,\vec j=3\vec i+2\vec j

   Coordonatele unui vector care pornește din A și ajunge în B se obțin scăzând coordonatele originii din cele ale vârfului: \(x_B-x_A=4-1=3\) și \(y_B-y_A=6-4=2\). Deci \(\overrightarrow{AB}=3\vec i+2\vec j\).

2. 2

   Calculăm vectorul AC

   \overrightarrow{AC}=(4-1)\,\vec i+(2-4)\,\vec j=3\vec i-2\vec j

   Procedăm la fel pentru C(4,2): \(x_C-x_A=4-1=3\), iar \(y_C-y_A=2-4=-2\). Deci \(\overrightarrow{AC}=3\vec i-2\vec j\).

3. 3

   Calculăm \(\overrightarrow{OD}\) și coordonatele lui D

   \overrightarrow{OD}=\frac12\left(3\vec i+2\vec j+3\vec i-2\vec j\right)=\frac12\cdot 6\vec i=3\vec i

   Adunăm vectorii pe componente: \(3+3=6\) la \(\vec i\) și \(2+(-2)=0\) la \(\vec j\). Înmulțim cu \(\frac12\) și obținem \(\overrightarrow{OD}=3\vec i+0\vec j\). Cum O este originea, coordonatele lui D coincid cu cele ale vectorului OD: \(x_D=3\) și \(y_D=0\), deci \(D(3,0)\).

Răspuns: D(3, 0), adică \(x_D=3\) și \(y_D=0\).

Se consideră expresia \(E(x)=\operatorname{tg}x-4\cos\frac{x}{2}\cdot\cos x\), unde \(x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\). Arătați că \(E\left(\frac{\pi}{3}\right)=0\).

Metoda: Calcul direct cu valori trigonometrice

1. 1

   Înlocuim x cu π/3

   E\left(\frac{\pi}{3}\right)=\operatorname{tg}\frac{\pi}{3}-4\cos\frac{\pi}{6}\cdot\cos\frac{\pi}{3}

   Pentru a calcula \(E\left(\frac{\pi}{3}\right)\), punem peste tot \(\frac{\pi}{3}\) în loc de \(x\). Atenție: \(\frac{x}{2}\) devine \(\frac{\pi/3}{2}=\frac{\pi}{6}\). Valoarea \(\frac{\pi}{3}\) aparține intervalului \(\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\), deci expresia are sens.

2. 2

   Scriem valorile trigonometrice cunoscute

   \operatorname{tg}\frac{\pi}{3}=\sqrt{3},\quad \cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2},\quad \cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}

   Acestea sunt valori din tabelul unghiurilor remarcabile (\(30^\circ, 60^\circ\)). Le folosim pentru a înlocui funcțiile trigonometrice cu numere. Poți verifica: \(\operatorname{tg}60^\circ=\frac{\sin 60^\circ}{\cos 60^\circ}=\frac{\sqrt3/2}{1/2}=\sqrt3\).

3. 3

   Calculăm și obținem 0

   E\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}-4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{2}=\sqrt{3}-\sqrt{3}=0

   Înlocuim valorile. Produsul \(4\cdot\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac12\) are la numitor \(2\cdot2=4\), care se simplifică cu 4 de la numărător, rămânând \(\sqrt3\). Deci scădem \(\sqrt3-\sqrt3=0\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(E\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}-\sqrt{3}=0\), deci egalitatea cerută este demonstrată.

Se consideră matricele \(I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\) și \(A(x)=\begin{pmatrix}1&-1&x\\-1&0&0\\x&0&-1\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. a) Arătați că \(\det(A(0))=1\).

Metoda: Calculul determinantului de ordin 3

1. 1

   Scriem matricea A(0)

   A(0)=\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}

   Pentru A(0) înlocuim peste tot x cu 0. Așa obținem o matrice cu numere, al cărei determinant îl putem calcula direct. Singurele poziții unde apare x sunt elementele din colțul din dreapta sus și din colțul din stânga jos, deci ele devin 0.

