Rezolvare pas cu pas: Matematică – Științele naturii (M2) – Bacalaureat 2024, sesiunea specială (varianta 09)

Arătați că \(6-2\sqrt{5}+\sqrt{5}\cdot\left(2-\sqrt{5}\right)=1\).

Metoda: Calcul cu radicali

1. 1

   Desfacem paranteza prin distributivitate

   6-2\sqrt{5}+\sqrt{5}\cdot(2-\sqrt{5}) = 6-2\sqrt{5}+2\sqrt{5}-\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}

   Înmulțim pe \(\sqrt{5}\) cu fiecare termen din paranteză: \(\sqrt{5}\cdot 2=2\sqrt{5}\) și \(\sqrt{5}\cdot(-\sqrt{5})=-\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}\). Facem asta pentru că nu putem simplifica expresia cât timp paranteza este închisă.

2. 2

   Reducem termenii și calculăm

   6-2\sqrt{5}+2\sqrt{5}-5 = 6-5 = 1

   Termenii \(-2\sqrt{5}\) și \(+2\sqrt{5}\) sunt opuși, deci se reduc și dau 0. Rămâne \(6-\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}=6-5=1\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: Expresia este egală cu \(1\), deci egalitatea \(6-2\sqrt{5}+\sqrt{5}\cdot(2-\sqrt{5})=1\) este adevărată.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=2x-3\). Determinați numărul real \(a\) pentru care \(f(a)+f(1)=0\).

Metoda: Calculul valorii funcției

1. 1

   Calculăm f(a) și f(1)

   f(a)=2a-3,\quad f(1)=2\cdot 1-3=-1

   Pentru a afla valoarea funcției într-un punct, înlocuim peste tot pe \(x\) cu valoarea dată. Pentru \(x=a\) obținem \(f(a)=2a-3\), iar pentru \(x=1\) obținem \(f(1)=2\cdot 1-3=-1\).

2. 2

   Scriem ecuația f(a)+f(1)=0

   2a-3+(-1)=0 \;\Rightarrow\; 2a-3-1=0 \;\Rightarrow\; 2a-4=0

   Condiția din enunț este \(f(a)+f(1)=0\). Punem în loc expresiile găsite la pasul anterior și obținem o ecuație de gradul I în necunoscuta \(a\). Reducem termenii: \(-3-1=-4\).

3. 3

   Rezolvăm ecuația

   2a=4 \;\Rightarrow\; a=2

   Din \(2a-4=0\) mutăm pe 4 în dreapta și obținem \(2a=4\). Împărțim la 2 și găsim \(a=2\). Verificare: \(f(2)=2\cdot 2-3=1\), iar \(f(2)+f(1)=1+(-1)=0\), deci totul este corect.

Răspuns: \(a=2\)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(10^{x-1}=10^{-2x}\cdot 10^{2}\).

Metoda: Egalarea exponenților la aceeași bază

1. 1

   Scriem membrul drept ca o singură putere

   10^{-2x}\cdot 10^{2}=10^{-2x+2}

   În membrul drept avem un produs de puteri cu aceeași bază. Folosim regula \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\): exponenții se adună. Astfel ecuația devine \(10^{x-1}=10^{-2x+2}\).

2. 2

   Egalăm exponenții

   x-1=-2x+2

   Funcția \(t\mapsto 10^t\) este injectivă (pentru baza 10 ia fiecare valoare o singură dată). Deci, dacă două puteri ale lui 10 sunt egale, exponenții lor sunt egali. Obținem ecuația \(x-1=-2x+2\).

3. 3

   Rezolvăm ecuația de gradul I

   x-1=-2x+2 \Rightarrow 3x=3 \Rightarrow x=1

   Mutăm termenii cu \(x\) în stânga și numerele în dreapta: \(x+2x=2+1\), deci \(3x=3\), de unde \(x=1\).

