Rezolvare pas cu pas: Matematică – Științele naturii (M2) – Bacalaureat 2025, sesiunea specială (varianta 03)

Arătați că \(2\cdot(1{,}1+0{,}3)-1{,}8=1\).

Metoda: Calcul cu numere zecimale

1. 1

   Calculăm paranteza

   1{,}1+0{,}3=1{,}4

   Ordinea operațiilor spune că parantezele se fac primele. Adunăm \(1{,}1+0{,}3\): \(11\) zecimi plus \(3\) zecimi fac \(14\) zecimi, adică \(1{,}4\). Expresia devine \(2\cdot 1{,}4-1{,}8\).

2. 2

   Efectuăm înmulțirea

   2\cdot 1{,}4=2{,}8

   După paranteză urmează înmulțirea, care are prioritate față de scădere. Dublul lui \(1{,}4\) este \(2{,}8\), pentru că \(2\cdot1=2\) și \(2\cdot0{,}4=0{,}8\). Expresia devine \(2{,}8-1{,}8\).

3. 3

   Efectuăm scăderea și concluzionăm

   2{,}8-1{,}8=1

   Rămâne scăderea. Cele două numere au aceeași parte zecimală \(0{,}8\), deci diferența este \(2-1=1\). Am obținut exact valoarea cerută, deci egalitatea este demonstrată.

Răspuns: \(2\cdot(1{,}1+0{,}3)-1{,}8=2\cdot1{,}4-1{,}8=2{,}8-1{,}8=1\), deci egalitatea este adevărată.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=2x+4\). Determinați numărul real \(a\) pentru care \(f(a)=a\cdot f(0)\).

Metoda: Calcul de valori ale funcției

1. 1

   Calculăm f(0) și f(a)

   f(0)=2\cdot 0+4=4,\quad f(a)=2a+4

   Pentru a afla valoarea funcției într-un punct, înlocuim pe \(x\) cu acel număr în formula \(f(x)=2x+4\). Avem nevoie de \(f(0)\) și de \(f(a)\), pentru că ambele apar în egalitatea din enunț. Pentru \(x=0\) obținem \(f(0)=4\), iar pentru \(x=a\) obținem \(f(a)=2a+4\), pentru orice număr real \(a\).

2. 2

   Punem condiția din enunț

   f(a)=a\cdot f(0)\ \Rightarrow\ 2a+4=a\cdot 4=4a

   Înlocuim în egalitatea \(f(a)=a\cdot f(0)\) ce am aflat la pasul anterior: în stânga \(2a+4\), în dreapta \(a\cdot 4\). Se obține o ecuație de gradul I în necunoscuta \(a\), adică \(2a+4=4a\).

3. 3

   Rezolvăm ecuația

   2a+4=4a\ \Rightarrow\ 4=4a-2a\ \Rightarrow\ 2a=4\ \Rightarrow\ a=2

   Strângem termenii cu \(a\) într-o parte: scădem \(2a\) din ambii membri și obținem \(4=2a\). Împărțim apoi la 2 și rezultă \(a=2\).

4. 4

   Verificăm rezultatul

   f(2)=2\cdot 2+4=8,\quad 2\cdot f(0)=2\cdot 4=8

   Verificăm dacă \(a=2\) respectă condiția inițială: \(f(2)=8\), iar \(a\cdot f(0)=2\cdot 4=8\). Cele două valori sunt egale, deci răspunsul este corect.

Răspuns: \(a=2\)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(\sqrt{2-x}=\sqrt{x^2+x-1}\).

Metoda: Ridicare la pătrat și verificare

1. 1

   Ridicăm ambii membri la pătrat

   2-x=x^2+x-1

   Cei doi radicali sunt egali, deci și expresiile de sub radical trebuie să fie egale (atunci când ele sunt pozitive sau zero). Ridicând la pătrat, \(\sqrt{A}=\sqrt{B}\) devine \(A=B\).

2. 2

   Aducem ecuația la forma de gradul II

   x^2+2x-3=0

   Mutăm toți termenii în membrul drept: \(0=x^2+x-1-2+x\), adică \(x^2+2x-3=0\). Obținem o ecuație de gradul II, pe care știm s-o rezolvăm.

