Matematică 2025

Ministerul Educației și Cercetării Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație Examenul național de bacalaureat 2025 Proba E. c) Matematică M_mate-info Simulare Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică  Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.  Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Determinați termenul b1 al progresiei geometrice  bn  n1 , în care b3  40 și b4  80 . 5p 2. Determinați mulțimea numerelor reale m pentru care graficul funcției f :ℝ  ℝ, f  x   x  2 x  m intersectează axa Ox în două puncte distincte. 2 5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3 x  2  3 x1  63 . 5p 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea numerelor naturale de două cifre, n 2 să fie număr natural de trei cifre.   5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A 1, 2  , B  7, 4  și C , astfel încât AB  2 AC .   Determinați coordonatele punctului D pentru care OD  CB . 5p 6. Se consideră triunghiul ascuțitunghic ABC , cu AB  10 , înălțimea AD  8 și distanța de la punctul D la dreapta AC egală cu 4 2 . Arătați că aria triunghiului ABC este egală cu 56 . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  a 1 a   ax  y  az  1    1. Se consideră matricea A  a    3 1 2  și sistemul de ecuații  3 x  y  2 z  1 , unde a este  1 3 a   x  3 y  az  3    număr real. 5p a) Arătați că det  A  0    2 . 5p b) Determinați mulțimea numerelor reale a pentru care sistemul are soluție unică. 5p c) Pentru a  1 , determinați soluțiile  x1 , y1 , z1  și  x2 , y2 , z2  ale sistemului de ecuații pentru care y1  x2 și z1  y2 . 1 x y 2. Pe mulțimea M   0,   se definește legea de compoziție x  y  xy   2. xy 2 5p a) Arătați că 1  4  3 . 5p b) Determinați x  M pentru care x  x  1 . 5p c) Demonstrați că mulțimea 1,   este parte stabilă a mulțimii M în raport cu legea de compoziție „  ”. SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 2x  2 x2 1. Se consideră funcția f :  0,    ℝ , f  x    ln . x2 x 4  x  1 5p a) Arătați că f '  x   , x   0,   . x  x  2 2 5p b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre  la graficul funcției f . 5p c) Determinați numerele naturale n pentru care ecuația f  x   n nu are soluții. Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 1 din 2  Ministerul Educației și Cercetării Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație x2 2. Se consideră funcția f : ℝ  ℝ , f  x   . 2 x2  1 2 5p   a) Arătați că  2 x 2  1 f  x  dx  3 . 1 2 5p b) Arătați că  f  x dx  1 . 0 1 xn 5p c) Pentru fiecare număr natural nenul n se consideră numărul I n   dx . Arătați că 0 f   ex 2  n  1 1  n  1 I n  I n1   , pentru orice număr natural nenul n . n2 e Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 2 din 2