Rezolvare pas cu pas: Matematică – Științele naturii (M2) – Bacalaureat 2024, simulare

Se consideră numerele complexe \(z_1 = 3 - i\) și \(z_2 = 1 + i\). Arătați că \(z_1 + i z_2 = 2\).

Metoda: Calcul cu numere complexe

1. 1

   Înlocuim numerele în expresie

   z_1 + i z_2 = 3 - i + i(1+i)

   Expresia cerută este \(z_1 + i z_2\). Punem \(z_1 = 3 - i\) și \(z_2 = 1 + i\). Pe \(z_2\) îl păstrăm în paranteză, pentru că este înmulțit cu \(i\) și trebuie să înmulțim ambii termeni.

2. 2

   Desfacem parantezele și folosim i² = -1

   3 - i + i + i^2 = 3 + (-1)

   Înmulțim \(i\) cu fiecare termen din paranteză: \(i(1+i) = i + i^2\). Termenii \(-i\) și \(+i\) se reduc. Apoi folosim definiția unității imaginare: \(i^2 = -1\).

3. 3

   Concluzia

   z_1 + i z_2 = 3 + (-1) = 2

   După reducerea termenilor cu \(i\) rămâne \(3 + (-1) = 2\), exact valoarea pe care trebuia s-o arătăm. Deci egalitatea este demonstrată.

Răspuns: \(z_1 + i z_2 = 3 - i + i + i^2 = 3 + (-1) = 2\), deci egalitatea este adevărată.

Se consideră funcțiile \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=5-x\) și \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(g(x)=x+2\). Determinați numărul real \(a\) pentru care \(f(a)=g(a+1)\).

Metoda: Egalarea expresiilor funcțiilor

1. 1

   Calculăm f(a) și g(a+1)

   f(a)=5-a,\quad g(a+1)=(a+1)+2=a+3

   Pentru \(f(a)\) înlocuim \(x\) cu \(a\) în \(f(x)=5-x\), deci \(f(a)=5-a\). Pentru \(g(a+1)\) înlocuim \(x\) cu \(a+1\) în \(g(x)=x+2\), deci \(g(a+1)=a+1+2=a+3\). Facem asta ca să avem cele două părți ale egalității exprimate în funcție de \(a\).

2. 2

   Scriem ecuația și o rezolvăm

   5-a=a+3 \Rightarrow 2=2a \Rightarrow a=1

   Cerința este \(f(a)=g(a+1)\), deci egalăm \(5-a\) cu \(a+3\). Ducem termenii cu \(a\) într-o parte și numerele în cealaltă: \(5-3=a+a\), adică \(2=2a\). Împărțind la 2 obținem \(a=1\).

3. 3

   Verificăm rezultatul

   f(1)=5-1=4,\quad g(2)=2+2=4

   Pentru \(a=1\) calculăm \(f(1)=4\) și \(g(1+1)=g(2)=4\). Valorile sunt egale, deci \(a=1\) este corect.

Răspuns: \(a=1\)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(\log_3\left(4x-x^2\right)=1\).

Metoda: Ecuație logaritmică, definiția logaritmului

1. 1

   Condiția de existență a logaritmului

   4x-x^2>0

   Logaritmul există doar dacă argumentul este strict pozitiv. Deci trebuie să avem \(4x-x^2>0\), adică \(x(4-x)>0\), de unde \(x\in(0,4)\). Notăm această condiție ca să putem verifica soluțiile la final.

2. 2

   Aplicăm definiția logaritmului

   4x-x^2=3^1=3

   Din definiție, \(\log_a b=c\) înseamnă \(b=a^c\). Aici baza este 3 și rezultatul este 1, deci \(4x-x^2=3^1=3\).

3. 3

   Aducem ecuația la forma de gradul al doilea

   x^2-4x+3=0

   Mutăm toți termenii într-o parte: din \(4x-x^2=3\) obținem \(x^2-4x+3=0\). Am schimbat semnele tuturor termenilor, ca \(x^2\) să fie pozitiv.

4. 4

   Rezolvăm ecuația de gradul al doilea

   \Delta=16-12=4,\quad x=\frac{4\pm2}{2}\Rightarrow x_1=1,\ x_2=3

   Calculăm discriminantul: \(\Delta=(-4)^2-4\cdot1\cdot3=4\). Apoi \(x=\frac{4\pm2}{2}\), deci \(x=3\) sau \(x=1\). Putem și să observăm că suma rădăcinilor este 4 și produsul este 3.

