Rezolvare pas cu pas: Matematică – Mate-Info (M1) – Bacalaureat 2025, simulare

Determinați termenul \(b_1\) al progresiei geometrice \((b_n)_{n\geq 1}\), în care \(b_3 = 40\) și \(b_4 = 80\).

Metoda: Rația progresiei geometrice

1. 1

   Aflăm rația progresiei

   q=\frac{b_4}{b_3}=\frac{80}{40}=2

   Într-o progresie geometrică \(b_4=b_3\cdot q\). De aici rezultă \(q=\frac{b_4}{b_3}\). Împărțim deci termenul al patrulea la al treilea și obținem rația \(q=2\).

2. 2

   Revenim la primul termen

   b_3=b_1\cdot q^2 \Rightarrow b_1=\frac{b_3}{q^2}=\frac{40}{4}=10

   Formula termenului general este \(b_n=b_1\cdot q^{n-1}\). Pentru \(n=3\) obținem \(b_3=b_1\cdot q^2\). Știm \(b_3=40\) și \(q=2\), deci \(q^2=4\) și \(b_1=\frac{40}{4}=10\).

3. 3

   Verificăm rezultatul

   b_1=10,\ b_2=20,\ b_3=40,\ b_4=80

   Pornim de la \(b_1=10\) și înmulțim succesiv cu \(2\). Obținem \(20\), apoi \(40\), apoi \(80\), adică exact datele problemei. Deci rezultatul este corect.

Răspuns: \(b_1 = 10\)

Determinați mulțimea numerelor reale \(m\) pentru care graficul funcției \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^2-2x+m\), intersectează axa \(Ox\) în două puncte distincte.

Metoda: Discriminantul ecuației de gradul II

1. 1

   Legăm intersecția cu axa Ox de ecuația f(x)=0

   f(x)=0 \iff x^2-2x+m=0

   Punctele de pe axa \(Ox\) au ordonata 0. Intersecția graficului cu \(Ox\) înseamnă deci soluțiile ecuației \(f(x)=0\). Două puncte distincte înseamnă două soluții reale distincte.

2. 2

   Calculăm discriminantul

   \Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot1\cdot m=4-4m

   În ecuația \(x^2-2x+m=0\) avem \(a=1\), \(b=-2\), \(c=m\). O ecuație de gradul II are două soluții reale distincte exact când \(\Delta>0\).

3. 3

   Rezolvăm inegalitatea Δ>0

   4-4m>0 \iff m<1

   Din \(4-4m>0\) obținem \(4>4m\), deci \(m<1\). Împărțim la 4, care este pozitiv, deci sensul inegalității nu se schimbă.

Răspuns: \(m\in(-\infty,1)\)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(3^x+2\cdot 3^{x+1}=63\).

Metoda: Ecuație exponențială, factor comun

1. 1

   Scriem \(3^{x+1}\) cu ajutorul lui \(3^x\)

   3^{x+1}=3^x\cdot 3 \Rightarrow 3^x+2\cdot 3\cdot 3^x=63

   Folosim regula \(a^{m+n}=a^m\cdot a^n\). Astfel \(3^{x+1}=3^x\cdot 3^1=3\cdot 3^x\). Acum ambii termeni conțin \(3^x\), deci îi putem aduna ușor.

2. 2

   Adunăm termenii asemenea

   3^x+6\cdot 3^x=63 \Rightarrow 7\cdot 3^x=63 \Rightarrow 3^x=9

   Avem \(1\cdot 3^x+6\cdot 3^x=7\cdot 3^x\). Împărțim apoi la 7 și obținem \(3^x=9\). (Baremul scrie direct \(3^x+6\cdot 3^x=63\), deci \(3^x=9\).)

3. 3

   Aflăm x

   3^x=9=3^2 \Rightarrow x=2

   Scriem 9 ca putere a lui 3: \(9=3^2\). Funcția exponențială cu baza 3 este injectivă, deci dacă bazele sunt egale, exponenții sunt egali: \(x=2\).

4. 4

   Verificare

   3^2+2\cdot 3^{3}=9+54=63

   Înlocuim \(x=2\) în ecuația inițială: \(3^2=9\), iar \(3^{x+1}=3^3=27\), deci \(2\cdot 27=54\). Suma este 63, deci soluția este corectă.

Răspuns: \(x=2\)

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr \(n\) din mulțimea numerelor naturale de două cifre, \(n^2\) să fie număr natural de trei cifre.

Metoda: Probabilitate: cazuri favorabile / posibile

1. 1

   Cazurile posibile

   90

   Numerele naturale de două cifre sunt \(10, 11, \dots, 99\). Numărul lor este \(99-10+1=90\). Fiecare dintre ele poate fi ales, deci avem 90 de cazuri posibile.

