Rezolvare pas cu pas: Matematică – Științele naturii (M2) – Bacalaureat 2025, simulare

Arătați că \(2i(6-i)+3(1-4i)=5\), unde \(i^2=-1\).

Metoda: Calcul cu numere complexe

1. 1

   Desfacem parantezele

   2i(6-i)+3(1-4i)=12i-2i^2+3-12i

   Înmulțim fiecare factor din față cu termenii din paranteze, folosind distributivitatea: \(2i\cdot 6=12i\), \(2i\cdot(-i)=-2i^2\), \(3\cdot 1=3\) și \(3\cdot(-4i)=-12i\). Facem asta ca să scăpăm de paranteze și să putem aduna termenii.

2. 2

   Folosim \(i^2=-1\) și reducem termenii

   12i-2i^2+3-12i=-2\cdot(-1)+3=2+3=5

   Termenii \(12i\) și \(-12i\) se anulează, fiindcă sunt opuși. Apoi înlocuim \(i^2\) cu \(-1\), deci \(-2i^2=-2\cdot(-1)=2\). La final adunăm \(2+3=5\), exact cât trebuia să arătăm.

Răspuns: Am obținut \(2i(6-i)+3(1-4i)=5\), deci egalitatea este demonstrată.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x+5\). Determinați numărul real \(a\) pentru care \((f\circ f)(a)=2a\).

Metoda: Compunerea funcțiilor

1. 1

   Calculăm f(a)

   f(a)=a+5

   Înlocuim în formula funcției pe \(x\) cu \(a\). Avem nevoie de \(f(a)\) pentru că, la compunere, funcția \(f\) se aplică de două ori: mai întâi lui \(a\), apoi rezultatului.

2. 2

   Calculăm (f∘f)(a)

   (f\circ f)(a)=f(f(a))=f(a+5)=(a+5)+5=a+10

   Prin definiție, \((f\circ f)(a)=f(f(a))\). Valoarea \(f(a)=a+5\) devine noul argument al lui \(f\), deci mai adăugăm 5. Rezultatul este valabil pentru orice număr real \(a\).

3. 3

   Rezolvăm ecuația

   a+10=2a \Rightarrow a=10

   Condiția din enunț este \((f\circ f)(a)=2a\). Cum \((f\circ f)(a)=a+10\), obținem \(a+10=2a\). Scădem \(a\) din ambii membri și rămâne \(a=10\).

4. 4

   Verificare

   (f\circ f)(10)=f(15)=20=2\cdot 10

   Verificăm: \(f(10)=15\), \(f(15)=20\), iar \(2\cdot10=20\). Rezultatul se potrivește, deci \(a=10\) este corect.

Răspuns: \(a=10\)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(\sqrt{x^2+4x-4}=x\sqrt{2}\).

Metoda: Ridicare la pătrat și verificare

1. 1

   Ridicăm ecuația la pătrat

   x^2+4x-4=(x\sqrt{2})^2=2x^2

   Ridicăm ambii membri la pătrat ca să dispară radicalul. Avem \((x\sqrt{2})^2=x^2\cdot 2=2x^2\). Ecuația devine \(x^2+4x-4=2x^2\).

2. 2

   Aducem la forma ecuației de gradul II

   x^2-4x+4=0

   Mutăm toți termenii în dreapta: \(0=2x^2-x^2-4x+4\), adică \(x^2-4x+4=0\).

3. 3

   Rezolvăm ecuația

   (x-2)^2=0 \Rightarrow x=2

   Expresia \(x^2-4x+4\) este pătratul perfect \((x-2)^2\). Un pătrat este zero doar când baza este zero, deci \(x=2\).

4. 4

   Verificăm soluția

   \sqrt{2^2+4\cdot 2-4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}=2\sqrt{2}

   Înlocuim \(x=2\) în ecuația inițială. Membrul stâng: \(\sqrt{4+8-4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\). Membrul drept: \(2\sqrt{2}\). Sunt egale, deci \(x=2\) convine. De asemenea, expresia de sub radical este pozitivă și dreapta este pozitivă, deci nu apar probleme.

Răspuns: \(x=2\)

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr \(n\) din mulțimea numerelor naturale de o cifră, numărul \(2^n\) să fie divizibil cu \(16\).

