Rezolvare pas cu pas: Matematică – Mate-Info (M1) – Bacalaureat 2026, sesiunea iunie–iulie (rezervă) (varianta 07)

Arătați că \(3i(2+i)+2(2-3i)=1\), unde \(i^2=-1\).

Metoda: Calcul cu numere complexe

1. 1

   Desfacem parantezele

   3i(2+i)+2(2-3i)=6i+3i^2+4-6i

   Înmulțim fiecare număr din fața parantezei cu fiecare termen din paranteză: \(3i\cdot 2=6i\), \(3i\cdot i=3i^2\), \(2\cdot 2=4\), \(2\cdot(-3i)=-6i\). Facem asta pentru a scăpa de paranteze și a putea aduna termenii.

2. 2

   Folosim i^2 = -1

   6i+3i^2+4-6i=6i-3+4-6i

   Din enunț \(i^2=-1\), deci \(3i^2=3\cdot(-1)=-3\). Înlocuim, ca să rămânem cu numere și cu termeni în \(i\) pe care îi putem aduna.

3. 3

   Reducem termenii și obținem 1

   6i-6i-3+4=1

   Termenii \(6i\) și \(-6i\) se reduc, deoarece suma lor este 0. Rămân părțile reale: \(-3+4=1\). Am obținut exact valoarea cerută, deci egalitatea este demonstrată.

Răspuns: Am obținut \(3i(2+i)+2(2-3i)=-3+4=1\), deci egalitatea este adevărată.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=2x-5\). Determinați numărul real \(a\) pentru care \(a+f(a-1)+f(a+1)=0\).

Metoda: Calcul direct cu valori ale funcției

1. 1

   Calculăm f(a−1)

   f(a-1)=2(a-1)-5=2a-7

   Funcția \(f\) ia un număr și îl înmulțește cu 2, apoi scade 5. Aici numărul este \(a-1\), deci îl punem în locul lui \(x\) în formula \(2x-5\). Atenție la paranteză: \(2(a-1)=2a-2\), apoi \(2a-2-5=2a-7\).

2. 2

   Calculăm f(a+1)

   f(a+1)=2(a+1)-5=2a-3

   La fel ca înainte, înlocuim \(x\) cu \(a+1\). Avem \(2(a+1)=2a+2\), apoi \(2a+2-5=2a-3\).

3. 3

   Scriem și rezolvăm ecuația

   a+(2a-7)+(2a-3)=0 \Rightarrow 5a-10=0 \Rightarrow a=2

   Înlocuim cele două valori în condiția din enunț. Adunăm termenii cu \(a\): \(a+2a+2a=5a\), iar numerele: \(-7-3=-10\). Rămâne \(5a-10=0\), deci \(5a=10\) și \(a=2\).

4. 4

   Verificare

   2+f(1)+f(3)=2+(-3)+1=0

   Verificăm cu \(a=2\): \(f(1)=2\cdot1-5=-3\) și \(f(3)=2\cdot3-5=1\). Suma \(2-3+1=0\), deci valoarea găsită este corectă.

Răspuns: \(a=2\)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(\frac{1}{2}\log_2(6x-8)=\log_2 x\).

Metoda: Ecuații logaritmice, condiții de existență

1. 1

   Condiții de existență

   6x-8>0,\ x>0 \Rightarrow x>\frac{4}{3}

   Logaritmul există doar pentru argument strict pozitiv. Deci \(6x-8>0\), adică \(x>\frac{4}{3}\), și \(x>0\). Împreună dau \(x>\frac{4}{3}\). Soluțiile găsite mai târziu trebuie să respecte această condiție.

2. 2

   Aducem ecuația la forma log = log

   \log_2(6x-8)=2\log_2 x=\log_2 x^2

   Înmulțim ecuația cu 2 și obținem \(\log_2(6x-8)=2\log_2 x\). Folosim regula \(a\log_2 b=\log_2 b^a\), deci \(2\log_2 x=\log_2 x^2\) (corect pentru \(x>0\)). Acum ambele părți sunt logaritmi în baza 2.

3. 3

   Egalăm argumentele

   6x-8=x^2 \Rightarrow x^2-6x+8=0

   Funcția \(\log_2\) este injectivă, deci din \(\log_2 A=\log_2 B\) rezultă \(A=B\). Obținem \(6x-8=x^2\), adică \(x^2-6x+8=0\).

4. 4

   Rezolvăm ecuația de gradul II

   \Delta=36-32=4,\ x=\frac{6\pm 2}{2}\Rightarrow x_1=2,\ x_2=4

   Calculăm discriminantul: \(\Delta=(-6)^2-4\cdot1\cdot8=4\). Atunci \(x=\frac{6\pm2}{2}\), deci \(x=2\) sau \(x=4\). Se poate și prin Viète: suma 6, produsul 8, deci 2 și 4.

