Rezolvare pas cu pas: Matematică – Mate-Info (M1) – Bacalaureat 2025, sesiunea iunie–iulie (rezervă) (varianta 05)

Arătați că \(2(\log_5 10-\log_5 2)+\log_5 25=4\).

Metoda: Proprietățile logaritmilor

1. 1

   Scriem fiecare termen în funcție de \(\log_5 5\)

   2(\log_5 10-\log_5 2)+\log_5 25=2\log_5 \frac{10}{2}+\log_5 5^2=2\log_5 5+2\log_5 5

   Diferența a doi logaritmi cu aceeași bază este logaritmul câtului: \(\log_a x-\log_a y=\log_a \frac{x}{y}\). Astfel \(\log_5 10-\log_5 2=\log_5 5\). Apoi scriem \(25=5^2\), pentru ca baza și numărul să fie legate între ele. Baremul scrie direct \(2\log_5 5+\log_5 5^2\).

2. 2

   Folosim \(\log_5 5=1\) și \(\log_a x^n=n\log_a x\)

   2\log_5 5+\log_5 5^2=2\cdot 1+2\cdot 1=2+2=4

   Avem \(\log_5 5=1\), pentru că \(5^1=5\). Pentru al doilea termen, exponentul \(2\) iese în fața logaritmului: \(\log_5 5^2=2\log_5 5=2\). Deci primul termen dă \(2\cdot 1=2\), iar al doilea dă \(2\), iar suma este \(4\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: Am obținut \(2(\log_5 10-\log_5 2)+\log_5 25=2\cdot 1+2=4\), deci egalitatea este adevărată.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x-4\). Determinați numărul real \(m\) pentru care \(f(2+m)=2-m\).

Metoda: Înlocuire în funcție și ecuație

1. 1

   Calculăm f(2+m)

   f(2+m)=(2+m)-4=m-2

   Funcția \(f\) spune: ia numărul din paranteză și scade 4. Aici numărul din paranteză este \(2+m\), deci îl punem în locul lui \(x\): \(f(2+m)=(2+m)-4=m-2\). Această egalitate este adevărată pentru orice număr real \(m\).

2. 2

   Scriem ecuația

   m-2=2-m

   Condiția din enunț este \(f(2+m)=2-m\). Înlocuim în partea stângă ce am obținut la pasul anterior și rezultă o ecuație cu necunoscuta \(m\).

3. 3

   Rezolvăm ecuația

   m-2=2-m \Rightarrow 2m=4 \Rightarrow m=2

   Adunăm \(m\) în ambele părți ca să strângem necunoscutele într-o singură parte: \(2m-2=2\). Apoi adunăm 2 în ambele părți: \(2m=4\). În final împărțim la 2 și obținem \(m=2\).

4. 4

   Verificăm rezultatul

   f(2+2)=f(4)=4-4=0, \quad 2-m=2-2=0

   Pentru \(m=2\) obținem \(f(4)=0\), iar partea dreaptă \(2-m=0\). Cele două valori coincid, deci \(m=2\) este corect.

Răspuns: m = 2

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(8^x \cdot 2^{1-x} = 2^7\).

Metoda: Ecuație exponențială, aceeași bază

1. 1

   Scriem 8 ca putere a lui 2

   8 = 2^3 \Rightarrow 8^x = (2^3)^x = 2^{3x}

   Pentru a putea compara puterile, toate trebuie să aibă aceeași bază. Cum \(8 = 2^3\), folosim regula \((a^m)^n = a^{mn}\) și obținem \(8^x = 2^{3x}\).

2. 2

   Folosim regula produsului de puteri

   2^{3x} \cdot 2^{1-x} = 2^{3x+1-x} = 2^{2x+1}

   Când înmulțim puteri cu aceeași bază, adunăm exponenții: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\). Aici exponentul devine \(3x + 1 - x = 2x + 1\).

3. 3

   Egalăm exponenții

   2^{2x+1} = 2^7 \Rightarrow 2x+1 = 7

   Funcția \(t \mapsto 2^t\) este injectivă (strict crescătoare), deci dacă două puteri ale lui 2 sunt egale, exponenții sunt egali. Așadar \(2x+1 = 7\).

4. 4

   Rezolvăm ecuația de gradul I

   2x + 1 = 7 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3

   Scădem 1 din ambii membri și obținem \(2x = 6\), apoi împărțim la 2. Verificare: \(8^3 \cdot 2^{1-3} = 512 \cdot \frac{1}{4} = 128 = 2^7\).

