Rezolvare pas cu pas: Matematică – Științele naturii (M2) – Bacalaureat 2024, model de subiect

Arătați că \(0{,}5+10\cdot(1-0{,}75)=3\).

Metoda: Calcul cu numere zecimale

1. 1

   Calculăm paranteza

   1-0{,}75=0{,}25

   Ordinea operațiilor spune că parantezele se rezolvă primele. Scădem \(0{,}75\) din \(1\) și obținem \(0{,}25\). Expresia devine \(0{,}5+10\cdot 0{,}25\).

2. 2

   Efectuăm înmulțirea

   10\cdot 0{,}25=2{,}5

   După paranteză, urmează înmulțirea, care are prioritate față de adunare. Înmulțirea cu \(10\) mută virgula o poziție spre dreapta, deci \(0{,}25\) devine \(2{,}5\).

3. 3

   Adunăm și concluzionăm

   0{,}5+2{,}5=3

   Rămâne ultima operație, adunarea. Obținem \(0{,}5+2{,}5=3\), exact valoarea cerută, deci egalitatea este demonstrată.

Răspuns: \(0{,}5+10\cdot(1-0{,}75)=0{,}5+10\cdot 0{,}25=0{,}5+2{,}5=3\), deci egalitatea este adevărată.

Se consideră funcțiile \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=2x-1\) și \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(g(x)=x+1\). Arătați că \(f(m)+g(-m)=m\), pentru orice număr real \(m\).

Metoda: Înlocuirea în formula funcției

1. 1

   Calculăm f(m)

   f(m)=2m-1

   Funcția \(f\) spune: ia numărul, înmulțește-l cu 2 și scade 1. Aici numărul este \(m\), deci în locul lui \(x\) scriem \(m\). Putem face asta pentru orice \(m\) real, deoarece \(f\) este definită pe \(\mathbb{R}\).

2. 2

   Calculăm g(-m)

   g(-m)=-m+1

   Acum în formula \(g(x)=x+1\) înlocuim \(x\) cu \(-m\), adică cu opusul lui \(m\). Obținem \(-m+1\). Atenție la semn: \(-m\) este numărul pe care îl punem în loc de \(x\).

3. 3

   Adunăm și reducem termenii

   f(m)+g(-m)=2m-1+(-m+1)=2m-1-m+1=m

   Adunăm cele două expresii obținute. Termenii \(-1\) și \(+1\) se reduc, iar \(2m-m=m\). Rezultatul este \(m\), pentru orice număr real \(m\), deci egalitatea este demonstrată.

Răspuns: \(f(m)+g(-m)=(2m-1)+(-m+1)=m\), pentru orice \(m\in\mathbb{R}\), deci egalitatea este demonstrată.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(\sqrt{x^2+6}=\sqrt{5x}\).

Metoda: Ridicarea la pătrat și verificare

1. 1

   Condiția de existență și ridicarea la pătrat

   x^2+6=5x

   Expresia \(x^2+6\) este mereu pozitivă, dar sub al doilea radical trebuie să avem \(5x\ge 0\), adică \(x\ge 0\). Ridicăm ambii membri la pătrat: \((\sqrt{x^2+6})^2=(\sqrt{5x})^2\), deci \(x^2+6=5x\). Facem asta pentru a elimina radicalii.

2. 2

   Aducerea la forma de gradul al doilea

   x^2-5x+6=0

   Mutăm \(5x\) în membrul stâng și obținem \(x^2-5x+6=0\). Este o ecuație de gradul al doilea cu \(a=1,\ b=-5,\ c=6\). Calculăm \(\Delta=b^2-4ac=25-24=1\).

3. 3

   Soluțiile ecuației de gradul al doilea

   x_{1,2}=\frac{5\pm 1}{2}\Rightarrow x=2\ \text{sau}\ x=3

   Aplicăm formula \(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5\pm 1}{2}\). Obținem \(x=3\) și \(x=2\). Se putea și prin factorizare: \((x-2)(x-3)=0\).