5. 5

   Verificăm condiția de existență

   4\cdot1-1^2=3>0,\quad 4\cdot3-3^2=3>0

   Ambele valori sunt în intervalul \((0,4)\) și, prin înlocuire, argumentul logaritmului este 3 în ambele cazuri, deci pozitiv. Rezultă că \(\log_3 3=1\), iar ambele soluții convin.

Răspuns: Soluțiile ecuației sunt \(x=1\) și \(x=3\), iar ambele convin.

Determinați câte numere naturale impare, de două cifre, cu cifra zecilor număr par, se pot forma cu elementele mulțimii \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\).

Metoda: Principiul multiplicării (combinatorică)

1. 1

   Alegem cifra unităților

   u\in\{1,3,5,7\}\Rightarrow 4\text{ moduri}

   Numărul trebuie să fie impar, deci cifra unităților trebuie să fie impară. Din mulțimea \(A\) cifrele impare sunt \(1, 3, 5, 7\), adică 4 posibilități.

2. 2

   Alegem cifra zecilor

   z\in\{2,4,6\}\Rightarrow 3\text{ moduri}

   Cifra zecilor trebuie să fie pară. Din \(A\) cifrele pare sunt \(2, 4, 6\), deci 3 posibilități. Cifra zecilor nu depinde de cea a unităților (o impară și una pară sunt oricum diferite), deci pentru fiecare alegere a unităților avem câte 3 alegeri pentru zeci.

3. 3

   Aplicăm regula produsului

   4\cdot 3=12

   Pentru fiecare dintre cele 4 alegeri ale cifrei unităților avem câte 3 alegeri ale cifrei zecilor, deci numărul total este \(4\cdot 3=12\). Exemple: 21, 23, 25, 27, 41, 43, ... , 67.

Răspuns: 12

În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(0,3)\), \(B(2,0)\) și \(C\). Știind că punctul \(B\) este mijlocul segmentului \(OC\), determinați distanța dintre punctele \(A\) și \(C\).

Metoda: Formula mijlocului și distanța

1. 1

   Aflăm coordonatele punctului C

   x_B=\frac{x_O+x_C}{2},\; y_B=\frac{y_O+y_C}{2}\;\Rightarrow\; 2=\frac{0+x_C}{2},\; 0=\frac{0+y_C}{2}\;\Rightarrow\; C(4,0)

   Dacă \(B\) este mijlocul segmentului \(OC\), coordonatele lui \(B\) sunt media aritmetică a coordonatelor capetelor \(O(0,0)\) și \(C(x_C,y_C)\). Din \(2=\frac{x_C}{2}\) obținem \(x_C=4\), iar din \(0=\frac{y_C}{2}\) obținem \(y_C=0\). Deci \(C(4,0)\).

2. 2

   Calculăm distanța AC

   AC=\sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2}=\sqrt{(4-0)^2+(0-3)^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5

   Distanța dintre \(A(0,3)\) și \(C(4,0)\) se află cu formula distanței dintre două puncte, care vine din teorema lui Pitagora: diferența pe orizontală este 4, diferența pe verticală este 3, iar \(AC\) este ipotenuza unui triunghi dreptunghic cu catetele 4 și 3. Rezultă \(AC=5\).

Răspuns: Distanța dintre punctele A și C este \(AC=5\).

Se consideră triunghiul \(ABC\), dreptunghic în \(A\), cu \(B=\frac{\pi}{6}\) și mediana \(AM=4\). Arătați că aria triunghiului \(ABC\) este egală cu \(8\sqrt{3}\).

Metoda: Mediana din unghiul drept

1. 1

   Aflăm cateta AC folosind mediana

   AM=\frac{BC}{2}\Rightarrow BC=8,\quad AC=\frac{BC}{2}=4

   Triunghiul este dreptunghic în \(A\), deci \(BC\) este ipotenuza, iar \(AM\) este mediana ei. Mediana corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din ipotenuză, deci \(BC=2\cdot AM=8\). Unghiul \(B=\frac{\pi}{6}=30^\circ\), iar cateta opusă unghiului de \(30^\circ\) este jumătate din ipotenuză, deci \(AC=\frac{8}{2}=4\).