Răspuns: x = 3

Se consideră mulțimea \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\). Determinați câte dintre numerele naturale de trei cifre distincte, care se pot forma cu cifre din mulțimea \(A\), sunt divizibile cu \(5\).

Metoda: Regula produsului (numărare)

1. 1

   Cifra unităților

   \overline{abc},\quad c=5

   Un număr este divizibil cu \(5\) doar dacă ultima cifră este \(0\) sau \(5\). Cum \(0\notin A\), cifra unităților trebuie să fie \(5\). Deci cifra unităților se poate alege într-un singur mod.

2. 2

   Cifra sutelor

   a\in A\setminus\{5\}

   Cifrele trebuie să fie distincte, iar \(5\) a fost deja folosită la unități. Rămân \(6-1=5\) cifre pentru cifra sutelor: \(1,2,3,4,6\).

3. 3

   Cifra zecilor

   b\in A\setminus\{a,5\}

   Acum sunt folosite două cifre (cea a sutelor și \(5\)). Pentru cifra zecilor rămân \(6-2=4\) cifre, pentru fiecare alegere a cifrei sutelor.

4. 4

   Regula produsului

   1\cdot 5\cdot 4=20

   Alegerile se fac una după alta, iar numărul de posibilități la un pas nu depinde de ce cifră am ales exact înainte. De aceea înmulțim: \(1\cdot5\cdot4=20\). Deci există \(20\) de numere.

Răspuns: Se pot forma \(20\) de numere.

În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(0,1)\), \(B(2,0)\) și \(C(4,6)\). Determinați ecuația dreptei \(d\) ce trece prin punctul \(A\) și este paralelă cu dreapta \(BC\).

Metoda: Panta dreptei paralele

1. 1

   Calculăm panta dreptei BC

   m_{BC}=\frac{y_C-y_B}{x_C-x_B}=\frac{6-0}{4-2}=3

   Panta unei drepte care trece prin două puncte se află ca raport între diferența ordonatelor și diferența absciselor: \(m_{BC}=\frac{y_C-y_B}{x_C-x_B}\). Înlocuim \(B(2,0)\) și \(C(4,6)\) și obținem \(m_{BC}=\frac{6}{2}=3\).

2. 2

   Panta dreptei paralele d

   d\parallel BC \Rightarrow m_d=m_{BC}=3

   Dreptele paralele au pantele egale. Cum \(d\) este paralelă cu \(BC\), obținem \(m_d=3\).

3. 3

   Scriem ecuația dreptei d

   y-y_A=m_d(x-x_A)\Rightarrow y-1=3(x-0)\Rightarrow y=3x+1

   Dreapta care trece prin \(A(x_A,y_A)\) și are panta \(m\) are ecuația \(y-y_A=m(x-x_A)\). Cu \(A(0,1)\) și \(m=3\) obținem \(y-1=3(x-0)\), adică \(y=3x+1\).

Răspuns: Ecuația dreptei \(d\) este \(y=3x+1\).

Se consideră expresia \(E(x)=\operatorname{tg}x\cdot\left(\cos\frac{3x}{4}\right)^2-\cos\frac{x}{2}\), unde \(x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\). Arătați că \(E\left(\frac{\pi}{3}\right)=0\).

Metoda: Calcul direct cu valori trigonometrice

1. 1

   Înlocuim x cu π/3

   E\left(\frac{\pi}{3}\right)=\operatorname{tg}\frac{\pi}{3}\cdot\left(\cos\frac{3\cdot\frac{\pi}{3}}{4}\right)^2-\cos\frac{\frac{\pi}{3}}{2}

   Punem \(x=\frac{\pi}{3}\) peste tot. Observăm că \(\frac{\pi}{3}\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\), deci valoarea este permisă. Apoi \(\frac{3x}{4}=\frac{3\cdot\pi/3}{4}=\frac{\pi}{4}\) și \(\frac{x}{2}=\frac{\pi}{6}\).

2. 2

   Folosim valorile cunoscute

   E\left(\frac{\pi}{3}\right)=\operatorname{tg}\frac{\pi}{3}\cdot\cos^2\frac{\pi}{4}-\cos\frac{\pi}{6},\quad \operatorname{tg}\frac{\pi}{3}=\sqrt3,\ \cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2},\ \cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}

   Acestea sunt valori din tabelul unghiurilor remarcabile, pe care trebuie să le știi pe de rost. Le înlocuim în expresie.

3. 3

   Calculăm și obținem 0

   E\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt3\cdot\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2-\frac{\sqrt3}{2}=\sqrt3\cdot\frac12-\frac{\sqrt3}{2}=0

   Ridicăm la pătrat: \(\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2=\frac{2}{4}=\frac12\). Apoi \(\sqrt3\cdot\frac12=\frac{\sqrt3}{2}\), iar scăzând \(\frac{\sqrt3}{2}\) rămâne 0, exact ce trebuia arătat.