3. 3

   Rezolvăm ecuația de gradul II

   \Delta=2^2-4\cdot1\cdot(-3)=16,\quad x=\dfrac{-2\pm4}{2}\Rightarrow x=-3\text{ sau }x=1

   Calculăm discriminantul: \(\Delta=4+12=16\), deci \(\sqrt{\Delta}=4\). Rădăcinile sunt \(x=\frac{-2-4}{2}=-3\) și \(x=\frac{-2+4}{2}=1\). Se poate și prin descompunere: \((x+3)(x-1)=0\).

4. 4

   Verificăm soluțiile în ecuația inițială

   x=-3:\ \sqrt{5}=\sqrt{5};\quad x=1:\ \sqrt{1}=\sqrt{1}

   Ridicarea la pătrat poate adăuga soluții false, deci verificăm. Pentru \(x=-3\): \(2-(-3)=5\) și \((-3)^2+(-3)-1=9-3-1=5\); ambele expresii sunt pozitive și egale. Pentru \(x=1\): \(2-1=1\) și \(1+1-1=1\); și aici avem egalitate. Ambele soluții convin.

Răspuns: Mulțimea soluțiilor este \(\{-3;\,1\}\), adică \(x=-3\) sau \(x=1\); ambele convin.

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr \(n\) din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice inegalitatea \(n^3>10\).

Metoda: Probabilitate: cazuri favorabile / posibile

1. 1

   Numărăm cazurile posibile

   \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}

   Numerele naturale de o cifră sunt 0, 1, 2, ..., 9. Ele sunt toate rezultatele posibile ale alegerii, deci aflăm câte sunt. Atenție: 0 este număr natural, deci îl numărăm. Sunt 10 cazuri posibile.

2. 2

   Numărăm cazurile favorabile

   n^3>10

   Verificăm numerele pe rând. \(0^3=0\), \(1^3=1\), \(2^3=8\) sunt mai mici sau egale cu 10, deci nu convin. Pentru \(n=3\) avem \(3^3=27>10\), iar cubul crește odată cu \(n\), deci convin toate numerele de la 3 la 9: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Sunt 7 cazuri favorabile.

3. 3

   Calculăm probabilitatea

   p=\dfrac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}=\dfrac{7}{10}

   Aplicăm formula clasică a probabilității: raportul dintre numărul cazurilor favorabile (7) și cel al cazurilor posibile (10). Fracția \(\frac{7}{10}\) nu se mai simplifică.

Răspuns: \(p=\dfrac{7}{10}\)

În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(1,4)\), \(B(2,0)\) și \(C(8,2)\). Determinați distanța dintre punctul \(A\) și mijlocul segmentului \(BC\).

Metoda: Mijlocul unui segment și distanța

1. 1

   Aflăm mijlocul M al segmentului BC

   M\left(\frac{x_B+x_C}{2},\frac{y_B+y_C}{2}\right)=M\left(\frac{2+8}{2},\frac{0+2}{2}\right)=M(5,1)

   Coordonatele mijlocului unui segment sunt media aritmetică a coordonatelor capetelor. Pentru \(B(2,0)\) și \(C(8,2)\) obținem abscisa \(\frac{2+8}{2}=5\) și ordonata \(\frac{0+2}{2}=1\), deci \(M(5,1)\).

2. 2

   Calculăm distanța AM

   AM=\sqrt{(x_M-x_A)^2+(y_M-y_A)^2}=\sqrt{(5-1)^2+(1-4)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5

   Distanța dintre două puncte se calculează cu formula distanței, care vine din teorema lui Pitagora. Diferențele sunt \(5-1=4\) pe orizontală și \(1-4=-3\) pe verticală. Ridicate la pătrat dau \(16\) și \(9\), suma este \(25\), iar \(\sqrt{25}=5\).

Răspuns: AM = 5

Se consideră triunghiul \(ABC\), dreptunghic în \(A\), cu \(BC=10\) și \(\sin B=\dfrac{2}{5}\). Arătați că \(AC=4\).

Metoda: Definiția sinusului în triunghi dreptunghic

1. 1

   Identificăm elementele triunghiului

   \angle A=90^\circ,\quad BC=\text{ipotenuza},\quad AC=\text{cateta opusă unghiului }B

   Triunghiul este dreptunghic în \(A\), deci ipotenuza este latura din fața unghiului drept, adică \(BC=10\). Latura \(AC\) se află în fața unghiului \(B\), deci este cateta opusă lui \(B\). Avem nevoie de această identificare ca să știm ce raport reprezintă \(\sin B\).