2. 2

   Aflăm cateta AB

   AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{64-16}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}

   Folosim teorema lui Pitagora în triunghiul \(ABC\): \(AB^2+AC^2=BC^2\). Rezultă \(AB^2=64-16=48\), deci \(AB=4\sqrt{3}\). Același rezultat se obține din \(AB=BC\cdot\cos 30^\circ=8\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\).

3. 3

   Calculăm aria

   \mathcal{A}_{ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{4\sqrt{3}\cdot 4}{2}=8\sqrt{3}

   Într-un triunghi dreptunghic, aria este jumătate din produsul catetelor, pentru că una dintre catete este înălțime față de cealaltă. Obținem \(\frac{4\sqrt{3}\cdot 4}{2}=8\sqrt{3}\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: Aria triunghiului \(ABC\) este \(8\sqrt{3}\).

Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) și \(A(x)=\begin{pmatrix}x&3x-3\\1-x&3x-2\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. a) Arătați că \(\det(A(0))=3\).

Metoda: Calculul determinantului de ordin 2

1. 1

   Scriem matricea A(0)

   A(0)=\begin{pmatrix}0&3\cdot 0-3\\1-0&3\cdot 0-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-3\\1&-2\end{pmatrix}

   Înlocuim peste tot \(x\) cu \(0\) în matricea \(A(x)\). Elementele devin: \(x=0\), \(3x-3=-3\), \(1-x=1\), \(3x-2=-2\). Facem acest pas pentru că determinantul se calculează din numerele concrete ale matricei.

2. 2

   Aplicăm formula determinantului de ordin 2

   \det(A(0))=\begin{vmatrix}0&-3\\1&-2\end{vmatrix}=0\cdot(-2)-(-3)\cdot 1

   Pentru o matrice \(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\), determinantul este \(ad-bc\): produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Aici \(a=0,\ b=-3,\ c=1,\ d=-2\).

3. 3

   Calculăm rezultatul

   0-(-3)=0+3=3

   Primul produs este \(0\), al doilea este \(-3\). Scăderea unui număr negativ înseamnă adunarea lui opusului: \(0-(-3)=3\). Astfel obținem \(\det(A(0))=3\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\det(A(0))=0\cdot(-2)-(-3)\cdot 1=0+3=3\), deci egalitatea este demonstrată.

Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) și \(A(x)=\begin{pmatrix}x&3x-3\\1-x&3x-2\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. b) Determinați numărul real \(m\) pentru care \(A(2)\cdot A(0)+A(5)=mI_2\).

Metoda: Calcul cu matrice 2×2

1. 1

   Scriem matricele A(2), A(0) și A(5)

   A(2)=\begin{pmatrix}2&3\\-1&4\end{pmatrix},\ A(0)=\begin{pmatrix}0&-3\\1&-2\end{pmatrix},\ A(5)=\begin{pmatrix}5&12\\-4&13\end{pmatrix}

   Înlocuim pe rând x cu 2, 0 și 5 în \(A(x)=\begin{pmatrix}x&3x-3\\1-x&3x-2\end{pmatrix}\). De exemplu, pentru x=2: \(3\cdot 2-3=3\), \(1-2=-1\), \(3\cdot 2-2=4\). Facem asta ca să avem matricele concrete cu care calculăm.

2. 2

   Calculăm produsul A(2)·A(0)

   A(2)\cdot A(0)=\begin{pmatrix}2&3\\-1&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-3\\1&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&-12\\4&-5\end{pmatrix}

   Înmulțim linie cu coloană. Elementul (1,1): \(2\cdot 0+3\cdot 1=3\). Elementul (1,2): \(2\cdot(-3)+3\cdot(-2)=-12\). Elementul (2,1): \((-1)\cdot 0+4\cdot 1=4\). Elementul (2,2): \((-1)(-3)+4\cdot(-2)=-5\).

3. 3

   Adunăm A(5) și identificăm m

   A(2)A(0)+A(5)=\begin{pmatrix}3&-12\\4&-5\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}5&12\\-4&13\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8&0\\0&8\end{pmatrix}=8I_2

   Adunăm element cu element: \(3+5=8\), \(-12+12=0\), \(4+(-4)=0\), \(-5+13=8\). Rezultatul este \(8I_2\). Din \(8I_2=mI_2\) obținem \(m=8\).