2. 2

   Condiția ca \(n^2\) să aibă trei cifre

   100 \le n^2 \le 999 \iff 10^2 \le n^2 \le 31^2

   Un număr natural are trei cifre dacă este între 100 și 999. Cum \(10^2=100\) și \(31^2=961<999\), dar \(32^2=1024\) are patru cifre, rămâne \(10 \le n \le 31\). Cum \(n\) este pozitiv, putem trece de la pătrate la numere.

3. 3

   Cazurile favorabile

   31-10+1=22

   Numerele \(n\) cu \(10 \le n \le 31\) sunt toate de două cifre, deci sunt valide. Numărul lor este \(31-10+1=22\). Acestea sunt cazurile favorabile.

4. 4

   Calculul probabilității

   p=\frac{22}{90}=\frac{11}{45}

   Probabilitatea este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și al celor posibile: \(\frac{22}{90}\). Simplificăm prin 2 și obținem \(\frac{11}{45}\).

Răspuns: \(p=\dfrac{11}{45}\)

În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(1,2)\), \(B(7,4)\) și \(C\), astfel încât \(\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AC}\). Determinați coordonatele punctului \(D\) pentru care \(\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{CB}\).

Metoda: Vectori în reperul cartezian

1. 1

   Exprimăm CB în funcție de AB

   \overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AC}\Rightarrow \overrightarrow{AC}=\tfrac12\overrightarrow{AB}\Rightarrow \overrightarrow{CB}=\tfrac12\overrightarrow{AB}

   Din \(\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AC}\) rezultă \(\overrightarrow{AC}=\tfrac12\overrightarrow{AB}\), deci C este mijlocul segmentului AB. Atunci \(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\tfrac12\overrightarrow{AB}\). Facem asta ca să nu mai fie nevoie să aflăm coordonatele lui C.

2. 2

   Calculăm vectorul AB

   \overrightarrow{AB}=(7-1)\vec i+(4-2)\vec j=6\vec i+2\vec j

   Coordonatele vectorului \(\overrightarrow{AB}\) se obțin scăzând coordonatele originii A din cele ale vârfului B: \(x_B-x_A\) și \(y_B-y_A\).

3. 3

   Aflăm OD și coordonatele lui D

   \overrightarrow{OD}=\overrightarrow{CB}=\tfrac12(6\vec i+2\vec j)=3\vec i+\vec j\Rightarrow D(3,1)

   Cum \(\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{CB}=\tfrac12\overrightarrow{AB}\), înmulțim ambele coordonate cu \(\tfrac12\). Deoarece O este originea, coordonatele vectorului \(\overrightarrow{OD}\) sunt chiar coordonatele punctului D.

Răspuns: \(D(3,1)\)

Se consideră triunghiul ascuțitunghic \(ABC\), cu \(AB=10\), înălțimea \(AD=8\) și distanța de la punctul \(D\) la dreapta \(AC\) egală cu \(4\sqrt{2}\). Arătați că aria triunghiului \(ABC\) este egală cu 56.

Metoda: Teorema lui Pitagora, triunghiuri dreptunghice

1. 1

   Aflăm BD cu teorema lui Pitagora

   BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{100-64}=6

   Deoarece \(AD\) este înălțime, \(AD\perp BC\), deci triunghiul \(ABD\) este dreptunghic în \(D\), cu ipotenuza \(AB=10\). Aplicăm teorema lui Pitagora: \(BD^2=AB^2-AD^2=100-64=36\), deci \(BD=6\).

2. 2

   Aflăm DC din triunghiul ADC

   AC=\frac{AD\cdot DC}{4\sqrt{2}}\ \Rightarrow\ AC^2=AD^2+DC^2

   Fie \(DE\perp AC\), \(E\in AC\), cu \(DE=4\sqrt{2}\). În triunghiul \(ADE\), dreptunghic în \(E\): \(AE=\sqrt{AD^2-DE^2}=\sqrt{64-32}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\). Deci \(AE=DE\), triunghiul \(ADE\) este dreptunghic isoscel, iar \(\angle DAC=45^\circ\). Atunci în triunghiul \(ADC\), dreptunghic în \(D\), unghiul \(\angle DAC=45^\circ\), deci \(DC=AD=8\).

3. 3

   Calculăm BC și aria

   BC=BD+DC=6+8=14,\quad \mathcal{A}_{ABC}=\frac{BC\cdot AD}{2}=\frac{14\cdot 8}{2}=56

   Triunghiul este ascuțitunghic, deci piciorul înălțimii \(D\) se află pe segmentul \(BC\), între \(B\) și \(C\). Astfel \(BC=BD+DC=14\). Aria este baza înmulțită cu înălțimea, împărțită la 2.

Răspuns: Aria triunghiului \(ABC\) este \(56\).