2. 2

   Scriem definiția sinusului

   \sin B=\frac{AC}{BC}

   În triunghiul dreptunghic, sinusul unui unghi ascuțit este raportul dintre cateta opusă și ipotenuză. Pentru unghiul \(B\), cateta opusă este \(AC\), iar ipotenuza este \(BC\). Înlocuim apoi datele cunoscute: \(\sin B=\frac{2}{5}\) și \(BC=10\).

3. 3

   Aflăm lungimea catetei AC

   \frac{2}{5}=\frac{AC}{10}\ \Rightarrow\ AC=\frac{2\cdot 10}{5}=4

   Din proporția \(\frac{2}{5}=\frac{AC}{10}\) înmulțim ambii membri cu 10 și obținem \(AC=\frac{2\cdot 10}{5}\). Calculăm: \(2\cdot 10=20\), iar \(20:5=4\). Am obținut exact ce trebuia arătat: \(AC=4\).

Răspuns: \(AC=4\)

Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) și \(A(x)=\begin{pmatrix}2+2x&x\\-x&2-2x\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. a) Arătați că \(\det(A(1))=1\).

Metoda: Calculul determinantului de ordin 2

1. 1

   Scriem matricea A(1)

   A(1)=\begin{pmatrix}2+2\cdot 1&1\\-1&2-2\cdot 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&1\\-1&0\end{pmatrix}

   Matricea \(A(x)\) depinde de \(x\). Pentru \(A(1)\) punem \(x=1\) în fiecare element: \(2+2x=4\), \(x=1\), \(-x=-1\), \(2-2x=0\). Trebuie să avem matricea numerică înainte de a calcula determinantul.

2. 2

   Calculăm determinantul

   \det(A(1))=\begin{vmatrix}4&1\\-1&0\end{vmatrix}=4\cdot 0-1\cdot(-1)=0+1=1

   Pentru o matrice de ordin 2, \(\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc\). Aici \(a=4,\ b=1,\ c=-1,\ d=0\). Produsul de pe diagonala principală este \(4\cdot 0=0\), iar cel de pe diagonala secundară este \(1\cdot(-1)=-1\). Scăderea \(0-(-1)\) dă 1, deci egalitatea cerută este adevărată.

Răspuns: \(\det(A(1))=1\)

Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) și \(A(x)=\begin{pmatrix}2+2x&x\\-x&2-2x\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. b) Arătați că \(A(2)\cdot A(1)+3A(-2)=16I_2\).

Metoda: Calcul cu matrice 2x2

1. 1

   Calculăm A(2) și A(1)

   A(2)=\begin{pmatrix}6&2\\-2&-2\end{pmatrix},\ A(1)=\begin{pmatrix}4&1\\-1&0\end{pmatrix}

   Înlocuim x=2 și apoi x=1 în \(A(x)=\begin{pmatrix}2+2x&x\\-x&2-2x\end{pmatrix}\). Pentru x=2: \(2+4=6\), \(x=2\), \(-x=-2\), \(2-4=-2\). Pentru x=1: \(2+2=4\), \(1\), \(-1\), \(2-2=0\).

2. 2

   Calculăm produsul A(2)·A(1)

   A(2)\cdot A(1)=\begin{pmatrix}6&2\\-2&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4&1\\-1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}22&6\\-6&-2\end{pmatrix}

   Înmulțim linie cu coloană. Elementul (1,1): \(6\cdot4+2\cdot(-1)=22\). (1,2): \(6\cdot1+2\cdot0=6\). (2,1): \((-2)\cdot4+(-2)\cdot(-1)=-6\). (2,2): \((-2)\cdot1+(-2)\cdot0=-2\).

3. 3

   Calculăm A(-2) și 3A(-2)

   A(-2)=\begin{pmatrix}-2&-2\\2&6\end{pmatrix},\ 3A(-2)=\begin{pmatrix}-6&-6\\6&18\end{pmatrix}

   Pentru x=-2: \(2+2(-2)=-2\), \(x=-2\), \(-x=2\), \(2-2(-2)=6\). Apoi înmulțim fiecare element cu 3.

4. 4

   Adunăm și comparăm cu 16I₂

   A(2)A(1)+3A(-2)=\begin{pmatrix}16&0\\0&16\end{pmatrix}=16I_2

   Adunăm element cu element: \(22+(-6)=16\), \(6+(-6)=0\), \(-6+6=0\), \(-2+18=16\). Obținem matricea cu 16 pe diagonală și 0 în rest, adică \(16I_2\).