Răspuns: m = 8

Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) și \(A(x)=\begin{pmatrix}x&3x-3\\1-x&3x-2\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. c) Determinați numerele reale \(x\) pentru care \(\det\big(A(x)-A(0)\cdot A(1-x)\big)=3\).

Metoda: Calcul matriceal și determinant

1. 1

   Scriem matricele A(0) și A(1-x)

   A(0)=\begin{pmatrix}0&-3\\1&-2\end{pmatrix},\quad A(1-x)=\begin{pmatrix}1-x&-3x\\x&1-3x\end{pmatrix}

   Înlocuim în formula lui \(A(x)\) pe \(x\) cu 0, apoi cu \(1-x\). Pentru \(A(1-x)\): \(x\to 1-x\) dă \(1-x\); \(3x-3\to 3(1-x)-3=-3x\); \(1-x\to 1-(1-x)=x\); \(3x-2\to 3(1-x)-2=1-3x\).

2. 2

   Calculăm produsul A(0)·A(1-x)

   A(0)\cdot A(1-x)=\begin{pmatrix}0&-3\\1&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1-x&-3x\\x&1-3x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3x&-3+9x\\1-3x&-3x-2+6x\end{pmatrix}

   Înmulțim linie cu coloană. Prima linie: \(0\cdot(1-x)+(-3)x=-3x\) și \(0\cdot(-3x)+(-3)(1-x)=-3+3x\). Atenție: \(-3(1-3x)=-3+9x\), deci elementul (1,2) este \(-3+9x\). A doua linie: \(1\cdot(1-x)-2x=1-3x\) și \(1\cdot(-3x)-2(1-3x)=3x-2\). Deci produsul este \(\begin{pmatrix}-3x&9x-3\\1-3x&3x-2\end{pmatrix}\).

3. 3

   Calculăm diferența A(x) − A(0)·A(1−x)

   A(x)-A(0)A(1-x)=\begin{pmatrix}x+3x&3x-3-9x+3\\1-x-1+3x&3x-2-3x+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4x&-6x\\2x&0\end{pmatrix}

   Scădem element cu element. Colțul stânga-sus: \(x-(-3x)=4x\). Dreapta-sus: \((3x-3)-(9x-3)=-6x\). Stânga-jos: \((1-x)-(1-3x)=2x\). Dreapta-jos: \((3x-2)-(3x-2)=0\).

4. 4

   Calculăm determinantul

   \det=\begin{vmatrix}4x&-6x\\2x&0\end{vmatrix}=4x\cdot0-(-6x)\cdot2x=12x^2

   Determinantul de ordin 2 este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Aici obținem \(12x^2\), pentru orice \(x\) real.

5. 5

   Rezolvăm ecuația

   12x^2=3\Rightarrow x^2=\frac14\Rightarrow x=-\frac12\text{ sau }x=\frac12

   Punem condiția \(\det=3\), deci \(12x^2=3\). Împărțim la 12 și obținem \(x^2=\frac14\), de unde \(x=\pm\frac12\).

Răspuns: \(x\in\left\{-\frac12,\frac12\right\}\)

Pe mulțimea \(M=(0,+\infty)\) se definește legea de compoziție \(x\circ y = x+y+1-\sqrt{xy+1}\). a) Arătați că \(1\circ 8 = 7\).

Metoda: Calcul prin înlocuire în lege

1. 1

   Înlocuim x și y în definiția legii

   1\circ 8 = 1+8+1-\sqrt{1\cdot 8+1}

   Legea spune că \(x\circ y = x+y+1-\sqrt{xy+1}\). Punem \(x=1\) și \(y=8\) peste tot unde apar \(x\) și \(y\). Observăm că 1 și 8 aparțin lui \(M=(0,+\infty)\), deci legea se poate aplica.

2. 2

   Calculăm radicalul și efectuăm operațiile

   1+8+1-\sqrt{9}=10-3=7

   Suma \(1+8+1\) este 10. Sub radical avem \(1\cdot 8+1=9\), iar \(\sqrt{9}=3\). Rămâne \(10-3=7\), exact valoarea cerută, deci egalitatea \(1\circ 8=7\) este demonstrată.

Răspuns: \(1\circ 8 = 1+8+1-\sqrt{9} = 10-3 = 7\), deci egalitatea este adevărată.

Pe mulțimea \(M=(0,+\infty)\) se definește legea de compoziție \(x\circ y=x+y+1-\sqrt{xy+1}\). b) Determinați \(x\in M\) pentru care \(x\circ \dfrac{3}{x}=x\).

