Rezolvare pas cu pas: Matematică – Mate-Info (M1) – Bacalaureat 2025, sesiunea specială (varianta 03)

Determinați termenul \(b_1\) al progresiei geometrice \((b_n)_{n\ge 1}\), în care \(b_2 = 20\) și \(b_3 = 100\).

Metoda: Rația progresiei geometrice

1. 1

   Aflăm rația progresiei

   q=\frac{b_3}{b_2}=\frac{100}{20}=5

   Într-o progresie geometrică avem \(b_3 = b_2 \cdot q\). De aici rezultă \(q = \frac{b_3}{b_2}\). Înlocuim: \(q = \frac{100}{20} = 5\).

2. 2

   Aflăm primul termen

   b_1=\frac{b_2}{q}=\frac{20}{5}=4

   Avem \(b_2 = b_1 \cdot q\), deci \(b_1 = \frac{b_2}{q}\). Cu \(q = 5\) obținem \(b_1 = \frac{20}{5} = 4\).

3. 3

   Verificăm rezultatul

   4\cdot 5=20,\quad 20\cdot 5=100

   Pornim de la \(b_1 = 4\) și înmulțim cu rația 5. Obținem \(b_2 = 20\), apoi \(b_3 = 100\), exact ca în enunț.

Răspuns: \(b_1 = 4\)

Se consideră funcțiile \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=4x+3\) și \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(g(x)=x-3\). Determinați numărul real \(a\) pentru care \(f(a)=g(a)\).

Metoda: Rezolvarea unei ecuații de gradul I

1. 1

   Calculăm f(a) și g(a)

   f(a)=4a+3,\quad g(a)=a-3

   Funcțiile sunt definite pe \(\mathbb{R}\), deci putem înlocui \(x\) cu orice număr real, inclusiv cu \(a\). Obținem \(f(a)=4a+3\) și \(g(a)=a-3\), pentru orice \(a\) real.

2. 2

   Scriem ecuația f(a)=g(a)

   4a+3=a-3

   Condiția din enunț este \(f(a)=g(a)\). Egalăm cele două expresii calculate la pasul anterior și obținem o ecuație de gradul I în necunoscuta \(a\).

3. 3

   Rezolvăm ecuația

   4a-a=-3-3 \Rightarrow 3a=-6 \Rightarrow a=-2

   Mutăm termenii cu \(a\) în stânga și numerele în dreapta (schimbându-le semnul): \(4a-a=-3-3\). Rezultă \(3a=-6\), apoi împărțim la 3 și obținem \(a=-2\).

4. 4

   Verificăm rezultatul

   f(-2)=4\cdot(-2)+3=-5,\quad g(-2)=-2-3=-5

   Înlocuim \(a=-2\) în ambele funcții. Ambele dau \(-5\), deci cele două valori coincid și răspunsul este corect.

Răspuns: \(a=-2\)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(9^x \cdot 3^3 = 3^{x+2}\).

Metoda: Ecuație exponențială, aceeași bază

1. 1

   Aducem totul la baza 3

   9^x=(3^2)^x=3^{2x}

   Observăm că \(9=3^2\). Deci \(9^x=(3^2)^x=3^{2x}\). Facem asta ca să avem aceeași bază 3 peste tot în ecuație.

2. 2

   Folosim produsul de puteri cu aceeași bază

   3^{2x}\cdot 3^3=3^{2x+3}

   Ecuația devine \(3^{2x}\cdot 3^3=3^{x+2}\). La înmulțirea puterilor cu aceeași bază adunăm exponenții: \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\). Obținem \(3^{2x+3}=3^{x+2}\).

3. 3

   Egalăm exponenții

   2x+3=x+2

   Două puteri ale lui 3 sunt egale doar dacă exponenții sunt egali (funcția \(t\mapsto 3^t\) este injectivă). Deci \(2x+3=x+2\).

4. 4

   Rezolvăm ecuația de gradul I

   2x-x=2-3 \Rightarrow x=-1

   Mutăm termenii cu \(x\) în stânga și numerele în dreapta: \(2x-x=2-3\), deci \(x=-1\). Verificare: stânga \(9^{-1}\cdot 27=3\), dreapta \(3^{1}=3\). Se potrivește.

Răspuns: \(x=-1\)

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr \(n\) din mulțimea numerelor naturale de două cifre, \(\sqrt{n}\) să fie număr natural par.

