Matematică 2024

Ministerul Educației Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație Examenul național de bacalaureat 2024 Proba E. c) Matematică M_mate-info Simulare Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică  Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.  Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte)  1 5p 1. Arătați că  3  lg   lg 10  1 .  10  5p 2. Se consideră funcția f : ℝ  ℝ , f  x   x 2  ax  1 , unde a este număr real. Determinați numerele reale a pentru care  f  f 1  1 . 5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 x 1  8 x  32 . 5p 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea numerelor naturale de două cifre, numărul n  100 să fie natural. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A 1, 4  , B  4,6  și C  4, 2  . Determinați  1   coordonatele punctului D , știind că OD  AB  AC . 2   x     5p 6. Se consideră expresia E  x   tg x  4cos  cos x , unde x   0,  . Arătați că E    0 . 2  2 3 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 0 0  1 1 x  1. Se consideră matricele I 3   0 1 0  și A  x    1 0 0  , unde x este număr real.   0 0 1  x 0 1      5p a) Arătați că det  A  0    1 . 5p b) Arătați că det  A  x   A  x   I 3   0 , pentru orice număr real x . 1 0 1 5p c) Se consideră matricea B  M2,3  ℝ  , B    . Determinați matricea X  M2,3  ℝ  pentru  0 1 0 1 1 care X   A  0    B  A  0  , unde  A  0   este inversa matricei A  0  . x2  y2  x  y 2. Pe mulțimea M   0,   se definește legea de compoziție x  y  . x  y 1 5p a) Arătați că 1  2  2 . 5p b) Arătați că e  0 este elementul neutru al legii de compoziție „  ”. 5p c) Determinați perechile  m, n  de numere naturale pentru care m  n  5 . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcția f : ℝ  ℝ , f  x    x  6  x 2  4 . 5p a) Arătați că f '  x    2 x 2  3x  2  , xℝ . x2  4 5p b) Determinați intervalele de monotonie a funcției f . 5p c) Demonstrați că ecuația f  x   m are soluție unică, pentru orice număr întreg m . Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 1 din 2  Ministerul Educației Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație x 1 2. Se consideră funcția f : ℝ  ℝ , f  x   . ex 4 5p a) Arătați că  e f  x  dx  12 . x 0 1 2e  3 5p b) Arătați că  f  x  dx  . 0 e n1 1 5p c) Pentru fiecare număr natural n , n  2 , se consideră numărul I n  x  f xn dx . Demonstrați că 0   ln 2 e 1  In  , pentru orice număr natural n , n  2 . n n Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 2 din 2