Răspuns: E(π/3) = √3 · 1/2 − √3/2 = 0, deci egalitatea este demonstrată.

Se consideră matricea \(A(a)=\begin{pmatrix} a & 1 & -2 \\ 0 & a & 1 \\ 2 & 4 & 1 \end{pmatrix}\) și sistemul de ecuații \(\begin{cases} ax+y-2z=4 \\ ay+z=1 \\ 2x+4y+z=4 \end{cases}\), unde \(a\) este număr real. a) Arătați că \(\det(A(1))=3\).

Metoda: Regula lui Sarrus pentru determinant

1. 1

   Scriem matricea A(1)

   A(1)=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \end{pmatrix}

   Matricea \(A(a)\) depinde de parametrul \(a\), care apare pe diagonala principală (primele două elemente) . Pentru \(\det(A(1))\) înlocuim \(a=1\) peste tot unde apare \(a\): în poziția (1,1) și în poziția (2,2). Celelalte elemente rămân neschimbate.

2. 2

   Calculăm determinantul cu regula lui Sarrus

   \det(A(1))=1\cdot1\cdot1+0\cdot4\cdot(-2)+2\cdot1\cdot1-(-2)\cdot1\cdot2-1\cdot4\cdot1-0\cdot1\cdot1=1+0+2+4-4-0=3

   Regula lui Sarrus: adunăm produsele elementelor de pe diagonala principală și de pe cele două paralele cu ea, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și de pe cele două paralele cu ea. Termenii cu plus sunt \(1\cdot1\cdot1=1\), \(1\cdot1\cdot2=2\) și \((-2)\cdot0\cdot4=0\). Termenii cu minus sunt \((-2)\cdot1\cdot2=-4\), \(1\cdot1\cdot4=4\) și \(1\cdot0\cdot1=0\). Deci determinantul este \(1+2+0-(-4)-4-0\), adică \(1+0+2+4-4-0=3\).

Răspuns: \(\det(A(1))=3\), exact ce trebuia arătat.

Se consideră matricea \( A(a)=\begin{pmatrix} a & 1 & -2 \\ 0 & a & 1 \\ 2 & 4 & 1 \end{pmatrix} \) și sistemul de ecuații \( \begin{cases} ax+y-2z=4 \\ ay+z=1 \\ 2x+4y+z=4 \end{cases} \), unde \(a\) este număr real. b) Arătați că sistemul de ecuații are soluție unică, pentru orice număr real \(a\).

Metoda: Determinantul matricei sistemului

1. 1

   Scriem condiția pentru soluție unică

   \det(A(a))\neq 0

   Matricea sistemului este \(A(a)\), formată din coeficienții necunoscutelor \(x,y,z\). Dacă determinantul ei este diferit de zero, matricea este inversabilă, iar sistemul este de tip Cramer: are o singură soluție. De aceea ne trebuie \(\det(A(a))\).

2. 2

   Calculăm determinantul lui A(a)

   \det(A(a))=\begin{vmatrix} a & 1 & -2 \\ 0 & a & 1 \\ 2 & 4 & 1 \end{vmatrix}=a\cdot a\cdot 1+1\cdot 1\cdot 2+(-2)\cdot 0\cdot 4-(-2)\cdot a\cdot 2-a\cdot 1\cdot 4-1\cdot 0\cdot 1=a^2+2+4a-4a=a^2+2

   Folosim regula lui Sarrus. Termenii cu semn plus sunt produsele pe diagonala principală și pe paralelele ei: \(a\cdot a\cdot 1\), \(1\cdot 1\cdot 2\), \((-2)\cdot 0\cdot 4\). Termenii cu semn minus vin de pe diagonala secundară și paralelele ei: \((-2)\cdot a\cdot 2=-4a\), \(a\cdot 1\cdot 4=4a\), \(1\cdot 0\cdot 1=0\). Termenii \(+4a\) și \(-4a\) se reduc, deci rămâne \(a^2+2\).

3. 3

   Arătăm că determinantul este nenul și concluzionăm

   a^2\ge 0 \Rightarrow a^2+2\ge 2>0 \Rightarrow \det(A(a))\neq 0

   Pătratul oricărui număr real este mai mare sau egal cu 0. Adunând 2, obținem \(a^2+2\ge 2\), deci expresia nu poate fi 0 pentru niciun \(a\) real. Determinantul sistemului fiind nenul, sistemul are soluție unică pentru orice \(a\in\mathbb{R}\).