Metoda: Probabilitate: cazuri favorabile/posibile

1. 1

   Numărăm cazurile posibile

   10,11,\dots,99 \Rightarrow 99-10+1=90

   Numerele naturale de două cifre sunt de la \(10\) la \(99\). Numărul lor este \(99-10+1=90\). Acestea sunt cazurile posibile.

2. 2

   Numărăm cazurile favorabile

   n=k^2,\ k\text{ par},\ 10\le k^2\le 99 \Rightarrow k\in\{4,6,8\}

   Ca \(\sqrt{n}\) să fie număr natural par, \(n\) trebuie să fie pătratul unui număr par \(k\). Din \(10\le k^2\le 99\) rezultă \(4\le k\le 9\) (căci \(3^2=9\) are o cifră, iar \(10^2=100\) are trei). Numerele pare din acest interval sunt \(4,6,8\). Obținem \(n=16,36,64\), deci 3 cazuri favorabile.

3. 3

   Calculăm probabilitatea

   p=\frac{3}{90}=\frac{1}{30}

   Probabilitatea este raportul dintre cazurile favorabile și cele posibile: \(p=\frac{3}{90}\). Simplificând prin \(3\), obținem \(\frac{1}{30}\), la fel ca în barem.

Răspuns: \(p=\dfrac{1}{30}\)

În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(1,3)\), \(B(6,2)\) și \(C(4,a)\), unde \(a\) este număr real. Determinați numărul real \(a\) pentru care dreptele \(AC\) și \(OB\) sunt paralele.

Metoda: Condiția de paralelism prin pante

1. 1

   Panta dreptei OB

   m_{OB}=\frac{y_B-y_O}{x_B-x_O}=\frac{2-0}{6-0}=\frac{1}{3}

   O este originea, \(O(0,0)\). Panta unei drepte prin două puncte \((x_1,y_1)\) și \((x_2,y_2)\) este \(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\). Pentru O și B obținem \(\frac{2-0}{6-0}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\). Avem nevoie de această valoare pentru că dreapta paralelă trebuie să aibă aceeași pantă.

2. 2

   Panta dreptei AC

   m_{AC}=\frac{a-3}{4-1}=\frac{a-3}{3}

   Folosim aceeași formulă pentru \(A(1,3)\) și \(C(4,a)\): diferența ordonatelor este \(a-3\), iar diferența absciselor este \(4-1=3\). Panta depinde de necunoscuta a.

3. 3

   Egalăm pantele și aflăm a

   m_{AC}=m_{OB}\iff \frac{a-3}{3}=\frac{1}{3}\iff a-3=1\iff a=4

   Dreptele AC și OB sunt paralele dacă pantele lor sunt egale. Ambele fracții au numitorul 3, deci numărătorii sunt egali: \(a-3=1\), de unde \(a=4\).

Răspuns: \(a=4\)

Se consideră triunghiul \(ABC\), dreptunghic în \(A\), cu aria egală cu \(32\) și \(BC = AB\sqrt{2}\). Arătați că \(AC = 8\).

Metoda: Raport în triunghi dreptunghic și arie

1. 1

   Aflăm unghiul B din raportul laturilor

   \frac{AB}{BC}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}

   Din \(BC = AB\sqrt{2}\) rezultă \(\frac{AB}{BC}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\). În triunghiul dreptunghic ABC (unghi drept în A), cosinusul unghiului B este cateta alăturată împărțită la ipotenuză: \(\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{2}}{2}\). Cum B este unghi ascuțit, \(B=\frac{\pi}{4}\), adică \(45^\circ\).

2. 2

   Deducem că triunghiul este isoscel

   B=\frac{\pi}{4},\ A=\frac{\pi}{2}\Rightarrow C=\frac{\pi}{4}\Rightarrow AB=AC

   Suma unghiurilor este \(\pi\). Cu \(A=\frac{\pi}{2}\) și \(B=\frac{\pi}{4}\) obținem \(C=\frac{\pi}{4}\). Deci \(B=C\), iar laturile opuse unghiurilor egale sunt egale: \(AC=AB\).

3. 3

   Folosim aria triunghiului

   \frac{AB\cdot AC}{2}=32\Rightarrow \frac{AC^2}{2}=32\Rightarrow AC^2=64\Rightarrow AC=8

   Aria unui triunghi dreptunghic este jumătate din produsul catetelor: \(\frac{AB\cdot AC}{2}=32\). Cum \(AB=AC\), obținem \(\frac{AC^2}{2}=32\), deci \(AC^2=64\). Lungimea fiind pozitivă, \(AC=8\).