4. 4

   Verificare

   10^{0}=10^{-2}\cdot 10^{2}=1

   Pentru \(x=1\): stânga este \(10^{1-1}=10^0=1\). Dreapta este \(10^{-2}\cdot 10^2=10^0=1\). Cele două părți sunt egale, deci soluția este corectă.

Răspuns: \(x=1\)

Determinați câte dintre numerele naturale de două cifre distincte, care se pot forma cu cifre din mulțimea \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), au ambele cifre pare.

Metoda: Principiul multiplicării (numărare)

1. 1

   Găsim cifrele pare din A

   \{2,4,6\}

   Ambele cifre ale numărului trebuie să fie pare, iar cifrele se iau din mulțimea \(A\). Deci ne interesează doar cifrele pare din \(A\): \(2\), \(4\) și \(6\). Sunt 3 cifre pare disponibile.

2. 2

   Alegem cifra zecilor

   3 \text{ moduri}

   Cifra zecilor trebuie să fie para, deci o putem alege dintre \(2,4,6\). Avem 3 posibilități. Cifra zecilor nu poate fi 0 aici, dar oricum 0 nu face parte din \(A\).

3. 3

   Alegem cifra unităților

   2 \text{ moduri}

   Cifrele numărului trebuie să fie distincte, deci cifra unităților trebuie să fie para și diferită de cifra zecilor. Dintre cele 3 cifre pare, una a fost deja folosită, deci rămân 2 posibilități, pentru oricare alegere a cifrei zecilor.

4. 4

   Aplicăm regula produsului

   3\cdot 2=6

   Pentru fiecare dintre cele 3 alegeri ale cifrei zecilor avem câte 2 alegeri pentru unități, deci în total \(3\cdot 2=6\) numere. Ele sunt: 24, 26, 42, 46, 62, 64.

Răspuns: Există 6 astfel de numere: 24, 26, 42, 46, 62, 64.

În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(4,6)\) și \(B(6,0)\). Determinați distanța dintre punctele \(B\) și \(M\), unde punctul \(M\) este mijlocul segmentului \(OA\).

Metoda: Mijlocul segmentului și distanța

1. 1

   Aflăm coordonatele mijlocului M

   M\left(\frac{x_O+x_A}{2},\frac{y_O+y_A}{2}\right)=M\left(\frac{0+4}{2},\frac{0+6}{2}\right)=M(2,3)

   Mijlocul unui segment are coordonatele egale cu media aritmetică a coordonatelor capetelor. Aici capetele sunt \(O(0,0)\) (originea) și \(A(4,6)\). Facem media abscisei: \((0+4)/2=2\) și media ordonatei: \((0+6)/2=3\).

2. 2

   Calculăm distanța BM

   BM=\sqrt{(x_B-x_M)^2+(y_B-y_M)^2}=\sqrt{(6-2)^2+(0-3)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5

   Distanța dintre două puncte \(P(x_1,y_1)\) și \(Q(x_2,y_2)\) este \(\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\), practic teorema lui Pitagora în reperul cartezian. Pentru \(B(6,0)\) și \(M(2,3)\), diferențele coordonatelor sunt \(6-2=4\) și \(0-3=-3\). Pătratele lor sunt \(16\) și \(9\), suma este \(25\), iar rădăcina pătrată este \(5\).

Răspuns: \(BM=5\)

Se consideră triunghiul \(ABC\), dreptunghic în \(A\), cu \(AC=6\) și aria egală cu \(24\). Arătați că \(AB=8\).

Metoda: Aria triunghiului dreptunghic

1. 1

   Scriem formula ariei

   \mathcal{A}_{\triangle ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}

   Unghiul din A este drept, deci AB și AC sunt perpendiculare. Una dintre catete poate fi considerată înălțime, iar cealaltă bază. De aceea aria este jumătate din produsul catetelor.

2. 2

   Înlocuim datele cunoscute

   24=\frac{AB\cdot 6}{2}

   Știm că aria este 24 și că AC = 6. Înlocuim aceste valori în formulă și obținem o ecuație cu necunoscuta AB.