Răspuns: \(\det(A(a))=a^2+2\neq 0\) pentru orice \(a\in\mathbb{R}\), deci sistemul are soluție unică pentru orice număr real \(a\).

Se consideră matricea \(A(a)=\begin{pmatrix} a & 1 & -2\\ 0 & a & 1\\ 2 & 4 & 1\end{pmatrix}\) și sistemul de ecuații \(\begin{cases} ax+y-2z=4\\ ay+z=1\\ 2x+4y+z=4\end{cases}\), unde \(a\) este număr real. Itemul 1. c): Determinați mulțimea numerelor reale \(a\) pentru care soluția \((x_0,y_0,z_0)\) a sistemului verifică inegalitatea \(y_0\ge 1\).

Metoda: Regula lui Cramer și inecuație de gradul II

1. 1

   Pregătim regula lui Cramer

   \det(A(a))=a^2+2,\qquad y_0=\frac{\Delta_y}{\det(A(a))}

   Determinantul matricei sistemului este \(\det(A(a))=a^2+2\), calculat la punctul b). Este diferit de 0 pentru orice \(a\), deci sistemul este compatibil determinat și putem aplica regula lui Cramer. Necunoscuta \(y_0\) este câtul dintre \(\Delta_y\) și \(\det(A(a))\). \(\Delta_y\) se obține din determinantul sistemului înlocuind coloana lui \(y\) (a doua) cu coloana termenilor liberi \((4,1,4)\).

2. 2

   Calculăm \(\Delta_y\)

   \Delta_y=\begin{vmatrix} a & 4 & -2\\ 0 & 1 & 1\\ 2 & 4 & 1\end{vmatrix}=12-3a

   Dezvoltăm determinantul după prima coloană (are un 0). Obținem \(a\cdot(1\cdot1-1\cdot4)+2\cdot(4\cdot1-(-2)\cdot1)\). Primul termen este \(a\cdot(-3)=-3a\). Al doilea este \(2\cdot 6=12\). Rezultă \(\Delta_y=12-3a\).

3. 3

   Scriem pe \(y_0\) și punem condiția

   y_0=\frac{12-3a}{a^2+2}\ge 1

   Din Cramer obținem \(y_0=\frac{12-3a}{a^2+2}\), pentru orice \(a\in\mathbb{R}\). Condiția din enunț este \(y_0\ge 1\), adică \(\frac{12-3a}{a^2+2}\ge 1\).

4. 4

   Rezolvăm inecuația

   12-3a\ge a^2+2\iff a^2+3a-10\le 0\iff (a+5)(a-2)\le 0\Rightarrow a\in[-5,2]

   Numitorul \(a^2+2\) este strict pozitiv, deci putem înmulți inegalitatea cu el fără să schimbăm sensul. Obținem \(12-3a\ge a^2+2\), adică \(a^2+3a-10\le 0\). Rădăcinile sunt \(-5\) și \(2\), pentru că \(\Delta=9+40=49\) și \(a=\frac{-3\pm7}{2}\). Parabola are ramurile în sus, deci expresia este \(\le 0\) între rădăcini, inclusiv în rădăcini. Rezultă \(a\in[-5,2]\).

Răspuns: \(a\in[-5,2]\)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă \(x*y=4-\frac{1}{2}(x-4)(y-4)\). a) Arătați că \(6*7=1\).

Metoda: Calcul direct cu legea de compoziție

1. 1

   Înlocuim x = 6 și y = 7 în formulă

   6*7=4-\frac{1}{2}(6-4)(7-4)

   Legea este definită prin formula \(x*y=4-\frac{1}{2}(x-4)(y-4)\). Ca să aflăm \(6*7\), punem 6 în locul lui x și 7 în locul lui y. Astfel obținem \(6*7=4-\frac{1}{2}(6-4)(7-4)\).

2. 2

   Calculăm parantezele și produsul

   6*7=4-\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 3=4-3

   Mai întâi calculăm parantezele: \(6-4=2\) și \(7-4=3\). Apoi înmulțim: \(\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 3=3\). Respectăm ordinea operațiilor: întâi înmulțirea, apoi scăderea din 4.

3. 3

   Scădem și obținem rezultatul

   4-3=1

   Ultimul calcul este \(4-3=1\). Deci \(6*7=1\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(6*7=4-\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 3=4-3=1\)

Subiectul II, 2. b): Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă \(x*y=4-\frac{1}{2}(x-4)(y-4)\). Determinați numărul real \(x\) pentru care \(x*(x+4)=6\).

