Matematică 2025

Ministerul Educației și Cercetării Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație Examenul național de bacalaureat 2025 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Simulare Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii  Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.  Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Arătați că 2i  6  i   3 1  4i   5 , unde i 2  1 . 5p 2. Se consideră funcția f :ℝ  ℝ, f  x   x  5 . Determinați numărul real a pentru care  f  f  a   2a . 5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x 2  4 x  4  x 2 . 5p 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea numerelor naturale de o cifră, numărul 2n să fie divizibil cu 16 . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A  3,1 și B  2, 4  . Arătați că triunghiul OAB este dreptunghic în A . x 5p 6. Se consideră expresia E  x   sin x  2cos 2 x  2sin 2 , unde x este număr real. Arătați că 2   E   0. 2 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  x 1 x  1. Se consideră matricea A  x     , unde x este număr real.  2 x 2 x  1 5p a) Arătați că det  A 1   4 . 5p b) Arătați că A  1  A  x   A  2 x  1 , pentru orice număr real x . 5p c) Determinați perechile  m, n  de numere naturale, cu m n, pentru care A  1   A  m   A  n    2 A  4  . 2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x  y  x  3 y  y  3x . 5p a) Arătați că 1  2  15 . 5p b) Arătați că e  0 este elementul neutru al legii de compoziție „  ”. 5p c) Determinați numărul real nenul x pentru care x   3x    2 x    2 x  . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) ex 1. Se consideră funcția f : ℝ  ℝ , f  x   . x 2  3x  3 5p a) Arătați că f '  x    e x x2  x  , x ℝ .  x 2  3 x  3 2 5p b) Arătați că lim f  x    . x  3e 5p c) Demonstrați că f  x   f  y   , pentru orice numere reale x și y , cu x  0  y . 3e 2. Se consideră funcția f :  0,    ℝ , f  x   4 x  1  3x ln x . 2 5p a) Arătați că   f  x   3 x ln x  dx  7 . 1 Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii Pagina 1 din 2  Ministerul Educației și Cercetării Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație e f  x   4x  1 5p b) Arătați că  dx  3 . 1 x 4 f  x 1 5p c) Determinați numărul real a pentru care  2 dx  a ln 2 . 2 x ln x Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii Pagina 2 din 2