4. 4

   Verificarea soluțiilor

   \sqrt{2^2+6}=\sqrt{10}=\sqrt{5\cdot 2},\quad \sqrt{3^2+6}=\sqrt{15}=\sqrt{5\cdot 3}

   Verificăm în ecuația inițială, fiindcă ridicarea la pătrat poate aduce soluții străine. Pentru \(x=2\): ambele părți sunt \(\sqrt{10}\). Pentru \(x=3\): ambele părți sunt \(\sqrt{15}\). Amândouă convin și au \(x\ge 0\), deci respectă condiția de existență.

Răspuns: \(x=2\) sau \(x=3\), ambele soluții convin.

Se consideră mulțimea \(A=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\). Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea \(A\), acesta să fie divizor al lui \(30\).

Metoda: Probabilitate: cazuri favorabile/posibile

1. 1

   Aflăm numărul cazurilor posibile

   \text{cazuri posibile} = 9

   Alegem un singur număr din mulțimea \(A\). Fiecare element al lui \(A\) poate fi ales, deci numărul cazurilor posibile este egal cu numărul elementelor mulțimii. Mulțimea \(A\) are elementele \(1, 2, \dots, 9\), adică \(9\) elemente.

2. 2

   Aflăm numărul cazurilor favorabile

   D_{30}\cap A=\{1,2,3,5,6\}\Rightarrow \text{cazuri favorabile}=5

   Cazurile favorabile sunt numerele din \(A\) care sunt divizori ai lui \(30\). Verificăm pe rând: \(30:1=30\), \(30:2=15\), \(30:3=10\), \(30:5=6\), \(30:6=5\) – toate se împart exact. Numerele \(4, 7, 8, 9\) nu divid pe \(30\) (de exemplu \(30:4=7,5\)). Deci sunt \(5\) cazuri favorabile.

3. 3

   Calculăm probabilitatea

   p=\frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}=\frac{5}{9}

   Probabilitatea unui eveniment este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile. Înlocuim: \(p=\frac{5}{9}\). Fracția este deja ireductibilă, deoarece \(5\) și \(9\) nu au divizori comuni în afară de \(1\).

Răspuns: \(p=\dfrac{5}{9}\)

În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(1,1)\), \(B(2,2)\) și \(C(4,0)\). Arătați că triunghiul \(ABC\) este dreptunghic în \(B\).

Metoda: Pantele laturilor perpendiculare

1. 1

   Calculăm panta dreptei AB

   m_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{2-1}{2-1}=1

   Panta unei drepte prin punctele \(A(x_A,y_A)\) și \(B(x_B,y_B)\) este raportul dintre variația lui \(y\) și variația lui \(x\). Pentru \(A(1,1)\) și \(B(2,2)\) obținem \(m_{AB}=\frac{2-1}{2-1}=1\).

2. 2

   Calculăm panta dreptei BC

   m_{BC}=\frac{y_C-y_B}{x_C-x_B}=\frac{0-2}{4-2}=-1

   Procedăm la fel pentru \(B(2,2)\) și \(C(4,0)\): numărătorul este \(0-2=-2\), numitorul este \(4-2=2\), deci \(m_{BC}=-1\). Numitorul nu este 0, deci dreapta nu este verticală și panta există.

3. 3

   Verificăm perpendicularitatea

   m_{AB}\cdot m_{BC}=1\cdot(-1)=-1 \Rightarrow AB\perp BC

   Două drepte neverticale sunt perpendiculare exact când produsul pantelor lor este −1. Aici \(m_{AB}\cdot m_{BC}=1\cdot(-1)=-1\), deci \(AB\perp BC\). Latura \(AB\) și latura \(BC\) se întâlnesc în \(B\) sub unghi drept, deci triunghiul \(ABC\) este dreptunghic în \(B\).

Răspuns: Deoarece \(m_{AB}=1\), \(m_{BC}=-1\) și \(m_{AB}\cdot m_{BC}=-1\), dreptele \(AB\) și \(BC\) sunt perpendiculare, deci triunghiul \(ABC\) este dreptunghic în \(B\).