5. 5

   Verificăm condițiile de existență

   2>\frac{4}{3},\ 4>\frac{4}{3}

   Ambele valori respectă \(x>\frac{4}{3}\). Verificăm direct: pentru \(x=2\), \(6\cdot2-8=4\), iar \(\frac12\log_2 4=1=\log_2 2\). Pentru \(x=4\), \(6\cdot4-8=16\), iar \(\frac12\log_2 16=2=\log_2 4\). Deci ambele convin.

Răspuns: Soluțiile ecuației sunt \(x=2\) și \(x=4\), iar ambele convin.

Se consideră mulțimea \(A=\{3, 6, 9, \ldots, 60\}\). Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea \(A\), acesta să fie divizibil cu \(5\).

Metoda: Probabilitate: cazuri favorabile/posibile

1. 1

   Cazurile posibile

   A=\{3\cdot1, 3\cdot2, \ldots, 3\cdot20\},\quad 60:3=20

   Elementele lui \(A\) sunt numerele de forma \(3k\), cu \(k\) de la \(1\) la \(20\), pentru că \(60=3\cdot 20\). Deci \(A\) are \(20\) elemente. Alegând un număr din \(A\), avem \(20\) cazuri posibile.

2. 2

   Cazurile favorabile

   3k \text{ divizibil cu } 5 \Rightarrow 15,30,45,60

   Un număr \(3k\) este divizibil cu \(5\) dacă \(k\) este multiplu de \(5\), pentru că \(3\) și \(5\) sunt prime între ele. Asta înseamnă multiplii lui \(15\) din \(A\): \(15, 30, 45, 60\). Sunt \(4\) cazuri favorabile.

3. 3

   Calculăm probabilitatea

   p=\dfrac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}=\dfrac{4}{20}=\dfrac{1}{5}

   Aplicăm formula probabilității: \(p=\frac{4}{20}\). Simplificăm fracția prin \(4\) și obținem \(\frac{1}{5}\).

Răspuns: \(p=\dfrac{1}{5}\)

În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(2,2)\), \(B(a,0)\) și \(C(1,b)\), unde \(a\) și \(b\) sunt numere reale. Determinați numerele reale \(a\) și \(b\) pentru care \(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OA}\).

Metoda: Vectori de poziție, mijlocul segmentului

1. 1

   Recunoaștem mijlocul segmentului

   \overrightarrow{OA}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)

   Împărțim egalitatea dată la 2. Obținem \(\overrightarrow{OA}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})\). Aceasta este chiar formula vectorului de poziție al mijlocului unui segment. Deci punctul \(A\) este mijlocul segmentului \(BC\).

2. 2

   Scriem condițiile pe coordonate

   \frac{a+1}{2}=2,\quad \frac{0+b}{2}=2

   Coordonatele mijlocului sunt media coordonatelor capetelor. Abscisa lui \(A\) este \(\frac{a+1}{2}\), iar ordonata este \(\frac{0+b}{2}\). Le egalăm cu coordonatele lui \(A(2,2)\).

3. 3

   Rezolvăm ecuațiile

   a+1=4\Rightarrow a=3,\qquad b=4

   Din \(\frac{a+1}{2}=2\) rezultă \(a+1=4\), deci \(a=3\). Din \(\frac{b}{2}=2\) rezultă \(b=4\). Verificare: \(B(3,0)\), \(C(1,4)\), iar \(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=(4,4)=2\overrightarrow{OA}\).

Răspuns: a = 3 și b = 4

Se consideră triunghiul \(ABC\), dreptunghic în \(A\), cu \(AC = 6\) și \(B = \frac{\pi}{3}\). Arătați că aria triunghiului \(ABC\) este egală cu \(6\sqrt{3}\).

Metoda: Tangenta în triunghi dreptunghic

1. 1

   Aflăm cateta AB cu tangenta

   \operatorname{tg}B=\frac{AC}{AB}\;\Rightarrow\;\sqrt{3}=\frac{6}{AB}\;\Rightarrow\;AB=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}

   În triunghiul dreptunghic ABC (unghiul drept în A), tangenta unghiului \(B\) este raportul dintre cateta opusă și cateta alăturată: \(\operatorname{tg}B=\frac{AC}{AB}\). Știm că \(\operatorname{tg}\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}\) și \(AC=6\), deci \(\sqrt{3}=\frac{6}{AB}\), de unde \(AB=\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}\).

2. 2

   Calculăm aria triunghiului

   \mathcal{A}_{ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{2\sqrt{3}\cdot 6}{2}=6\sqrt{3}

   Într-un triunghi dreptunghic, catetele sunt perpendiculare, deci una este înălțime pentru cealaltă. Aria este semiprodusul catetelor: \(\frac{2\sqrt{3}\cdot 6}{2}=6\sqrt{3}\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: Aria triunghiului ABC este \(6\sqrt{3}\), deoarece \(AB=2\sqrt{3}\) și \(\mathcal{A}=\frac{AB\cdot AC}{2}=6\sqrt{3}\).