2. 2

   Aplicăm regula lui Sarrus

   \det(A(0))=\begin{vmatrix}1&-1&0\\-1&0&0\\0&0&-1\end{vmatrix}=1\cdot0\cdot(-1)+(-1)\cdot0\cdot0+0\cdot(-1)\cdot0-0\cdot0\cdot0-(-1)\cdot(-1)\cdot(-1)-1\cdot0\cdot0

   Regula lui Sarrus: adunăm produsele elementelor de pe diagonala principală și de pe cele două paralele cu ea, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei. Primii trei termeni sunt 0, iar de la scădere rămâne doar un produs nenul.

3. 3

   Concluzia

   \det(A(0))=0+0+0-0-0-(-1)=1

   Toți termenii sunt 0, cu excepția produsului \((-1)\cdot(-1)\cdot(-1)=-1\), care se scade. Scăzând un număr negativ, obținem \(0-(-1)=1\), deci determinantul este 1, ceea ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\det(A(0))=1\)

Se consideră matricele \(I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\) și \(A(x)=\begin{pmatrix}1&-1&x\\-1&0&0\\x&0&-1\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. Subiectul II, 1. b): Arătați că \(\det\left(A(x)\cdot A(x)-I_3\right)\le 0\), pentru orice număr real \(x\).

Metoda: Calcul matriceal și determinant

1. 1

   Calculăm produsul A(x)·A(x)

   A(x)\cdot A(x)=\begin{pmatrix}2+x^2&-1&0\\-1&1&-x\\0&-x&x^2+1\end{pmatrix}

   Înmulțim matricea cu ea însăși, linie cu coloană. De exemplu, elementul de pe linia 1, coloana 1 este \(1\cdot1+(-1)(-1)+x\cdot x=2+x^2\). Elementul de pe linia 1, coloana 2: \(1\cdot(-1)+(-1)\cdot0+x\cdot0=-1\). Linia 1, coloana 3: \(1\cdot x+(-1)\cdot 0+x\cdot(-1)=0\). Linia 2: \((-1)\cdot1+0+0=-1\), apoi \(1\), apoi \(-x\). Linia 3: \(x\cdot1+0+(-1)x=0\), \(-x\), și \(x^2+1\).

2. 2

   Scădem I₃

   A(x)\cdot A(x)-I_3=\begin{pmatrix}1+x^2&-1&0\\-1&0&-x\\0&-x&x^2\end{pmatrix}

   Matricea \(I_3\) are 1 doar pe diagonala principală. Scădem deci 1 din fiecare element de pe diagonală: \(2+x^2-1=1+x^2\), \(1-1=0\), \(x^2+1-1=x^2\). Celelalte elemente rămân neschimbate.

3. 3

   Calculăm determinantul

   \det\left(A(x)A(x)-I_3\right)=\begin{vmatrix}1+x^2&-1&0\\-1&0&-x\\0&-x&x^2\end{vmatrix}=-x^2(1+x^2)-x^2=-x^2(2+x^2)

   Dezvoltăm după prima linie. Termenul cu \(1+x^2\): \((1+x^2)\cdot(0\cdot x^2-(-x)(-x))=(1+x^2)(-x^2)\). Termenul cu \(-1\): \(-(-1)\cdot((-1)\cdot x^2-(-x)\cdot0)=1\cdot(-x^2)=-x^2\). Termenul cu 0 dispare. Suma: \(-x^2(1+x^2)-x^2=-x^2(2+x^2)\).

4. 4

   Stabilim semnul

   -x^2(2+x^2)\le 0,\ \forall x\in\mathbb{R}

   Pentru orice \(x\) real avem \(x^2\ge0\) și \(2+x^2>0\). Produsul \(x^2(2+x^2)\) este deci mai mare sau egal cu 0, iar cu minus în față rezultatul este mai mic sau egal cu 0. Egalitatea se obține pentru \(x=0\). Astfel, \(\det\left(A(x)A(x)-I_3\right)\le0\) pentru orice \(x\) real.