Răspuns: AC = 8

Se consideră matricele \(I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\) și \(M(x)=\begin{pmatrix}2x&3x&-3\\-x&-2x&1\\0&0&x+1\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. a) Arătați că \(\det(M(0))=0\).

Metoda: Calculul determinantului de ordin 3

1. 1

   Scriem matricea M(0)

   M(0)=\begin{pmatrix}0&0&-3\\0&0&1\\0&0&1\end{pmatrix}

   Înlocuim peste tot \(x\) cu \(0\) în matricea \(M(x)\). Elementele \(2x\), \(3x\), \(-x\), \(-2x\) devin \(0\), iar \(x+1\) devine \(1\). Elementele \(-3\) și \(1\) din coloana a treia rămân neschimbate, pentru că nu depind de \(x\).

2. 2

   Calculăm determinantul

   \det(M(0))=\begin{vmatrix}0&0&-3\\0&0&1\\0&0&1\end{vmatrix}=0+0+0-0-0-0=0

   Aplicăm regula lui Sarrus. Adunăm produsele elementelor de pe diagonala principală și de pe paralelele ei, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei. Fiecare produs conține cel puțin un element din primele două coloane, iar acestea sunt nule. Deci toți cei șase termeni sunt \(0\) și determinantul este \(0\). Aceeași concluzie rezultă și din faptul că prima coloană are toate elementele nule.

Răspuns: \(\det(M(0))=0\)

Se consideră matricele \(I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\) și \(M(x)=\begin{pmatrix}2x&3x&-3\\-x&-2x&1\\0&0&x+1\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. b) Arătați că \(M(x)\cdot M(y)-xyI_3=(x+y+1)M(0)\), pentru orice numere reale \(x\) și \(y\).

Metoda: Înmulțirea matricelor, calcul direct

1. 1

   Scriem matricea M(0) pentru comparația finală

   M(0)=\begin{pmatrix}0&0&-3\\0&0&1\\0&0&1\end{pmatrix}

   Înlocuim \(x=0\) în \(M(x)\): \(2x=0\), \(3x=0\), \(-x=0\), \(-2x=0\), \(x+1=1\). Ne trebuie această matrice la final, ca să știm către ce ținta calculului.

2. 2

   Calculăm produsul M(x)·M(y)

   M(x)M(y)=\begin{pmatrix}xy&0&-3x-3y-3\\0&xy&x+y+1\\0&0&xy+x+y+1\end{pmatrix}

   Facem produsul linie pe coloană. Prima linie, prima coloană: \(2x\cdot 2y+3x\cdot(-y)=4xy-3xy=xy\). Prima linie, a doua coloană: \(2x\cdot 3y+3x\cdot(-2y)=6xy-6xy=0\). Prima linie, a treia: \(2x\cdot(-3)+3x\cdot 1+(-3)(y+1)=-6x+3x-3y-3=-3x-3y-3\). A doua linie: \(-x\cdot 2y+(-2x)(-y)=0\); \(-x\cdot 3y+(-2x)(-2y)=xy\); \(-x\cdot(-3)+(-2x)\cdot 1+1\cdot(y+1)=x+y+1\). A treia linie: \(0,0,(x+1)(y+1)=xy+x+y+1\).

3. 3

   Scădem xyI₃

   M(x)M(y)-xyI_3=\begin{pmatrix}0&0&-3(x+y+1)\\0&0&x+y+1\\0&0&x+y+1\end{pmatrix}

   \(xyI_3\) are \(xy\) pe diagonala principală și 0 în rest. Scăderea anulează \(xy\) de pe primele două poziții ale diagonalei, iar pe a treia lasă \(xy+x+y+1-xy=x+y+1\).

4. 4

   Scoatem factor comun și încheiem

   \begin{pmatrix}0&0&-3(x+y+1)\\0&0&x+y+1\\0&0&x+y+1\end{pmatrix}=(x+y+1)\begin{pmatrix}0&0&-3\\0&0&1\\0&0&1\end{pmatrix}=(x+y+1)M(0)

   Toate elementele nenule conțin factorul \(x+y+1\). Îl scoatem în fața matricei și rămâne exact \(M(0)\) din pasul 1. Deci egalitatea este adevărată pentru orice \(x,y\) reali.