Se consideră matricele \(I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\) și \(A(a)=\begin{pmatrix}2a-1&2&1\\0&-1&-a\\0&2&2a\end{pmatrix}\), unde \(a\) este număr real. a) Arătați că \(\det(A(3))=0\).

Metoda: Calculul determinantului de ordin 3

1. 1

   Scriem matricea A(3)

   A(3)=\begin{pmatrix}5&2&1\\0&-1&-3\\0&2&6\end{pmatrix}

   Înlocuim \(a=3\) în fiecare element al matricei \(A(a)\): \(2a-1=2\cdot 3-1=5\), \(-a=-3\) și \(2a=6\). Elementele care nu conțin pe \(a\) (2, 1, 0, -1) rămân la fel.

2. 2

   Aplicăm regula lui Sarrus

   \det(A(3))=\begin{vmatrix}5&2&1\\0&-1&-3\\0&2&6\end{vmatrix}=5\cdot(-1)\cdot 6+2\cdot(-3)\cdot 0+1\cdot 0\cdot 2-0\cdot(-1)\cdot 1-2\cdot 0\cdot 6-5\cdot(-3)\cdot 2

   Regula triunghiului: adunăm produsele de pe diagonala principală și de pe cele două „triunghiuri” paralele cu ea, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și de pe triunghiurile paralele cu ea. Aici multe produse conțin un 0 și dispar.

3. 3

   Calculăm și concluzionăm

   \det(A(3))=-30+0+0-0-0+30=0

   Termenii nenuli sunt \(-30\) (de pe diagonala principală) și \(-5\cdot(-3)\cdot 2=+30\) (de pe diagonala secundară, cu semn schimbat). Se anulează reciproc, deci determinantul este 0, exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\det(A(3))=0\)

Se consideră matricele \(I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\) și \(A(a)=\begin{pmatrix}2a-1&2&1\\0&-1&-a\\0&2&2a\end{pmatrix}\), unde \(a\) este număr real. Subiectul II, 1. b): Arătați că \(A(a)\cdot A(a)=(2a-1)A(a)\), pentru orice număr real \(a\).

Metoda: Înmulțirea matricelor

1. 1

   Calculăm produsul A(a)·A(a)

   A(a)\cdot A(a)=\begin{pmatrix}(2a-1)^2&4a-2&2a-1\\0&1-2a&a-2a^2\\0&-2+4a&-2a+4a^2\end{pmatrix}

   Înmulțim matricea cu ea însăși: elementul de pe linia \(i\), coloana \(j\) este suma produselor dintre elementele liniei \(i\) din prima matrice și cele ale coloanei \(j\) din a doua. De exemplu, linia 1 cu coloana 1: \((2a-1)(2a-1)+2\cdot 0+1\cdot 0=(2a-1)^2\). Linia 1 cu coloana 2: \((2a-1)\cdot 2+2\cdot(-1)+1\cdot 2=4a-2-2+2=4a-2\). Linia 1 cu coloana 3: \((2a-1)\cdot 1+2(-a)+1\cdot 2a=2a-1\). Linia 2 cu coloana 2: \((-1)(-1)+(-a)\cdot 2=1-2a\). Linia 2 cu coloana 3: \((-1)(-a)+(-a)(2a)=a-2a^2\). Linia 3 cu coloana 2: \(2(-1)+2a\cdot 2=-2+4a\). Linia 3 cu coloana 3: \(2(-a)+2a\cdot 2a=-2a+4a^2\). Prima coloană are zerouri sub primul element, deci restul este 0.

2. 2

   Dăm factor comun 2a−1

   A(a)\cdot A(a)=\begin{pmatrix}(2a-1)^2&2(2a-1)&2a-1\\0&-(2a-1)&-a(2a-1)\\0&2(2a-1)&2a(2a-1)\end{pmatrix}

   Observăm că fiecare element se poate scrie ca \((2a-1)\) înmulțit cu elementul corespunzător din \(A(a)\). Avem: \(4a-2=2(2a-1)\); \(1-2a=-(2a-1)\); \(a-2a^2=-a(2a-1)\); \(-2+4a=2(2a-1)\); \(-2a+4a^2=2a(2a-1)\). Elementul \((2a-1)^2=(2a-1)\cdot(2a-1)\), iar \(2a-1=(2a-1)\cdot 1\).

3. 3

   Recunoaștem matricea A(a) și concluzionăm

   A(a)\cdot A(a)=(2a-1)\begin{pmatrix}2a-1&2&1\\0&-1&-a\\0&2&2a\end{pmatrix}=(2a-1)A(a)

   După ce scoatem factorul \(2a-1\) în fața matricei, matricea rămasă are elementele \(2a-1,2,1\) / \(0,-1,-a\) / \(0,2,2a\), adică exact \(A(a)\). Calculul a fost făcut pentru un \(a\) real oarecare, deci egalitatea este adevărată pentru orice număr real \(a\).

Răspuns: Am obținut \(A(a)\cdot A(a)=(2a-1)A(a)\), pentru orice \(a\in\mathbb{R}\), ceea ce trebuia arătat.