Se consideră matricea \(A(a)=\begin{pmatrix} a & 1 & -a \\ 3 & 1 & -2 \\ 1 & -3 & a \end{pmatrix}\) și sistemul de ecuații \(\begin{cases} ax+y-az=1 \\ 3x+y-2z=1 \\ x-3y+az=-3 \end{cases}\), unde \(a\) este număr real. a) Arătați că \(\det(A(0))=-2\).

Metoda: Calculul determinantului de ordin 3

1. 1

   Scriem matricea A(0)

   A(0)=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & -2 \\ 1 & -3 & 0 \end{pmatrix}

   Matricea \(A(a)\) depinde de parametrul \(a\). Ca să obținem \(A(0)\), înlocuim peste tot \(a\) cu \(0\). Elementele \(a\) și \(-a\) din prima linie devin \(0\), iar elementul \(a\) din dreapta jos devine tot \(0\). Celelalte elemente nu se schimbă.

2. 2

   Aplicăm regula lui Sarrus

   \det(A(0))=\begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & -2 \\ 1 & -3 & 0 \end{vmatrix}=0\cdot1\cdot0+1\cdot(-2)\cdot1+3\cdot(-3)\cdot0-0\cdot1\cdot1-1\cdot3\cdot0-0\cdot(-3)\cdot(-2)

   Regula lui Sarrus: adunăm produsele elementelor de pe diagonala principală și de pe cele două paralele cu ea, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei. Aici multe produse conțin factorul \(0\), deci dispar.

3. 3

   Calculăm și concluzionăm

   \det(A(0))=0-2+0-0-0-0=-2

   Adunăm și scădem rezultatele celor șase produse: doar \(-2\) este diferit de zero, deci determinantul este \(-2\), exact cât trebuia arătat.

Răspuns: \(\det(A(0))=-2\)

Se consideră matricea \(A(a)=\begin{pmatrix} a & 1 & -a \\ 3 & 1 & -2 \\ 1 & -3 & a \end{pmatrix}\) și sistemul de ecuații \(\begin{cases} ax+y-az=1 \\ 3x+y-2z=1 \\ x-3y+az=-3 \end{cases}\), unde \(a\) este număr real. b) Determinați mulțimea numerelor reale \(a\) pentru care sistemul are soluție unică.

Metoda: Determinantul matricei sistemului

1. 1

   Calculăm determinantul matricei

   \det(A(a))=\begin{vmatrix} a & 1 & -a \\ 3 & 1 & -2 \\ 1 & -3 & a \end{vmatrix}=a^2+a-2

   Folosim regula lui Sarrus. Produsele de pe diagonala principală și paralelele ei: \(a\cdot 1\cdot a + 1\cdot(-2)\cdot 1 + (-a)\cdot 3\cdot(-3) = a^2-2+9a\). Produsele de pe diagonala secundară și paralelele ei: \((-a)\cdot 1\cdot 1 + a\cdot(-2)\cdot(-3) + 1\cdot 3\cdot a = -a+6a+3a=8a\). Scădem: \(a^2+9a-2-8a=a^2+a-2\). Determinantul este nenul exact când sistemul (de tip Cramer) are o singură soluție, de aceea îl calculăm.

2. 2

   Aflăm când determinantul este zero

   a^2+a-2=0 \Rightarrow a_1=-2,\ a_2=1

   Sistemul nu are soluție unică exact pentru valorile lui \(a\) care anulează determinantul. Rezolvăm ecuația de gradul II: \(\Delta=1+8=9\), deci \(a=\frac{-1\pm 3}{2}\), adică \(a=1\) sau \(a=-2\). Se poate și factoriza: \(a^2+a-2=(a+2)(a-1)\).

3. 3

   Formulăm concluzia

   a\in\mathbb{R}\setminus\{-2,\,1\}

   Sistemul are soluție unică exact când \(\det(A(a))\neq 0\), deci când \(a\neq -2\) și \(a\neq 1\). Prin urmare, \(a\) poate fi orice număr real, în afară de \(-2\) și \(1\). Pentru a=1 sistemul are mai multe soluții (vezi punctul c), iar pentru a=-2 determinantul este tot 0, deci nu avem soluție unică.

Răspuns: \(a\in\mathbb{R}\setminus\{-2,\,1\}\)

Pentru \(a=1\), determinați soluțiile \((x_1,y_1,z_1)\) și \((x_2,y_2,z_2)\) ale sistemului de ecuații \(\begin{cases} ax+y-az=1\\ 3x+y-2z=1\\ x-3y+az=-3\end{cases}\) pentru care \(y_1=x_2\) și \(z_1=y_2\).

Metoda: Sistem compatibil simplu nedeterminat

1. 1

   Scriem sistemul pentru a = 1

   \begin{cases} x+y-z=1\\ 3x+y-2z=1\\ x-3y+z=-3\end{cases}

   Înlocuim \(a=1\) în sistem. Obținem un sistem cu coeficienți numerici, mai ușor de rezolvat. Determinantul \(a^2+a-2\) se anulează pentru \(a=1\), deci sistemul nu are soluție unică și trebuie să-i descriem toate soluțiile.

