Matematică 2024

Ministerul Educației Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație Examenul național de bacalaureat 2024 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Varianta 9 Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Arătați că 6 − 2 5 + 5 ⋅ 2 − 5 = 1 .( ) 5p 2. Se consideră funcția f :ℝ → ℝ, f ( x ) = 2 x − 3 . Determinați numărul real a pentru care f ( a ) + f (1) = 0 . 5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 10 x −1 = 10−2 x ⋅102 . 5p 4. Determinați câte dintre numerele naturale de două cifre distincte, care se pot forma cu cifre din mulțimea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} , au ambele cifre pare. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 4,6 ) și B ( 6,0 ) . Determinați distanța dintre punctele B și M , unde punctul M este mijlocul segmentului OA . 5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , cu AC = 6 și aria egală cu 24 . Arătați că AB = 8 . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 1   x +1 x + 4  1. Se consideră matricele A =   și B ( x ) =   , unde x este număr real. 1 2   2x 4x − 3 5p a) Arătați că det A = 1 . 5p b) Determinați numărul real x pentru care det ( B ( x ) − xA ) = x . 5p c) Determinați numărul real x pentru care B ( x ) + B ( x + 2 ) = 2 A ⋅ A ⋅ A . 2. Se consideră polinomul f = X 3 + mX 2 − 2 X − 4 , unde m este număr real. 5p a) Pentru m = 6 , arătați că f (1) = 1 . 5p b) Determinați numărul real m pentru care ( x1 x2 x3 ) 2 = x1 + x2 + x3 + x1 x2 x3 , unde x1 , x2 și x3 sunt rădăcinile polinomului f . 5p c) Determinați rădăcinile polinomului f , știind că restul împărțirii lui f la polinomul X − 2 este egal cu 8 . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 3− x 1. Se consideră funcția f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = 2 + ln x . x x2 + x − 6 5p a) Arătați că f ' ( x ) = , x ∈ ( 0, +∞ ) . x3 5p b) Arătați că lim ( f ( x ) − ln x ) = 0 . x →+∞ 5p c) Arătați că 4 f ( x ) − 1 ≥ ln16 , pentru orice x ∈ ( 0, +∞ ) . 1 2. Se consideră funcția f : ( −3, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = 3 x + . x+3 4  1  5p a) Arătați că   f ( x ) −  dx = 18 . 2 x+3  6 5p b) Arătați că  ( f ( x ) − 3 x ) dx = 2 . 1 1 1  1  5p c) Determinați numărul real a pentru care   f ( x) −  dx = 9 ( a − 2ln 2 ) . −2 x + 3 x+3  Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 9 Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii Pagina 1 din 1