3. 3

   Aflăm AB

   AB=\frac{24\cdot 2}{6}=8

   Din ecuația \(24=\frac{AB\cdot 6}{2}\) înmulțim cu 2 și obținem \(48=6\cdot AB\). Apoi împărțim la 6 și găsim AB = 8, exact ce trebuia arătat.

Răspuns: AB = 8

Se consideră matricele \(A=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}\) și \(B(x)=\begin{pmatrix}x+1&x+4\\2x&4x-3\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. a) Arătați că \(\det A=1\).

Metoda: Determinantul unei matrice de ordin 2

1. 1

   Scriem determinantul lui A cu formula

   \det A=\begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix}=1\cdot 2-1\cdot 1

   Pentru o matrice \(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\) avem \(\det=a\cdot d-b\cdot c\). Aici \(a=1\), \(b=1\), \(c=1\), \(d=2\). Diagonala principală dă \(1\cdot 2\), iar cea secundară dă \(1\cdot 1\), pe care o scădem.

2. 2

   Efectuăm calculele și obținem rezultatul

   \det A=2-1=1

   Calculăm produsele: \(1\cdot 2=2\) și \(1\cdot 1=1\). Apoi scădem: \(2-1=1\). Am obținut exact ce trebuia arătat, deci \(\det A=1\).

Răspuns: \(\det A=1\cdot 2-1\cdot 1=2-1=1\), deci \(\det A=1\).

Se consideră matricele \(A=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}\) și \(B(x)=\begin{pmatrix}x+1&x+4\\2x&4x-3\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. b) Determinați numărul real \(x\) pentru care \(\det(B(x)-xA)=x\).

Metoda: Calculul determinantului de ordin 2

1. 1

   Calculăm matricea B(x) − xA

   B(x)-xA=\begin{pmatrix}x+1-x&x+4-x\\2x-x&4x-3-2x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&4\\x&2x-3\end{pmatrix}

   Înmulțim matricea \(A\) cu numărul \(x\): fiecare element al lui \(A\) se înmulțește cu \(x\), deci \(xA=\begin{pmatrix}x&x\\x&2x\end{pmatrix}\). Apoi scădem element cu element din \(B(x)\). Facem asta pentru ca determinantul cerut să se calculeze pe o matrice cu forma cât mai simplă.

2. 2

   Calculăm determinantul

   \det(B(x)-xA)=1\cdot(2x-3)-4\cdot x=2x-3-4x=-2x-3

   Pentru o matrice \(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\), determinantul este \(ad-bc\). Aici \(a=1,\ b=4,\ c=x,\ d=2x-3\). Obținem \(-2x-3\), valabil pentru orice număr real \(x\).

3. 3

   Rezolvăm ecuația

   -2x-3=x\Rightarrow -3=3x\Rightarrow x=-1

   Condiția din enunț spune că determinantul este egal cu \(x\). Aducem termenii cu \(x\) într-o parte: \(-3=3x\), deci \(x=-1\).

Răspuns: x = -1

Se consideră matricele \(A=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}\) și \(B(x)=\begin{pmatrix}x+1&x+4\\2x&4x-3\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. c) Determinați numărul real \(x\) pentru care \(B(x)+B(x+2)=2A\cdot A\cdot A\).

Metoda: Calcul matriceal și egalitatea matricelor

1. 1

   Calculăm A·A

   A\cdot A=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&3\\3&5\end{pmatrix}

   Înmulțim matricele „linie cu coloană”. Elementul de pe poziția (i,j) este suma produselor dintre elementele liniei i din prima matrice și ale coloanei j din a doua. Avem: \(1\cdot1+1\cdot1=2\), \(1\cdot1+1\cdot2=3\), \(1\cdot1+2\cdot1=3\), \(1\cdot1+2\cdot2=5\).