Se consideră matricele \(I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\) și \(A(a)=\begin{pmatrix}2a-1&2&1\\0&-1&-a\\0&2&2a\end{pmatrix}\), unde \(a\) este număr real. c) Se consideră matricea \(B(n)=A(n)+nI_3\), unde \(n\) este număr natural. Determinați numărul natural \(n\) pentru care \(A(n)\cdot B(n)=2n^2A(n)\).

Metoda: Folosirea relației A(a)·A(a)

1. 1

   Dezvoltăm produsul A(n)·B(n)

   A(n)\cdot B(n)=A(n)\cdot A(n)+n\,A(n)\cdot I_3

   Înlocuim \(B(n)=A(n)+nI_3\) și distribuim înmulțirea matricelor față de adunare. Folosim și faptul că \(A(n)\cdot I_3=A(n)\), deoarece \(I_3\) este elementul neutru la înmulțirea matricelor.

2. 2

   Folosim relația de la punctul b)

   A(n)\cdot B(n)=(2n-1)A(n)+nA(n)=(3n-1)A(n)

   De la b) știm că \(A(a)\cdot A(a)=(2a-1)A(a)\) pentru orice real \(a\), deci și pentru \(a=n\): \(A(n)\cdot A(n)=(2n-1)A(n)\). Adunăm cu \(nA(n)\) și obținem \((2n-1+n)A(n)=(3n-1)A(n)\), pentru orice \(n\) natural.

3. 3

   Rezolvăm ecuația în n

   (3n-1)A(n)=2n^2A(n)\ \Rightarrow\ (3n-1)=2n^2\ \Rightarrow\ 2n^2-3n+1=0

   Matricea \(A(n)\) este nenulă (de exemplu are elementul 2 pe poziția (1,2)), deci putem identifica coeficienții: \(3n-1=2n^2\). Rămâne ecuația \(2n^2-3n+1=0\), cu \(\Delta=9-8=1\), deci \(n=\frac{3\pm1}{4}\), adică \(n=1\) sau \(n=\frac12\).

4. 4

   Alegem soluția naturală și verificăm

   n\in\mathbb{N},\ n\in\left\{1,\tfrac12\right\}\ \Rightarrow\ n=1

   Problema cere \(n\) număr natural, iar \(\tfrac12\) nu este natural, deci rămâne doar \(n=1\). Verificare: pentru \(n=1\), \(3n-1=2\) și \(2n^2=2\), deci egalitatea e adevărată.

Răspuns: n = 1

Se consideră polinomul \(f = X^4 - X^3 + aX^2 + bX - 6\), unde \(a\) și \(b\) sunt numere reale. Pentru \(a = 4\) și \(b = 0\), arătați că \(f(-1) = 0\).

Metoda: Valoarea polinomului într-un punct

1. 1

   Înlocuim a și b în polinom

   f = X^4 - X^3 + 4X^2 - 6

   Polinomul are parametrii \(a\) și \(b\). Pentru \(a=4\) și \(b=0\), termenul \(aX^2\) devine \(4X^2\), iar termenul \(bX\) devine \(0\cdot X=0\), deci dispare. Astfel obținem un polinom concret, cu care putem calcula.

2. 2

   Calculăm f(−1)

   f(-1) = (-1)^4 - (-1)^3 + 4(-1)^2 - 6

   Valoarea polinomului în \(-1\) se obține punând \(-1\) în locul lui \(X\), cu paranteze ca să nu greșim semnele. Puterile pare ale lui \(-1\) dau \(1\), iar cele impare dau \(-1\). Deci \((-1)^4=1\), \((-1)^3=-1\), iar \(-(-1)^3 = -(-1) = 1\). Apoi \((-1)^2=1\), deci \(4(-1)^2=4\).

3. 3

   Adunăm și obținem 0

   f(-1) = 1 + 1 + 4 - 6 = 0

   Adunăm termenii calculați: \(1+1+4=6\), apoi scădem \(6\) și obținem \(0\). Deci \(f(-1)=0\), adică \(-1\) este rădăcină a polinomului \(f\), ceea ce trebuia arătat.

Răspuns: Pentru \(a=4\) și \(b=0\) avem \(f(-1)=1+1+4-6=0\), deci \(f(-1)=0\), așa cum cere enunțul.

Se consideră polinomul \(f = X^4 - X^3 + aX^2 + bX - 6\), unde \(a\) și \(b\) sunt numere reale. Pentru \(a = b = 1\), determinați câtul și restul împărțirii polinomului \(f\) la polinomul \(g = X^2 - X + 1\).

Metoda: Teorema împărțirii cu rest

1. 1

   Scriem polinomul f pentru a = b = 1

   f = X^4 - X^3 + X^2 + X - 6

   Înlocuim \(a=1\) și \(b=1\) în \(f = X^4 - X^3 + aX^2 + bX - 6\). Obținem polinomul concret cu care lucrăm. Gradul lui \(g\) este 2, deci restul va avea gradul cel mult 1.