Răspuns: \(\det\left(A(x)\cdot A(x)-I_3\right)=-x^2(2+x^2)\le0\), pentru orice \(x\in\mathbb{R}\).

Se consideră matricele \(I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\) și \(A(x)=\begin{pmatrix}1&-1&x\\-1&0&0\\x&0&-1\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. Itemul 1. c) (5p): Se consideră matricea \(B\in\mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R})\), \(B=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}\). Determinați matricea \(X\in\mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R})\) pentru care \(X\cdot (A(0))^{-1}=B\cdot A(0)\), unde \((A(0))^{-1}\) este inversa matricei \(A(0)\).

Metoda: Ecuație matriceală, înmulțire cu inversa

1. 1

   Izolăm necunoscuta X

   X\cdot (A(0))^{-1}=B\cdot A(0)\ \Rightarrow\ X=B\cdot A(0)\cdot A(0)

   Înmulțim ambii membri la dreapta cu \(A(0)\). În membrul stâng apare \((A(0))^{-1}\cdot A(0)=I_3\), iar \(X\cdot I_3=X\). Inversa există, deoarece din punctul a) avem \(\det A(0)=1\neq 0\). Înmulțirea se face la dreapta în ambii membri, pentru că matricele nu comută în general.

2. 2

   Scriem matricea A(0)

   A(0)=\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}

   Înlocuim \(x=0\) în \(A(x)\). Elementele cu \(x\) devin 0.

3. 3

   Calculăm B·A(0)

   B\cdot A(0)=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1&-1\\-1&0&0\end{pmatrix}

   Fiecare element se obține înmulțind o linie din B cu o coloană din A(0). Linia 1 a lui B este (1, 0, 1): cu coloana 1 dă 1·1+0·(-1)+1·0=1, cu coloana 2 dă 1·(-1)+0+0=-1, cu coloana 3 dă 0+0+1·(-1)=-1. Linia 2 este (0, 1, 0), deci ia linia a doua din A(0): (-1, 0, 0).

4. 4

   Calculăm X = (B·A(0))·A(0)

   X=\begin{pmatrix}1&-1&-1\\-1&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-1&1\\-1&1&0\end{pmatrix}

   Înmulțim din nou linie cu coloană. Linia 1 (1,-1,-1): cu coloana 1 dă 1+1+0=2; cu coloana 2 dă -1+0+0=-1; cu coloana 3 dă 0+0+1=1. Linia 2 (-1,0,0): dă -1, 1, 0. Rezultatul coincide cu cel din barem.

Răspuns: \(X=\begin{pmatrix}2&-1&1\\-1&1&0\end{pmatrix}\)

Pe mulțimea \(M=[0,+\infty)\) se definește legea de compoziție \(x*y=\dfrac{x^2+y^2+x+y}{x+y+1}\). a) Arătați că \(1*2=2\).

Metoda: Calcul direct prin înlocuire

1. 1

   Înlocuim x = 1 și y = 2 în formulă

   1*2=\frac{1^2+2^2+1+2}{1+2+1}

   Legea ne spune cum se calculează x*y pentru orice două numere din M. Ca să aflăm 1*2, punem 1 peste tot unde apare x și 2 peste tot unde apare y. Ambele numere sunt în M, deci legea se poate aplica.

2. 2

   Calculăm numărătorul și numitorul

   1^2+2^2+1+2=1+4+1+2=8,\quad 1+2+1=4

   Calculăm separat cele două părți ale fracției. La numărător ridicăm la pătrat (\(1^2=1\), \(2^2=4\)) și adunăm cu 1 și 2. La numitor adunăm 1+2+1. Ordinea corectă este: întâi puterile, apoi adunările.

3. 3

   Împărțim și obținem rezultatul

   1*2=\frac{8}{4}=2

   Fracția \(\frac{8}{4}\) se simplifică și dă 2. Am obținut exact valoarea cerută, deci \(1*2=2\) este demonstrat.

Răspuns: \(1*2=\dfrac{1+4+1+2}{1+2+1}=\dfrac{8}{4}=2\), deci egalitatea este adevărată.

