Matematică 2025

Ministerul Educației și Cercetării Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare Examenul național de bacalaureat 2025 Proba E. c) Matematică M_mate-info Varianta 5 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Arătați că 2 ( log5 10 − log5 2 ) + log5 25 = 4 . 5p 2. Se consideră funcția f :ℝ → ℝ, f ( x ) = x − 4 . Determinați numărul real m pentru care f ( 2 + m) = 2 − m . 5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 8 x ⋅ 21− x = 2 7 . 5p 4. Se consideră mulțimea A = {1,2,3,4,5,6} . Determinați câte dintre numerele naturale de trei cifre distincte, care se pot forma cu cifre din mulțimea A , sunt divizibile cu 5 . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 0,1) , B ( 2,0 ) și C ( 4,6 ) . Determinați ecuația dreptei d ce trece prin punctul A și este paralelă cu dreapta BC . 2  3x  x  π π  5p 6. Se consideră expresia E ( x ) = tg x ⋅  cos  − cos , unde x ∈  0,  . Arătați că E   = 0 .  4  2  2  3 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  a 1 −2   ax + y − 2 z = 4    1. Se consideră matricea A ( a ) =  0 a 1  și sistemul de ecuații  ay + z = 1 , unde a este 2 4 1  2 x + 4 y + z = 4    număr real. 5p a) Arătați că det ( A (1) ) = 3 . 5p b) Arătați că sistemul de ecuații are soluție unică, pentru orice număr real a . 5p c) Determinați mulțimea numerelor reale a pentru care soluția ( x0 , y0 , z0 ) a sistemului de ecuații verifică inegalitatea y0 ≥ 1 . 2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă 1 x ∗ y = 4 − ( x − 4 )( y − 4 ) . 2 5p a) Arătați că 6 ∗ 7 = 1 . 5p b) Determinați numărul real x pentru care x ∗ ( x + 4 ) = 6 . 5p c) Determinați tripletele ( m, n, p ) de numere naturale, cu m < n < p , pentru care m ∗ n ∗ p = 3 . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = ( x − 5 ) x 2 + 2 . 2 x2 − 5x + 2 5p a) Arătați că f ' ( x ) = , x ∈ℝ . x2 + 2 5p b) Determinați intervalele de monotonie a funcției f . x  x2 − 5x  5p c) Arătați că lim   = 1 . x →+∞  f ( x )  2. Se consideră funcția f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = 8 x3 + 1 + ln 2 x . 2 5p ( ) a) Arătați că  f ( x ) − ln 2 x dx = 31 . 1 Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 5 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 1 din 2  Ministerul Educației și Cercetării Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare e f ( x ) − 8 x3 − 1 1 5p b) Arătați că  dx = . 1 x 3 e2 x ( ln x ) n 5p c) Pentru fiecare număr natural nenul n se consideră numărul I n =  dx . Demonstrați că 1 f ( x ) − 8x 3 ( ) I n + 2 + I n ≤ 2n −1 e4 − 1 , pentru orice număr natural nenul n . Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 5 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 2 din 2