2. 2

   Calculăm 2A·A·A

   A\cdot A\cdot A=\begin{pmatrix}2&3\\3&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&8\\8&13\end{pmatrix},\quad 2A\cdot A\cdot A=\begin{pmatrix}10&16\\16&26\end{pmatrix}

   Înmulțim \(A\cdot A\) cu încă un \(A\): \(2\cdot1+3\cdot1=5\), \(2\cdot1+3\cdot2=8\), \(3\cdot1+5\cdot1=8\), \(3\cdot1+5\cdot2=13\). Apoi înmulțim fiecare element cu 2. Se obține partea dreaptă a ecuației.

3. 3

   Calculăm B(x)+B(x+2)

   B(x+2)=\begin{pmatrix}x+3&x+6\\2x+4&4x+5\end{pmatrix},\quad B(x)+B(x+2)=\begin{pmatrix}2x+4&2x+10\\4x+4&8x+2\end{pmatrix}

   Îl înlocuim pe \(x\) cu \(x+2\) în \(B(x)\): \(x+2+1=x+3\), \(x+2+4=x+6\), \(2(x+2)=2x+4\), \(4(x+2)-3=4x+5\). Apoi adunăm matricele element cu element: \((x+1)+(x+3)=2x+4\), \((x+4)+(x+6)=2x+10\), \(2x+(2x+4)=4x+4\), \((4x-3)+(4x+5)=8x+2\).

4. 4

   Egalăm elementele și aflăm x

   \begin{pmatrix}2x+4&2x+10\\4x+4&8x+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10&16\\16&26\end{pmatrix}\Rightarrow 2x+4=10\Rightarrow x=3

   Două matrice sunt egale dacă elementele de pe aceleași poziții sunt egale. Din \(2x+4=10\) obținem \(x=3\). Verificăm și celelalte poziții: \(2\cdot3+10=16\), \(4\cdot3+4=16\), \(8\cdot3+2=26\). Toate ecuațiile sunt satisfăcute pentru \(x=3\).

Răspuns: x = 3

Se consideră polinomul \(f = X^3 + mX^2 - 2X - 4\), unde \(m\) este număr real. a) Pentru \(m = 6\), arătați că \(f(1) = 1\).

Metoda: Valoarea polinomului într-un punct

1. 1

   Înlocuim m = 6 în polinom

   f = X^3 + 6X^2 - 2X - 4

   Polinomul conține parametrul \(m\). Cerința ne spune că \(m = 6\), deci îl înlocuim în coeficientul lui \(X^2\). Astfel obținem un polinom concret, cu care se poate lucra.

2. 2

   Calculăm f(1) prin înlocuirea lui X cu 1

   f(1) = 1^3 + 6\cdot 1^2 - 2\cdot 1 - 4

   Valoarea polinomului în \(1\) se obține înlocuind necunoscuta \(X\) cu \(1\) peste tot. Puterile lui \(1\) sunt toate egale cu \(1\), deci calculul este simplu.

3. 3

   Efectuăm calculele și obținem rezultatul

   f(1) = 1 + 6 - 2 - 4 = 1

   Adunăm și scădem termenii în ordine: \(1 + 6 = 7\), apoi \(7 - 2 = 5\), apoi \(5 - 4 = 1\). Am obținut exact valoarea cerută, deci egalitatea este demonstrată.

Răspuns: Pentru \(m = 6\) avem \(f(1) = 1 + 6 - 2 - 4 = 1\), deci \(f(1) = 1\).

Se consideră polinomul \(f = X^3 + mX^2 - 2X - 4\), unde \(m\) este număr real. b) Determinați numărul real \(m\) pentru care \((x_1x_2x_3)^2 = x_1 + x_2 + x_3 + x_1x_2x_3\), unde \(x_1\), \(x_2\) și \(x_3\) sunt rădăcinile polinomului \(f\).