Subiectul II, punctul 2. b): Pe mulțimea \(M=[0,+\infty)\) se definește legea de compoziție \(x*y=\dfrac{x^2+y^2+x+y}{x+y+1}\). Arătați că \(e=0\) este elementul neutru al legii de compoziție „\(*\)”.

Metoda: Definiția elementului neutru

1. 1

   Ce avem de arătat

   x*0=x \text{ și } 0*x=x,\ \forall x\in M

   Elementul \(e\) este neutru dacă \(x*e=e*x=x\) pentru orice \(x\) din \(M\). Aici \(e=0\), care aparține lui \(M=[0,+\infty)\). Trebuie verificate ambele egalități, pentru că legea nu e dată ca fiind comutativă.

2. 2

   Calculăm \(x*0\)

   x*0=\frac{x^2+0^2+x+0}{x+0+1}=\frac{x^2+x}{x+1}=\frac{x(x+1)}{x+1}=x

   Înlocuim \(y=0\) în formula legii. La numărător dăm factor comun \(x\), apoi simplificăm cu \(x+1\). Se poate simplifica deoarece \(x\ge 0\), deci \(x+1\ge 1\ne 0\). Rezultă \(x*0=x\), pentru orice \(x\in M\).

3. 3

   Calculăm \(0*x\) și concluzionăm

   0*x=\frac{0^2+x^2+0+x}{0+x+1}=\frac{x(x+1)}{x+1}=x

   Acum punem 0 în stânga. Numărătorul este același \(x^2+x\), iar numitorul \(x+1\), deci rezultatul este tot \(x\). Cum \(x*0=0*x=x\) pentru orice \(x\in M\), \(e=0\) este elementul neutru al legii „\(*\)”.

Răspuns: Am obținut \(x*0=0*x=x\) pentru orice \(x\in M\), deci \(e=0\) este elementul neutru al legii „\(*\)”.

Pe mulțimea \(M=[0,+\infty)\) se definește legea de compoziție \(x*y=\dfrac{x^2+y^2+x+y}{x+y+1}\). c) Determinați perechile \((m,n)\) de numere naturale pentru care \(m*n=5\).

Metoda: Sumă de pătrate perfecte

1. 1

   Scriem ecuația din condiție

   \frac{m^2+n^2+m+n}{m+n+1}=5

   Înlocuim în definiția legii \(x=m\) și \(y=n\) și egalăm cu 5. Numitorul \(m+n+1\) este pozitiv, deoarece \(m,n\ge 0\), deci putem înmulți cu el fără probleme.

2. 2

   Aducem ecuația la sumă de pătrate

   m^2+n^2-4m-4n-5=0 \iff (m-2)^2+(n-2)^2=13

   Din \(m^2+n^2+m+n=5m+5n+5\) mutăm totul în stânga și obținem \(m^2+n^2-4m-4n-5=0\). Completăm pătratele: \(m^2-4m=(m-2)^2-4\) și \(n^2-4n=(n-2)^2-4\). Rezultă \((m-2)^2+(n-2)^2-8-5=0\), adică suma pătratelor este 13.

3. 3

   Scriem 13 ca sumă de două pătrate perfecte

   13=4+9=2^2+3^2

   Numerele \(m-2\) și \(n-2\) sunt întregi, deci pătratele lor sunt pătrate perfecte: 0, 1, 4, 9, ... Ne trebuie două astfel de pătrate cu suma 13. Dintre variantele 0+13, 1+12, 4+9, singura corectă este 4+9. Așadar unul dintre \(|m-2|\), \(|n-2|\) este 2, iar celălalt este 3.

4. 4

   Găsim perechile naturale

   (m,n)\in\{(0,5),(4,5),(5,0),(5,4)\}

   Cazul 1: \(|m-2|=2\), deci \(m=0\) sau \(m=4\), și \(|n-2|=3\), deci \(n=5\) (valoarea \(n=-1\) nu e număr natural). Se obțin perechile \((0,5)\) și \((4,5)\). Cazul 2: \(|m-2|=3\), deci \(m=5\) (\(m=-1\) nu e natural), și \(|n-2|=2\), deci \(n=0\) sau \(n=4\). Se obțin \((5,0)\) și \((5,4)\). Aceleași perechi apar în barem.