Se consideră \(E(x)=3\cos^2 x-\cos\frac{x}{2}\cdot\sin x\), unde \(x\) este număr real. Arătați că \(E\left(\frac{\pi}{3}\right)=0\).

Metoda: Valori ale funcțiilor trigonometrice

1. 1

   Scriem ce trebuie calculat

   E\left(\frac{\pi}{3}\right)=3\cos^2\frac{\pi}{3}-\cos\frac{\pi}{6}\cdot\sin\frac{\pi}{3}

   Înlocuim x cu \(\frac{\pi}{3}\) peste tot în expresie. Atenție la al doilea cosinus: el are argumentul \(\frac{x}{2}\), deci devine \(\frac{\pi/3}{2}=\frac{\pi}{6}\). Aici se greșește cel mai des.

2. 2

   Aflăm valorile trigonometrice

   \cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2},\quad \cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2},\quad \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}

   Acestea sunt valori din tabelul unghiurilor remarcabile (30°, 60°). Le știm pe de rost sau le deducem din triunghiul echilateral cu latura 2 și înălțimea \(\sqrt{3}\).

3. 3

   Înlocuim și calculăm

   E\left(\frac{\pi}{3}\right)=3\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=3\cdot\frac{1}{4}-\frac{3}{4}=0

   Primul termen: \(3\cdot\frac14=\frac34\). Al doilea termen: \(\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{3}{4}\). Cei doi termeni sunt egali, deci diferența lor este 0, exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(E\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{3}{4}-\frac{3}{4}=0\), deci egalitatea este demonstrată.

Se consideră matricea \(A(x)=\begin{pmatrix} x & -2x \\ 1 & x-6 \end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. a) Arătați că \(\det(A(6))=12\).

Metoda: Calculul determinantului de ordin 2

1. 1

   Scriem matricea A(6)

   A(6)=\begin{pmatrix} 6 & -12 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

   Înlocuim peste tot \(x\) cu 6 în matricea \(A(x)\). Pe prima linie obținem \(x=6\) și \(-2x=-12\). Pe a doua linie avem \(1\) și \(x-6=6-6=0\). Avem nevoie de matricea concretă ca să putem calcula determinantul ei.

2. 2

   Calculăm determinantul

   \det(A(6))=\begin{vmatrix} 6 & -12 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}=6\cdot 0-(-12)\cdot 1=0+12=12

   Pentru o matrice de ordin 2, determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: \(ad-bc\). Aici diagonala principală dă \(6\cdot 0=0\), iar diagonala secundară dă \((-12)\cdot 1=-12\). Scăzând: \(0-(-12)=12\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\det(A(6))=12\)

Se consideră matricea \(A(x)=\begin{pmatrix} x & -2x \\ 1 & x-6 \end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. b) Determinați numărul real \(a\) pentru care \(A(4)\cdot A(4)=aA(4)\).

Metoda: Înmulțirea matricelor

1. 1

   Scriem matricea A(4)

   A(4)=\begin{pmatrix} 4 & -8 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}

   Înlocuim \(x=4\) în matricea dată. Primul rând devine \(x=4\) și \(-2x=-8\). Al doilea rând devine \(1\) și \(x-6=4-6=-2\). Avem nevoie de matricea concretă ca să putem face înmulțirea.

2. 2

   Calculăm produsul A(4)·A(4)

   A(4)\cdot A(4)=\begin{pmatrix} 4\cdot4+(-8)\cdot1 & 4\cdot(-8)+(-8)\cdot(-2) \\ 1\cdot4+(-2)\cdot1 & 1\cdot(-8)+(-2)\cdot(-2) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8 & -16 \\ 2 & -4 \end{pmatrix}

   La înmulțirea matricelor, fiecare element se obține înmulțind rândul din prima matrice cu coloana din a doua și adunând produsele. Astfel: \(16-8=8\), \(-32+16=-16\), \(4-2=2\), \(-8+4=-4\).