2. 2

   Aflăm soluțiile sistemului în funcție de un parametru

   (x,y,z)=(\alpha,\ \alpha+1,\ 2\alpha),\ \alpha\in\mathbb{R}

   Scădem prima ecuație din a doua: \(2x-z=0\), deci \(z=2x\). Înlocuim în prima ecuație: \(x+y-2x=1\), deci \(y=x+1\). Verificăm a treia ecuație: \(x-3(x+1)+2x=-3\), adevărat pentru orice \(x\). Notăm \(x=\alpha\) și obținem toate soluțiile sistemului.

3. 3

   Punem condițiile y₁ = x₂ și z₁ = y₂

   \alpha_1+1=\alpha_2,\quad 2\alpha_1=\alpha_2+1

   Prima soluție este \((\alpha_1,\alpha_1+1,2\alpha_1)\), a doua este \((\alpha_2,\alpha_2+1,2\alpha_2)\). Condiția \(y_1=x_2\) înseamnă \(\alpha_1+1=\alpha_2\). Condiția \(z_1=y_2\) înseamnă \(2\alpha_1=\alpha_2+1\). Rezolvăm acest sistem de două ecuații cu necunoscutele \(\alpha_1\) și \(\alpha_2\). Înlocuim \(\alpha_2=\alpha_1+1\) în a doua ecuație: \(2\alpha_1=\alpha_1+2\), deci \(\alpha_1=2\) și \(\alpha_2=3\).

4. 4

   Scriem cele două soluții și verificăm

   (x_1,y_1,z_1)=(2,3,4),\quad (x_2,y_2,z_2)=(3,4,6)

   Pentru \(\alpha_1=2\) obținem \((2,\,3,\,4)\). Pentru \(\alpha_2=3\) obținem \((3,\,4,\,6)\). Verificăm condițiile: \(y_1=3=x_2\) și \(z_1=4=y_2\). Verificăm și că \((2,3,4)\) satisface sistemul: \(2+3-4=1\), \(6+3-8=1\), \(2-9+4=-3\).

Răspuns: Soluțiile sunt \((2,3,4)\) și \((3,4,6)\).

Pe mulțimea \(M=(0,+\infty)\) se definește legea de compoziție \(x*y=\sqrt{xy}+\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{x+y}{2}-2\). a) Arătați că \(1*4=3\).

Metoda: Calcul direct prin înlocuire

1. 1

   Înlocuim x=1 și y=4 în formulă

   1*4=\sqrt{1\cdot 4}+\frac{1}{\sqrt{1\cdot 4}}+\frac{1+4}{2}-2

   Legea \(x*y\) ne spune ce să facem cu oricare două numere din M. Punem peste tot \(x=1\) și \(y=4\). Ambele numere sunt pozitive, deci aparțin lui M și radicalii au sens.

2. 2

   Calculăm fiecare termen

   \sqrt{4}=2,\quad \frac{1}{\sqrt{4}}=\frac12,\quad \frac{1+4}{2}=\frac52

   Calculăm pe rând termenii: \(\sqrt{4}=2\), apoi inversul lui este \(\frac12\), iar media aritmetică \(\frac{1+4}{2}\) este \(\frac52\). Rămâne și termenul \(-2\) de la final.

3. 3

   Adunăm și obținem rezultatul

   1*4=2+\frac12+\frac52-2=3

   Adunăm: \(\frac12+\frac52=\frac62=3\). Apoi \(2+3-2=3\). Am obținut exact valoarea cerută, deci \(1*4=3\).

Răspuns: Am obținut \(1*4=2+\frac12+\frac52-2=3\), deci egalitatea este demonstrată.

Subiectul al II-lea, 2. Pe mulțimea \(M=(0,+\infty)\) se definește legea de compoziție \(x*y=\sqrt{xy}+\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{x+y}{2}-2\). b) Determinați \(x\in M\) pentru care \(x*x=1\).

Metoda: Calcul direct și ecuație de gradul II

1. 1

   Calculăm x*x

   x*x=\sqrt{x\cdot x}+\frac{1}{\sqrt{x\cdot x}}+\frac{x+x}{2}-2

   Înlocuim y cu x în formula legii. Cum x>0, avem \(\sqrt{x^2}=x\) (nu |x|, dar pentru x pozitiv e același lucru). Așadar \(x*x=x+\frac{1}{x}+x-2\).

2. 2

   Aducem la numitor comun

   x*x=2x+\frac{1}{x}-2=\frac{2x^2-2x+1}{x}

   Adunăm termenii x și x, apoi scriem totul pe același numitor x. Rezultă \(x*x=\frac{2x^2-2x+1}{x}\), pentru orice \(x\in M\), ca în barem.