Metoda: Probabilitate: cazuri favorabile/posibile

1. 1

   Numărăm cazurile posibile

   \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\Rightarrow 10 \text{ cazuri}

   Numerele naturale de o cifră sunt \(0,1,2,\dots,9\). Atenție: \(0\) este număr natural, deci îl numărăm. Sunt \(10\) elemente, deci \(10\) cazuri posibile.

2. 2

   Aflăm când \(2^n\) se divide cu \(16\)

   16=2^4,\quad 2^n \vdots 2^4 \Leftrightarrow n\ge 4

   Avem \(16=2^4\). Puterea \(2^n\) se împarte la \(2^4\) exact atunci când are cel puțin patru factori de \(2\), adică \(n\ge 4\). Pentru \(n<4\) obținem \(1,2,4,8\), care nu se împart la \(16\).

3. 3

   Numărăm cazurile favorabile

   n\in\{4,5,6,7,8,9\}\Rightarrow 6 \text{ cazuri}

   Dintre numerele \(0,\dots,9\), cele care îndeplinesc \(n\ge 4\) sunt \(4,5,6,7,8,9\). Sunt \(6\) cazuri favorabile.

4. 4

   Calculăm probabilitatea

   p=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}

   Probabilitatea este raportul dintre cazurile favorabile și cele posibile: \(p=\frac{6}{10}\). Simplificăm cu \(2\) și obținem \(\frac{3}{5}\).

Răspuns: \(p=\dfrac{3}{5}\)

În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(3,1)\) și \(B(2,4)\). Arătați că triunghiul \(OAB\) este dreptunghic în \(A\).

Metoda: Pantele dreptelor perpendiculare

1. 1

   Calculăm panta dreptei OA

   m_{OA}=\frac{y_A-y_O}{x_A-x_O}=\frac{1-0}{3-0}=\frac{1}{3}

   O este originea, \(O(0,0)\). Panta unei drepte prin două puncte este diferența ordonatelor împărțită la diferența absciselor. Avem nevoie de ea ca să putem compara direcțiile dreptelor OA și AB.

2. 2

   Calculăm panta dreptei AB

   m_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{4-1}{2-3}=\frac{3}{-1}=-3

   Folosim aceeași formulă pentru punctele \(A(3,1)\) și \(B(2,4)\). Atenție la semn: la numitor \(2-3=-1\).

3. 3

   Verificăm condiția de perpendicularitate

   m_{OA}\cdot m_{AB}=\frac{1}{3}\cdot(-3)=-1

   Produsul pantelor este \(-1\), deci dreptele OA și AB sunt perpendiculare. Ele se intersectează în A, așadar unghiul \(\angle OAB\) are \(90^\circ\) și triunghiul OAB este dreptunghic în A.

Răspuns: Deoarece \(m_{OA}\cdot m_{AB}=\frac{1}{3}\cdot(-3)=-1\), dreptele OA și AB sunt perpendiculare, deci triunghiul OAB este dreptunghic în A.

Se consideră expresia \(E(x)=\sin x+2\cos 2x+2\sin^2\frac{x}{2}\), unde \(x\) este număr real. Arătați că \(E\left(\frac{\pi}{2}\right)=0\).

Metoda: Calcul direct cu valori trigonometrice

1. 1

   Înlocuim x cu π/2 și identificăm valorile necesare

   E\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=\sin\tfrac{\pi}{2}+2\cos\pi+2\sin^2\tfrac{\pi}{4}

   Pentru a calcula \(E\left(\frac{\pi}{2}\right)\) punem \(\frac{\pi}{2}\) peste tot în locul lui \(x\). Atunci \(2x=\pi\), iar \(\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}\). De aceea apar \(\sin\frac{\pi}{2}\), \(\cos\pi\) și \(\sin\frac{\pi}{4}\).

2. 2

   Folosim valorile cunoscute

   \sin\tfrac{\pi}{2}=1,\quad \cos\pi=-1,\quad \sin\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}

   Acestea sunt valori de tabel, pe care e bine să le știi din cercul trigonometric: la \(90^\circ\) sinusul este 1, la \(180^\circ\) cosinusul este \(-1\), iar la \(45^\circ\) sinusul este \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).