Metoda: Calcul direct cu legea de compoziție

1. 1

   Înlocuim în formula legii

   x*(x+4)=4-\frac{1}{2}(x-4)(x+4-4)=4-\frac{1}{2}(x-4)x

   Legea spune că \(x*y=4-\frac{1}{2}(x-4)(y-4)\). Aici al doilea număr este \(y=x+4\), deci \(y-4=x+4-4=x\). Astfel paranteza a doua se simplifică și rămâne doar \(x\).

2. 2

   Rezolvăm ecuația

   4-\frac{1}{2}(x-4)x=6 \Rightarrow -\frac{1}{2}(x^2-4x)=2 \Rightarrow x^2-4x=-4 \Rightarrow x^2-4x+4=0 \Rightarrow (x-2)^2=0 \Rightarrow x=2

   Punem condiția \(x*(x+4)=6\). Scădem 4 din ambii membri: \(-\frac{1}{2}(x^2-4x)=2\). Înmulțim cu \(-2\): \(x^2-4x=-4\). Mutăm totul în stânga și obținem un pătrat perfect \((x-2)^2=0\), deci singura soluție este \(x=2\).

Răspuns: \(x=2\)

Subiectul II, 2. c): Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă \(x*y=4-\frac{1}{2}(x-4)(y-4)\). Determinați tripletele \((m,n,p)\) de numere naturale, cu \(m<n<p\), pentru care \(m*n*p=3\).

Metoda: Calcul în lege de compoziție asociativă

1. 1

   Calculăm \(m*n*p\)

   m*n*p=4+\frac{1}{4}(m-4)(n-4)(p-4)

   Calculăm \(m*n=4-\frac12(m-4)(n-4)\). Apoi \((m*n)*p=4-\frac12\left(m*n-4\right)(p-4)\). Dar \(m*n-4=-\frac12(m-4)(n-4)\). Deci \((m*n)*p=4-\frac12\cdot\left(-\frac12\right)(m-4)(n-4)(p-4)=4+\frac14(m-4)(n-4)(p-4)\). Facem asta pentru ca să avem o singură expresie pentru ecuație.

2. 2

   Scriem ecuația \(m*n*p=3\)

   4+\frac{1}{4}(m-4)(n-4)(p-4)=3\iff (m-4)(n-4)(p-4)=-4

   Scădem \(4\) din ambii membri: \(\frac14(m-4)(n-4)(p-4)=-1\). Înmulțim cu \(4\) și obținem produsul egal cu \(-4\).

3. 3

   Găsim factorii întregi cu produsul \(-4\)

   a=m-4<b=n-4<c=p-4,\quad a,b,c\ge -4,\quad abc=-4

   Din \(m<n<p\) rezultă \(a<b<c\), iar \(m\ge0\) dă \(a\ge-4\). Cum \(abc=-4\), numerele sunt divizori ai lui \(4\) și produsul este negativ, deci fie un factor negativ, fie trei. Trei negativi distincți din \(\{-1,-2,-4\}\) dau produs \(-8\), nu merge. Rămâne un singur factor negativ, iar ceilalți doi pozitivi distincți cu produs \(|{-4}|\) împărțit la factorul negativ. Cu \(a<0<b<c\): dacă \(a=-1\), \(bc=4\), deci \(b=1,c=4\). Dacă \(a=-2\), \(bc=2\), deci \(b=1,c=2\). Dacă \(a=-4\), \(bc=1\), dar \(b<c\) distincte nu merge.

4. 4

   Revenim la \(m,n,p\)

   (m,n,p)=(a+4,b+4,c+4)\Rightarrow (3,5,8),\ (2,5,6)

   Adunăm \(4\) la fiecare factor: din \((-1,1,4)\) obținem \((3,5,8)\), iar din \((-2,1,2)\) obținem \((2,5,6)\). Ambele sunt numere naturale cu \(m<n<p\), deci convin.

Răspuns: \((m,n,p)\in\{(2,5,6),\,(3,5,8)\}\)

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=(x-5)\sqrt{x^2+2}\). a) Arătați că \(f'(x)=\dfrac{2x^2-5x+2}{\sqrt{x^2+2}}\), \(x\in\mathbb{R}\).

Metoda: Derivata produsului de funcții

1. 1

   Aplicăm regula de derivare a produsului

   f'(x)=(x-5)'\sqrt{x^2+2}+(x-5)\left(\sqrt{x^2+2}\right)'

   Funcția \(f\) este produsul a două funcții, \(u(x)=x-5\) și \(v(x)=\sqrt{x^2+2}\). Pentru produs folosim formula \((uv)'=u'v+uv'\). Avem \(u'(x)=1\).