3. 3

   Punem condiția x*x=1 și obținem ecuația

   \frac{2x^2-2x+1}{x}=1\ \Rightarrow\ 2x^2-3x+1=0

   Egalăm cu 1 și înmulțim cu x, care este nenul (x>0). Avem \(2x^2-2x+1=x\), deci \(2x^2-3x+1=0\).

4. 4

   Rezolvăm ecuația de gradul II

   \Delta=9-8=1,\quad x=\frac{3\pm1}{4}\Rightarrow x=1\text{ sau }x=\frac12

   Calculăm discriminantul: \(b^2-4ac=9-8=1\). Apoi \(x_{1,2}=\frac{3\pm1}{4}\), deci x=1 sau x=1/2. Ambele sunt pozitive, deci aparțin lui M și convin. Verificăm: pentru x=1/2, \(\frac{2\cdot\frac14-1+1}{\frac12}=\frac{1/2}{1/2}=1\); pentru x=1, \(\frac{2-2+1}{1}=1\).

Răspuns: x = 1/2 sau x = 1

Subiectul II, 2. c): Pe mulțimea \(M=(0,+\infty)\) se definește legea de compoziție \(x*y=\sqrt{xy}+\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{x+y}{2}-2\). Demonstrați că mulțimea \([1,+\infty)\) este parte stabilă a lui \(M\) în raport cu legea de compoziție „\(*\)”.

Metoda: Scriere ca pătrat perfect și minorare

1. 1

   Ce înseamnă parte stabilă

   x,y\in[1,+\infty)\Rightarrow x*y\in[1,+\infty)

   O parte \(H\) a lui \(M\) este stabilă față de legea „\(*\)” dacă, luând două elemente oarecare din \(H\), rezultatul compunerii rămâne în \(H\). Aici \(H=[1,+\infty)\), așa că trebuie să arătăm că \(x*y\ge 1\) pentru orice \(x,y\ge 1\). Observăm și că \(x*y\) este definit, pentru că \(xy>0\).

2. 2

   Rescriem legea cu un pătrat perfect

   x*y=\frac{\left(\sqrt{xy}-1\right)^2}{\sqrt{xy}}+\frac{x+y}{2}

   Dezvoltăm: \(\dfrac{(\sqrt{xy}-1)^2}{\sqrt{xy}}=\dfrac{xy-2\sqrt{xy}+1}{\sqrt{xy}}=\sqrt{xy}-2+\dfrac{1}{\sqrt{xy}}\). Deci termenii \(\sqrt{xy}+\dfrac1{\sqrt{xy}}-2\) din definiție formează exact această fracție. Rămâne \(\dfrac{x+y}{2}\), iar așa putem vedea semnul expresiei. Avem \(x*y=\dfrac{(\sqrt{xy}-1)^2}{\sqrt{xy}}+\dfrac{x+y}{2}\), pentru orice \(x,y\in M\).

3. 3

   Minorăm și tragem concluzia

   x*y\ge\frac{x+y}{2}\ge 1

   Fracția \(\dfrac{(\sqrt{xy}-1)^2}{\sqrt{xy}}\) este \(\ge 0\): numărătorul este un pătrat, iar numitorul \(\sqrt{xy}\) este pozitiv. Deci \(x*y\ge\dfrac{x+y}{2}\). Dacă \(x,y\in[1,+\infty)\), atunci \(x\ge1\) și \(y\ge1\), deci \(x+y\ge2\) și \(\dfrac{x+y}{2}\ge1\). Rezultă \(x*y\ge1\), adică \(x*y\in[1,+\infty)\). Prin urmare \([1,+\infty)\) este parte stabilă a lui \(M\) în raport cu „\(*\)”.

Răspuns: Pentru orice \(x,y\in[1,+\infty)\) avem \(x*y\ge\dfrac{x+y}{2}\ge1\), deci \(x*y\in[1,+\infty)\). Așadar \([1,+\infty)\) este parte stabilă a lui \(M\) în raport cu legea „\(*\)”.

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{2x-2}{x+2}+\ln\dfrac{x+2}{x}\). a) Arătați că \(f'(x)=\dfrac{4(x-1)}{x(x+2)^2}\), \(x\in(0,+\infty)\).

Metoda: Derivata sumei, apoi numitor comun

1. 1

   Derivăm fracția

   \left(\frac{2x-2}{x+2}\right)'=\frac{2(x+2)-(2x-2)}{(x+2)^2}=\frac{6}{(x+2)^2}

   Folosim formula de derivare a câtului: \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\), cu \(u=2x-2\) și \(v=x+2\). Avem \(u'=2\) și \(v'=1\). La numărător: \(2(x+2)-(2x-2)=2x+4-2x+2=6\).