3. 3

   Calculăm valoarea expresiei

   E\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1+2\cdot(-1)+2\cdot\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=1-2+2\cdot\tfrac{2}{4}=0

   Înlocuim valorile din pasul anterior. Termenul \(\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2\) este \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\). Apoi \(2\cdot\frac{1}{2}=1\). Rămâne \(1-2+1=0\), deci egalitatea cerută este demonstrată.

Răspuns: \(E\left(\frac{\pi}{2}\right)=1-2+1=0\), deci egalitatea este demonstrată.

Se consideră matricea \(A(x)=\begin{pmatrix} x+1 & -x \\ -2x & 2x+1 \end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. a) Arătați că \(\det(A(1))=4\).

Metoda: Calculul determinantului de ordin 2

1. 1

   Scriem matricea A(1)

   A(1)=\begin{pmatrix} 1+1 & -1 \\ -2\cdot 1 & 2\cdot 1+1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}

   Cerința ne cere determinantul lui \(A(1)\), deci trebuie să știm exact cum arată matricea pentru \(x=1\). Înlocuim \(x\) cu 1 în fiecare element: \(x+1=2\), \(-x=-1\), \(-2x=-2\), \(2x+1=3\).

2. 2

   Calculăm determinantul

   \det(A(1))=\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 3 \end{vmatrix}=2\cdot 3-(-1)\cdot(-2)=6-2=4

   Pentru o matrice de ordin 2, determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Aici diagonala principală este \(2\) și \(3\), iar cea secundară \(-1\) și \(-2\). Atenție la semne: \((-1)\cdot(-2)=2\), iar scăderea lui dă \(6-2=4\). Obținem exact valoarea cerută, deci egalitatea este demonstrată.

Răspuns: \(\det(A(1))=4\), deci egalitatea cerută este adevărată.

Se consideră matricea \(A(x)=\begin{pmatrix} x+1 & -x \\ -2x & 2x+1 \end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. b) Arătați că \(A(-1)\cdot A(x)=A(-2x-1)\), pentru orice număr real \(x\).

Metoda: Înmulțirea matricelor

1. 1

   Calculăm A(-1)

   A(-1)=\begin{pmatrix} -1+1 & 1 \\ 2 & -2+1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}

   Înlocuim \(x=-1\) în formula matricei \(A(x)\): \(x+1=0\), \(-x=1\), \(-2x=2\), \(2x+1=-1\). Avem nevoie de această matrice concretă ca să putem face înmulțirea.

2. 2

   Calculăm produsul A(-1)·A(x)

   A(-1)\cdot A(x)=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x+1 & -x \\ -2x & 2x+1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2x & 2x+1 \\ 4x+2 & -4x-1 \end{pmatrix}

   Înmulțim linie cu coloană. Linia 1 cu coloana 1: \(0\cdot(x+1)+1\cdot(-2x)=-2x\). Linia 1 cu coloana 2: \(0\cdot(-x)+1\cdot(2x+1)=2x+1\). Linia 2 cu coloana 1: \(2(x+1)-1\cdot(-2x)=4x+2\). Linia 2 cu coloana 2: \(2(-x)-(2x+1)=-4x-1\).

3. 3

   Scriem rezultatul sub forma A(-2x-1)

   A(-2x-1)=\begin{pmatrix} (-2x-1)+1 & -(-2x-1) \\ -2(-2x-1) & 2(-2x-1)+1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2x & 2x+1 \\ 4x+2 & -4x-1 \end{pmatrix}

   Înlocuim \(x\) cu \(-2x-1\) în definiția lui \(A\): \(-2x-1+1=-2x\), \(-(-2x-1)=2x+1\), \(-2(-2x-1)=4x+2\), \(2(-2x-1)+1=-4x-1\). Obținem exact matricea de la pasul anterior, deci egalitatea este adevărată pentru orice \(x\) real.

Răspuns: Am obținut \(A(-1)\cdot A(x)=\begin{pmatrix} -2x & 2x+1 \\ 4x+2 & -4x-1 \end{pmatrix}=A(-2x-1)\), pentru orice \(x\) real.