2. 2

   Derivăm radicalul

   \left(\sqrt{x^2+2}\right)'=\frac{(x^2+2)'}{2\sqrt{x^2+2}}=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+2}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+2}}

   Folosim formula \((\sqrt{w})'=\dfrac{w'}{2\sqrt{w}}\), unde \(w=x^2+2\) și \(w'=2x\). Se simplifică 2 la numărător cu 2 de la numitor.

3. 3

   Înlocuim în formula produsului

   f'(x)=\sqrt{x^2+2}+(x-5)\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2+2}}

   Punem rezultatele din pașii anteriori în \(f'(x)=u'v+uv'\): \(1\cdot\sqrt{x^2+2}\) plus \((x-5)\) înmulțit cu derivata radicalului.

4. 4

   Aducem la numitor comun și simplificăm

   f'(x)=\frac{x^2+2+x^2-5x}{\sqrt{x^2+2}}=\frac{2x^2-5x+2}{\sqrt{x^2+2}},\ x\in\mathbb{R}

   Scriem primul termen ca \(\dfrac{\sqrt{x^2+2}\cdot\sqrt{x^2+2}}{\sqrt{x^2+2}}=\dfrac{x^2+2}{\sqrt{x^2+2}}\). Adunăm fracțiile, iar la numărător avem \(x^2+2+x^2-5x=2x^2-5x+2\). Expresia \(x^2+2\) este mereu pozitivă, deci formula este valabilă pentru orice \(x\) real. Am obținut exact egalitatea cerută.

Răspuns: \(f'(x)=\dfrac{2x^2-5x+2}{\sqrt{x^2+2}}\), pentru orice \(x\in\mathbb{R}\), ceea ce trebuia arătat.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=(x-5)\sqrt{x^2+2}\). b) Determinați intervalele de monotonie a funcției \(f\).

Metoda: Semnul derivatei întâi

1. 1

   Reținem derivata de la punctul a)

   f'(x)=\frac{2x^2-5x+2}{\sqrt{x^2+2}},\ x\in\mathbb{R}

   De la punctul a) avem \(f'(x)=\dfrac{2x^2-5x+2}{\sqrt{x^2+2}}\) pentru orice \(x\in\mathbb{R}\). Folosim această formulă, deci nu mai derivăm încă o dată. Numitorul \(\sqrt{x^2+2}\) este mereu strict pozitiv, așa că semnul lui \(f'\) este dat doar de numărător, \(2x^2-5x+2\).

2. 2

   Rezolvăm ecuația \(f'(x)=0\)

   f'(x)=0\iff 2x^2-5x+2=0\iff x=\frac12\ \text{sau}\ x=2

   Punctele în care derivata poate schimba semnul sunt rădăcinile numărătorului. Calculăm discriminantul: \(\Delta=25-16=9\). Rădăcinile sunt \(x=\dfrac{5\pm 3}{4}\), adică \(x_1=\dfrac12\) și \(x_2=2\).

3. 3

   Studiem semnul derivatei

   \begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & & \frac12 & & 2 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \end{array}

   Numărătorul \(2x^2-5x+2\) are coeficientul dominant pozitiv (\(2>0\)). Deci este pozitiv în afara rădăcinilor și negativ între ele. Prin urmare, \(f'(x)\ge 0\) pe \((-\infty,\tfrac12]\), \(f'(x)\le 0\) pe \([\tfrac12,2]\) și \(f'(x)\ge 0\) pe \([2,+\infty)\).

4. 4

   Formulăm concluzia

   f\ \text{crescătoare pe}\ \left(-\infty,\tfrac12\right],\ \text{descrescătoare pe}\ \left[\tfrac12,2\right],\ \text{crescătoare pe}\ [2,+\infty)

   Din semnul lui \(f'\) rezultă monotonia: funcția crește pe \((-\infty,\tfrac12]\), scade pe \([\tfrac12,2]\) și crește din nou pe \([2,+\infty)\). Punctele \(x=\tfrac12\) (maxim local) și \(x=2\) (minim local) sunt cele în care monotonia se schimbă.

Răspuns: \(f\) este crescătoare pe \((-\infty,\tfrac12]\), descrescătoare pe \([\tfrac12,2]\) și crescătoare pe \([2,+\infty)\).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=(x-5)\sqrt{x^2+2}\). Arătați că \(\lim_{x\to+\infty}\left(\dfrac{x^2-5x}{f(x)}\right)^x=1\).