3. 3

   Comparăm cu aA(4) și aflăm a

   \begin{pmatrix} 8 & -16 \\ 2 & -4 \end{pmatrix}=2\begin{pmatrix} 4 & -8 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}=2A(4)\Rightarrow a=2

   Observăm că fiecare element al produsului este dublul elementului corespunzător din \(A(4)\): \(8=2\cdot4\), \(-16=2\cdot(-8)\), \(2=2\cdot1\), \(-4=2\cdot(-2)\). Deci \(A(4)\cdot A(4)=2A(4)\), iar egalitatea cu \(aA(4)\) dă \(a=2\), la fel ca în barem.

Răspuns: \(a=2\)

Se consideră matricea \(A(x)=\begin{pmatrix} x & -2x \\ 1 & x-6 \end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. c) Determinați perechile \((m,n)\) de numere naturale nenule, cu \(m<n\), pentru care \(\det(A(m)+A(n))=0\).

Metoda: Suma matricelor și determinantul

1. 1

   Calculăm suma A(m) + A(n)

   A(m)+A(n)=\begin{pmatrix} m+n & -2m-2n \\ 2 & m+n-12 \end{pmatrix}

   Matricele se adună element cu element. Pe poziția (1,1): m+n. Pe (1,2): -2m-2n. Pe (2,1): 1+1=2. Pe (2,2): (m-6)+(n-6)=m+n-12.

2. 2

   Calculăm determinantul sumei

   \det(A(m)+A(n))=(m+n)(m+n-12)-2\cdot(-2m-2n)=(m+n)(m+n-12)+4(m+n)=(m+n)(m+n-8)

   Determinantul unei matrice 2x2 este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul celor de pe diagonala secundară. Apoi dăm factor comun (m+n): -12+4=-8.

3. 3

   Rezolvăm ecuația și alegem perechile

   (m+n)(m+n-8)=0 \Rightarrow m+n=8

   Produsul este zero dacă un factor este zero. Cum m și n sunt naturale nenule, m+n>0, deci rămâne m+n=8. Cu m<n obținem perechile: (1,7), (2,6), (3,5). Perechea (4,4) nu convine, pentru că m<n.

Răspuns: Perechile sunt (1,7), (2,6) și (3,5).

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x * y = xy(x+y-xy)\). a) Arătați că \(1 * 3 = 3\).

Metoda: Calcul direct cu legea de compoziție

1. 1

   Înlocuim x = 1 și y = 3 în definiția legii

   1 * 3 = 1\cdot 3\,(1+3-1\cdot 3)

   Legea spune că, pentru orice două numere, rezultatul este \(xy(x+y-xy)\). Punem \(1\) în locul lui \(x\) și \(3\) în locul lui \(y\), peste tot unde apar în formulă. Astfel obținem \(1 * 3 = 1\cdot 3\,(1+3-1\cdot 3)\).

2. 2

   Calculăm paranteza

   1+3-1\cdot 3 = 4-3 = 1

   În paranteză respectăm ordinea operațiilor: întâi înmulțirea \(1\cdot 3=3\), apoi adunarea și scăderea. Avem \(1+3=4\), iar \(4-3=1\). Deci paranteza este egală cu \(1\).

3. 3

   Efectuăm produsul final și tragem concluzia

   1 * 3 = 3\cdot 1 = 3

   Acum avem \(1 * 3 = 1\cdot 3\cdot 1\). Produsul \(1\cdot 3 = 3\), iar \(3\cdot 1 = 3\). Am obținut exact \(3\), deci egalitatea cerută este demonstrată.

Răspuns: \(1 * 3 = 1\cdot 3\,(1+3-1\cdot 3) = 3\cdot 1 = 3\), deci egalitatea este adevărată.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x * y = xy(x+y-xy)\). b) Determinați numerele reale \(x\) pentru care \(x * 2 = -x^2\).

Metoda: Calculul legii de compoziție

1. 1

   Calculăm \(x * 2\)

   x*2=x\cdot 2\,(x+2-2x)=2x(2-x)

   Legea spune că \(x*y=xy(x+y-xy)\). Punem \(y=2\): \(xy=2x\), iar paranteza devine \(x+2-2x=2-x\). Deci \(x*2=2x(2-x)\), pentru orice \(x\) real.