Se consideră matricea \(A(x)=\begin{pmatrix} x+1 & -x \\ -2x & 2x+1 \end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. c) Determinați perechile \((m,n)\) de numere naturale, cu \(m<n\), pentru care \(A(-1)\cdot (A(m)+A(n))=2A(-4)\).

Metoda: Proprietatea A(x)·A(y) și egalitatea

1. 1

   Distribuim înmulțirea și folosim relația de la b)

   A(-1)\cdot(A(m)+A(n))=A(-1)A(m)+A(-1)A(n)=A(-2m-1)+A(-2n-1)

   Înmulțirea matricelor este distributivă față de adunare, deci putem înmulți \(A(-1)\) cu fiecare termen. Apoi aplicăm relația demonstrată la b): \(A(-1)\cdot A(x)=A(-2x-1)\), pentru \(x=m\) și \(x=n\).

2. 2

   Observăm că suma este de forma 2A(...)

   A(-2m-1)+A(-2n-1)=2A(-m-n-1)

   Avem \(A(a)+A(b)=\begin{pmatrix} a+b+2 & -(a+b)\\ -2(a+b) & 2(a+b)+2\end{pmatrix}=2A\left(\frac{a+b}{2}\right)\), căci \(2A(t)\) are elementele \(2t+2,\,-2t,\,-4t,\,4t+2\). Aici \(a+b=-2m-2n-2\), deci \(\frac{a+b}{2}=-m-n-1\).

3. 3

   Egalăm cu 2A(-4) și aflăm m+n

   2A(-m-n-1)=2A(-4)\Rightarrow -m-n-1=-4\Rightarrow m+n=3

   Matricea \(A(t)\) are elementul din stânga sus \(t+1\), deci \(A(t)=A(s)\) doar dacă \(t=s\). Din egalitatea matricelor rezultă \(-m-n-1=-4\), adică \(m+n=3\).

4. 4

   Găsim perechile de numere naturale cu m<n

   m+n=3,\ m<n,\ m,n\in\mathbb{N}\Rightarrow (m,n)\in\{(0,3),(1,2)\}

   Testăm valorile lui \(m\): pentru \(m=0\) avem \(n=3\); pentru \(m=1\) avem \(n=2\), iar \(1<2\). Pentru \(m=2\) ar rezulta \(n=1\), dar atunci \(m>n\); \(m=3\) dă \(n=0\), tot nu merge.

Răspuns: Perechile sunt \((0,3)\) și \((1,2)\).

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x \circ y = x \cdot 3^{y} + y \cdot 3^{x}\). a) Arătați că \(1 \circ 2 = 15\).

Metoda: Calcul direct prin înlocuire

1. 1

   Înlocuim x = 1 și y = 2 în formulă

   1 \circ 2 = 1 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3^{1}

   Legea spune că \(x \circ y = x \cdot 3^{y} + y \cdot 3^{x}\). Pentru \(1 \circ 2\) avem \(x=1\) și \(y=2\). Primul termen devine \(x \cdot 3^{y} = 1 \cdot 3^{2}\), iar al doilea \(y \cdot 3^{x} = 2 \cdot 3^{1}\). Atenție: exponentul din primul termen este \(y\), iar în al doilea este \(x\).

2. 2

   Calculăm puterile și efectuăm operațiile

   1 \cdot 9 + 2 \cdot 3 = 9 + 6 = 15

   Calculăm \(3^{2} = 9\) și \(3^{1} = 3\). Apoi înmulțim: \(1 \cdot 9 = 9\) și \(2 \cdot 3 = 6\). La final adunăm: \(9 + 6 = 15\). Am obținut exact valoarea cerută, deci egalitatea este demonstrată.

Răspuns: \(1 \circ 2 = 1 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3^{1} = 9 + 6 = 15\), deci egalitatea este adevărată.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x \circ y = x\cdot 3^{y} + y\cdot 3^{x}\). b) Arătați că \(e=0\) este elementul neutru al legii de compoziție „\(\circ\)”.

Metoda: Verificarea elementului neutru

1. 1

   Calculăm \(x \circ 0\)

   x\circ 0 = x\cdot 3^{0} + 0\cdot 3^{x} = x\cdot 1 + 0 = x

   Înlocuim în definiția legii \(y=0\). Folosim faptul că \(3^{0}=1\), iar orice număr înmulțit cu 0 dă 0. Rezultă \(x\circ 0 = x\) pentru orice \(x\) real. Aceasta arată că 0 este element neutru la dreapta.

