Rezolvare pas cu pas: Matematică – Mate-Info (M1) – Bacalaureat 2026, sesiunea iunie–iulie (varianta 03)

Se consideră numărul complex \(z = 3 - i\). Arătați că \(z(z + 2i) = 10\).

Metoda: Calcul cu numere complexe

1. 1

   Calculăm suma z + 2i

   z+2i=(3-i)+2i=3+i

   Înlocuim \(z = 3 - i\) în paranteză. Părțile imaginare se adună: \(-i + 2i = i\). Rezultă \(z + 2i = 3 + i\), adică exact conjugatul lui \(z\).

2. 2

   Scriem produsul și aplicăm diferența de pătrate

   z(z+2i)=(3-i)(3+i)=3^2-i^2=9-i^2

   Produsul are forma \((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\), cu \(a = 3\) și \(b = i\). Formula ne scutește de înmulțirea termen cu termen.

3. 3

   Folosim i² = −1 și obținem rezultatul

   9-i^2=9-(-1)=10

   Prin definiție, \(i^2 = -1\). Deci \(9 - i^2 = 9 + 1 = 10\). Am obținut \(z(z + 2i) = 10\), ceea ce trebuia arătat.

Răspuns: \(z(z + 2i) = (3 - i)(3 + i) = 9 - i^2 = 9 + 1 = 10\), deci egalitatea este demonstrată.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=3x-4\). Determinați numărul real \(a\) pentru care \(f(a)+f(-2a)=a\).

Metoda: Calcul direct al valorilor funcției

1. 1

   Calculăm f(a) și f(-2a)

   f(a)=3a-4,\quad f(-2a)=3\cdot(-2a)-4=-6a-4

   Funcția \(f\) funcționează așa: ia numărul din paranteză, îl înmulțește cu 3 și scade 4. Deci în loc de \(x\) punem, pe rând, \(a\) și \(-2a\). Faptul că \(f\) este definită pe \(\mathbb{R}\) ne asigură că formula merge pentru orice \(a\) real.

2. 2

   Scriem ecuația

   (3a-4)+(-6a-4)=a

   Condiția din enunț este \(f(a)+f(-2a)=a\). Înlocuim cele două valori calculate la pasul anterior și obținem o ecuație în care necunoscuta este \(a\).

3. 3

   Rezolvăm ecuația

   -3a-8=a \Rightarrow -4a=8 \Rightarrow a=-2

   Strângem termenii cu \(a\) de o parte: scădem \(a\) din ambii membri și obținem \(-4a=8\). Împărțim la \(-4\) și găsim \(a=-2\).

4. 4

   Verificare

   f(-2)=-10,\quad f(4)=8,\quad f(-2)+f(4)=-2

   Pentru \(a=-2\): \(f(a)=f(-2)=3\cdot(-2)-4=-10\), iar \(-2a=4\), deci \(f(4)=3\cdot 4-4=8\). Suma este \(-10+8=-2=a\), deci valoarea găsită este corectă.

Răspuns: \(a=-2\)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(\sqrt{x^2+7}=2\sqrt{x+1}\).

Metoda: Ridicare la pătrat, ecuație de gradul II

1. 1

   Ridicăm ambii membri la pătrat

   x^2+7=4(x+1)

   Ambii membri ai ecuației sunt radicali, deci sunt numere pozitive sau zero. De aceea, prin ridicare la pătrat, \(\sqrt{x^2+7}\) devine \(x^2+7\), iar \((2\sqrt{x+1})^2=2^2\cdot(x+1)=4(x+1)\). Obținem o ecuație fără radicali.

2. 2

   Aducem ecuația la forma generală

   x^2+7=4x+4 \Rightarrow x^2-4x+3=0

   Desfacem paranteza și mutăm toți termenii în membrul stâng, ca să obținem o ecuație de gradul II de forma \(ax^2+bx+c=0\). Aici \(a=1\), \(b=-4\), \(c=3\).

3. 3

   Rezolvăm ecuația de gradul II

   \Delta=16-12=4,\quad x=\frac{4\pm 2}{2}\Rightarrow x=1 \text{ sau } x=3

   Calculăm discriminantul \(\Delta=b^2-4ac=16-12=4\). Apoi \(x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{4\pm2}{2}\), deci \(x_1=1\) și \(x_2=3\). Putem la fel de bine să descompunem: \(x^2-4x+3=(x-1)(x-3)\).

4. 4

   Verificăm soluțiile în ecuația inițială

   x=1:\ \sqrt{8}=2\sqrt{2};\quad x=3:\ \sqrt{16}=2\sqrt{4}

   Ridicarea la pătrat poate introduce soluții false, deci verificăm. Condiția de existență este \(x+1\ge 0\), adică \(x\ge -1\); ambele valori o respectă. Pentru \(x=1\): \(\sqrt{1+7}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) și \(2\sqrt{1+1}=2\sqrt{2}\), deci convine. Pentru \(x=3\): \(\sqrt{9+7}=4\) și \(2\sqrt{4}=4\), deci convine.

Răspuns: \(x\in\{1,3\}\)

Se consideră mulțimea \(A=\{1,2,3,5,7\}\). Determinați câte dintre submulțimile mulțimii \(A\) au exact trei elemente și conțin numărul 5.