2. 2

   Derivăm logaritmul

   \left(\ln\frac{x+2}{x}\right)'=\frac{x}{x+2}\cdot\frac{x-(x+2)}{x^2}=\frac{x}{x+2}\cdot\frac{-2}{x^2}=-\frac{2}{x(x+2)}

   Derivata lui \(\ln u\) este \(\dfrac{u'}{u}\), deci \((\ln u)'=\dfrac{1}{u}\cdot u'\), unde \(u=\dfrac{x+2}{x}\). Inversul lui \(u\) este \(\dfrac{x}{x+2}\). Derivata lui \(u\) este \(\dfrac{1\cdot x-(x+2)\cdot 1}{x^2}=\dfrac{-2}{x^2}\). Apoi simplificăm cu \(x\).

3. 3

   Adunăm și aducem la numitor comun

   f'(x)=\frac{6}{(x+2)^2}-\frac{2}{x(x+2)}=\frac{6x-2(x+2)}{x(x+2)^2}=\frac{4x-4}{x(x+2)^2}=\frac{4(x-1)}{x(x+2)^2}

   Numitorul comun este \(x(x+2)^2\). Prima fracție se amplifică cu \(x\), a doua cu \((x+2)\). La numărător: \(6x-2(x+2)=6x-2x-4=4x-4=4(x-1)\). Am obținut exact expresia cerută, pentru orice \(x>0\).

Răspuns: \(f'(x)=\dfrac{4(x-1)}{x(x+2)^2}\), pentru orice \(x\in(0,+\infty)\), ceea ce trebuia demonstrat.

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{2x-2}{x+2}+\ln\dfrac{x+2}{x}\). b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre \(+\infty\) la graficul funcției \(f\).

Metoda: Limita funcției la +∞

1. 1

   Ce trebuie să calculăm

   y=l,\quad l=\lim_{x\to+\infty}f(x)

   Graficul se apropie tot mai mult de o dreaptă orizontală când \(x\) devine foarte mare. Dacă limita lui \(f\) la \(+\infty\) este un număr real \(l\), atunci dreapta \(y=l\) este asimptotă orizontală spre \(+\infty\). De aceea calculăm limita.

2. 2

   Limita primului termen

   \lim_{x\to+\infty}\frac{2x-2}{x+2}=2

   La numărător și la numitor, termenii de grad maxim sunt \(2x\) și \(x\). Raportul coeficienților dominanți este \(\frac{2}{1}=2\). Putem și să împărțim sus și jos la \(x\): \(\frac{2-\frac{2}{x}}{1+\frac{2}{x}}\to\frac{2}{1}=2\).

3. 3

   Limita logaritmului

   \lim_{x\to+\infty}\ln\frac{x+2}{x}=\ln\left(\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)\right)=\ln 1=0

   Scriem \(\frac{x+2}{x}=1+\frac{2}{x}\). Când \(x\to+\infty\), \(\frac{2}{x}\to 0\), deci expresia tinde la \(1\). Fiindcă \(\ln\) este continuă în \(1\), limita este \(\ln 1=0\).

4. 4

   Adunăm limitele și scriem asimptota

   \lim_{x\to+\infty}f(x)=2+0=2\Rightarrow y=2

   Limita sumei este suma limitelor, deoarece ambele există și sunt finite: \(2+0=2\). Limita este număr real, deci dreapta \(y=2\) este asimptota orizontală spre \(+\infty\), ca în barem.

Răspuns: Asimptota orizontală spre \(+\infty\) are ecuația \(y=2\).

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{2x-2}{x+2}+\ln\dfrac{x+2}{x}\). Subiectul III, 1. c): Determinați numerele naturale \(n\) pentru care ecuația \(f(x)=n\) nu are soluții.

Metoda: Monotonie și mulțimea valorilor

1. 1

   Semnul derivatei și monotonia

   f'(x)=\frac{4(x-1)}{x(x+2)^2},\quad f'(x)=0\iff x=1

   La punctul a) am arătat că \(f'(x)=\dfrac{4(x-1)}{x(x+2)^2}\). Pe \((0,+\infty)\) numitorul \(x(x+2)^2\) este pozitiv, deci semnul derivatei este semnul lui \(x-1\). Pentru \(x\in(0,1]\) avem \(f'(x)\le 0\), deci f este descrescătoare pe \((0,1]\). Pentru \(x\in[1,+\infty)\) avem \(f'(x)\ge 0\), deci f este crescătoare pe \([1,+\infty)\). Rezultă că \(x=1\) este punct de minim.

2. 2

   Limita la 0 și valoarea minimă

   \lim_{x\to 0^+}f(x)=+\infty,\qquad f(1)=0+\ln 3=\ln 3

   Când \(x\to0^+\), primul termen \(\dfrac{2x-2}{x+2}\) tinde la \(-1\), iar \(\dfrac{x+2}{x}\to+\infty\), deci \(\ln\dfrac{x+2}{x}\to+\infty\). Rezultă \(\lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty\). Valoarea minimă este \(f(1)=\dfrac{2-2}{3}+\ln 3=\ln 3\). De la punctul b) știm și că \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=2\).