Răspuns: Am obținut \(M(x)\cdot M(y)-xyI_3=(x+y+1)M(0)\), pentru orice numere reale \(x\) și \(y\), ceea ce era de demonstrat.

Se consideră matricele \(I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\) și \(M(x)=\begin{pmatrix}2x&3x&-3\\-x&-2x&1\\0&0&x+1\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. c) Determinați numărul real \(x\) pentru care \(M(1)\cdot M(x)-M(2)\cdot M\left(\frac{x}{2}\right)=2M(0)\).

Metoda: Relația M(x)M(y) din punctul b)

1. 1

   Folosim relația de la punctul b) pentru primul produs

   M(1)\cdot M(x)=xI_3+(x+2)M(0)

   Din b) știm că \(M(x)M(y)-xyI_3=(x+y+1)M(0)\), adică \(M(x)M(y)=xyI_3+(x+y+1)M(0)\). Pentru \(x=1\) și \(y=x\) avem \(xy=x\) și \(x+y+1=x+2\). Folosim relația ca să evităm înmulțirea directă a matricelor.

2. 2

   Folosim relația pentru al doilea produs

   M(2)\cdot M\left(\frac{x}{2}\right)=2\cdot\frac{x}{2}I_3+\left(2+\frac{x}{2}+1\right)M(0)=xI_3+\left(\frac{x}{2}+3\right)M(0)

   Acum \(x:=2\) și \(y:=\frac{x}{2}\). Produsul lor este \(2\cdot\frac{x}{2}=x\), iar suma plus 1 este \(\frac{x}{2}+3\).

3. 3

   Scădem cele două produse

   M(1)M(x)-M(2)M\left(\frac{x}{2}\right)=xI_3+(x+2)M(0)-xI_3-\left(\frac{x}{2}+3\right)M(0)=\left(\frac{x}{2}-1\right)M(0)

   Termenii \(xI_3\) se reduc. Rămâne \(\left(x+2-\frac{x}{2}-3\right)M(0)=\left(\frac{x}{2}-1\right)M(0)\), pentru orice \(x\) real.

4. 4

   Rezolvăm ecuația

   \left(\frac{x}{2}-1\right)M(0)=2M(0)\Rightarrow \frac{x}{2}-1=2\Rightarrow x=6

   Matricea \(M(0)\) este nenulă (are elementul \(-3\)), deci putem egala coeficienții: \(\frac{x}{2}-1=2\), de unde \(\frac{x}{2}=3\) și \(x=6\).

Răspuns: x = 6

Subiectul II, punctul 2. a): Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă \(x * y = 5(x-1)(y-1)+1\). Arătați că \(1 * 3 = 1\).

Metoda: Calcul direct cu legea dată

1. 1

   Înlocuim x = 1 și y = 3 în formulă

   1 * 3 = 5(1-1)(3-1)+1

   Legea spune că, pentru orice numere \(x\) și \(y\), \(x * y = 5(x-1)(y-1)+1\). Pentru \(1 * 3\) punem \(x=1\) și \(y=3\). Acest pas e justificat pentru că formula este valabilă pentru orice numere reale.

2. 2

   Calculăm și obținem rezultatul

   5\cdot 0\cdot 2+1 = 0+1 = 1

   Prima paranteză este \(1-1=0\), iar un produs în care apare factorul 0 este 0. Rămâne doar termenul \(+1\). Deci \(1 * 3 = 1\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: Am obținut \(1 * 3 = 5(1-1)(3-1)+1 = 0+1 = 1\), deci egalitatea este demonstrată.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă \(x * y = 5(x-1)(y-1)+1\). Arătați că \(e=\frac{6}{5}\) este elementul neutru al legii de compoziție „\(*\)”.

Metoda: Verificarea elementului neutru

1. 1

   Calculăm \(x * \frac{6}{5}\)

   x*\frac{6}{5}=5(x-1)\left(\frac{6}{5}-1\right)+1=5(x-1)\cdot\frac{1}{5}+1=x-1+1=x

   Înlocuim \(y=\frac{6}{5}\) în formula legii. Mai întâi calculăm paranteza: \(\frac{6}{5}-1=\frac{1}{5}\). Apoi \(5\cdot\frac{1}{5}=1\), deci rămâne \((x-1)+1=x\). Rezultatul este \(x\), pentru orice \(x\) real.