Metoda: Limită de tip \(1^\infty\)

1. 1

   Simplificăm fracția

   \frac{x^2-5x}{f(x)}=\frac{x(x-5)}{(x-5)\sqrt{x^2+2}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+2}}

   Dăm factor comun \(x\) la numărător: \(x^2-5x=x(x-5)\). La numitor avem \(f(x)=(x-5)\sqrt{x^2+2}\). Pentru \(x\to+\infty\) avem \(x\neq5\), deci putem simplifica prin \(x-5\). Rămâne \(\frac{x}{\sqrt{x^2+2}}\).

2. 2

   Ridicăm la putere și aducem la forma \(1-\frac{2}{x^2+2}\)

   \left(\frac{x}{\sqrt{x^2+2}}\right)^x=\left(\frac{x^2}{x^2+2}\right)^{\frac x2}=\left(1-\frac{2}{x^2+2}\right)^{\frac x2}

   Scriem \(\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+2}}\right)^x=\left(\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+2}}\right)^2\right)^{x/2}=\left(\frac{x^2}{x^2+2}\right)^{x/2}\). Apoi \(\frac{x^2}{x^2+2}=\frac{x^2+2-2}{x^2+2}=1-\frac{2}{x^2+2}\). Baza tinde la 1, iar exponentul la \(+\infty\): avem cazul de nedeterminare \(1^\infty\).

3. 3

   Aplicăm limita remarcabilă

   \lim_{x\to+\infty}\left(\left(1-\frac{2}{x^2+2}\right)^{-\frac{x^2+2}{2}}\right)^{-\frac{x}{x^2+2}}

   Scriem exponentul \(\frac x2\) ca produs: \(\frac x2=-\frac{x^2+2}{2}\cdot\left(-\frac{x}{x^2+2}\right)\). Cum \(-\frac{2}{x^2+2}\to0\), expresia \(\left(1-\frac{2}{x^2+2}\right)^{-\frac{x^2+2}{2}}\) tinde la \(e\) (limita \((1+u)^{1/u}\to e\) pentru \(u\to0\), cu \(u=-\frac{2}{x^2+2}\)). Deci limita este \(e^{L}\), unde \(L\) este limita exponentului rămas.

4. 4

   Calculăm limita exponentului și încheiem

   \lim_{x\to+\infty}\left(-\frac{x}{x^2+2}\right)=0\ \Rightarrow\ \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x^2-5x}{f(x)}\right)^x=e^0=1

   Numitorul \(x^2+2\) crește mult mai repede decât numărătorul \(x\), deci fracția \(-\frac{x}{x^2+2}\) tinde la 0 (grade: 1 la numărător, 2 la numitor). Rezultă \(e^0=1\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\lim_{x\to+\infty}\left(\dfrac{x^2-5x}{f(x)}\right)^x=e^0=1\).

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=8x^3+1+\ln^2 x\). a) Arătați că \(\int_1^2 \left(f(x)-\ln^2 x\right)dx=31\).

Metoda: Calculul integralei definite

1. 1

   Simplificăm funcția de integrat

   f(x)-\ln^2 x=8x^3+1+\ln^2 x-\ln^2 x=8x^3+1

   Înlocuim \(f(x)\) cu expresia dată. Termenii \(\ln^2 x\) se reduc, deci rămâne doar \(8x^3+1\). Așa evităm o integrală complicată cu logaritm.

2. 2

   Aflăm o primitivă

   \int (8x^3+1)\,dx=2x^4+x+C

   Folosim \(\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\). Pentru \(8x^3\) obținem \(8\cdot\frac{x^4}{4}=2x^4\), iar pentru \(1\) obținem \(x\). Deci o primitivă este \(2x^4+x\).

3. 3

   Aplicăm formula Leibniz-Newton

   \int_1^2 (8x^3+1)\,dx=\left(2x^4+x\right)\Big|_1^2=(2\cdot 16+2)-(2\cdot 1+1)=34-3=31

   Calculăm primitiva în capătul de sus (\(x=2\)) și scădem valoarea ei în capătul de jos (\(x=1\)). Pentru \(x=2\): \(2\cdot 2^4+2=34\). Pentru \(x=1\): \(2+1=3\). Diferența este \(31\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\int_1^2 \left(f(x)-\ln^2 x\right)dx=\left(2x^4+x\right)\Big|_1^2=34-3=31\).

Se consideră funcția \( f:(0,+\infty)\to\mathbb{R} \), \( f(x)=8x^3+1+\ln^2 x \). b) Arătați că \( \int_1^e \frac{f(x)-8x^3-1}{x}\,dx=\frac{1}{3} \).