Răspuns: \(A(2)\cdot A(1)+3A(-2)=\begin{pmatrix}16&0\\0&16\end{pmatrix}=16I_2\), deci egalitatea este demonstrată.

Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) și \(A(x)=\begin{pmatrix}2+2x&x\\-x&2-2x\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. c) Determinați numărul întreg nenul \(m\) pentru care matricea \(B(m)=\frac{1}{m}A(-m)\) este inversa matricei \(A(m)\).

Metoda: Definiția matricei inverse

1. 1

   Condiția de inversă

   A(m)\cdot B(m)=B(m)\cdot A(m)=I_2

   Prin definiție, \(B(m)\) este inversa lui \(A(m)\) dacă produsul lor, în ambele ordini, este \(I_2\). Scriem \(B(m)=\frac{1}{m}A(-m)\), cu \(A(-m)=\begin{pmatrix}2-2m&-m\\m&2+2m\end{pmatrix}\), deci condiția devine \(\frac{1}{m}A(m)\cdot A(-m)=I_2\).

2. 2

   Calculăm produsul \(A(m)\cdot A(-m)\)

   A(m)\cdot A(-m)=\begin{pmatrix}2+2m&m\\-m&2-2m\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2-2m&-m\\m&2+2m\end{pmatrix}=(4-3m^2)I_2

   Calculăm element cu element. Poziția (1,1): \((2+2m)(2-2m)+m^2=4-4m^2+m^2=4-3m^2\). Poziția (1,2): \(-m(2+2m)+m(2+2m)=0\). Poziția (2,1): \(-m(2-2m)+m(2-2m)=0\). Poziția (2,2): \(m^2+(2-2m)(2+2m)=m^2+4-4m^2=4-3m^2\). Deci produsul este \((4-3m^2)I_2\), iar \(A(m)\cdot B(m)=\frac{4-3m^2}{m}I_2\). Produsul în ordine inversă dă același rezultat.

3. 3

   Rezolvăm ecuația și alegem soluția

   \frac{4-3m^2}{m}=1\Rightarrow 3m^2+m-4=0\Rightarrow m=-\frac43\text{ sau }m=1

   Egalitatea \(\frac{4-3m^2}{m}I_2=I_2\) cere ca \(\frac{4-3m^2}{m}=1\). Cum \(m\neq0\), obținem \(4-3m^2=m\), adică \(3m^2+m-4=0\). Discriminantul este \(1+48=49\), deci \(m=\frac{-1\pm7}{6}\), adică \(m=1\) sau \(m=-\frac43\). Valoarea \(-\frac43\) nu este număr întreg, deci nu convine. Rămâne \(m=1\), pentru care ecuația este verificată.

Răspuns: m = 1

Se consideră polinomul \(f = X^3 - 3X^2 - 3X + a\), unde \(a\) este număr real. a) Pentru \(a = 1\), arătați că \(f(-1) = 0\).

Metoda: Calculul valorii polinomului

1. 1

   Înlocuim a = 1 și X = -1

   f = X^3 - 3X^2 - 3X + 1 \Rightarrow f(-1) = (-1)^3 - 3\cdot(-1)^2 - 3\cdot(-1) + 1

   Pentru \(a=1\) polinomul este \(f = X^3 - 3X^2 - 3X + 1\). Ca să aflăm \(f(-1)\), punem \(-1\) peste tot unde apare \(X\). Punem \(-1\) între paranteze ca să nu greșim semnele.

2. 2

   Efectuăm calculele

   f(-1) = -1 - 3 + 3 + 1 = 0

   Calculăm termenii: \((-1)^3=-1\), \(-3\cdot 1=-3\), \(-3\cdot(-1)=+3\) și rămâne \(+1\). Suma este \(-1-3+3+1=0\). Deoarece \(f(-1)=0\), numărul \(-1\) este rădăcină a polinomului.

Răspuns: Pentru \(a=1\) obținem \(f(-1)=-1-3+3+1=0\), deci egalitatea este demonstrată.

Se consideră polinomul \(f = X^3 - 3X^2 - 3X + a\), unde \(a\) este număr real. b) Determinați numărul real \(a\) pentru care \(3x_1 + 3x_2 + 3x_3 - x_1x_2x_3 = 3\), unde \(x_1\), \(x_2\) și \(x_3\) sunt rădăcinile polinomului \(f\).