Metoda: Calcul direct cu legea dată

1. 1

   Calculăm \(x\circ\frac{3}{x}\)

   x\circ\frac{3}{x}=x+\frac{3}{x}+1-\sqrt{x\cdot\frac{3}{x}+1}

   Înlocuim în formula legii \(y\) cu \(\frac{3}{x}\). Cum \(x\in M\), adică \(x>0\), fracția \(\frac{3}{x}\) este bine definită și pozitivă, deci aparține și ea lui \(M\). Produsul \(x\cdot\frac{3}{x}\) se simplifică și devine \(3\), deci sub radical avem \(3+1=4\).

2. 2

   Simplificăm expresia

   x\circ\frac{3}{x}=x+\frac{3}{x}+1-\sqrt{4}=x+\frac{3}{x}-1

   Radicalul \(\sqrt{4}\) este \(2\), iar \(1-2=-1\). Rezultă că \(x\circ\frac{3}{x}=x+\frac{3}{x}-1\), pentru orice \(x\in M\), exact ca în barem.

3. 3

   Punem condiția din enunț și rezolvăm

   x+\frac{3}{x}-1=x\;\Rightarrow\;\frac{3}{x}=1\;\Rightarrow\;x=3

   Egalăm rezultatul cu \(x\). Termenul \(x\) apare în ambele părți și se reduce, iar \(\frac{3}{x}-1=0\) dă \(\frac{3}{x}=1\), deci \(x=3\). Verificăm că \(3\in(0,+\infty)\), deci soluția convine.

Răspuns: \(x=3\)

Pe mulțimea \(M=(0,+\infty)\) se definește legea de compoziție \(x\circ y=x+y+1-\sqrt{xy+1}\). c) Determinați numerele naturale nenule \(n\) pentru care \((n\circ(n+2))\circ(n+4)>\dfrac{n^2}{2}\).

Metoda: Calcul direct cu legea de compoziție

1. 1

   Calculăm \(n\circ(n+2)\)

   n\circ(n+2)=n+(n+2)+1-\sqrt{n(n+2)+1}

   Aplicăm definiția legii cu \(x=n\) și \(y=n+2\). Sub radical avem \(n(n+2)+1=n^2+2n+1=(n+1)^2\), deci radicalul este \(\sqrt{(n+1)^2}=n+1\), pentru că \(n+1>0\). Rezultă \(2n+3-(n+1)=n+2\).

2. 2

   Calculăm \((n\circ(n+2))\circ(n+4)\)

   (n+2)\circ(n+4)=(n+2)+(n+4)+1-\sqrt{(n+2)(n+4)+1}=n+4

   Acum avem \(x=n+2\) și \(y=n+4\). Sub radical: \((n+2)(n+4)+1=n^2+6n+9=(n+3)^2\). Deci radicalul este \(n+3\), iar rezultatul este \(2n+7-(n+3)=n+4\).

3. 3

   Rezolvăm inegalitatea

   n+4>\frac{n^2}{2}\iff n^2-2n-8<0\iff (n-4)(n+2)<0\iff n\in(-2,4)

   Înmulțim cu 2 (număr pozitiv, sensul inegalității nu se schimbă): \(2n+8>n^2\), adică \(n^2-2n-8<0\). Rădăcinile sunt \(-2\) și \(4\), iar parabola cu ramurile în sus este negativă între rădăcini. Cum \(n\) este natural nenul, \(n\in\{1,2,3\}\). Valoarea \(n=4\) nu convine, pentru că inegalitatea este strictă: \(8>8\) este fals.

Răspuns: n ∈ {1, 2, 3}

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=(x^3+2x^2)e^x\). a) Arătați că \(f'(x)=x(x^2+5x+4)e^x\), \(x\in\mathbb{R}\).

Metoda: Derivata unui produs

1. 1

   Aplicăm regula de derivare a produsului

   f'(x)=(x^3+2x^2)'e^x+(x^3+2x^2)(e^x)'

   Funcția este produsul a două funcții: \(u(x)=x^3+2x^2\) și \(v(x)=e^x\). Regula spune că \((uv)'=u'v+uv'\). Derivata lui \(u\) este \(3x^2+4x\), iar \((e^x)'=e^x\). Obținem \(f'(x)=(3x^2+4x)e^x+(x^3+2x^2)e^x\).