2. 2

   Calculăm \(0 \circ x\)

   0\circ x = 0\cdot 3^{x} + x\cdot 3^{0} = 0 + x\cdot 1 = x

   Legea nu este comutativă în mod evident, deci trebuie verificat și cazul în care 0 este în stânga. Înlocuim în definiție \(x\to 0\) și \(y\to x\): primul termen este 0, iar al doilea este \(x\cdot 3^{0}=x\). Deci 0 este element neutru și la stânga.

3. 3

   Concluzia

   x\circ 0 = 0\circ x = x,\ \forall x\in\mathbb{R}\ \Rightarrow\ e=0

   Am arătat că \(x\circ 0 = x\) și \(0\circ x = x\) pentru orice număr real \(x\). Exact aceasta este definiția elementului neutru, deci \(e=0\) este elementul neutru al legii „\(\circ\)”.

Răspuns: Pentru orice \(x\in\mathbb{R}\) avem \(x\circ 0 = 0\circ x = x\), deci \(e=0\) este elementul neutru al legii „\(\circ\)”.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \( x \circ y = x\cdot 3^{y} + y\cdot 3^{x} \). Determinați numărul real nenul \( x \) pentru care \( x \circ (3x) = (2x) \circ (2x) \).

Metoda: Calcul direct și ecuație exponențială

1. 1

   Calculăm membrul stâng

   x\circ(3x)=x\cdot 3^{3x}+3x\cdot 3^{x}=x\cdot 3^{x}\left(3^{2x}+3\right)

   Aplicăm definiția \( x\circ y = x\cdot 3^{y}+y\cdot 3^{x} \) cu \( y=3x \). Primul termen este \( x\cdot 3^{3x} \), iar al doilea \( 3x\cdot 3^{x} \). Dăm factor comun \( x\cdot 3^{x} \), pentru că \( 3^{3x}=3^{x}\cdot 3^{2x} \) și \( 3x = x\cdot 3 \).

2. 2

   Calculăm membrul drept

   (2x)\circ(2x)=2x\cdot 3^{2x}+2x\cdot 3^{2x}=4x\cdot 3^{2x}

   Aici ambele argumente sunt \( 2x \), deci cei doi termeni din definiție sunt identici: \( 2x\cdot 3^{2x} \). Adunându-i obținem \( 4x\cdot 3^{2x} \).

3. 3

   Aducem ecuația la o formă care se descompune

   x\cdot 3^{x}\left(3^{2x}+3\right)=4x\cdot 3^{2x}\;\Rightarrow\; x\cdot 3^{x}\left(3^{2x}+3-4\cdot 3^{x}\right)=0

   Mutăm totul în stânga și dăm factor comun \( x\cdot 3^{x} \), deoarece \( 4x\cdot 3^{2x}=x\cdot 3^{x}\cdot 4\cdot 3^{x} \). Notând \( t=3^{x}>0 \), parantezele devin \( t^{2}-4t+3 \), care se descompune ca \( (t-3)(t-1) \). Deci ecuația este \( x\cdot 3^{x}(3^{x}-3)(3^{x}-1)=0 \).

4. 4

   Rezolvăm ecuația și alegem soluția

   3^{x}-3=0\Rightarrow x=1,\qquad 3^{x}-1=0\Rightarrow x=0

   Un produs este nul dacă un factor este nul. Factorul \( 3^{x} \) nu se anulează niciodată. Din \( x=0 \) sau \( 3^{x}=1 \) obținem \( x=0 \), dar problema cere \( x \) nenul, deci se exclude. Rămâne \( 3^{x}=3 \), adică \( x=1 \).

Răspuns: \( x=1 \)

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{e^x}{x^2+3x+3}\). a) Arătați că \(f'(x)=\dfrac{e^x(x^2+x)}{(x^2+3x+3)^2}\), \(x\in\mathbb{R}\).