Metoda: Integrare prin schimbare de variabilă

1. 1

   Simplificăm expresia de sub integrală

   f(x)-8x^3-1=\ln^2 x

   Înlocuim \( f(x)=8x^3+1+\ln^2 x \). Termenii \( 8x^3 \) și \( 1 \) se reduc, deci rămâne doar \( \ln^2 x \). Așadar integrala devine \( \int_1^e \frac{\ln^2 x}{x}\,dx \).

2. 2

   Observăm derivata lui ln x

   \frac{\ln^2 x}{x}=\ln^2 x\cdot(\ln x)'

   Cum \( (\ln x)'=\frac{1}{x} \), putem scrie \( \frac{\ln^2 x}{x}=\ln^2 x\cdot(\ln x)' \). Este forma \( u^2\cdot u' \), cu \( u=\ln x \), a cărei primitivă este \( \frac{u^3}{3} \).

3. 3

   Calculăm integrala

   \int_1^e \ln^2 x\,(\ln x)'\,dx=\left.\frac{\ln^3 x}{3}\right|_1^e=\frac{\ln^3 e}{3}-\frac{\ln^3 1}{3}

   Aplicăm formula \( \int u^2u'\,dx=\frac{u^3}{3} \) și folosim limitele 1 și e. Avem \( \ln e=1 \) și \( \ln 1=0 \), deci rezultatul este \( \frac{1}{3}-0=\frac{1}{3} \), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \( \int_1^e \frac{f(x)-8x^3-1}{x}\,dx=\frac{1}{3} \)

Subiectul III, 2. c): Pentru fiecare număr natural nenul \(n\) se consideră numărul \(I_n=\int_1^{e^2}\frac{x(\ln x)^n}{f(x)-8x^3}\,dx\), unde \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=8x^3+1+\ln^2 x\). Demonstrați că \(I_{n+2}+I_n\le 2^{n-1}\left(e^4-1\right)\), pentru orice număr natural nenul \(n\).

Metoda: Majorare sub integrală

1. 1

   Simplificăm numitorul

   f(x)-8x^3=1+\ln^2 x \;\Rightarrow\; I_n=\int_1^{e^2}\frac{x(\ln x)^n}{1+\ln^2 x}\,dx

   Din \(f(x)=8x^3+1+\ln^2 x\) scădem \(8x^3\) și rămâne \(1+\ln^2 x\). Astfel integrala are un numitor mult mai simplu, care se va putea reduce la adunare.

2. 2

   Calculăm suma \(I_{n+2}+I_n\)

   I_{n+2}+I_n=\int_1^{e^2}\frac{x(\ln x)^{n+2}+x(\ln x)^n}{1+\ln^2 x}\,dx=\int_1^{e^2}\frac{x(\ln x)^n\left(\ln^2 x+1\right)}{1+\ln^2 x}\,dx=\int_1^{e^2}x(\ln x)^n\,dx

   Ambele integrale au același interval și același numitor, deci le adunăm sub o singură integrală. La numărător dăm factor comun \(x(\ln x)^n\) și rămâne \(\ln^2 x+1\), care se simplifică cu numitorul.

3. 3

   Majorăm \((\ln x)^n\)

   x\in[1,e^2]\Rightarrow 0\le \ln x\le 2\Rightarrow (\ln x)^n\le 2^n \;\Rightarrow\; x(\ln x)^n\le 2^n x

   Logaritmul este crescător, deci pe \([1,e^2]\) avem \(\ln 1=0\le \ln x\le \ln e^2=2\). Ridicând la puterea \(n\) (valori nenegative) obținem \((\ln x)^n\le 2^n\). Înmulțim cu \(x>0\) și inegalitatea se păstrează. Apoi integrăm inegalitatea, deoarece integrala păstrează ordinea.

4. 4

   Integrăm și obținem rezultatul

   I_{n+2}+I_n\le 2^n\int_1^{e^2}x\,dx=2^n\cdot\frac{x^2}{2}\Big|_1^{e^2}=2^{n-1}\left(e^4-1\right)

   Scoatem constanta \(2^n\) în fața integralei. Primitiva lui \(x\) este \(\frac{x^2}{2}\), iar între limitele 1 și \(e^2\) obținem \(\frac{e^4-1}{2}\). Deci \(2^n\cdot\frac{e^4-1}{2}=2^{n-1}(e^4-1)\), exact cum cerea enunțul.

Răspuns: Am obținut \(I_{n+2}+I_n=\int_1^{e^2}x(\ln x)^n\,dx\le 2^{n-1}\left(e^4-1\right)\), pentru orice \(n\in\mathbb{N}^*\), ceea ce trebuia demonstrat.