Metoda: Relațiile lui Viète

1. 1

   Scriem relațiile lui Viète pentru f

   x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}=-m,\quad x_1x_2x_3=-\frac{d}{a}=4

   Pentru un polinom de gradul 3, \(aX^3+bX^2+cX+d\), suma rădăcinilor este \(-\frac{b}{a}\), iar produsul lor este \(-\frac{d}{a}\). Aici \(a=1\), \(b=m\), \(c=-2\), \(d=-4\). Deci suma este \(-m\), iar produsul este \(-(-4)/1=4\). Facem asta pentru că relația din enunț folosește exact suma și produsul rădăcinilor.

2. 2

   Înlocuim în relația din enunț

   4^2=-m+4

   În relația \((x_1x_2x_3)^2 = (x_1+x_2+x_3)+x_1x_2x_3\) punem produsul 4 și suma \(-m\). Obținem \(4^2=-m+4\), adică \(16=-m+4\).

3. 3

   Rezolvăm ecuația în m

   16=-m+4\Rightarrow m=4-16=-12

   Mutăm \(m\) în stânga și numerele în dreapta: \(m=4-16=-12\). Verificare: pentru \(m=-12\) suma este 12, produsul este 4, iar \(4^2=16=12+4\), deci relația se verifică.

Răspuns: \(m=-12\)

Se consideră polinomul \(f = X^3 + mX^2 - 2X - 4\), unde \(m\) este număr real. c) Determinați rădăcinile polinomului \(f\), știind că restul împărțirii lui \(f\) la polinomul \(X - 2\) este egal cu 8.

Metoda: Teorema restului și factorizare

1. 1

   Folosim teorema restului pentru a-l afla pe m

   f(2)=8

   Restul împărțirii lui \(f\) la \(X-2\) este \(f(2)\). Dacă restul este 8, atunci \(f(2)=8\). Calculăm \(f(2)=2^3+m\cdot 2^2-2\cdot 2-4=8+4m-4-4=4m\). Deci \(4m=8\), de unde \(m=2\).

2. 2

   Scriem polinomul pentru m = 2

   f=X^3+2X^2-2X-4

   Înlocuim \(m=2\) și obținem \(f=X^3+2X^2-2X-4\). Acum căutăm să-l descompunem în factori.

3. 3

   Descompunem prin grupare

   f=X^2(X+2)-2(X+2)=(X+2)(X^2-2)=(X+2)(X-\sqrt{2})(X+\sqrt{2})

   Grupăm primii doi termeni și ultimii doi: \(X^2(X+2)-2(X+2)\). Dăm factor comun \(X+2\) și obținem \((X+2)(X^2-2)\). Apoi \(X^2-2=(X-\sqrt{2})(X+\sqrt{2})\), diferență de pătrate.

4. 4

   Citim rădăcinile

   x_1=-2,\ x_2=-\sqrt{2},\ x_3=\sqrt{2}

   Rădăcinile se obțin egalând fiecare factor cu 0: \(X+2=0\), \(X-\sqrt{2}=0\), \(X+\sqrt{2}=0\). Rezultă \(-2\), \(\sqrt{2}\) și \(-\sqrt{2}\), la fel ca în barem. Verificăm: \(f(-2)=-8+8+4-4=0\).

Răspuns: m = 2, iar rădăcinile polinomului f sunt −2, −√2 și √2.

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{3-x}{x^2}+\ln x\). a) Arătați că \(f'(x)=\dfrac{x^2+x-6}{x^3}\), \(x\in(0,+\infty)\).

Metoda: Derivata unui cat și a lui ln x

1. 1

   Derivăm câtul și logaritmul

   f'(x)=\frac{(3-x)'\cdot x^2-(3-x)\cdot (x^2)'}{x^4}+\frac{1}{x}=\frac{-x^2-2x(3-x)}{x^4}+\frac{1}{x}

   Funcția este o sumă, deci derivata ei este suma derivatelor. Pentru câtul \(\frac{u}{v}\) folosim formula \(\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\), cu \(u=3-x\) și \(v=x^2\). Avem \(u'=-1\) și \(v'=2x\), deci numărătorul este \(-x^2-2x(3-x)\). Pentru \(\ln x\) derivata este \(\frac{1}{x}\).