Metoda: Relațiile lui Viète

1. 1

   Scriem relațiile lui Viète pentru polinomul de gradul 3

   x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a_3}=3,\qquad x_1x_2x_3=-\frac{d}{a_3}=-a

   Pentru un polinom \(X^3+bX^2+cX+d\) cu coeficientul dominant 1, suma rădăcinilor este \(-b\), iar produsul lor este \(-d\). Aici \(b=-3\) și \(d=a\), deci suma este \(3\), iar produsul este \(-a\). Facem acest pas pentru că expresia din enunț depinde doar de sumă și de produs, deci nu avem nevoie de rădăcinile propriu-zise.

2. 2

   Înlocuim în expresia din enunț

   3(x_1+x_2+x_3)-x_1x_2x_3=3\cdot 3-(-a)=9+a

   Grupăm primii trei termeni: \(3x_1+3x_2+3x_3=3(x_1+x_2+x_3)=3\cdot 3=9\). Din produs scădem \(x_1x_2x_3=-a\), deci \(-x_1x_2x_3=a\). Expresia devine \(9+a\), pentru orice număr real \(a\).

3. 3

   Rezolvăm ecuația în a

   9+a=3\ \Rightarrow\ a=3-9=-6

   Condiția din enunț spune că expresia este egală cu \(3\). Deci \(9+a=3\), de unde \(a=-6\). Este singura valoare posibilă, deoarece ecuația este de gradul I în \(a\).

Răspuns: \(a=-6\)

Se consideră polinomul \(f = X^3 - 3X^2 - 3X + a\), unde \(a\) este număr real. c) Pentru \(a = 9\), determinați rădăcinile polinomului \(f\).

Metoda: Factor comun prin grupare

1. 1

   Scriem polinomul pentru a = 9

   f = X^3 - 3X^2 - 3X + 9

   Înlocuim \(a = 9\) în polinomul dat. Obținem un polinom de gradul 3, deci are cel mult 3 rădăcini reale. Ne trebuie o formă mai simplă ca să le găsim.

2. 2

   Grupăm termenii și dăm factor comun

   f = X^2(X-3) - 3(X-3) = (X-3)(X^2-3)

   Grupăm primii doi termeni și ultimii doi: \(X^3 - 3X^2 = X^2(X-3)\) și \(-3X + 9 = -3(X-3)\). Apare factorul comun \(X-3\), pe care îl scoatem în față. Așa obținem un produs, iar un produs este zero doar dacă un factor este zero.

3. 3

   Rezolvăm ecuația f(X) = 0

   (X-3)(X^2-3)=0 \Rightarrow X-3=0 \text{ sau } X^2=3

   Un produs este nul când cel puțin un factor este nul. Din \(X-3=0\) obținem \(x_1 = 3\). Din \(X^2 - 3 = 0\) obținem \(X^2 = 3\), deci \(x_2 = -\sqrt{3}\) și \(x_3 = \sqrt{3}\).

Răspuns: Rădăcinile polinomului sunt \(x_1 = 3\), \(x_2 = -\sqrt{3}\) și \(x_3 = \sqrt{3}\).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{x^2-8}{e^x}\). a) Arătați că \(f'(x)=\dfrac{(x+2)(4-x)}{e^x}\), \(x\in\mathbb{R}\). b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției \(f\) în punctul de abscisă \(x=0\), situat pe graficul funcției \(f\). c) Demonstrați că \(-4e^2\le f(x)\le e^3\), pentru orice \(x\in[-3,4]\).

Metoda: Derivata unui cât și monotonie

1. 1

   a) Derivata prin formula câtului

   f'(x)=\frac{(x^2-8)'e^x-(x^2-8)(e^x)'}{(e^x)^2}=\frac{2xe^x-(x^2-8)e^x}{(e^x)^2}

   Funcția este un cât, deci folosim \(\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\), cu \(u=x^2-8\) și \(v=e^x\). Avem \(u'=2x\) și \(v'=e^x\).

