Matematică 2025

Ministerul Educației și Cercetării Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare Examenul național de bacalaureat 2025 Proba E. c) Matematică M_mate-info Varianta 3 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Determinați termenul b1 al progresiei geometrice ( bn )n≥1 , în care b2 = 20 și b3 = 100 . 5p 2. Se consideră funcțiile f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 4 x + 3 și g : ℝ → ℝ , g ( x ) = x − 3 . Determinați numărul real a pentru care f ( a ) = g ( a ) . 5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 9 x ⋅ 33 = 3x+2 . 5p 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea numerelor naturale de două cifre, n să fie număr natural par. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A (1,3) , B ( 6,2 ) și C ( 4, a ) , unde a este număr real. Determinați numărul real a pentru care dreptele AC și OB sunt paralele. 5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , cu aria egală cu 32 și BC = AB 2 . Arătați că AC = 8 . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 0 0  2 x 3x −3      1. Se consideră matricele I 3 =  0 1 0  și M ( x ) =  − x −2 x 1  , unde x este număr real. 0 0 1  0 0 x + 1    5p a) Arătați că det ( M ( 0 ) ) = 0 . 5p b) Arătați că M ( x ) ⋅ M ( y ) − xyI3 = ( x + y + 1) M ( 0 ) , pentru orice numere reale x și y .  x 5p c) Determinați numărul real x pentru care M (1) ⋅ M ( x ) − M ( 2 ) ⋅ M   = 2M ( 0 ) . 2 2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x ∗ y = 5 ( x −1)( y −1) +1 . 5p a) Arătați că 1 ∗ 3 = 1 . 6 5p b) Arătați că e = este elementul neutru al legii de compoziție „ ∗ ”. 5 m 5p c) Determinați perechile ( m, n ) de numere naturale pentru care este simetricul elementului n în 25 raport cu legea de compoziție „ ∗ ”. SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 2 x − 2 + ln x 1. Se consideră funcția f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = . x 3 − ln x 5p a) Arătați că f ' ( x ) = , x ∈ ( 0, +∞ ) . x2 f ( x) 5p b) Arătați că lim =3. x →1 ln x 5p c) Determinați cel mai mare număr întreg m pentru care ecuația f ( x ) = m are cel puțin o soluție. x+4 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = . ex 2 5p a) Arătați că  f ( x ) e x dx = 10 . 0 Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 3 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 1 din 2  Ministerul Educației și Cercetării Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare 1 6 5p b) Arătați că  f ( x ) dx = 5 − . 0 e 1 xn 5p c) Pentru fiecare număr natural nenul n se consideră numărul I n =  dx . Arătați că 0 f ( x) e I n+1 + 4 I n ≤ , pentru orice număr natural nenul n . n +1 Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 3 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 2 din 2