2. 2

   Grupăm termenii pentru a-l face să apară pe g

   X^4 - X^3 + X^2 = X^2\,(X^2 - X + 1) = X^2\, g

   Dăm factor comun \(X^2\) la primii trei termeni: \(X^2\cdot X^2 = X^4\), \(X^2\cdot(-X) = -X^3\), \(X^2\cdot 1 = X^2\). Se vede că obținem exact \(X^2\cdot g\).

3. 3

   Scriem f sub forma g·q + r

   f = (X^2 - X + 1)\cdot X^2 + (X - 6)

   Din \(f = X^4 - X^3 + X^2 + X - 6\) rămân termenii \(X - 6\) după ce am scos \(X^2 g\). Ei au gradul 1, mai mic decât gradul lui \(g\), deci pot fi restul.

4. 4

   Concluzia: câtul și restul

   q = X^2,\quad r = X - 6

   Conform teoremei împărțirii cu rest, descompunerea \(f = g\cdot q + r\) cu grad \(r <\) grad \(g\) este unică. Deci câtul este \(X^2\) și restul este \(X-6\), ca în barem.

Răspuns: Câtul este \(X^2\) și restul este \(X - 6\).

Se consideră polinomul \(f = X^4 - X^3 + aX^2 + bX - 6\), unde \(a\) și \(b\) sunt numere reale. c) Determinați perechile \((a,b)\) de numere naturale pentru care două dintre rădăcinile polinomului \(f\) sunt numere opuse.

Metoda: Rădăcini opuse și sistem

1. 1

   Scriem condiția rădăcinilor opuse

   x_2=-x_1,\quad f(x_1)=f(-x_1)=0

   Două dintre rădăcini sunt opuse, deci le notăm \(x_1\) și \(x_2=-x_1\). Ambele sunt rădăcini ale lui \(f\), deci \(f(x_1)=0\) și \(f(-x_1)=0\).

2. 2

   Adunăm și scădem egalitățile

   f(x_1)+f(-x_1)=0,\quad f(x_1)-f(-x_1)=0

   Scriem \(f(x_1)=x_1^4-x_1^3+ax_1^2+bx_1-6\) și \(f(-x_1)=x_1^4+x_1^3+ax_1^2-bx_1-6\). Suma elimină termenii impari, diferența elimină termenii pari. Rezultă \(2x_1^4+2ax_1^2-12=0\), adică \(x_1^4+ax_1^2-6=0\), și \(-2x_1^3+2bx_1=0\), adică \(x_1^3-bx_1=0\).

3. 3

   Determinăm relația dintre a și b

   x_1\neq 0\Rightarrow b=x_1^2,\quad x_1^4+ax_1^2-6=0\Rightarrow b^2+ab-6=0\Rightarrow b(a+b)=6

   Rădăcina \(x_1\) nu poate fi 0, deoarece \(f(0)=-6\neq 0\). Din \(x_1(x_1^2-b)=0\) obținem \(b=x_1^2\). Înlocuim în prima ecuație: \(b^2+ab-6=0\), deci \(b(a+b)=6\).

4. 4

   Căutăm perechile de numere naturale

   b(a+b)=6,\ b\in\{1,2,3,6\}\Rightarrow (a,b)\in\{(5,1),(1,2)\}

   b trebuie să fie divizor natural al lui 6 și \(a+b=6/b\). Pentru \(b=1\): \(a=5\). Pentru \(b=2\): \(a+2=3\), \(a=1\). Pentru \(b=3\): \(a+3=2\), \(a=-1\), nu e natural. Pentru \(b=6\): \(a=-5\), nu e natural. Perechile \((1,2)\) și \((5,1)\) convin (\(b=x_1^2>0\) dă rădăcini reale opuse).

Răspuns: Perechile sunt \((a,b)=(1,2)\) și \((a,b)=(5,1)\).

Se consideră funcția \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=2\sqrt{2x^2+1}-3\ln(2x^2+1) \). Arătați că \( f'(x)=\dfrac{4x\left(\sqrt{2x^2+1}-3\right)}{2x^2+1} \), \( x\in\mathbb{R} \).

Metoda: Derivarea funcțiilor compuse

1. 1

   Derivăm fiecare termen cu regula funcției compuse

   f'(x)=2\cdot\frac{(2x^2+1)'}{2\sqrt{2x^2+1}}-3\cdot\frac{(2x^2+1)'}{2x^2+1}

   Folosim \((\sqrt{u})'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\) și \((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\), cu \(u=2x^2+1\). Derivata sumei este suma derivatelor, iar constantele 2 și 3 rămân în fața derivatelor. Avem \(u'=4x\).

2. 2

   Înlocuim derivata lui u și simplificăm

   f'(x)=\frac{4x}{\sqrt{2x^2+1}}-\frac{12x}{2x^2+1}

   În primul termen, \(2\cdot\dfrac{4x}{2\sqrt{2x^2+1}}=\dfrac{4x}{\sqrt{2x^2+1}}\) (simplificăm cu 2). În al doilea, \(3\cdot\dfrac{4x}{2x^2+1}=\dfrac{12x}{2x^2+1}\).