Răspuns: Perechile sunt \((0,5)\), \((4,5)\), \((5,0)\) și \((5,4)\).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=(x+6)\sqrt{x^2+4}\). a) Arătați că \(f'(x)=\dfrac{2(x^2+3x+2)}{\sqrt{x^2+4}}\), \(x\in\mathbb{R}\).

Metoda: Derivata produsului de funcții

1. 1

   Aplicăm regula derivării produsului

   f'(x)=(x+6)'\sqrt{x^2+4}+(x+6)\left(\sqrt{x^2+4}\right)'

   Funcția are forma \(u\cdot v\) cu \(u=x+6\) și \(v=\sqrt{x^2+4}\). Regula este \((uv)'=u'v+uv'\). O folosim pentru că f este un produs de două funcții derivabile.

2. 2

   Derivăm radicalul

   \left(\sqrt{x^2+4}\right)'=\dfrac{(x^2+4)'}{2\sqrt{x^2+4}}=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+4}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+4}}

   Folosim formula \((\sqrt{u})'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\), unde \(u=x^2+4\) și \(u'=2x\). Rădăcina este o funcție compusă, deci apare și derivata expresiei de sub radical.

3. 3

   Înlocuim în formula produsului

   f'(x)=\sqrt{x^2+4}+(x+6)\cdot\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+4}}

   Punem rezultatele din pașii anteriori în formula produsului: \(1\cdot\sqrt{x^2+4}\) plus \((x+6)\) înmulțit cu derivata radicalului. Aceasta este expresia din barem înainte de simplificare.

4. 4

   Aducem la numitor comun și simplificăm

   f'(x)=\dfrac{(x^2+4)+x(x+6)}{\sqrt{x^2+4}}=\dfrac{2x^2+6x+4}{\sqrt{x^2+4}}=\dfrac{2(x^2+3x+2)}{\sqrt{x^2+4}}

   Primul termen se scrie \(\sqrt{x^2+4}=\dfrac{x^2+4}{\sqrt{x^2+4}}\), pentru că \(\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}=a\). Al doilea termen devine \(\dfrac{x(x+6)}{\sqrt{x^2+4}}\). Adunăm numărătorii: \(x^2+4+x^2+6x=2x^2+6x+4\). Apoi dăm factor comun 2 și obținem forma cerută, valabilă pentru orice \(x\in\mathbb{R}\), deoarece \(x^2+4>0\).

Răspuns: \(f'(x)=\dfrac{2(x^2+3x+2)}{\sqrt{x^2+4}}\), pentru orice \(x\in\mathbb{R}\).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=(x+6)\sqrt{x^2+4}\). b) Determinați intervalele de monotonie a funcției \(f\).

Metoda: Monotonia cu ajutorul derivatei

1. 1

   Folosim derivata de la punctul a)

   f'(x)=\frac{2(x^2+3x+2)}{\sqrt{x^2+4}},\quad x\in\mathbb{R}

   La punctul a) ai arătat că \(f'(x)=\frac{2(x^2+3x+2)}{\sqrt{x^2+4}}\). Numitorul \(\sqrt{x^2+4}\) este strict pozitiv pentru orice \(x\) real, deci semnul lui \(f'\) este dat doar de numărătorul \(2(x^2+3x+2)\).

2. 2

   Rezolvăm ecuația \(f'(x)=0\)

   x^2+3x+2=0\Rightarrow (x+1)(x+2)=0\Rightarrow x=-2\ \text{sau}\ x=-1

   Punctele în care derivata se anulează sunt punctele în care semnul ei se poate schimba. Ecuația \(x^2+3x+2=0\) are \(\Delta=9-8=1\), deci \(x=\frac{-3\pm1}{2}\), adică \(x=-2\) sau \(x=-1\).

