Matematică 2024

Ministerul Educației Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație Examenul național de bacalaureat 2024 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Simulare Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii  Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.  Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Se consideră numerele complexe z1  3  i și z 2  1  i . Arătați că z1  iz 2  2 . 5p 2. Se consideră funcțiile f : ℝ  ℝ , f  x   5  x și g : ℝ  ℝ , g  x   x  2 . Determinați numărul real a pentru care f  a   g  a  1 . 5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log3 4 x  x 2  1 .   5p 4. Determinați câte numere naturale impare, de două cifre, cu cifra zecilor număr par, se pot forma cu elementele mulțimii A  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A  0,3 , B  2,0  și C . Știind că punctul B este mijlocul segmentului OC , determinați distanța dintre punctele A și C .  5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , cu B  și mediana AM  4 . Arătați că aria 6 triunghiului ABC este egală cu 8 3 . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 0  x 3x  3  1. Se consideră matricele I 2    și A  x     , unde x este număr real. 0 1 1  x 3 x  2  5p a) Arătați că det  A  0    3 . 5p b) Determinați numărul real m pentru care A  2  A  0   A  5  mI 2 . 5p c) Determinați numerele reale x pentru care det  A  x   A  0   A 1  x    3 . 2. Pe mulțimea M   0,   se definește legea de compoziție x  y  x  y  1  xy  1 . 5p a) Arătați că 1  8  7 . 3 5p b) Determinați x  M pentru care x   x. x n2 5p c) Determinați numerele naturale nenule n pentru care  n   n  2     n  4   . 2 SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)  1. Se consideră funcția f : ℝ  ℝ , f  x   x3  2 x 2 e x .    5p a) Arătați că f '  x   x x  5 x  4 e , x  ℝ . 2 x 5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x  0 , situat pe graficul funcției f . 32 1 5p c) Arătați că  x  4  x  x  2   x 1 , pentru orice x   4,0 . 2 e e 2 2. Se consideră funcția f :  1,    ℝ , f  x   3x 2  . x 1 2  2  5p a) Arătați că   f  x    dx  7 . 1 x 1 Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 1 din 2  Ministerul Educației Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație 5   5p b) Arătați că  3x  f  x  dx  2ln 3 . 2 1 4 5p c) Se consideră funcția g :  0,    ℝ , g  x   f  x  1 . Arătați că   a  bg  x  g '  x  dx  4a , 1 pentru orice numere reale a și b . Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 2 din 2