2. 2

   Scriem ecuația

   2x(2-x)=-x^2

   Egalăm rezultatul cu partea dreaptă din enunț, \(-x^2\). Obținem o ecuație în \(x\), pe care o aducem la forma \(ax^2+bx+c=0\).

3. 3

   Aducem la forma redusă

   4x-2x^2=-x^2 \Rightarrow x^2-4x=0 \Rightarrow x(x-4)=0

   Mutăm tot în dreapta (sau tot în stânga): \(4x-2x^2+x^2=0\), adică \(4x-x^2=0\), echivalent cu \(x^2-4x=0\). Dăm factor comun pe \(x\), pentru că produsul este zero doar dacă un factor este zero.

4. 4

   Verificăm soluțiile

   0*2=0=-0^2,\quad 4*2=2\cdot4\,(2-4)=-16=-4^2

   Verificăm în ecuația inițială. Pentru \(x=0\): \(2\cdot0\cdot2=0\) și \(-0^2=0\). Pentru \(x=4\): \(2\cdot4\cdot(-2)=-16\) și \(-4^2=-16\). Ambele convin, deci \(x\in\{0,4\}\).

Răspuns: \(x=0\) sau \(x=4\)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x*y=xy(x+y-xy)\). c) Determinați numărul întreg nenul \(m\) pentru care \(\frac{1}{2m}*m=m\).

Metoda: Calcul direct cu legea de compoziție

1. 1

   Înlocuim în definiția legii

   \frac{1}{2m}*m=\frac{1}{2m}\cdot m\left(\frac{1}{2m}+m-\frac{1}{2m}\cdot m\right)

   Legea este \(x*y=xy(x+y-xy)\). Punem \(x=\frac{1}{2m}\) și \(y=m\). Expresia are sens pentru că \(m\neq 0\).

2. 2

   Simplificăm expresia

   \frac{1}{2m}*m=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2m}+m-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1+2m^2-m}{2m}=\frac{2m^2-m+1}{4m}

   Produsul \(xy\) este \(\frac12\). În paranteză aducem la numitorul comun \(2m\): \(\frac{1}{2m}+m-\frac12=\frac{1+2m^2-m}{2m}\). Înmulțind cu \(\frac12\) obținem \(\frac{2m^2-m+1}{4m}\), pentru orice \(m\) real nenul.

3. 3

   Punem condiția din enunț și rezolvăm ecuația

   \frac{2m^2-m+1}{4m}=m \Rightarrow 2m^2-m+1=4m^2 \Rightarrow 2m^2+m-1=0

   Egalăm rezultatul cu \(m\) și înmulțim cu \(4m\), care este nenul. Mutăm totul într-o parte și obținem ecuația de gradul al doilea \(2m^2+m-1=0\). Discriminantul este \(\Delta=1+8=9\), deci \(m=\frac{-1\pm3}{4}\), adică \(m=\frac12\) sau \(m=-1\).

4. 4

   Alegem soluția întreagă

   m\in\mathbb{Z}^*,\ m\in\left\{\tfrac12,-1\right\} \Rightarrow m=-1

   Enunțul cere \(m\) întreg nenul. Valoarea \(\frac12\) nu este număr întreg, deci o eliminăm. Rămâne \(m=-1\).

5. 5

   Verificare

   -\frac12*(-1)=\frac12\left(-\frac12-1-\frac12\right)=\frac12\cdot(-2)=-1

   Pentru \(m=-1\) avem \(\frac{1}{2m}=-\frac12\). Calculăm \(-\frac12*(-1)\): produsul este \(\frac12\), iar \(x+y-xy=-\frac12-1-\frac12=-2\). Rezultatul \(-1\) este egal cu \(m\), deci soluția convine.

Răspuns: m = -1

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{x^2-2}{x}-3\ln x\). a) Arătați că \(f'(x)=\dfrac{x^2-3x+2}{x^2}\), \(x\in(0,+\infty)\).