2. 2

   Calculăm \(\frac{6}{5} * x\)

   \frac{6}{5}*x=5\left(\frac{6}{5}-1\right)(x-1)+1=5\cdot\frac{1}{5}(x-1)+1=x-1+1=x

   Legea nu am demonstrat că este comutativă, deci trebuie să verificăm și cealaltă ordine. Înlocuim \(x\) cu \(\frac{6}{5}\) în primul loc și obținem din nou \(x\), pentru orice \(x\) real.

3. 3

   Concluzia

   x*\frac{6}{5}=\frac{6}{5}*x=x,\ \forall x\in\mathbb{R}\Rightarrow e=\frac{6}{5}

   Am arătat că \(x*e=e*x=x\) pentru orice \(x\) real, ceea ce este chiar definiția elementului neutru. Deci \(e=\frac{6}{5}\) este elementul neutru al legii.

Răspuns: Pentru orice \(x\in\mathbb{R}\) avem \(x*\frac{6}{5}=\frac{6}{5}*x=x\), deci \(e=\frac{6}{5}\) este elementul neutru al legii „\(*\)”.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă \(x * y = 5(x-1)(y-1)+1\). c) Determinați perechile \((m,n)\) de numere naturale pentru care \(\frac{m}{25}\) este simetricul elementului \(n\) în raport cu legea de compoziție „\(*\)”.

Metoda: Simetricul față de element neutru

1. 1

   Scriem condiția de simetric

   n*\frac{m}{25}=\frac{m}{25}*n=e=\frac{6}{5}

   Spunem că \(\frac{m}{25}\) este simetricul lui \(n\) dacă, prin compunerea lor, obținem elementul neutru. Din b) avem \(e=\frac{6}{5}\). Legea este comutativă (\(x*y\) este simetrică în \(x\) și \(y\)), deci e suficient să scriem o singură egalitate.

2. 2

   Înlocuim în definiția legii

   5\left(\frac{m}{25}-1\right)(n-1)+1=\frac{6}{5}

   Aplicăm formula \(x*y=5(x-1)(y-1)+1\) cu \(x=\frac{m}{25}\) și \(y=n\), apoi egalăm cu \(\frac{6}{5}\).

3. 3

   Simplificăm la o ecuație cu numere întregi

   \frac{m-25}{5}(n-1)=\frac{1}{5}\ \Rightarrow\ (m-25)(n-1)=1

   Avem \(5\left(\frac{m}{25}-1\right)=5\cdot\frac{m-25}{25}=\frac{m-25}{5}\). Ecuația devine \(\frac{m-25}{5}(n-1)=\frac{1}{5}\). Înmulțim cu \(5\) și obținem \((m-25)(n-1)=1\).

4. 4

   Folosim faptul că m și n sunt naturale

   m-25=n-1=1\ \text{sau}\ m-25=n-1=-1

   Produsul a doi întregi este \(1\) doar dacă ambii sunt \(1\) sau ambii sunt \(-1\). Cazul 1: \(m-25=1\), \(n-1=1\), deci \(m=26\), \(n=2\). Cazul 2: \(m-25=-1\), \(n-1=-1\), deci \(m=24\), \(n=0\). Ambele cazuri dau numere naturale, deci convin.

5. 5

   Verificăm perechile

   5\left(\frac{26}{25}-1\right)(2-1)+1=\frac{6}{5},\quad 5\left(\frac{24}{25}-1\right)(0-1)+1=\frac{6}{5}

   Pentru \((26,2)\): \(5\cdot\frac{1}{25}\cdot1+1=\frac{1}{5}+1=\frac{6}{5}\). Pentru \((24,0)\): \(5\cdot\left(-\frac{1}{25}\right)\cdot(-1)+1=\frac{1}{5}+1=\frac{6}{5}\). Ambele perechi sunt corecte.

Răspuns: Perechile cerute sunt \((24,0)\) și \((26,2)\).

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{2x-2+\ln x}{x}\). Arătați că \(f'(x)=\dfrac{3-\ln x}{x^2}\), \(x\in(0,+\infty)\).

Metoda: Derivata unui cât de funcții

1. 1

   Alegem formula de derivare a câtului

   \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}

   Funcția \(f\) este un raport, deci folosim formula câtului. Luăm \(u(x)=2x-2+\ln x\) și \(v(x)=x\). Formula este valabilă pentru \(v(x)\neq 0\), iar pe \((0,+\infty)\) avem \(x>0\), deci nu apar probleme.