Metoda: Derivata unui cât de funcții

1. 1

   Alegem formula de derivare a câtului

   \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}

   Funcția are forma \(\frac{u}{v}\), cu \(u(x)=e^x\) și \(v(x)=x^2+3x+3\). Aceasta este formula pentru derivata unui cât. Numitorul lui \(v\) nu se anulează: \(x^2+3x+3\) are discriminantul \(9-12=-3<0\), deci este mereu pozitiv, iar \(f\) este derivabilă pe \(\mathbb{R}\).

2. 2

   Înlocuim în formulă

   f'(x)=\frac{e^x(x^2+3x+3)-e^x(2x+3)}{(x^2+3x+3)^2}

   Avem \(u'=(e^x)'=e^x\) și \(v'=2x+3\). Le punem în formula \(\frac{u'v-uv'}{v^2}\). Numitorul rămâne \((x^2+3x+3)^2\).

3. 3

   Dăm factor comun și simplificăm

   f'(x)=\frac{e^x\left(x^2+3x+3-2x-3\right)}{(x^2+3x+3)^2}=\frac{e^x(x^2+x)}{(x^2+3x+3)^2}

   La numărător apare \(e^x\) în ambii termeni, deci îl dăm factor comun. În paranteză reducem: \(3x-2x=x\) și \(3-3=0\), rămâne \(x^2+x\). Astfel obținem exact forma cerută, pentru orice \(x\in\mathbb{R}\).

Răspuns: \(f'(x)=\dfrac{e^x(x^2+x)}{(x^2+3x+3)^2}\), pentru orice \(x\in\mathbb{R}\), ceea ce trebuia arătat.

Se consideră funcția \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=\dfrac{e^x}{x^2+3x+3} \). b) Arătați că \( \lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty \).

Metoda: Regula lui l'Hospital

1. 1

   Identificăm nedeterminarea

   \lim_{x\to+\infty} \frac{e^x}{x^2+3x+3}=\frac{\infty}{\infty}

   Când \(x\to+\infty\), numărătorul \(e^x\to+\infty\) și numitorul \(x^2+3x+3\to+\infty\). Raportul are forma \(\frac{\infty}{\infty}\), deci nu putem decide direct rezultatul. Pentru asemenea cazuri putem folosi regula lui l'Hospital: derivăm separat numărătorul și numitorul.

2. 2

   Prima aplicare a regulii lui l'Hospital

   \lim_{x\to+\infty}\frac{(e^x)'}{(x^2+3x+3)'}=\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{2x+3}

   Derivăm numărătorul: \((e^x)'=e^x\). Derivăm numitorul: \((x^2+3x+3)'=2x+3\). Limita inițială este egală cu limita raportului derivatelor, dacă aceasta există. Obținem tot \(\frac{\infty}{\infty}\), deci mai aplicăm o dată regula.

3. 3

   A doua aplicare și concluzia

   \lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{2x+3}=\lim_{x\to+\infty}\frac{(e^x)'}{(2x+3)'}=\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{2}=+\infty

   Încă avem \(\frac{\infty}{\infty}\), așa că derivăm din nou: \((e^x)'=e^x\) și \((2x+3)'=2\). Obținem \(\frac{e^x}{2}\), iar când \(x\to+\infty\), \(e^x\to+\infty\), deci limita este \(+\infty\). Așadar \(\lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty\).

Răspuns: \(\lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty\), obținut prin două aplicări ale regulii lui l'Hospital.

Subiectul III, 1. c) Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{e^x}{x^2+3x+3}\). Demonstrați că \(f(x)-f(y)\le \dfrac{3-e}{3e}\), pentru orice numere reale \(x\) și \(y\), cu \(x\le 0\le y\).

Metoda: Monotonia funcției cu derivata întâi

1. 1

   Semnul derivatei

   f'(x)=\frac{e^x(x^2+x)}{(x^2+3x+3)^2}=\frac{e^x\,x(x+1)}{(x^2+3x+3)^2}

   Din punctul a) știm derivata. Numitorul \((x^2+3x+3)^2\) este pozitiv (discriminantul \(9-12<0\), deci \(x^2+3x+3>0\)), iar \(e^x>0\). Deci semnul lui \(f'\) este dat doar de \(x(x+1)=x^2+x\). Rădăcinile sunt \(x=-1\) și \(x=0\), iar expresia este pozitivă în afara rădăcinilor și negativă între ele.