Metoda: Derivata unui cât și a lui ln x

1. 1

   Derivăm fracția cu formula câtului

   \left(\frac{x^2-2}{x}\right)'=\frac{2x\cdot x-(x^2-2)\cdot 1}{x^2}

   Primul termen este un cât \(\frac{u}{v}\) cu \(u=x^2-2\) și \(v=x\). Formula este \(\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\). Avem \(u'=2x\) și \(v'=1\). Termenul \(-3\ln x\) se derivează separat, folosind \((\ln x)'=\frac1x\), deci derivata lui este \(-\frac{3}{x}\). Atunci \(f'(x)=\frac{2x\cdot x-(x^2-2)}{x^2}-\frac3x\).

2. 2

   Simplificăm numărătorul fracției

   f'(x)=\frac{x^2+2}{x^2}-\frac{3}{x}

   Numărătorul este \(2x^2-(x^2-2)=2x^2-x^2+2=x^2+2\). Atenție la semnul minus din fața parantezei: schimbă semnul ambilor termeni din paranteză. Rezultă \(f'(x)=\frac{x^2+2}{x^2}-\frac3x\).

3. 3

   Aducem la numitor comun

   \frac{x^2+2}{x^2}-\frac{3}{x}=\frac{x^2+2-3x}{x^2}=\frac{x^2-3x+2}{x^2}

   Numitorii sunt \(x^2\) și \(x\). Numitorul comun este \(x^2\). Amplificăm a doua fracție cu \(x\): \(\frac{3}{x}=\frac{3x}{x^2}\). Scădem numărătorii și ordonăm după puterile lui \(x\): \(x^2-3x+2\). Obținem exact forma cerută, pentru orice \(x\in(0,+\infty)\).

Răspuns: \(f'(x)=\dfrac{x^2-3x+2}{x^2}\), \(x\in(0,+\infty)\), ceea ce trebuia arătat.

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\frac{x^2-2}{x}-3\ln x\). b) Arătați că \(\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)+3\ln x}{x+1}=1\).

Metoda: Calculul limitei prin factor comun

1. 1

   Simplificăm numărătorul

   f(x)+3\ln x=\frac{x^2-2}{x}-3\ln x+3\ln x=\frac{x^2-2}{x}

   Înlocuim \(f(x)\) cu expresia lui. Termenii \(-3\ln x\) și \(+3\ln x\) se reduc, deci rămâne doar \(\frac{x^2-2}{x}\). Reducerea ne scapă de logaritm, care ar complica limita.

2. 2

   Aducem fracția la o formă simplă

   \frac{f(x)+3\ln x}{x+1}=\frac{\frac{x^2-2}{x}}{x+1}=\frac{x^2-2}{x(x+1)}=\frac{x^2-2}{x^2+x}

   Împărțim fracția \(\frac{x^2-2}{x}\) la \(x+1\), adică înmulțim numitorul \(x\) cu \(x+1\). Obținem o fracție rațională, la care știm să calculăm limita la infinit.

3. 3

   Dăm factor comun \(x^2\)

   \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2\left(1-\frac{2}{x^2}\right)}{x^2\left(1+\frac{1}{x}\right)}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1-\frac{2}{x^2}}{1+\frac{1}{x}}

   Când \(x\to+\infty\), cel mai important termen sus și jos este \(x^2\). Scoatem \(x^2\) factor comun și îl simplificăm, ca să rămână termeni care tind la 0.

4. 4

   Calculăm limita

   \lim_{x\to+\infty}\frac{1-\frac{2}{x^2}}{1+\frac{1}{x}}=\frac{1-0}{1+0}=1

   Când \(x\to+\infty\), fracțiile \(\frac{2}{x^2}\) și \(\frac{1}{x}\) tind la 0. Rămâne \(\frac{1}{1}=1\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)+3\ln x}{x+1}=1\)

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{x^2-2}{x}-3\ln x\). Demonstrați că \(\dfrac{x^2+x-2}{x}\le 3\ln x\), pentru orice \(x\in(0,2]\).