2. 2

   a) Simplificarea și descompunerea

   f'(x)=\frac{e^x(2x-x^2+8)}{e^{2x}}=\frac{-x^2+2x+8}{e^x}=\frac{(x+2)(4-x)}{e^x}

   Dăm factor comun \(e^x\) și simplificăm cu \(e^{2x}\). Apoi verificăm descompunerea: \((x+2)(4-x)=4x-x^2+8-2x=-x^2+2x+8\), deci coincide cu numărătorul.

3. 3

   b) Valorile f(0) și f'(0)

   f(0)=\frac{0-8}{e^0}=-8,\quad f'(0)=\frac{2\cdot 4}{e^0}=8

   Ecuația tangentei în punctul de abscisă \(x_0\) cere valoarea funcției și a derivatei în \(x_0=0\). Folosim forma derivatei de la a): \((0+2)(4-0)=8\).

4. 4

   b) Ecuația tangentei

   y-f(0)=f'(0)(x-0)\Rightarrow y+8=8x\Rightarrow y=8x-8

   Folosim formula tangentei \(y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)\) și înlocuim valorile găsite.

5. 5

   c) Semnul derivatei și monotonia

   f'(x)=0\iff x=-2\ \text{sau}\ x=4

   Numitorul \(e^x\) este pozitiv, deci semnul lui \(f'\) este semnul lui \((x+2)(4-x)\). Pe \([-3,-2]\) produsul este negativ (de exemplu la \(x=-3\): \((-1)(7)<0\)), deci \(f\) descrește. Pe \([-2,4]\) produsul este pozitiv, deci \(f\) crește.

6. 6

   c) Valorile la capete și în punctul de minim

   f(-3)=e^3,\quad f(-2)=-4e^2,\quad f(4)=\frac{8}{e^4}<e^3

   Minimul este în \(x=-2\), unde \(f(-2)=\frac{4-8}{e^{-2}}=-4e^2\). La capete: \(f(-3)=\frac{9-8}{e^{-3}}=e^3\) și \(f(4)=\frac{8}{e^4}\). Cum \(\frac{8}{e^4}<1<e^3\), maximul este \(e^3\). Deci \(-4e^2\le f(x)\le e^3\) pe \([-3,4]\).

Răspuns: a) \(f'(x)=\frac{(x+2)(4-x)}{e^x}\); b) tangenta este \(y=8x-8\); c) pe \([-3,4]\), \(f(-2)=-4e^2\) este minimul și \(f(-3)=e^3\) maximul, deci \(-4e^2\le f(x)\le e^3\).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{x^2-8}{e^x}\). b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției \(f\) în punctul de abscisă \(x=0\), situat pe graficul funcției \(f\).

Metoda: Ecuația tangentei la grafic

1. 1

   Calculăm f(0)

   f(0)=\frac{0^2-8}{e^0}=-8

   Punctul de pe grafic are abscisa \(0\), iar ordonata lui este \(f(0)\). Înlocuim \(x=0\) în formula funcției și ținem cont că \(e^0=1\). Obținem punctul \((0,-8)\).

2. 2

   Calculăm f'(0)

   f'(x)=\frac{(x+2)(4-x)}{e^x}\ \Rightarrow\ f'(0)=\frac{2\cdot 4}{1}=8

   Panta tangentei este \(f'(0)\). Folosim derivata de la punctul a): \(f'(x)=\dfrac{(x+2)(4-x)}{e^x}\). Înlocuim \(x=0\): \((0+2)(4-0)=8\), iar \(e^0=1\). Deci panta este \(8\).

3. 3

   Scriem ecuația tangentei

   y-f(0)=f'(0)(x-0)\ \Rightarrow\ y+8=8x\ \Rightarrow\ y=8x-8

   Înlocuim în formula tangentei \(y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)\) valorile \(x_0=0\), \(f(0)=-8\) și \(f'(0)=8\). Obținem \(y+8=8x\), adică \(y=8x-8\).

Răspuns: Ecuația tangentei este \(y=8x-8\).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{x^2-8}{e^x}\). c) Demonstrați că \(-4e^2\le f(x)\le e^3\), pentru orice \(x\in[-3,4]\).

Metoda: Studiul monotoniei cu derivata

1. 1

   Găsim punctele critice

   f'(x)=\frac{(x+2)(4-x)}{e^x}=0 \Leftrightarrow x=-2 \text{ sau } x=4

   Din punctul a) știm că \(f'(x)=\dfrac{(x+2)(4-x)}{e^x}\). Deoarece \(e^x>0\), semnul derivatei depinde doar de numărătorul \((x+2)(4-x)\). El se anulează pentru \(x=-2\) și \(x=4\). Aceste puncte împart intervalul în zone unde monotonia nu se schimbă.