3. 3

   Aducem la numitor comun

   f'(x)=\frac{4x\sqrt{2x^2+1}-12x}{2x^2+1}

   Observăm că \(2x^2+1=\sqrt{2x^2+1}\cdot\sqrt{2x^2+1}\). Amplificăm primul termen cu \(\sqrt{2x^2+1}\): \(\dfrac{4x}{\sqrt{2x^2+1}}=\dfrac{4x\sqrt{2x^2+1}}{2x^2+1}\). Acum ambele fracții au același numitor și le scădem.

4. 4

   Dăm factor comun \(4x\)

   f'(x)=\frac{4x\left(\sqrt{2x^2+1}-3\right)}{2x^2+1},\ x\in\mathbb{R}

   La numărător, \(4x\sqrt{2x^2+1}-12x\) are factorul comun \(4x\), deoarece \(12x=4x\cdot3\). Obținem exact forma cerută. Numitorul \(2x^2+1>0\), deci expresia are sens pentru orice x real.

Răspuns: \( f'(x)=\dfrac{4x\left(\sqrt{2x^2+1}-3\right)}{2x^2+1} \), pentru orice \(x\in\mathbb{R}\), ceea ce trebuia arătat.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=2\sqrt{2x^2+1}-3\ln(2x^2+1)\). b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției \(f\) în punctul de abscisă \(x=0\), situat pe graficul funcției \(f\).

Metoda: Ecuația tangentei într-un punct

1. 1

   Calculăm f(0)

   f(0)=2\sqrt{2\cdot 0^2+1}-3\ln(2\cdot 0^2+1)=2\cdot 1-3\ln 1=2

   Punctul de tangență are abscisa \(x_0=0\), iar ordonata lui este \(f(0)\). Înlocuim \(x=0\) în formula funcției. Sub radical obținem \(1\), deci \(\sqrt{1}=1\). Cum \(\ln 1=0\), al doilea termen dispare. Rezultă \(f(0)=2\), deci punctul de tangență este \((0,2)\).

2. 2

   Calculăm f'(0)

   f'(x)=\frac{4x\left(\sqrt{2x^2+1}-3\right)}{2x^2+1}\ \Rightarrow\ f'(0)=\frac{4\cdot 0\cdot(1-3)}{1}=0

   Panta tangentei este \(f'(0)\). Folosim formula derivatei de la punctul a). La \(x=0\) factorul \(4x\) din numărător devine \(0\), iar numitorul este \(1\). Deci \(f'(0)=0\), adică tangenta este orizontală.

3. 3

   Scriem ecuația tangentei

   y-f(0)=f'(0)(x-0)\ \Rightarrow\ y-2=0\cdot x\ \Rightarrow\ y=2

   Înlocuim în formula tangentei \(y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)\) valorile \(f(0)=2\) și \(f'(0)=0\). Obținem \(y-2=0\), deci \(y=2\). Este o dreaptă orizontală, la fel ca în barem.

Răspuns: Ecuația tangentei este \(y=2\).

Se consideră funcția \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \), \( f(x)=2\sqrt{2x^2+1}-3\ln(2x^2+1) \). c) Demonstrați că ecuația \( f(x)=m \) are exact două soluții, pentru orice \( m\in(2,+\infty) \).

Metoda: Studiul monotoniei și limitelor

1. 1

   Rezolvăm ecuația f'(x)=0

   f'(x)=\frac{4x\left(\sqrt{2x^2+1}-3\right)}{2x^2+1}=0

   Din subpunctul a) avem derivata. Numitorul \(2x^2+1\) este mereu pozitiv, deci derivata se anulează doar când numărătorul este zero: \(x=0\) sau \(\sqrt{2x^2+1}=3\). A doua egalitate dă \(2x^2+1=9\), deci \(x^2=4\), adică \(x=-2\) sau \(x=2\). Punctele critice sunt \(-2, 0, 2\).

2. 2

   Semnul derivatei și monotonia

   f'(x)<0 \text{ pe } (-\infty,-2),\; f'(x)\ge 0 \text{ pe } [-2,0],\; f'(x)\le 0 \text{ pe } [0,2],\; f'(x)>0 \text{ pe } (2,+\infty)

   Semnul derivatei este dat de produsul \(x\left(\sqrt{2x^2+1}-3\right)\). Factorul \(\sqrt{2x^2+1}-3\) este negativ pentru \(|x|<2\) și pozitiv pentru \(|x|>2\). Pentru \(x<-2\): \(x<0\) și paranteza pozitivă, deci derivata este negativă. Pentru \(-2<x<0\): \(x<0\) și paranteza negativă, deci derivata este pozitivă. Pentru \(0<x<2\): \(x>0\) și paranteza negativă, deci derivata este negativă. Pentru \(x>2\): ambele pozitive, deci derivata este pozitivă. Rezultă: f descrește pe \((-\infty,-2]\), crește pe \([-2,0]\), descrește pe \([0,2]\), crește pe \([2,+\infty)\).