2. 2

   Dăm factor comun \(e^x\) și adunăm

   f'(x)=(x^3+2x^2+3x^2+4x)e^x=(x^3+5x^2+4x)e^x

   Ambii termeni conțin \(e^x\), deci îl scoatem factor comun. În paranteză adunăm termenii asemenea: \(2x^2+3x^2=5x^2\). Rezultă \(x^3+5x^2+4x\).

3. 3

   Dăm factor comun \(x\)

   x^3+5x^2+4x=x(x^2+5x+4)\ \Rightarrow\ f'(x)=x(x^2+5x+4)e^x

   Toți termenii din paranteză conțin pe \(x\), deci îl scoatem factor comun. Împărțind fiecare termen la \(x\) obținem \(x^2+5x+4\). Astfel am ajuns la forma cerută, valabilă pentru orice \(x\in\mathbb{R}\).

Răspuns: \(f'(x)=x(x^2+5x+4)e^x\), pentru orice \(x\in\mathbb{R}\), ceea ce trebuia arătat.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=(x^3+2x^2)e^x\). b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției \(f\) în punctul de abscisă \(x=0\), situat pe graficul funcției \(f\).

Metoda: Ecuația tangentei la grafic

1. 1

   Calculăm f(0)

   f(0)=(0^3+2\cdot 0^2)e^0=0

   Ordonata punctului de tangență se obține înlocuind \(x=0\) în formula funcției. Punctul de pe grafic este \((0, f(0))\). Cum \(0^3+2\cdot 0^2=0\), iar \(e^0=1\), obținem \(f(0)=0\).

2. 2

   Calculăm f'(0)

   f'(x)=x(x^2+5x+4)e^x \Rightarrow f'(0)=0\cdot(0+0+4)\cdot e^0=0

   Panta tangentei este valoarea derivatei în punctul de abscisă \(x_0=0\). Folosim forma de la punctul a): \(f'(x)=x(x^2+5x+4)e^x\). Pentru \(x=0\) factorul \(x\) este 0, deci tot produsul este 0.

3. 3

   Scriem ecuația tangentei

   y-f(0)=f'(0)(x-0)\Rightarrow y-0=0\cdot x\Rightarrow y=0

   Înlocuim în formula \(y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)\) valorile \(f(0)=0\) și \(f'(0)=0\). Rezultă \(y=0\), adică tangenta este chiar axa Ox, o dreaptă orizontală (panta 0).

Răspuns: Ecuația tangentei la graficul funcției \(f\) în punctul de abscisă \(x=0\) este \(y=0\).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=(x^3+2x^2)e^x\). Itemul III.1.c): Arătați că \(-\dfrac{32}{e^{x+4}}\le x^2(x+2)\le \dfrac{1}{e^{x+1}}\), pentru orice \(x\in[-4,0]\).

Metoda: Monotonia funcției și valori extreme

1. 1

   Semnul derivatei pe [-4,0]

   f'(x)=x(x+1)(x+4)e^x

   Din punctul a) avem \(f'(x)=x(x^2+5x+4)e^x\). Trinomul \(x^2+5x+4\) are rădăcinile \(-4\) și \(-1\), deci \(x^2+5x+4=(x+1)(x+4)\). Deoarece \(e^x>0\), semnul lui \(f'\) depinde doar de \(x(x+1)(x+4)\). Rădăcinile derivatei sunt \(x=-4\), \(x=-1\) și \(x=0\). Pe \([-4,-1]\): \(x\le 0\), \(x+1\le 0\), \(x+4\ge 0\), deci \(f'(x)\ge 0\). Pe \([-1,0]\): \(x\le 0\), \(x+1\ge 0\), \(x+4\ge 0\), deci \(f'(x)\le 0\).

2. 2

   Variația funcției f

   f \nearrow \text{ pe } [-4,-1],\quad f \searrow \text{ pe } [-1,0]

   Pe \([-4,-1]\) derivata este pozitivă, deci \(f\) este crescătoare. Pe \([-1,0]\) derivata este negativă, deci \(f\) este descrescătoare. Rezultă că \(x=-1\) este punct de maxim pe \([-4,0]\). Minimul se află la una dintre extremități, \(x=-4\) sau \(x=0\), pentru că funcția crește de la \(-4\) la \(-1\) și apoi scade până la \(0\).