2. 2

   Simplificăm numărătorul și fracția

   \frac{-x^2-2x(3-x)}{x^4}=\frac{-x^2-6x+2x^2}{x^4}=\frac{x^2-6x}{x^4}=\frac{x(x-6)}{x^4}=\frac{x-6}{x^3}

   Desfacem parantezele: \(-2x(3-x)=-6x+2x^2\). Adunăm cu \(-x^2\) și obținem \(x^2-6x\). Dăm factor comun pe \(x\) și simplificăm cu \(x\), deoarece \(x>0\). Rămâne \(\frac{x-6}{x^3}\).

3. 3

   Adunăm cu 1/x și aducem la numitor comun

   f'(x)=\frac{x-6}{x^3}+\frac{1}{x}=\frac{x-6+x^2}{x^3}=\frac{x^2+x-6}{x^3},\ x\in(0,+\infty)

   Numitorul comun al fracțiilor \(\frac{x-6}{x^3}\) și \(\frac{1}{x}\) este \(x^3\). Amplificăm a doua fracție cu \(x^2\) și obținem \(\frac{x^2}{x^3}\). Adunăm numărătorii: \(x-6+x^2=x^2+x-6\). Aceasta este exact expresia cerută în enunț, deci cerința este demonstrată.

Răspuns: \(f'(x)=\dfrac{x^2+x-6}{x^3}\), pentru orice \(x\in(0,+\infty)\), ceea ce trebuia demonstrat.

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{3-x}{x^2}+\ln x\). Arătați că \(\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-\ln x\right)=0\).

Metoda: Calculul limitei prin simplificare

1. 1

   Simplificăm expresia

   f(x)-\ln x=\frac{3-x}{x^2}+\ln x-\ln x=\frac{3-x}{x^2}

   Înlocuim \(f(x)\) cu formula ei. Termenii \(\ln x\) și \(-\ln x\) se reduc, deci rămâne doar fracția \(\frac{3-x}{x^2}\). Facem asta pentru a evita o formă nedeterminată de tipul \(\infty-\infty\), care ar apărea dacă am calcula separat limitele.

2. 2

   Despărțim fracția în două

   \frac{3-x}{x^2}=\frac{3}{x^2}-\frac{x}{x^2}=\frac{3}{x^2}-\frac{1}{x}

   Împărțim numărătorul termen cu termen la \(x^2\). Apoi simplificăm \(\frac{x}{x^2}\) cu \(x\) și obținem \(\frac{1}{x}\). Acum avem două fracții cu numitorul care tinde la infinit.

3. 3

   Calculăm limita

   \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{3}{x^2}-\frac{1}{x}\right)=0-0=0

   Când \(x\to+\infty\), numitorii \(x^2\) și \(x\) cresc nemărginit, iar numărătorii sunt constanți. Deci \(\frac{3}{x^2}\to0\) și \(\frac{1}{x}\to0\). Diferența lor tinde la \(0\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-\ln x\right)=\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{3}{x^2}-\frac{1}{x}\right)=0\).

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{3-x}{x^2}+\ln x\). c) Arătați că \(4f(x)-1\ge \ln 16\), pentru orice \(x\in(0,+\infty)\).

Metoda: Studiul monotoniei cu derivata

1. 1

   Găsim punctul critic

   f'(x)=\frac{x^2+x-6}{x^3}=\frac{(x-2)(x+3)}{x^3}=0\Rightarrow x=2

   Din punctul a) avem \(f'(x)=\dfrac{x^2+x-6}{x^3}\). Rezolvăm \(f'(x)=0\), adică \(x^2+x-6=0\), cu rădăcinile \(2\) și \(-3\). Doar \(x=2\) aparține intervalului \((0,+\infty)\). Acolo ar putea fi minimul funcției.