3. 3

   Valorile funcției în punctele critice și limitele

   f(0)=2,\quad f(\pm2)=6-3\ln 9<2,\quad \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=+\infty

   Calculăm \(f(0)=2\sqrt1-3\ln1=2\). Mai observăm că \(f(\pm2)=2\cdot3-3\ln9=6-3\ln9\), care este negativ (\(\ln 9>2\)), deci este sub 2. Pentru limite, notăm \(t=2x^2+1\to+\infty\): \(f=2\sqrt t-3\ln t\), iar \(\sqrt t\) crește mai repede decât \(\ln t\), deci limita este \(+\infty\). Funcția este pară, deci același lucru se întâmplă la \(-\infty\) și \(+\infty\).

4. 4

   Concluzia: exact două soluții

   m>2 \Rightarrow f(x)=m \text{ are exact două soluții}

   Pe \((-\infty,-2]\) f scade de la \(+\infty\) la \(f(-2)<2\), iar pe \([-2,0]\) crește de la \(f(-2)\) la 2. Valoarea \(m>2\) este atinsă pe \((-\infty,-2)\) o singură dată (funcția este strict descrescătoare și continuă), iar pe \([-2,0]\) nu este atinsă, deoarece valorile ei sunt cel mult 2. Pe \([0,2]\) valorile sunt cel mult 2, deci nu există soluții. Pe \((2,+\infty)\) f crește de la \(f(2)<2\) la \(+\infty\) și atinge \(m\) exact o dată. În total sunt exact două soluții (una negativă, una pozitivă).

Răspuns: Ecuația \( f(x)=m \) are exact două soluții pentru orice \( m\in(2,+\infty) \).

Se consideră funcția \(f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=4x^3+\dfrac{1}{x+2}\). a) Arătați că \(\displaystyle\int_1^2 \left(f(x)-\dfrac{1}{x+2}\right)dx=15\).

Metoda: Integrare directă a unei puteri

1. 1

   Simplificăm expresia de sub integrală

   f(x)-\frac{1}{x+2}=4x^3+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+2}=4x^3

   Înlocuim f(x) cu definiția ei. Termenul \(\frac{1}{x+2}\) apare o dată cu plus și o dată cu minus, deci se reduce. Rămâne doar \(4x^3\), mult mai ușor de integrat decât o sumă cu fracție.

2. 2

   Calculăm integrala cu primitiva

   \int_1^2 4x^3\,dx=\left.x^4\right|_1^2

   O primitivă a lui \(4x^3\) este \(x^4\), pentru că derivata lui \(x^4\) este \(4x^3\). Aplicăm formula Leibniz-Newton: valoarea primitivei în limita de sus minus valoarea în limita de jos.

3. 3

   Înlocuim limitele și obținem rezultatul

   2^4-1^4=16-1=15

   Calculăm \(2^4=16\) și \(1^4=1\), apoi scădem. Obținem exact valoarea cerută, deci egalitatea este demonstrată.

Răspuns: \(\displaystyle\int_1^2\left(f(x)-\frac{1}{x+2}\right)dx=\int_1^2 4x^3\,dx=2^4-1^4=15\), deci egalitatea este demonstrată.

Se consideră funcția \(f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=4x^3+\dfrac{1}{x+2}\). b) Arătați că \(\displaystyle\int_1^e \dfrac{4\ln x}{f(x)-4x^3}\,dx=e^2+9\).

Metoda: Integrare prin părți

1. 1

   Simplificăm numitorul

   f(x)-4x^3=\frac{1}{x+2}\ \Rightarrow\ \frac{4\ln x}{f(x)-4x^3}=4(x+2)\ln x=(4x+8)\ln x

   Înlocuim f(x) cu expresia dată: \(f(x)-4x^3=\dfrac{1}{x+2}\). Împărțirea la o fracție înseamnă înmulțire cu inversa ei, deci \(\dfrac{4\ln x}{1/(x+2)}=4(x+2)\ln x=(4x+8)\ln x\). Astfel integrala devine \(\int_1^e (4x+8)\ln x\,dx\).

2. 2

   Pregătim integrarea prin părți

   \int_1^e (4x+8)\ln x\,dx=\int_1^e (2x^2+8x)'\ln x\,dx

   Observăm că \(4x+8\) este derivata lui \(2x^2+8x\). Alegem \(u=\ln x\) și \(v=2x^2+8x\), pentru că \(\ln x\) se simplifică prin derivare (devine \(\dfrac1x\)), iar polinomul rămâne simplu prin integrare.