3. 3

   Mulțimea valorilor și concluzia

   f\big((0,+\infty)\big)=[\ln 3,+\infty),\quad 1<\ln 3<2\Rightarrow n\in\{0,1\}

   Funcția f este continuă. Pe \((0,1]\) ea scade de la \(+\infty\) la \(\ln 3\), deci ia toate valorile din \([\ln 3,+\infty)\). Pe \([1,+\infty)\) crește de la \(\ln 3\) spre 2, deci nu ia valori mai mici decât \(\ln 3\). Mulțimea valorilor este deci \([\ln 3,+\infty)\). Ecuația \(f(x)=n\) nu are soluții când \(n<\ln 3\). Avem \(1<\ln 3<2\) (pentru că \(e<3<e^2\)). Numerele naturale mai mici decât \(\ln 3\) sunt 0 și 1, în timp ce \(n\ge 2\) este în mulțimea valorilor. Deci \(n=0\) sau \(n=1\).

Răspuns: \(n\in\{0,1\}\)

Se consideră funcția \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=\frac{x^2}{2x^2+1} \). Arătați că \( \int_{-1}^{2}(2x^2+1)f(x)\,dx=3 \).

Metoda: Simplificare și integrală de putere

1. 1

   Simplificăm expresia de sub integrală

   (2x^2+1)\cdot\frac{x^2}{2x^2+1}=x^2

   Înlocuim \(f(x)\) cu formula ei. Numitorul \(2x^2+1\) este strict pozitiv pentru orice \(x\) real, deci nu se anulează și putem simplifica fracția. Rămâne \(x^2\), iar integrala devine \(\int_{-1}^{2}x^2\,dx\).

2. 2

   Calculăm integrala lui x²

   \int_{-1}^{2}x^2\,dx=\frac{x^3}{3}\Big|_{-1}^{2}

   O primitivă a lui \(x^2\) este \(\frac{x^3}{3}\), pentru că derivata ei este \(x^2\). Aplicăm formula Leibniz-Newton: valoarea primitivei în capătul de sus minus valoarea ei în capătul de jos.

3. 3

   Înlocuim limitele și obținem rezultatul

   \frac{2^3}{3}-\frac{(-1)^3}{3}=\frac{8}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{8}{3}+\frac{1}{3}=\frac{9}{3}=3

   În limita de sus \(x=2\) obținem \(\frac{8}{3}\), iar în limita de jos \(x=-1\) obținem \(-\frac{1}{3}\). Scăzând, minusul de la scădere și minusul din \(-\frac13\) dau plus, deci adunăm fracțiile. Rezultatul este 3, exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \( \int_{-1}^{2}(2x^2+1)f(x)\,dx=\int_{-1}^{2}x^2\,dx=\frac{8}{3}+\frac{1}{3}=3 \)

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{x^2}{2x^2+1}\). b) Arătați că \(\displaystyle\int_0^2 \sqrt{f(x)}\,dx = 1\).

Metoda: Integrare prin formula derivatei radicalului

1. 1

   Simplificăm radicalul

   \sqrt{f(x)}=\sqrt{\frac{x^2}{2x^2+1}}=\frac{|x|}{\sqrt{2x^2+1}}=\frac{x}{\sqrt{2x^2+1}},\ x\in[0,2]

   Rădăcina unui raport este raportul rădăcinilor: \(\sqrt{x^2}=|x|\). Deoarece integrăm pe intervalul \([0,2]\), unde \(x\ge 0\), avem \(|x|=x\). Numitorul \(2x^2+1\) este mereu pozitiv, deci radicalul este bine definit.

2. 2

   Recunoaștem derivata radicalului

   \left(\sqrt{2x^2+1}\right)'=\frac{4x}{2\sqrt{2x^2+1}}=\frac{2x}{\sqrt{2x^2+1}}\ \Rightarrow\ \frac{x}{\sqrt{2x^2+1}}=\frac12\left(\sqrt{2x^2+1}\right)'

   Derivata lui \(\sqrt{u}\) este \(\frac{u'}{2\sqrt{u}}\). Pentru \(u=2x^2+1\) avem \(u'=4x\), deci derivata este \(\frac{2x}{\sqrt{2x^2+1}}\). Funcția noastră are doar \(x\) la numărător, adică jumătate din aceasta. Deci \(\frac{x}{\sqrt{2x^2+1}}\) are primitiva \(\frac12\sqrt{2x^2+1}\).