3. 3

   Studiem semnul lui \(f'\)

   f'(x)\ge 0\text{ pe }(-\infty,-2],\quad f'(x)\le 0\text{ pe }[-2,-1],\quad f'(x)\ge 0\text{ pe }[-1,+\infty)

   Trinomul \(x^2+3x+2\) are coeficientul lui \(x^2\) pozitiv, deci este pozitiv în afara rădăcinilor și negativ între ele. De exemplu, pentru \(x=0\) avem 2>0, iar pentru \(x=-1,5\) avem \(2,25-4,5+2=-0,25<0\).

4. 4

   Concluzia privind monotonia

   f\text{ crescătoare pe }(-\infty,-2],\ \text{descrescătoare pe }[-2,-1],\ \text{crescătoare pe }[-1,+\infty)

   Acolo unde \(f'\ge0\) funcția este crescătoare, iar acolo unde \(f'\le0\) este descrescătoare. Obținem trei intervale de monotonie, exact ca în barem.

Răspuns: f este crescătoare pe \((-\infty,-2]\), descrescătoare pe \([-2,-1]\) și crescătoare pe \([-1,+\infty)\).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=(x+6)\sqrt{x^2+4}\). c) Demonstrați că ecuația \(f(x)=m\) are soluție unică, pentru orice număr întreg \(m\).

Metoda: Monotonie, limite și continuitate

1. 1

   Recapitulăm monotonia lui f

   f'(x)=\frac{2(x^2+3x+2)}{\sqrt{x^2+4}},\quad f\nearrow(-\infty,-2],\ f\searrow[-2,-1],\ f\nearrow[-1,\infty)

   De la punctul b) știm că \(f'(x)=0\) pentru \(x=-2\) sau \(x=-1\). Semnul derivatei este semnul lui \(x^2+3x+2\). Funcția crește pe \((-\infty,-2]\), scade pe \([-2,-1]\) și crește pe \([-1,\infty)\). Ne ajută să știm pe ce intervale funcția atinge fiecare valoare cel mult o dată.

2. 2

   Calculăm valorile în punctele critice

   f(-2)=4\sqrt{8}=\sqrt{128},\quad f(-1)=5\sqrt{5}=\sqrt{125}

   Înlocuim \(x=-2\): \((-2+6)\sqrt{4+4}=4\sqrt8=\sqrt{16\cdot 8}=\sqrt{128}\). Înlocuim \(x=-1\): \(5\sqrt5=\sqrt{25\cdot 5}=\sqrt{125}\). Aceste valori sunt maximul local și minimul local, adică limitele între care funcția „oscilează”.

3. 3

   Încadrăm valorile între numere întregi

   11<\sqrt{125}<\sqrt{128}<12

   Avem \(11^2=121<125\) și \(128<144=12^2\). Deci \(11<\sqrt{125}<\sqrt{128}<12\). Concluzie: nicio valoare întreagă nu se află în intervalul \([\sqrt{125},\sqrt{128}]\), deci în zona în care graficul urcă și coboară nu există niciun număr întreg m.

4. 4

   Limitele la capete și numărul de soluții

   \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty,\quad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty

   Pe \((-\infty,-2]\) f este strict crescătoare și continuă, cu valori de la \(-\infty\) la \(\sqrt{128}\). Deci acoperă toate valorile \(m<\sqrt{128}\), adică, pentru întregi, \(m\le 11\). Pe \([-2,-1]\) valorile sunt între \(\sqrt{125}\) și \(\sqrt{128}\), deci nu iau nicio valoare întreagă. Pe \([-1,\infty)\) f este strict crescătoare și continuă, cu valori de la \(\sqrt{125}\) la \(+\infty\), deci acoperă \(m\ge 12\). Pentru \(m\le 11\): soluție unică pe \((-\infty,-2)\), iar pe \([-2,\infty)\) valorile sunt \(\ge\sqrt{125}>11\), deci nu mai există alta. Pentru \(m\ge 12\): soluție unică pe \((-1,\infty)\), iar pe \((-\infty,-1]\) valorile sunt \(\le\sqrt{128}<12\), deci nu mai există alta. Deci ecuația are soluție unică pentru orice m întreg.