2. 2

   Tabelul de monotonie

   f \nearrow \text{ pe } (-\infty,-1],\quad f\searrow \text{ pe } [-1,0],\quad f\nearrow \text{ pe } [0,+\infty)

   Pe \((-\infty,-1]\) avem \(f'\ge 0\), deci \(f\) crește. Pe \([-1,0]\) avem \(f'\le 0\), deci \(f\) scade. Pe \([0,+\infty)\) avem \(f'\ge 0\), deci \(f\) crește. Rezultă că pe \((-\infty,0]\) valoarea maximă este \(f(-1)\), iar pe \([0,+\infty)\) valoarea minimă este \(f(0)\).

3. 3

   Evaluarea la capete

   f(-1)=\frac{e^{-1}}{1-3+3}=\frac1e,\qquad f(0)=\frac{1}{3}

   Calculăm valorile în punctele importante. Pentru \(x=-1\): \(x^2+3x+3=1-3+3=1\), deci \(f(-1)=1/e\). Pentru \(x=0\): numitorul este \(3\) și \(e^0=1\), deci \(f(0)=1/3\).

4. 4

   Concluzia

   f(x)-f(y)\le \frac1e-\frac13=\frac{3-e}{3e}

   Pentru \(x\le 0\) avem \(f(x)\le f(-1)=\frac1e\). Pentru \(y\ge 0\) avem \(f(y)\ge f(0)=\frac13\), deci \(-f(y)\le -\frac13\). Adunând inegalitățile obținem \(f(x)-f(y)\le \frac1e-\frac13\). Aducem la numitor comun: \(\frac{3-e}{3e}\), ceea ce trebuia demonstrat.

Răspuns: Am arătat că \(f(x)\le f(-1)=\frac1e\) pentru \(x\le0\) și \(f(y)\ge f(0)=\frac13\) pentru \(y\ge0\), deci \(f(x)-f(y)\le \frac{3-e}{3e}\).

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=4x+1+3x\ln x\). a) Arătați că \(\int_{1}^{2}\left(f(x)-3x\ln x\right)dx=7\).

Metoda: Integrala unei funcții polinomiale

1. 1

   Simplificăm expresia de sub integrală

   f(x)-3x\ln x=(4x+1+3x\ln x)-3x\ln x=4x+1

   Înlocuim \(f(x)\) cu formula dată. Termenii \(3x\ln x\) și \(-3x\ln x\) se reduc, deci rămâne doar \(4x+1\). Așa evităm o integrare prin părți inutilă.

2. 2

   Scriem integrala și găsim o primitivă

   \int_{1}^{2}(4x+1)\,dx=\left(2x^2+x\right)\Big|_{1}^{2}

   O primitivă a lui \(4x\) este \(2x^2\) (derivata lui \(2x^2\) este \(4x\)), iar o primitivă a lui \(1\) este \(x\). Deci o primitivă a lui \(4x+1\) este \(2x^2+x\).

3. 3

   Aplicăm formula Leibniz-Newton

   \left(2x^2+x\right)\Big|_{1}^{2}=\left(2\cdot 2^2+2\right)-\left(2\cdot 1^2+1\right)=8+2-(2+1)=7

   Calculăm valoarea primitivei în capătul de sus (\(x=2\)) și scădem valoarea ei în capătul de jos (\(x=1\)). Obținem \(10-3=7\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\int_{1}^{2}\left(f(x)-3x\ln x\right)dx=\left(2x^2+x\right)\Big|_1^2=7\).

Se consideră funcția \( f:(0,+\infty)\to\mathbb{R},\ f(x)=4x+1+3x\ln x \). b) Arătați că \( \int_1^e \frac{f(x)-4x-1}{x}\,dx=3 \).

Metoda: Integrare prin părți

1. 1

   Simplificăm expresia de sub integrală

   \frac{f(x)-4x-1}{x}=\frac{3x\ln x}{x}=3\ln x

   Înlocuim \( f(x)=4x+1+3x\ln x \). Termenii \( 4x \) și \( 1 \) se reduc cu cei scăzuți, iar rămâne \( 3x\ln x \). Împărțim la \( x \) (avem \( x>0 \)) și obținem \( 3\ln x \). Astfel integrala devine \( \int_1^e 3\ln x\,dx \), mult mai simplă.