2. 2

   Calculăm derivatele numărătorului și numitorului

   u'(x)=2+\frac{1}{x},\qquad v'(x)=1

   Derivata lui \(2x\) este 2, a constantei \(-2\) este 0, iar a lui \(\ln x\) este \(\frac1x\). Deci \(u'(x)=2+\frac1x\). Pentru numitor, \(v'(x)=1\).

3. 3

   Înlocuim în formula câtului

   f'(x)=\frac{\left(2+\frac1x\right)\cdot x-(2x-2+\ln x)\cdot 1}{x^2}

   Punem \(u',v,u,v'\) în formulă. Obținem la numărător \(\left(2+\frac1x\right)x-(2x-2+\ln x)\), iar la numitor \(x^2\). Paranteza a doua are semnul minus în față, deci trebuie atenție la schimbarea semnelor.

4. 4

   Simplificăm numărătorul

   f'(x)=\frac{2x+1-2x+2-\ln x}{x^2}=\frac{3-\ln x}{x^2}

   Desfacem paranteza cu minus: \(-(2x-2+\ln x)=-2x+2-\ln x\). Atunci \(2x+1-2x+2-\ln x=3-\ln x\), pentru că termenii \(2x\) și \(-2x\) se reduc, iar \(1+2=3\). Am obținut exact ce trebuia arătat, pentru orice \(x\in(0,+\infty)\).

Răspuns: \(f'(x)=\dfrac{3-\ln x}{x^2}\), pentru orice \(x\in(0,+\infty)\).

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{2x-2+\ln x}{x}\). b) Arătați că \(\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{f(x)}{\ln x}=3\).

Metoda: Regula lui l'Hospital

1. 1

   Scriem raportul \(\frac{f(x)}{\ln x}\) într-o formă simplă

   \frac{f(x)}{\ln x}=\frac{2x-2+\ln x}{x\ln x}

   Înlocuim \(f(x)\) și împărțim la \(\ln x\): \(\dfrac{\frac{2x-2+\ln x}{x}}{\ln x}=\dfrac{2x-2+\ln x}{x\ln x}\). Facem asta ca să avem o singură fracție, pe care o putem studia ușor.

2. 2

   Identificăm nedeterminarea 0/0

   x\to1:\; 2x-2+\ln x\to 0,\quad x\ln x\to 0

   Pentru \(x\to1\): numărătorul tinde la \(2-2+\ln1=0\), iar numitorul la \(1\cdot\ln 1=0\). Avem deci nedeterminare de tip \(\frac00\), iar funcțiile sunt derivabile pe \((0,+\infty)\), deci putem aplica regula lui l'Hospital.

3. 3

   Aplicăm regula lui l'Hospital

   \lim_{x\to1}\frac{(2x-2+\ln x)'}{(x\ln x)'}=\lim_{x\to1}\frac{2+\frac1x}{\ln x+1}

   Derivăm separat numărătorul și numitorul. Numărător: \((2x-2+\ln x)'=2+\frac1x\). Numitor: \((x\ln x)'=\ln x+x\cdot\frac1x=\ln x+1\).

4. 4

   Calculăm limita

   \lim_{x\to1}\frac{2+\frac1x}{\ln x+1}=\frac{2+1}{0+1}=3

   Acum nu mai avem nedeterminare: pentru \(x\to1\), numărătorul tinde la \(2+1=3\), iar numitorul la \(\ln1+1=1\). Rezultă limita \(3\), adică exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{f(x)}{\ln x}=3\)

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{2x-2+\ln x}{x}\). Determinați cel mai mare număr întreg \(m\) pentru care ecuația \(f(x)=m\) are cel puțin o soluție.

Metoda: Studiul variației funcției

1. 1

   Derivata și punctul critic

   f'(x)=\frac{3-\ln x}{x^2},\quad f'(x)=0\iff \ln x=3\iff x=e^3

   Din subpunctul a) știm că \(f'(x)=\dfrac{3-\ln x}{x^2}\). Numitorul \(x^2\) este pozitiv pe \((0,+\infty)\), deci semnul derivatei este dat doar de numărătorul \(3-\ln x\). Derivata se anulează când \(\ln x=3\), adică \(x=e^3\). Acest punct ne spune unde se schimbă monotonia funcției.