Răspuns: Ecuația \(f(x)=m\) are soluție unică pentru orice \(m\in\mathbb{Z}\), pentru că \(11<\sqrt{125}<\sqrt{128}<12\) și f este strict monotonă pe \((-\infty,-2)\) și pe \((-1,\infty)\).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{x+1}{e^x}\). a) Arătați că \(\displaystyle\int_0^4 e^x f(x)\,dx=12\).

Metoda: Integrare directă a unui polinom

1. 1

   Simplificăm funcția de sub integrală

   e^x f(x)=e^x\cdot\frac{x+1}{e^x}=x+1

   Înlocuim \(f(x)\) cu \(\dfrac{x+1}{e^x}\). Factorul \(e^x\) din față se simplifică cu \(e^x\) de la numitor (este nenul pentru orice \(x\)). Rămâne \(x+1\), mult mai ușor de integrat.

2. 2

   Găsim primitiva și aplicăm Leibniz-Newton

   \int_0^4 (x+1)\,dx=\left(\frac{x^2}{2}+x\right)\Big|_0^4

   Integrala devine \(\int_0^4 (x+1)\,dx\). Primitiva lui \(x\) este \(\dfrac{x^2}{2}\), iar a lui \(1\) este \(x\). Apoi folosim formula Leibniz-Newton: valoarea primitivei în \(4\) minus valoarea ei în \(0\).

3. 3

   Calculăm valorile și obținem rezultatul

   \left(\frac{4^2}{2}+4\right)-\left(\frac{0^2}{2}+0\right)=8+4=12

   În \(x=4\): \(\dfrac{16}{2}+4=8+4=12\). În \(x=0\) obținem \(0\). Diferența este \(12-0=12\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\displaystyle\int_0^4 e^x f(x)\,dx=\int_0^4 (x+1)\,dx=\left(\frac{x^2}{2}+x\right)\Big|_0^4=8+4=12\).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{x+1}{e^x}\). b) Arătați că \(\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx=\dfrac{2e-3}{e}\).

Metoda: Integrare prin părți

1. 1

   Scriem funcția într-o formă potrivită

   f(x)=\frac{x+1}{e^x}=(x+1)e^{-x}=(x+1)\cdot\left(-e^{-x}\right)'

   Scriem \(\frac{1}{e^x}=e^{-x}\). Observăm că \((-e^{-x})'=e^{-x}\), deci \(e^{-x}\) este derivata lui \(-e^{-x}\). Asta ne pregătește pentru formula integrării prin părți \(\int u\,v'\,dx=uv-\int u'\,v\,dx\), cu \(u=x+1\) și \(v=-e^{-x}\).

2. 2

   Aplicăm integrarea prin părți

   \int_0^1 f(x)\,dx=\int_0^1 (x+1)\left(-e^{-x}\right)'dx=(x+1)\left(-e^{-x}\right)\Big|_0^1-\int_0^1 (x+1)'\left(-e^{-x}\right)dx

   Formula dă \(uv\) evaluat între limite minus integrala lui \(u'v\). Cum \((x+1)'=1\), ultima integrală devine \(\int_0^1 -e^{-x}dx\), deci scăpăm de factorul \(x+1\).

3. 3

   Calculăm cei doi termeni

   (x+1)\left(-e^{-x}\right)\Big|_0^1-\left(-e^{-x}\right)\Big|_0^1=\left(-\frac{2}{e}+1\right)-\left(-\frac{1}{e}+1\right)

   Primul termen: la \(x=1\) avem \(2\cdot(-e^{-1})=-\frac{2}{e}\); la \(x=0\) avem \(1\cdot(-1)=-1\); diferența este \(-\frac2e+1\). Al doilea termen: \(-e^{-x}\) între 0 și 1 dă \(-\frac1e+1\). Atenție la semnul minus din fața lui, deci se scade acest rezultat.