3. 3

   Aplicăm formula integrării prin părți

   \int_1^e (2x^2+8x)'\ln x\,dx=(2x^2+8x)\ln x\Big|_1^e-\int_1^e (2x^2+8x)\cdot\frac1x\,dx=(2x^2+8x)\ln x\Big|_1^e-\int_1^e(2x+8)\,dx=(2x^2+8x)\ln x\Big|_1^e-(x^2+8x)\Big|_1^e

   Formula este \(\int_a^b v'u=vu\Big|_a^b-\int_a^b vu'\). Cum \((\ln x)'=\dfrac1x\), produsul \((2x^2+8x)\cdot\dfrac1x=2x+8\) se simplifică, iar o primitivă a lui \(2x+8\) este \(x^2+8x\).

4. 4

   Calculăm cu limitele de integrare

   (2e^2+8e)\ln e-0-\big(e^2+8e-1-8\big)=2e^2+8e-e^2-8e+9=e^2+9

   Folosim \(\ln e=1\) și \(\ln 1=0\). Primul termen devine \(2e^2+8e\), iar în punctul 1 este 0. Al doilea termen este \((e^2+8e)-(1+8)=e^2+8e-9\). Scăzând: \(2e^2+8e-e^2-8e+9=e^2+9\), ceea ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\displaystyle\int_1^e \dfrac{4\ln x}{f(x)-4x^3}\,dx=e^2+9\).

Se consideră funcția \(f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=4x^3+\dfrac{1}{x+2}\). Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției \(g:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(g(x)=f(e^x)-4e^{3x}\), axa \(Ox\) și dreptele de ecuații \(x=0\) și \(x=1\) este egală cu \(\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{3e}{e+2}\).

Metoda: Aria cu integrala definită

1. 1

   Simplificăm funcția g

   g(x)=f(e^x)-4e^{3x}=4e^{3x}+\frac{1}{e^x+2}-4e^{3x}=\frac{1}{e^x+2}

   Înlocuim x cu \(e^x\) în formula lui f: \(f(e^x)=4(e^x)^3+\dfrac{1}{e^x+2}=4e^{3x}+\dfrac{1}{e^x+2}\). Apoi scădem \(4e^{3x}\) și termenii cu \(e^{3x}\) se reduc. Rămâne \(g(x)=\dfrac{1}{e^x+2}\), mult mai simplă. Faptul că ni se cere să scădem exact \(4e^{3x}\) arată că enunțul ne ghidează spre această simplificare.

2. 2

   Scriem aria ca integrală

   \mathcal{A}=\int_0^1 |g(x)|\,dx=\int_0^1 \frac{1}{e^x+2}\,dx

   Aria delimitată de graficul unei funcții, axa Ox și dreptele \(x=0\), \(x=1\) este \(\int_0^1|g(x)|\,dx\). Cum \(e^x+2>0\), avem \(g(x)>0\) pe \([0,1]\), deci \(|g(x)|=g(x)\) și modulul dispare.

3. 3

   Descompunem fracția

   \frac{1}{e^x+2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{(e^x+2)-e^x}{e^x+2}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{e^x}{e^x+2}\right)

   Nu avem o primitivă directă pentru \(\dfrac{1}{e^x+2}\). Scriem 2 la numărătorul fracției ca \((e^x+2)-e^x\): \(\dfrac{1}{e^x+2}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{e^x+2}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{(e^x+2)-e^x}{e^x+2}\). Astfel apare termenul \(\dfrac{e^x}{e^x+2}\), unde numărătorul este derivata numitorului, adică de tip \(\dfrac{u'}{u}\), care are primitiva \(\ln u\).

4. 4

   Calculăm integrala

   \mathcal{A}=\frac{1}{2}\int_0^1\left(1-\frac{e^x}{e^x+2}\right)dx=\frac{1}{2}\Big(x-\ln(e^x+2)\Big)\Big|_0^1

   Integrăm termen cu termen: \(\int 1\,dx=x\) și \(\int\dfrac{e^x}{e^x+2}\,dx=\ln(e^x+2)\) (nu mai e nevoie de modul, deoarece \(e^x+2>0\)). Apoi aplicăm formula Leibniz–Newton, adică valoarea la 1 minus valoarea la 0.

5. 5

   Obținem forma finală

   \mathcal{A}=\frac{1}{2}\Big(1-\ln(e+2)+\ln 3\Big)=\frac{1}{2}\left(1-\ln\frac{e+2}{3}\right)=\frac{1}{2}\left(\ln e-\ln\frac{e+2}{3}\right)=\frac{1}{2}\ln\frac{3e}{e+2}

   Evaluăm: la \(x=1\) obținem \(1-\ln(e+2)\), la \(x=0\) obținem \(0-\ln 3\). Diferența este \(1-\ln(e+2)+\ln 3\). Folosim \(\ln 3-\ln(e+2)=-\ln\dfrac{e+2}{3}\), apoi \(1=\ln e\) și \(\ln a-\ln b=\ln\dfrac{a}{b}\): \(\ln e-\ln\dfrac{e+2}{3}=\ln\dfrac{3e}{e+2}\). Am ajuns exact la rezultatul cerut.

Răspuns: \(\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{3e}{e+2}\)