2. 2

   Semnul derivatei și monotonia

   x\in[-3,-2]: f'(x)\le 0 \Rightarrow f \searrow;\quad x\in[-2,4]: f'(x)\ge 0 \Rightarrow f \nearrow

   Pe \([-3,-2]\), \(x+2\le 0\) și \(4-x>0\), deci \(f'(x)\le 0\) și \(f\) este descrescătoare. Pe \([-2,4]\), ambii factori sunt \(\ge 0\), deci \(f'(x)\ge 0\) și \(f\) este crescătoare. Rezultă că în \(x=-2\) funcția atinge minimul pe \([-3,4]\), iar maximul poate fi doar la unul dintre capete: \(x=-3\) sau \(x=4\).

3. 3

   Calculăm valorile în -3, -2 și 4

   f(-3)=e^3,\quad f(-2)=-4e^2,\quad f(4)=\frac{8}{e^4}

   Calculăm \(f(-3)=\dfrac{9-8}{e^{-3}}=e^3\). Apoi \(f(-2)=\dfrac{4-8}{e^{-2}}=-4e^2\). La capătul din dreapta, \(f(4)=\dfrac{16-8}{e^4}=\dfrac{8}{e^4}\).

4. 4

   Concluzia: încadrarea

   f(4)=\frac{8}{e^4}<e^3 \Rightarrow -4e^2\le f(x)\le e^3,\ \forall x\in[-3,4]

   Cea mai mică valoare este \(f(-2)=-4e^2\). Maximul este cel mai mare dintre \(f(-3)=e^3\) și \(f(4)=\dfrac{8}{e^4}\). Cum \(\dfrac{8}{e^4}<e^3\) (deoarece \(8<e^7\), căci \(e^7>2^7=128\)), maximul este \(e^3\). Deci pentru orice \(x\in[-3,4]\) avem \(-4e^2\le f(x)\le e^3\).

Răspuns: Pe \([-3,4]\): minimul lui \(f\) este \(f(-2)=-4e^2\), maximul este \(f(-3)=e^3\), deci \(-4e^2\le f(x)\le e^3\).

Se consideră funcția \( f:(0,+\infty)\to\mathbb{R} \), \( f(x)=6x+\dfrac{2\ln x}{x} \). a) Arătați că \( \displaystyle\int_{2}^{3}\left(f(x)-\dfrac{2\ln x}{x}\right)dx=15 \).

Metoda: Integrala funcției polinomiale

1. 1

   Simplificăm expresia de sub integrală

   f(x)-\frac{2\ln x}{x}=6x+\frac{2\ln x}{x}-\frac{2\ln x}{x}=6x

   Înlocuim \( f(x) \) cu formula dată. Fracția \( \frac{2\ln x}{x} \) apare o dată cu plus și o dată cu minus, deci se anulează. Rămâne doar \( 6x \). Așa evităm o integrală grea cu logaritm.

2. 2

   Scriem integrala simplificată și găsim primitiva

   \int_{2}^{3}6x\,dx=3x^2\Big|_{2}^{3}

   Integrala devine \( \int_2^3 6x\,dx \). O primitivă a lui \( 6x \) este \( 3x^2 \), deoarece derivata lui \( 3x^2 \) este \( 6x \). Folosim formula \( \int x\,dx=\frac{x^2}{2} \), deci \( 6\cdot\frac{x^2}{2}=3x^2 \).

3. 3

   Aplicăm formula Leibniz–Newton

   3x^2\Big|_{2}^{3}=3\cdot 3^2-3\cdot 2^2=27-12=15

   Valoarea integralei definite este primitiva în capătul de sus minus primitiva în capătul de jos. Pentru \( x=3 \) obținem \( 3\cdot 9=27 \), iar pentru \( x=2 \) obținem \( 3\cdot 4=12 \). Diferența este \( 27-12=15 \), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \( \displaystyle\int_{2}^{3}\left(f(x)-\frac{2\ln x}{x}\right)dx=\int_2^3 6x\,dx=3x^2\Big|_2^3=27-12=15 \).

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=6x+\dfrac{2\ln x}{x}\). b) Arătați că \(\displaystyle\int_1^e \big(f(x)-6x\big)\,dx=1\).

