Matematică 2024

Ministerul Educației Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație Examenul național de bacalaureat 2024 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii  Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.  Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Arătați că 0,5  10  1  0,75   3 . 5p 2. Se consideră funcțiile f :ℝ  ℝ, f  x   2 x  1 și g:ℝ  ℝ , g  x   x  1 . Arătați că f  m   g  m   m , pentru orice număr real m . 5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2  6  5x . 5p 4. Se consideră mulțimea A  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A , acesta să fie divizor al lui 30 . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A 1,1 , B  2, 2  și C  4,0  . Arătați că triunghiul ABC este dreptunghic în B . x   5p 6. Se consideră E  x   3cos 2 x  cos  sin x , unde x este număr real. Arătați că E    0 . 2 3 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  x 2 x  1. Se consideră matricea A  x     , unde x este număr real.  1 x  6 5p a) Arătați că det  A  6    12 . 5p b) Determinați numărul real a pentru care A  4   A  4   aA  4  . 5p c) Determinați perechile  m, n  de numere naturale nenule, cu m n, pentru care det  A  m   A  n    0 . 2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x  y  xy  x  y  xy  . 5p a) Arătați că 1 3  3 . 5p b) Determinați numerele reale x pentru care x  2   x 2 . 1 5p c) Determinați numărul întreg nenul m pentru care m  m . 2m SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) x2  2 1. Se consideră funcția f :  0,    ℝ , f  x    3ln x . x x 2  3x  2 5p a) Arătați că f '  x   , x   0,   . x2 f  x   3ln x 5p b) Arătați că lim  1. x  x 1 x2  x  2 5p c) Demonstrați că  3ln x , pentru orice x   0, 2 . x 2. Se consideră funcția f : ℝ  ℝ , f  x   x3  x  1 . 2  5p a) Arătați că  f  x   x dx  4 . 3  0 Probă scrisă la matematică M_şt-nat Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 1 din 2  Ministerul Educației Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație 1 x2 ln 2 5p b) Arătați că  dx  . 0 f  x  x 3 0 5p c) Determinați a   ,0  , știind că  e  x  f '  x   f  x   dx  1  a 3e  a . a Probă scrisă la matematică M_şt-nat Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 2 din 2