Matematică 2025

Ministerul Educației și Cercetării Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare Examenul național de bacalaureat 2025 Proba E. c) Matematică M_șt-nat Varianta 3 Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Arătați că 2 ⋅ (1,1 + 0,3) − 1,8 = 1 . 5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 2 x + 4 . Determinați numărul real a pentru care f ( a ) = a ⋅ f ( 0) . 5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 − x = x 2 + x − 1 . 5p 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice inegalitatea n3 > 10 . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A (1, 4 ) , B ( 2,0 ) și C ( 8, 2 ) . Determinați distanța dintre punctul A și mijlocul segmentului BC . 2 5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , cu BC = 10 și sin B = . Arătați că AC = 4 . 5 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 0  2 + 2x x  1. Se consideră matricele I 2 =   și A ( x ) =   , unde x este număr real. 0 1  −x 2 − 2x  5p a) Arătați că det ( A (1) ) = 1 . 5p b) Arătați că A ( 2 ) ⋅ A (1) + 3 A ( −2 ) = 16 I 2 . 1 5p c) Determinați numărul întreg nenul m pentru care matricea B ( m ) = A ( −m ) este inversa matricei m A(m) . 2. Se consideră polinomul f = X 3 − 3 X 2 − 3 X + a , unde a este număr real. 5p a) Pentru a = 1 , arătați că f ( −1) = 0 . 5p b) Determinați numărul real a pentru care 3 x1 + 3 x2 + 3 x3 − x1 x2 x3 = 3 , unde x1 , x2 și x3 sunt rădăcinile polinomului f . 5p c) Pentru a = 9 , determinați rădăcinile polinomului f . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 2 x −8 1. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = . ex a) Arătați că f ' ( x ) = ( x + 2 )( 4 − x ) , x ∈ℝ . 5p ex 5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 0 , situat pe graficul funcției f . 5p c) Demonstrați că − 4e2 ≤ f ( x ) ≤ e3 , pentru orice x ∈ [ −3, 4] . 2ln x 2. Se consideră funcția f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = 6 x + . x 3  2 ln x  5p a) Arătați că   f ( x ) −  dx = 15 . 2 x  e 5p b) Arătați că  ( f ( x ) − 6 x ) dx = 1 . 1 Probă scrisă la matematică M_șt-nat Varianta 3 Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii Pagina 1 din 2  Ministerul Educației și Cercetării Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare 2 e  f ( x) 5p c) Determinați numărul real a pentru care   x  + f ' ( x ) ln x  dx = af e 2 .( ) 1  Probă scrisă la matematică M_șt-nat Varianta 3 Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii Pagina 2 din 2