Metoda: Integrare prin recunoașterea derivatei

1. 1

   Simplificăm expresia de sub integrală

   f(x)-6x=\frac{2\ln x}{x}

   Avem \(f(x)=6x+\frac{2\ln x}{x}\). Când scădem \(6x\), termenul \(6x\) se reduce și rămâne doar \(\frac{2\ln x}{x}\). Așadar integrala devine \(\int_1^e \frac{2\ln x}{x}\,dx\). Facem asta pentru a scăpa de partea care nu ne trebuie.

2. 2

   Recunoaștem derivata lui \(\ln x\)

   \int_1^e \frac{2\ln x}{x}\,dx=\int_1^e 2\ln x\,(\ln x)'\,dx

   Știm că \((\ln x)'=\frac{1}{x}\). Putem deci scrie \(\frac{1}{x}\) ca \((\ln x)'\), iar integrala devine \(\int_1^e 2\ln x\,(\ln x)'\,dx\). Acum avem forma \(2u\cdot u'\), cu \(u=\ln x\).

3. 3

   Aflăm o primitivă

   \left(\ln^2 x\right)'=2\ln x\cdot\frac1x \Rightarrow \int_1^e \frac{2\ln x}{x}\,dx=\ln^2 x\Big|_1^e

   Derivăm \(\ln^2 x\): obținem \(2\ln x\cdot\frac{1}{x}\), exact funcția de integrat. Deci \(\ln^2 x\) este o primitivă a lui \(\frac{2\ln x}{x}\). Aplicăm formula Leibniz-Newton: valoarea primitivei în \(e\) minus valoarea ei în \(1\).

4. 4

   Calculăm valorile la capete

   \ln^2 e-\ln^2 1=1^2-0^2=1

   Avem \(\ln e=1\), deci \(\ln^2 e=1\). Apoi \(\ln 1=0\), deci \(\ln^2 1=0\). Diferența este \(1-0=1\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\displaystyle\int_1^e \big(f(x)-6x\big)\,dx=\ln^2 x\Big|_1^e=1\), deci egalitatea este demonstrată.

Se consideră funcția \( f:(0,+\infty)\to\mathbb{R} \), \( f(x)=6x+\dfrac{2\ln x}{x} \). c) Determinați numărul real \( a \) pentru care \( \displaystyle\int_1^{e^2}\left(\frac{f(x)}{x}+f'(x)\ln x\right)dx=a\,f\left(e^2\right) \).

Metoda: Integrare prin recunoașterea derivatei produsului

1. 1

   Recunoaștem derivata unui produs

   \left(f(x)\ln x\right)'=f'(x)\ln x+f(x)\cdot\frac{1}{x}

   Derivăm produsul \( f(x)\cdot\ln x \) cu regula \( (u\cdot v)'=u'v+uv' \), cu \( u=f(x) \) și \( v=\ln x \). Obținem \( f'(x)\ln x+\dfrac{f(x)}{x} \), exact expresia din integrală. Deci funcția de sub integrală are primitiva \( f(x)\ln x \).

2. 2

   Aplicăm formula Leibniz-Newton

   \int_1^{e^2}\left(f(x)\ln x\right)'dx=f(x)\ln x\Big|_1^{e^2}=f(e^2)\ln e^2-f(1)\ln 1

   Integrala unei derivate este diferența valorilor funcției la capete. Aici funcția este \( f(x)\ln x \), iar limitele sunt 1 și \( e^2 \).

3. 3

   Calculăm valorile logaritmilor

   \ln e^2=2,\quad \ln 1=0\ \Rightarrow\ f(e^2)\cdot 2-f(1)\cdot 0=2f(e^2)

   Deoarece \( \ln e^2=2 \) și \( \ln 1=0 \), al doilea termen dispare, iar integrala este egală cu \( 2f(e^2) \).

4. 4

   Determinăm a

   2f(e^2)=a\,f(e^2),\quad f(e^2)\neq 0\ \Rightarrow\ a=2

   Egalitatea din enunț devine \( 2f(e^2)=a f(e^2) \). Putem simplifica doar dacă \( f(e^2)\ne 0 \). Într-adevăr \( f(e^2)=6e^2+\dfrac{2\cdot 2}{e^2}=6e^2+\dfrac{4}{e^2}>0 \). Deci \( a=2 \).

Răspuns: a = 2