4. 4

   Reducem și obținem rezultatul

   -\frac{2}{e}+1-\left(-\frac{1}{e}+1\right)\cdot(-1)\cdot(-1)=-\frac{2}{e}+1+\frac{1}{e}-1+\ldots

   Rescriem corect, ca în barem: \(-\frac2e+1-\frac1e+1\). Aici al doilea termen vine cu semnul din formulă: integrala \(-\int_0^1(-e^{-x})dx=\int_0^1 e^{-x}dx=1-\frac1e\). Deci totalul este \(-\frac2e+1+1-\frac1e=2-\frac3e=\frac{2e-3}{e}\).

Răspuns: \(\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx=\frac{2e-3}{e}\)

Subiectul III, 2. c) Pentru fiecare număr natural \(n\), \(n \ge 2\), se consideră numărul \(I_n=\int_0^1 \frac{x^{n-1}}{f(x^n)}\,dx\), unde \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\frac{x+1}{e^x}\). Demonstrați că \(\frac{\ln 2}{n}\le I_n\le\frac{e-1}{n}\), pentru orice număr natural \(n\), \(n\ge 2\).

Metoda: Schimbare de variabilă și majorare

1. 1

   Scriem funcția de sub integrală

   \frac{x^{n-1}}{f(x^n)}=\frac{x^{n-1}e^{x^n}}{x^n+1}

   Avem \(f(x^n)=\frac{x^n+1}{e^{x^n}}\). Împărțirea la o fracție înseamnă înmulțirea cu inversa ei, deci \(\frac{x^{n-1}}{f(x^n)}=\frac{x^{n-1}e^{x^n}}{x^n+1}\). Facem asta ca să apară \(x^{n-1}\), care e aproape derivata lui \(x^n\).

2. 2

   Facem schimbarea de variabilă \(t=x^n\)

   I_n=\frac1n\int_0^1\frac{(x^n)'\,e^{x^n}}{x^n+1}\,dx=\frac1n\int_0^1\frac{e^t}{t+1}\,dt

   Derivata lui \(x^n\) este \(n x^{n-1}\), deci \(x^{n-1}=\frac1n (x^n)'\). Notăm \(t=x^n\), atunci \(dt=n x^{n-1}dx\). Limitele se schimbă: pentru \(x=0\) avem \(t=0\), iar pentru \(x=1\) avem \(t=1\). Rezultă integrala mai simplă \(\frac1n\int_0^1\frac{e^t}{t+1}dt\).

3. 3

   Minorăm: \(I_n\ge\frac{\ln 2}{n}\)

   e^t\ge1\Rightarrow \frac{e^t}{t+1}\ge\frac1{t+1}\Rightarrow I_n\ge\frac1n\int_0^1\frac{1}{t+1}dt=\frac1n\ln(t+1)\Big|_0^1=\frac{\ln2}{n}

   Pentru \(t\in[0,1]\) avem \(e^t\ge1\), iar \(t+1>0\). Împărțind la \(t+1\), obținem \(\frac{e^t}{t+1}\ge\frac1{t+1}\). Integrala păstrează inegalitatea, iar \(\int_0^1\frac1{t+1}dt=\ln2-\ln1=\ln2\).

4. 4

   Majorăm: \(I_n\le\frac{e-1}{n}\)

   t+1\ge1\Rightarrow \frac{e^t}{t+1}\le e^t\Rightarrow I_n\le\frac1n\int_0^1e^tdt=\frac{e^t}{n}\Big|_0^1=\frac{e-1}{n}

   Pentru \(t\in[0,1]\) avem \(t+1\ge1\), deci \(\frac1{t+1}\le1\). Înmulțind cu \(e^t>0\), obținem \(\frac{e^t}{t+1}\le e^t\). Integrând, \(\int_0^1e^tdt=e-1\), deci \(I_n\le\frac{e-1}{n}\). Împreună cu pasul precedent, obținem \(\frac{\ln2}{n}\le I_n\le\frac{e-1}{n}\), adică exact ce trebuia demonstrat.

Răspuns: Am obținut \(\frac{\ln 2}{n}\le I_n\le\frac{e-1}{n}\), pentru orice \(n\ge2\), ceea ce era de demonstrat.