3. 3

   Calculul valorilor în -4, -1 și 0

   f(-4)=-\frac{32}{e^4},\quad f(-1)=\frac1e,\quad f(0)=0

   Calculăm \(f\) în cele trei puncte importante. \(f(-4)=((-4)^3+2\cdot(-4)^2)e^{-4}=(-64+32)e^{-4}=-\dfrac{32}{e^4}\). \(f(-1)=((-1)^3+2\cdot(-1)^2)e^{-1}=(-1+2)e^{-1}=\dfrac1e\). \(f(0)=0\). Cea mai mică valoare este \(-\dfrac{32}{e^4}\), pentru că este negativă, iar celelalte valori de la capete sunt \(0\). Cea mai mare este \(\dfrac1e\).

4. 4

   Încadrarea lui f(x)

   -\frac{32}{e^4}\le f(x)\le \frac1e,\quad x\in[-4,0]

   Pe \([-4,0]\) valoarea minimă a lui \(f\) este \(-\dfrac{32}{e^4}\), iar cea maximă este \(\dfrac1e\). Prin urmare, pentru orice \(x\in[-4,0]\), \(f(x)\) se află între ele.

5. 5

   Revenirea la inegalitatea cerută

   -\frac{32}{e^{x+4}}\le x^2(x+2)\le \frac{1}{e^{x+1}}

   Scriem \(f(x)=x^2(x+2)e^x\), deci \(-\dfrac{32}{e^4}\le x^2(x+2)e^x\le \dfrac1e\). Înmulțim toate părțile cu \(e^{-x}>0\), iar sensul inegalităților se păstrează. Obținem \(-\dfrac{32}{e^4\cdot e^x}\le x^2(x+2)\le \dfrac{1}{e\cdot e^x}\), adică \(-\dfrac{32}{e^{x+4}}\le x^2(x+2)\le \dfrac{1}{e^{x+1}}\), pentru orice \(x\in[-4,0]\). Asta era de demonstrat.

Răspuns: Pe \([-4,0]\), \(f\) are minimul \(-\dfrac{32}{e^4}\) și maximul \(\dfrac1e\). Împărțind la \(e^x>0\) obținem \(-\dfrac{32}{e^{x+4}}\le x^2(x+2)\le\dfrac{1}{e^{x+1}}\), pentru orice \(x\in[-4,0]\).

Se consideră funcția \( f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R},\ f(x)=3x^2-\dfrac{2}{x+1} \). Arătați că \( \displaystyle\int_1^2\left(f(x)+\dfrac{2}{x+1}\right)dx=7 \).

Metoda: Integrarea unei funcții polinomiale

1. 1

   Simplificăm funcția de sub integrală

   f(x)+\frac{2}{x+1}=3x^2-\frac{2}{x+1}+\frac{2}{x+1}=3x^2

   Înlocuim \(f(x)\) cu expresia ei. Fracțiile \(-\frac{2}{x+1}\) și \(+\frac{2}{x+1}\) sunt opuse, deci se reduc. Rămâne doar \(3x^2\), o funcție mult mai simplă de integrat decât cea inițială.

2. 2

   Calculăm integrala cu formula Leibniz-Newton

   \int_1^2 3x^2\,dx=x^3\Big|_1^2=2^3-1^3

   O primitivă a lui \(3x^2\) este \(x^3\), pentru că derivata lui \(x^3\) este \(3x^2\). Apoi calculăm primitiva în limita de sus (\(2\)) și scădem valoarea ei în limita de jos (\(1\)).

Răspuns: \(\displaystyle\int_1^2\left(f(x)+\frac{2}{x+1}\right)dx=8-1=7\), exact ca în barem.

Se consideră funcția \(f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=3x^2-\dfrac{2}{x+1}\). b) Arătați că \(\int_{1}^{5}\left(3x^2-f(x)\right)dx=2\ln 3\).

Metoda: Integrare directă, formula Leibniz-Newton

1. 1

   Simplificăm expresia de sub integrală

   3x^2-f(x)=3x^2-\left(3x^2-\frac{2}{x+1}\right)=\frac{2}{x+1}

   Înlocuim \(f(x)\) cu definiția sa. Paranteza are semn minus în față, deci schimbă semnul termenilor: \(3x^2\) se reduce cu \(-3x^2\), iar \(-\frac{2}{x+1}\) devine \(+\frac{2}{x+1}\). Astfel integrala devine una foarte simplă: \(\int_1^5 \frac{2}{x+1}dx\).