2. 2

   Semnul derivatei și monotonia

   f'(x)\le 0,\ x\in(0,2];\quad f'(x)\ge 0,\ x\in[2,+\infty)

   Pentru \(x>0\), numitorul \(x^3\) este pozitiv, deci semnul lui \(f'\) este semnul lui \((x-2)(x+3)\). Cum \(x+3>0\), contează doar \(x-2\). Pe \((0,2]\) derivata este negativă sau zero, deci f este descrescătoare; pe \([2,+\infty)\) este pozitivă sau zero, deci f este crescătoare. Rezultă că x=2 este punct de minim.

3. 3

   Valoarea minimă f(2)

   f(x)\ge f(2),\quad f(2)=\frac{3-2}{2^2}+\ln 2=\frac14+\ln 2

   Deoarece x=2 este punct de minim, \(f(x)\ge f(2)\) pentru orice \(x>0\). Calculăm \(f(2)=\dfrac{1}{4}+\ln 2\).

4. 4

   Concluzia: 4f(x)-1 ≥ ln 16

   4f(x)-1\ge 4\left(\frac14+\ln 2\right)-1=4\ln 2=\ln 2^4=\ln 16

   Înmulțim inegalitatea \(f(x)\ge \frac14+\ln 2\) cu 4 (număr pozitiv, sensul se păstrează) și scădem 1. Obținem \(4f(x)-1\ge 1+4\ln 2-1=4\ln 2\). Folosind \(a\ln b=\ln b^a\), avem \(4\ln 2=\ln 16\). Așadar inegalitatea este adevărată pentru orice \(x\in(0,+\infty)\).

Răspuns: Minimul lui f este f(2)=1/4+ln 2, deci 4f(x)-1 ≥ 4ln 2 = ln 16 pentru orice x>0.

Se consideră funcția \(f:(-3,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=3x+\dfrac{1}{\sqrt{x+3}}\). a) Arătați că \(\displaystyle\int_2^4\left(f(x)-\dfrac{1}{\sqrt{x+3}}\right)dx=18\).

Metoda: Integrarea funcției polinomiale

1. 1

   Simplificăm expresia de sub integrală

   f(x)-\frac{1}{\sqrt{x+3}}=3x+\frac{1}{\sqrt{x+3}}-\frac{1}{\sqrt{x+3}}=3x

   Înlocuim \(f(x)\) cu formula ei. Fracția \(\frac{1}{\sqrt{x+3}}\) apare cu plus și cu minus, deci se reduce. Rămâne doar \(3x\), a cărui primitivă o știm ușor. Astfel integrala devine \(\int_2^4 3x\,dx\).

2. 2

   Aflăm o primitivă și aplicăm formula Leibniz-Newton

   \int_2^4 3x\,dx=\left.\frac{3x^2}{2}\right|_2^4=\frac{3\cdot 4^2}{2}-\frac{3\cdot 2^2}{2}

   O primitivă a lui \(3x\) este \(\frac{3x^2}{2}\), pentru că derivata ei este \(\frac{3\cdot 2x}{2}=3x\). Formula Leibniz-Newton spune că integrala este valoarea primitivei în capătul de sus minus valoarea în capătul de jos.

3. 3

   Calculăm și tragem concluzia

   \frac{48}{2}-\frac{12}{2}=24-6=18

   Pentru \(x=4\) obținem \(\frac{3\cdot16}{2}=24\), iar pentru \(x=2\) obținem \(\frac{3\cdot4}{2}=6\). Diferența este \(24-6=18\), exact valoarea cerută, deci egalitatea este demonstrată.

Răspuns: \(\displaystyle\int_2^4\left(f(x)-\frac{1}{\sqrt{x+3}}\right)dx=\int_2^4 3x\,dx=18\), deci egalitatea este adevărată.

Se consideră funcția \(f:(-3,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=3x+\dfrac{1}{\sqrt{x+3}}\). b) Arătați că \(\displaystyle\int_{1}^{6}\left(f(x)-3x\right)dx=2\).