Metoda: Monotonia funcției cu derivata

1. 1

   Transformăm inegalitatea în una cu f

   \frac{x^2+x-2}{x}\le 3\ln x \iff \frac{x^2-2}{x}-3\ln x\le -1

   Scriem \(\frac{x^2+x-2}{x}=\frac{x^2-2}{x}+1\). Atunci inegalitatea devine \(\frac{x^2-2}{x}+1\le 3\ln x\), adică \(\frac{x^2-2}{x}-3\ln x\le -1\), deci \(f(x)\le -1\) pentru \(x\in(0,2]\). Așadar trebuie să arătăm că valoarea maximă a lui f pe (0,2] este cel mult -1.

2. 2

   Aflăm punctele critice

   f'(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{x^2}=0 \iff x=1 \text{ sau } x=2

   Din subpunctul a) avem \(f'(x)=\frac{x^2-3x+2}{x^2}\). Numărătorul se descompune \(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\). Derivata se anulează când \(x=1\) sau \(x=2\). Aceste puncte împart intervalul (0,2] în zone unde semnul derivatei este constant.

3. 3

   Semnul derivatei și monotonia

   f'(x)\ge 0 \text{ pe } (0,1] \Rightarrow f\nearrow;\quad f'(x)\le 0 \text{ pe } [1,2]\Rightarrow f\searrow

   Pe (0,1) ambii factori \(x-1\) și \(x-2\) sunt negativi, deci produsul este pozitiv și \(f'\ge 0\): f este crescătoare pe (0,1]. Pe (1,2) factorul \(x-1\) este pozitiv, iar \(x-2\) negativ, deci \(f'\le 0\): f este descrescătoare pe [1,2]. Rezultă că f crește până în 1 și apoi scade, deci în \(x=1\) are maxim pe (0,2]: \(f(x)\le f(1)\).

4. 4

   Calculăm f(1) și încheiem

   f(1)=\frac{1-2}{1}-3\ln 1=-1 \Rightarrow f(x)\le -1

   Înlocuim x = 1: \(f(1)=\frac{1^2-2}{1}-3\ln 1=-1-0=-1\), pentru că \(\ln 1=0\). Cum \(f(x)\le f(1)=-1\) pentru orice \(x\in(0,2]\), avem \(\frac{x^2-2}{x}-3\ln x\le -1\). Adunând 1 în ambii membri obținem \(\frac{x^2+x-2}{x}\le 3\ln x\), exact ce trebuia demonstrat.

Răspuns: Am arătat că f are maxim în x = 1 pe (0,2], \(f(1)=-1\), deci \(f(x)\le -1\), adică \(\dfrac{x^2+x-2}{x}\le 3\ln x\), pentru orice \(x\in(0,2]\).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^3+x+1\). Arătați că \(\int_0^2 (f(x)-x^3)\,dx=4\).

Metoda: Integrala unei funcții polinomiale

1. 1

   Simplificăm funcția de sub integrală

   f(x)-x^3=(x^3+x+1)-x^3=x+1

   Înlocuim \(f(x)\) cu \(x^3+x+1\) și reducem termenii asemenea. Termenul \(x^3\) dispare, iar rămâne o funcție mult mai simplă de integrat: \(x+1\). Astfel integrala devine \(\int_0^2 (x+1)\,dx\).

2. 2

   Determinăm o primitivă și aplicăm formula Leibniz-Newton

   \int_0^2 (x+1)\,dx=\left(\frac{x^2}{2}+x\right)\Big|_0^2

   Integrăm termen cu termen: o primitivă a lui \(x\) este \(\frac{x^2}{2}\), iar o primitivă a lui \(1\) este \(x\). Formula Leibniz-Newton spune că integrala definită este diferența valorilor primitivei în capetele intervalului, adică \(F(2)-F(0)\).

3. 3

   Calculăm valorile și obținem rezultatul

   \left(\frac{2^2}{2}+2\right)-\left(\frac{0^2}{2}+0\right)=2+2-0=4

   Înlocuim \(x=2\) în primitivă: \(\frac{4}{2}+2=4\). Înlocuim \(x=0\): obținem 0. Diferența este \(4-0=4\), exact valoarea cerută, deci egalitatea este demonstrată.