3. 3

   Calculăm integrala cu formula Leibniz-Newton

   \int_0^2\frac{x}{\sqrt{2x^2+1}}\,dx=\frac12\sqrt{2x^2+1}\,\Big|_0^2=\frac12\sqrt{9}-\frac12\sqrt{1}

   Aplicăm formula \(\int_a^b g(x)dx=G(b)-G(a)\), unde \(G(x)=\frac12\sqrt{2x^2+1}\). La \(x=2\) avem \(2\cdot 4+1=9\), iar la \(x=0\) avem \(1\).

4. 4

   Concluzia

   \frac32-\frac12=1

   Scăzând cele două valori obținem exact numărul cerut, deci egalitatea este demonstrată.

Răspuns: \(\int_0^2\sqrt{f(x)}\,dx=\frac32-\frac12=1\), deci egalitatea este demonstrată.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{x^2}{2x^2+1}\). Pentru fiecare număr natural nenul \(n\) se consideră numărul \(I_n=\displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^n}{f\left(\sqrt{e^x}\right)}\,dx\). Arătați că \((n+1)I_n-I_{n+1}=\dfrac{2(n+1)}{n+2}+\dfrac{1}{e}\), pentru orice număr natural nenul \(n\).

Metoda: Integrare prin recunoașterea unei derivate

1. 1

   Simplificăm \(1/f(\sqrt{e^x})\)

   f(\sqrt{e^x})=\frac{e^x}{2e^x+1}\ \Rightarrow\ \frac{1}{f(\sqrt{e^x})}=\frac{2e^x+1}{e^x}=2+e^{-x}

   Înlocuim \(x\) cu \(\sqrt{e^x}\) în \(f\). Cum \((\sqrt{e^x})^2=e^x\), obținem \(f(\sqrt{e^x})=\dfrac{e^x}{2e^x+1}\). Inversăm fracția și o împărțim: \(\dfrac{2e^x+1}{e^x}=2+e^{-x}\). Așa scăpăm de fracție și integrala devine \(I_n=\int_0^1 x^n(2+e^{-x})\,dx\).

2. 2

   Formăm combinația \((n+1)I_n-I_{n+1}\)

   (n+1)I_n-I_{n+1}=\int_0^1\big((n+1)x^n-x^{n+1}\big)(2+e^{-x})\,dx

   Avem \(I_n=\int_0^1 x^n(2+e^{-x})dx\) și \(I_{n+1}=\int_0^1 x^{n+1}(2+e^{-x})dx\). Integralele au aceleași limite, deci le putem scrie sub o singură integrală. Factorul comun \(2+e^{-x}\) rămâne în afară.

3. 3

   Partea cu 2: integrală de polinoame

   2\int_0^1\big((n+1)x^n-x^{n+1}\big)dx=2\left(x^{n+1}-\frac{x^{n+2}}{n+2}\right)\Big|_0^1=2-\frac{2}{n+2}=\frac{2(n+1)}{n+2}

   Primitiva lui \((n+1)x^n\) este \(x^{n+1}\), iar a lui \(x^{n+1}\) este \(\dfrac{x^{n+2}}{n+2}\). La limita 0 totul este 0, iar la limita 1 rămâne \(1-\dfrac{1}{n+2}\). Înmulțim cu 2 și aducem la numitor comun: \(2-\dfrac{2}{n+2}=\dfrac{2(n+2)-2}{n+2}=\dfrac{2(n+1)}{n+2}\).

4. 4

   Partea cu \(e^{-x}\): recunoaștem o derivată

   \big((n+1)x^n-x^{n+1}\big)e^{-x}=\big(x^{n+1}e^{-x}\big)'\ \Rightarrow\ \int_0^1\big(x^{n+1}e^{-x}\big)'dx=x^{n+1}e^{-x}\Big|_0^1=\frac1e

   Derivăm produsul \(x^{n+1}e^{-x}\): \((n+1)x^ne^{-x}+x^{n+1}\cdot(-e^{-x})=\big((n+1)x^n-x^{n+1}\big)e^{-x}\). Este exact funcția de integrat, deci integrala este diferența valorilor produsului la capete. La 1 avem \(1^{n+1}e^{-1}=\dfrac1e\), iar la 0 avem \(0\cdot 1=0\). Rezultatul este \(\dfrac1e\).

5. 5

   Adunăm cele două părți

   (n+1)I_n-I_{n+1}=\frac{2(n+1)}{n+2}+\frac1e

   Integrala totală este suma celor două integrale: partea cu 2 a dat \(\dfrac{2(n+1)}{n+2}\), iar partea cu \(e^{-x}\) a dat \(\dfrac1e\). Am obținut exact egalitatea cerută, valabilă pentru orice \(n\) natural nenul.

Răspuns: \((n+1)I_n-I_{n+1}=\dfrac{2(n+1)}{n+2}+\dfrac1e\), pentru orice număr natural nenul \(n\).