2. 2

   Semnul derivatei și monotonia

   x\in(0,e^3]\Rightarrow f'(x)\ge0\ (f\ \text{crescătoare}),\quad x\in[e^3,+\infty)\Rightarrow f'(x)\le0\ (f\ \text{descrescătoare})

   Dacă \(x<e^3\), atunci \(\ln x<3\), deci \(3-\ln x>0\) și \(f'(x)>0\): funcția crește. Dacă \(x>e^3\), atunci \(\ln x>3\), deci \(f'(x)<0\): funcția scade. Rezultă că în \(x=e^3\) funcția are un maxim, iar acesta este cea mai mare valoare pe care o ia \(f\).

3. 3

   Limita la 0 și valoarea maximă

   \lim_{x\to0}f(x)=-\infty,\qquad f(e^3)=\frac{2e^3-2+3}{e^3}=2+\frac{1}{e^3}

   Când \(x\to0\), \(x>0\), numărătorul \(2x-2+\ln x\) tinde la \(-\infty\), iar numitorul tinde la \(0^+\), deci \(f(x)\to-\infty\). Valoarea maximă este \(f(e^3)\). Înlocuim \(x=e^3\) și \(\ln e^3=3\) și obținem \(\dfrac{2e^3+1}{e^3}=2+\dfrac{1}{e^3}\).

4. 4

   Mulțimea valorilor și concluzia

   f((0,+\infty))=\left(-\infty,\,2+\tfrac{1}{e^3}\right],\quad 2<2+\tfrac{1}{e^3}<3\Rightarrow m_{\max}=2

   Funcția este continuă, crește de la \(-\infty\) până la maximul \(2+\dfrac{1}{e^3}\) și apoi scade. Prin urmare ia toate valorile din intervalul \(\left(-\infty,2+\dfrac{1}{e^3}\right]\). Ecuația \(f(x)=m\) are soluție exact când \(m\) este în acest interval. Cum \(e^3>1\), avem \(0<\dfrac{1}{e^3}<1\), deci maximul este în intervalul \((2,3)\). Cel mai mare întreg din interval este 2, iar 3 nu convine deoarece \(3>2+\dfrac{1}{e^3}\).

Răspuns: m = 2

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{x+4}{e^x}\). Arătați că \(\int_0^2 f(x)e^x\,dx=10\).

Metoda: Integrare directă a unei funcții polinomiale

1. 1

   Simplificăm integrandul

   f(x)e^x=\frac{x+4}{e^x}\cdot e^x=x+4

   Înlocuim \(f(x)\) cu expresia ei. Factorul \(e^x\) de la numitor se reduce cu \(e^x\) înmulțit, deoarece \(e^x\neq 0\) pentru orice \(x\). Așa, integrala devine \(\int_0^2 (x+4)\,dx\), mult mai ușor de calculat.

2. 2

   Aflăm o primitivă și aplicăm Leibniz-Newton

   \int_0^2 (x+4)\,dx=\left(\frac{x^2}{2}+4x\right)\Big|_0^2

   Primitiva lui \(x\) este \(\frac{x^2}{2}\), iar a constantei 4 este \(4x\). Apoi folosim formula Leibniz-Newton: valoarea primitivei în capătul de sus minus valoarea în capătul de jos.

3. 3

   Calculăm valoarea

   \left(\frac{2^2}{2}+4\cdot 2\right)-0=2+8=10

   Pentru \(x=2\): \(\frac{4}{2}=2\) și \(4\cdot 2=8\), deci obținem \(2+8=10\). Pentru \(x=0\) primitiva este 0. Astfel, integrala este egală cu 10, ceea ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\int_0^2 f(x)e^x\,dx=10\)

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{x+4}{e^x}\). b) Arătați că \(\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx = 5-\dfrac{6}{e}\).

Metoda: Integrare prin părți

1. 1

   Scriem funcția ca produs

   f(x)=\frac{x+4}{e^x}=(x+4)e^{-x}

   Împărțirea la \(e^x\) este același lucru cu înmulțirea cu \(e^{-x}\). Așa vedem clar produsul dintre polinomul \(x+4\) și exponențiala \(e^{-x}\), potrivit pentru integrarea prin părți.