2. 2

   Scoatem constanta și recunoaștem derivata lui \(x+1\)

   \int_1^5\frac{2}{x+1}dx=2\int_1^5\frac{(x+1)'}{x+1}dx

   Constanta 2 iese în fața integralei. Cum \((x+1)'=1\), putem scrie \(\frac{1}{x+1}=\frac{(x+1)'}{x+1}\), adică o fracție de forma \(\frac{u'}{u}\), a cărei primitivă este \(\ln|u|\).

3. 3

   Aplicăm formula Leibniz-Newton

   2\ln(x+1)\Big|_1^5=2\ln 6-2\ln 2

   Calculăm primitiva în capătul de sus (\(x=5\), deci \(\ln 6\)) și scădem valoarea ei în capătul de jos (\(x=1\), deci \(\ln 2\)). Ambele sunt înmulțite cu 2.

4. 4

   Folosim proprietatea diferenței de logaritmi

   2\ln 6-2\ln 2=2\left(\ln 6-\ln 2\right)=2\ln\frac{6}{2}=2\ln 3

   Dăm factor comun pe 2 și folosim \(\ln a-\ln b=\ln\frac{a}{b}\). Cum \(\frac{6}{2}=3\), obținem exact rezultatul cerut, \(2\ln 3\).

Răspuns: \(\int_1^5\left(3x^2-f(x)\right)dx=2\ln 6-2\ln 2=2\ln 3\), ceea ce trebuia demonstrat.

Se consideră funcția \(g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(g(x)=f(\sqrt{x}-1)\), unde \(f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=3x^2-\dfrac{2}{x+1}\). Arătați că \(\displaystyle\int_1^4 \big(a+bg(x)\big)g'(x)\,dx=4a\), pentru orice numere reale \(a\) și \(b\).

Metoda: Integrare directă și formula Leibniz-Newton

1. 1

   Desfacem integrala în două

   \int_1^4 (a+bg(x))g'(x)\,dx=a\int_1^4 g'(x)\,dx+b\int_1^4 g(x)g'(x)\,dx

   Desfacem parantezele și folosim liniaritatea integralei: constantele \(a\) și \(b\) ies în fața integralelor. Astfel avem două integrale simple, de forma \(g'\) și \(g\cdot g'\).

2. 2

   Găsim primitivele

   \int_1^4 a\,g'(x)\,dx=a\,g(x)\Big|_1^4,\qquad \int_1^4 b\,g(x)g'(x)\,dx=\dfrac{b\,g^2(x)}{2}\Big|_1^4

   O primitivă a lui \(g'\) este \(g\). Pentru \(g\cdot g'\): derivata lui \(\dfrac{g^2(x)}{2}\) este \(\dfrac{2g(x)g'(x)}{2}=g(x)g'(x)\), deci \(\dfrac{g^2}{2}\) e primitiva căutată.

3. 3

   Aplicăm formula Leibniz-Newton

   a\big(g(4)-g(1)\big)+\dfrac{b}{2}\big(g^2(4)-g^2(1)\big)

   Înlocuim limitele de integrare 4 și 1 în primitive și scădem. Rezultatul depinde doar de valorile \(g(1)\) și \(g(4)\).

4. 4

   Calculăm g(1) și g(4)

   g(1)=f(0)=-2,\qquad g(4)=f(1)=2

   Avem \(g(1)=f(\sqrt1-1)=f(0)=3\cdot0-\dfrac{2}{1}=-2\). Apoi \(g(4)=f(\sqrt4-1)=f(1)=3-\dfrac{2}{2}=2\). Observăm că \(g(4)=-g(1)\), deci \(g^2(4)=g^2(1)\).

5. 5

   Concluzia

   a(2-(-2))+\dfrac{b}{2}(4-4)=4a

   Diferența \(g(4)-g(1)=2-(-2)=4\), iar \(g^2(4)-g^2(1)=4-4=0\). Termenul cu \(b\) dispare, deci integrala este \(4a\) pentru orice \(a,b\in\mathbb{R}\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\int_1^4 (a+bg(x))g'(x)\,dx=4a\), pentru orice \(a,b\in\mathbb{R}\), deoarece \(g(1)=-2\) și \(g(4)=2\).