Răspuns: \(\int_0^2 (f(x)-x^3)\,dx=\int_0^2 (x+1)\,dx=\left(\frac{x^2}{2}+x\right)\Big|_0^2=4\), deci egalitatea cerută este adevărată.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^3+x+1\). b) Arătați că \(\int_0^1 \frac{x^2}{f(x)-x}\,dx=\frac{\ln 2}{3}\).

Metoda: Integrare prin derivata numitorului

1. 1

   Simplificăm numitorul

   f(x)-x=x^3+x+1-x=x^3+1

   Înlocuim \(f(x)\) cu expresia ei și reducem termenii asemenea: \(+x\) și \(-x\) se anulează. Rămâne un numitor mult mai simplu, \(x^3+1\), care este pozitiv pe \([0,1]\), deci fracția este bine definită.

2. 2

   Scriem integrala cu numitorul simplificat

   \int_0^1 \frac{x^2}{x^3+1}\,dx

   Integrala devine \(\int_0^1 \frac{x^2}{x^3+1}dx\). Observăm că derivata lui \(x^3+1\) este \(3x^2\), adică numărătorul \(x^2\) apare, până la un factor constant.

3. 3

   Amplificăm cu 3 și scriem derivata numitorului

   \frac{1}{3}\int_0^1 \frac{(x^3+1)'}{x^3+1}\,dx

   Scriem \(x^2=\frac{1}{3}\cdot 3x^2=\frac13 (x^3+1)'\). Constanta \(\frac13\) iese în fața integralei. Acum avem forma \(\int \frac{u'}{u}dx=\ln|u|\).

4. 4

   Calculăm integrala cu formula Leibniz-Newton

   \frac13\ln(x^3+1)\Big|_0^1=\frac13\ln 2-\frac13\ln 1=\frac{\ln 2}{3}

   O primitivă este \(\frac13\ln(x^3+1)\) (argumentul e pozitiv, deci nu avem nevoie de modul). Evaluăm la 1: \(1^3+1=2\). Evaluăm la 0: \(0^3+1=1\), iar \(\ln 1=0\). Rezultă \(\frac{\ln 2}{3}\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\int_0^1 \frac{x^2}{f(x)-x}dx=\frac{\ln 2}{3}\)

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^3+x+1\). c) Determinați \(a\in(-\infty,0)\), știind că \(\int_a^0 e^{-x}\left(f'(x)-f(x)\right)dx=1-a^3e^{-a}\).

Metoda: Integrare prin recunoașterea derivatei

1. 1

   Recunoaștem derivata unui produs

   \left(e^{-x}f(x)\right)'=-e^{-x}f(x)+e^{-x}f'(x)=e^{-x}\left(f'(x)-f(x)\right)

   Derivăm produsul \(e^{-x}\cdot f(x)\) cu regula \((uv)'=u'v+uv'\). Cum \((e^{-x})'=-e^{-x}\), obținem exact expresia de sub integrală. Deci \(e^{-x}f(x)\) este o primitivă a funcției de integrat.

2. 2

   Calculăm integrala cu formula Leibniz-Newton

   \int_a^0 \left(e^{-x}f(x)\right)'dx=e^{-x}f(x)\Big|_a^0=e^{0}f(0)-e^{-a}f(a)

   Integrala unei derivate este diferența valorilor primitivei la capete. Avem \(f(0)=0^3+0+1=1\) și \(f(a)=a^3+a+1\). Rezultă \(1-e^{-a}(a^3+a+1)\).

3. 3

   Scriem și rezolvăm ecuația

   1-e^{-a}(a^3+a+1)=1-a^3e^{-a}\Rightarrow e^{-a}(a+1)=0\Rightarrow a=-1

   Egalăm rezultatul cu partea dreaptă din enunț. Scădem 1 și simplificăm cu \(-e^{-a}\): rămâne \(e^{-a}(a^3+a+1)=a^3e^{-a}\), adică \(e^{-a}(a+1)=0\). Cum \(e^{-a}>0\), obținem \(a+1=0\), deci \(a=-1\). Aparține lui \((-\infty,0)\), deci convine.

Răspuns: \(a=-1\)