Metoda: Integrare cu formula de primitivă

1. 1

   Simplificăm funcția de integrat

   f(x)-3x=3x+\frac{1}{\sqrt{x+3}}-3x=\frac{1}{\sqrt{x+3}}

   Scădem \(3x\) din \(f(x)\). Termenii \(3x\) se reduc, deci rămâne doar fracția. Facem asta întâi pentru că integrala devine mult mai simplă.

2. 2

   Găsim o primitivă

   \int_{1}^{6}\frac{1}{\sqrt{x+3}}\,dx=\int_{1}^{6}2\cdot\frac{(x+3)'}{2\sqrt{x+3}}\,dx=2\sqrt{x+3}\Big|_{1}^{6}

   Știm că \((\sqrt{u})'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\). Pentru \(u=x+3\) avem \(u'=1\), deci \((\sqrt{x+3})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x+3}}\). Atunci \(\dfrac{1}{\sqrt{x+3}}=2\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x+3}}\), iar o primitivă este \(2\sqrt{x+3}\).

3. 3

   Aplicăm formula Leibniz-Newton

   2\sqrt{x+3}\Big|_{1}^{6}=2\sqrt{9}-2\sqrt{4}=6-4=2

   Calculăm primitiva în limita de sus (\(x=6\)) și scădem valoarea ei în limita de jos (\(x=1\)). Pentru \(x=6\): \(\sqrt{9}=3\), deci \(2\cdot3=6\). Pentru \(x=1\): \(\sqrt{4}=2\), deci \(2\cdot2=4\). Rezultatul este \(6-4=2\), cum se cerea.

Răspuns: \(\displaystyle\int_{1}^{6}\left(f(x)-3x\right)dx=2\)

Se consideră funcția \( f:(-3,+\infty)\to\mathbb{R} \), \( f(x)=3x+\dfrac{1}{\sqrt{x+3}} \). c) Determinați numărul real \( a \) pentru care \( \displaystyle\int_{-2}^{1}\frac{1}{x+3}\left(f(x)-\frac{1}{\sqrt{x+3}}\right)dx=9(a-2\ln 2) \).

Metoda: Calculul integralei definite

1. 1

   Simplificăm expresia din integral

   f(x)-\frac{1}{\sqrt{x+3}}=3x

   Scădem din \( f(x) \) termenul \( \frac{1}{\sqrt{x+3}} \). Rămâne doar \( 3x \), deci integrala devine \( \int_{-2}^{1}\frac{3x}{x+3}dx \). Facem asta ca să scăpăm de radical.

2. 2

   Scriem fracția sub formă convenabilă

   \frac{3x}{x+3}=\frac{3(x+3)-9}{x+3}=3-\frac{9}{x+3}

   Scriem \( 3x=3(x+3)-9 \). Împărțind la \( x+3 \) obținem \( 3-\frac{9}{x+3} \), o expresie ușor de integrat.

3. 3

   Calculăm integrala

   \int_{-2}^{1}\left(3-\frac{9}{x+3}\right)dx=\Big(3x-9\ln(x+3)\Big)\Big|_{-2}^{1}

   Primitiva lui \( 3 \) este \( 3x \), iar a lui \( \frac{9}{x+3} \) este \( 9\ln(x+3) \), pentru că \( x+3>0 \) pe interval. Aplicăm formula Leibniz-Newton.

4. 4

   Aplicăm limitele de integrare

   (3-9\ln 4)-(-6-9\ln 1)=9-9\ln 4=9(1-\ln 4)=9(1-2\ln 2)

   La \( x=1 \): \( 3-9\ln 4 \). La \( x=-2 \): \( -6-9\ln 1=-6 \). Diferența este \( 9-9\ln 4 \). Cum \( \ln 4=2\ln 2 \), obținem \( 9(1-2\ln 2) \).

5. 5

   Determinăm a

   9(1-2\ln 2)=9(a-2\ln 2)\Rightarrow a=1

   Egalăm rezultatul cu \( 9(a-2\ln 2) \). Împărțim la 9 și obținem \( 1-2\ln 2=a-2\ln 2 \), deci \( a=1 \).

Răspuns: \( a=1 \)