2. 2

   Integrăm prin părți

   \int_1^e 3\ln x\,dx=\int_1^e (3x)'\ln x\,dx=3x\ln x\Big|_1^e-\int_1^e 3x\cdot\frac1x\,dx

   Nu avem o primitivă directă pentru \( \ln x \), deci folosim formula \( \int u'v=uv-\int uv' \). Alegem \( u=3x \) (deci \( u'=3 \)) și \( v=\ln x \) (deci \( v'=\frac1x \)). Integrala rămasă este \( \int_1^e 3\,dx \), una simplă.

3. 3

   Calculăm cu formula Leibniz-Newton

   3x\ln x\Big|_1^e-3x\Big|_1^e=(3e-0)-(3e-3)=3

   Pentru \( 3x\ln x \): la \( e \) avem \( 3e\cdot 1=3e \), iar la \( 1 \) avem \( 3\cdot 1\cdot 0=0 \). Pentru \( 3x \): la \( e \) avem \( 3e \), la \( 1 \) avem \( 3 \), diferența fiind \( 3e-3 \). Atunci \( 3e-(3e-3)=3 \), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \( \int_1^e \frac{f(x)-4x-1}{x}\,dx=3 \), adică egalitatea cerută este adevărată.

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=4x+1+3x\ln x\). Determinați numărul real \(a\) pentru care \(\int_{2}^{4}\frac{f(x)-1}{x^2\ln x}\,dx=a\ln 2\).

Metoda: Integrare prin separare și substituție

1. 1

   Simplificăm expresia de integrat

   \frac{f(x)-1}{x^2\ln x}=\frac{4x+3x\ln x}{x^2\ln x}=\frac{4}{x\ln x}+\frac{3}{x}

   Mai întâi calculăm \(f(x)-1=4x+3x\ln x\). Apoi dăm factor comun \(x\) la numărător și simplificăm cu \(x^2\) de la numitor. Împărțim fracția în două: \(\frac{4x}{x^2\ln x}=\frac{4}{x\ln x}\) și \(\frac{3x\ln x}{x^2\ln x}=\frac{3}{x}\). Facem asta pentru ca fiecare termen să aibă o primitivă ușor de găsit.

2. 2

   Găsim primitivele

   \int_2^4\frac{4}{x\ln x}\,dx=\int_2^4 4\cdot\frac{(\ln x)'}{\ln x}\,dx=4\ln(\ln x)\Big|_2^4,\quad \int_2^4\frac{3}{x}\,dx=3\ln x\Big|_2^4

   Pentru primul termen observăm că \(\frac{1}{x}=(\ln x)'\), deci avem forma \(\frac{u'}{u}\) cu \(u=\ln x\), a cărei primitivă este \(\ln u\). Rezultă \(4\ln(\ln x)\). Pentru al doilea termen, primitiva lui \(\frac{1}{x}\) este \(\ln x\), deci obținem \(3\ln x\). Pe \([2,4]\) avem \(\ln x>0\), deci \(\ln(\ln x)\) are sens.

3. 3

   Aplicăm formula Leibniz-Newton

   4\ln(\ln 4)-4\ln(\ln 2)+3\ln 4-3\ln 2=4\ln\frac{\ln 4}{\ln 2}+3\ln\frac{4}{2}

   Calculăm valoarea primitivei în \(4\) minus valoarea în \(2\). Folosim \(\ln 4=2\ln 2\), deci \(\frac{\ln 4}{\ln 2}=2\). Atunci primul termen devine \(4\ln 2\). Al doilea este \(3\ln 4-3\ln 2=3\ln 2\). Observăm cum apare \(\ln 2\), exact ce ne trebuie.

4. 4

   Comparăm cu \(a\ln 2\)

   4\ln 2+3\ln 2=7\ln 2=a\ln 2\Rightarrow a=7

   Adunăm cele două rezultate: \(4\ln 2+3\ln 2=7\ln 2\). Egalăm cu \(a\ln 2\) și, cum \(\ln 2\neq 0\), împărțim la \(\ln 2\) și obținem \(a=7\), la fel ca în barem.

Răspuns: \(a=7\)