2. 2

   Găsim o primitivă pentru \(e^{-x}\)

   \left(-e^{-x}\right)'=e^{-x}

   Pentru integrarea prin părți avem nevoie de o primitivă a lui \(e^{-x}\). Derivata lui \(-e^{-x}\) este \(-(-1)e^{-x}=e^{-x}\), deci \(-e^{-x}\) este o primitivă bună. Astfel \(\int_0^1 (x+4)e^{-x}dx=\int_0^1 (x+4)\left(-e^{-x}\right)'dx\).

3. 3

   Aplicăm formula integrării prin părți

   \int_0^1 (x+4)\left(-e^{-x}\right)'dx=(x+4)\left(-e^{-x}\right)\Big|_0^1-\int_0^1 (x+4)'\left(-e^{-x}\right)dx

   Formula este \(\int fg'=fg-\int f'g\), cu \(f=x+4\) și \(g=-e^{-x}\). Cum \((x+4)'=1\), a doua integrală devine \(-\int_0^1 e^{-x}dx\) cu semn schimbat, adică \(-e^{-x}\Big|_0^1\) în rezultatul final, ca în barem.

4. 4

   Calculăm cu limitele 0 și 1

   (x+4)\left(-e^{-x}\right)\Big|_0^1-e^{-x}\Big|_0^1=-\frac{5}{e}+4-\frac{1}{e}+1=5-\frac{6}{e}

   Primul termen: la \(x=1\) avem \(5\cdot\left(-\frac1e\right)=-\frac5e\), iar la \(x=0\) avem \(4\cdot(-1)=-4\); diferența este \(-\frac5e+4\). Al doilea termen: \(-e^{-x}\Big|_0^1=-\frac1e+1\). Adunăm: \(4+1=5\) și \(-\frac5e-\frac1e=-\frac6e\). Obținem exact valoarea cerută.

Răspuns: \(\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx=5-\dfrac{6}{e}\)

Pentru fiecare număr natural nenul \(n\) se consideră numărul \(I_n=\int_0^1 \frac{x^n}{f(x)}\,dx\), unde \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\frac{x+4}{e^x}\). Arătați că \(I_{n+1}+4I_n\le \frac{e}{n+1}\), pentru orice număr natural nenul \(n\).

Metoda: Majorarea integralei

1. 1

   Scriem \(I_n\) mai simplu

   I_n=\int_0^1 \frac{x^n e^x}{x+4}\,dx

   Avem \(\frac{1}{f(x)}=\frac{e^x}{x+4}\), deoarece \(f(x)=\frac{x+4}{e^x}\). Deci în integrală apare \(x^n\cdot\frac{e^x}{x+4}\). Facem asta ca să vedem ce se simplifică atunci când adunăm integralele.

2. 2

   Adunăm \(I_{n+1}+4I_n\)

   I_{n+1}+4I_n=\int_0^1 \frac{(x^{n+1}+4x^n)e^x}{x+4}\,dx=\int_0^1 \frac{x^n(x+4)e^x}{x+4}\,dx=\int_0^1 x^n e^x\,dx

   Integralele au aceleași limite, deci le adunăm sub un singur semn de integrală. La numărător dăm factor comun \(x^n\): \(x^{n+1}+4x^n=x^n(x+4)\). Factorul \(x+4\) se simplifică cu numitorul, iar rămâne \(x^n e^x\).

3. 3

   Majorăm \(e^x\) prin \(e\)

   e^x\le e,\ \forall x\in[0,1]\ \Rightarrow\ \int_0^1 x^n e^x\,dx\le e\int_0^1 x^n\,dx

   Funcția \(e^x\) este crescătoare, deci pe \([0,1]\) are valoarea maximă \(e^1=e\). Cum \(x^n\ge 0\) pe \([0,1]\), avem \(x^ne^x\le e\,x^n\). Integrala păstrează inegalitatea.

4. 4

   Calculăm integrala și încheiem

   e\int_0^1 x^n\,dx=e\cdot\frac{x^{n+1}}{n+1}\Big|_0^1=\frac{e}{n+1}

   Primitiva lui \(x^n\) este \(\frac{x^{n+1}}{n+1}\). În \(1\) obținem \(\frac{1}{n+1}\), iar în \(0\) obținem \(0\), deci integrala este \(\frac{1}{n+1}\). Înmulțim cu \(e\) și obținem \(I_{n+1}+4I_n\le\frac{e}{n+1}\), adică exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(I_{n+1}+4I_n=\int_0^1 x^ne^x\,dx\le e\int_0^1 x^n\,dx=\frac{e}{n+1}\), pentru orice \(n\in\mathbb{N}^*\).