Metoda: Numărarea submulțimilor (combinări)

1. 1

   Fixăm elementul 5

   A\setminus\{5\}=\{1,2,3,7\}

   Orice submulțime căutată conține pe 5. Deci ea este formată din 5 și încă două elemente, alese din \(A\setminus\{5\}\). Prin urmare, numărul submulțimilor cu trei elemente care conțin pe 5 este egal cu numărul submulțimilor cu exact două elemente ale mulțimii \(A\setminus\{5\}\). Fiecărei astfel de alegeri îi corespunde exact o submulțime, adăugând pe 5.

2. 2

   Numărăm submulțimile cu două elemente

   C_4^2=\frac{4!}{2!\,2!}=\frac{4\cdot 3}{2}=6

   Numărul de submulțimi cu 2 elemente ale unei mulțimi cu 4 elemente este combinări de 4 luate câte 2. Ordinea elementelor nu contează într-o mulțime, de aceea folosim combinări, nu aranjamente.

3. 3

   Verificare prin listare

   \{1,2,5\},\{1,3,5\},\{1,7,5\},\{2,3,5\},\{2,7,5\},\{3,7,5\}

   Scriem toate perechile din \(\{1,2,3,7\}\): {1,2}, {1,3}, {1,7}, {2,3}, {2,7}, {3,7}. Adăugând pe 5 obținem 6 submulțimi, ceea ce confirmă calculul.

Răspuns: Sunt 6 submulțimi cu exact trei elemente care conțin numărul 5.

În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(3,6)\), \(B(4,1)\) și \(C(5,a)\), unde \(a\) este număr real. Determinați numărul real \(a\) pentru care dreptele \(OA\) și \(BC\) sunt paralele.

Metoda: Condiția de paralelism: pante egale

1. 1

   Panta dreptei OA

   m_{OA}=\frac{y_A-y_O}{x_A-x_O}=\frac{6-0}{3-0}=2

   Panta unei drepte prin două puncte este raportul dintre diferența ordonatelor și diferența absciselor: \(m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\). Punctul O este originea, deci \(O(0,0)\). Obținem \(m_{OA}=\frac{6-0}{3-0}=2\).

2. 2

   Panta dreptei BC

   m_{BC}=\frac{a-1}{5-4}=a-1

   Folosim aceeași formulă pentru \(B(4,1)\) și \(C(5,a)\): diferența ordonatelor este \(a-1\), iar a absciselor este \(5-4=1\). Deci \(m_{BC}=a-1\).

3. 3

   Egalăm pantele

   m_{OA}=m_{BC}\Rightarrow 2=a-1\Rightarrow a=3

   Dreptele OA și BC sunt paralele dacă au pante egale. Din \(2=a-1\) obținem \(a=3\). Verificare: pentru \(a=3\), \(C(5,3)\) și panta lui BC este \(\frac{3-1}{5-4}=2\), egală cu panta lui OA.

Răspuns: \(a=3\)

Se consideră expresia \(E(x)=\left(1+\mathrm{tg}^2 x\right)\sin\frac{x}{2}+\cos 3x\), unde \(x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\). Arătați că \(E\left(\frac{\pi}{3}\right)=1\).

Metoda: Calcul direct al valorilor trigonometrice

1. 1

   Înlocuim x = π/3 în expresie

   E\left(\frac{\pi}{3}\right)=\left(1+\mathrm{tg}^2\frac{\pi}{3}\right)\sin\frac{\pi}{6}+\cos\pi

   Punem \(\frac{\pi}{3}\) peste tot în locul lui \(x\). Pentru \(\sin\frac{x}{2}\) avem \(\frac{\pi}{3}:2=\frac{\pi}{6}\), iar pentru \(\cos 3x\) avem \(3\cdot\frac{\pi}{3}=\pi\). Astfel obținem unghiuri pentru care știm valorile din tabelul trigonometric.

2. 2

   Scriem valorile trigonometrice necesare

   \mathrm{tg}\frac{\pi}{3}=\sqrt{3},\quad \sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2},\quad \cos\pi=-1

   Acestea sunt valori din tabelul de unghiuri remarcabile. \(\frac{\pi}{3}=60^\circ\), iar \(\mathrm{tg}\,60^\circ=\sqrt{3}\). \(\frac{\pi}{6}=30^\circ\), iar \(\sin 30^\circ=\frac12\). \(\pi=180^\circ\), iar \(\cos 180^\circ=-1\).

3. 3

   Calculăm valoarea expresiei

   E\left(\frac{\pi}{3}\right)=\left(1+(\sqrt3)^2\right)\cdot\frac12+(-1)=4\cdot\frac12-1=2-1=1

   Mai întâi paranteza: \(1+3=4\). Apoi înmulțim cu \(\frac12\) și obținem \(2\). Scădem \(1\) (din \(+(-1)\)) și obținem \(1\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(E\left(\frac{\pi}{3}\right)=1\)

Se consideră matricea \(A(a)=\begin{pmatrix}1&a&a\\a&3&a\\0&2&1\end{pmatrix}\) și sistemul de ecuații liniare \(\begin{cases}x+ay+az=1\\ax+3y+az=0\\2y+z=0\end{cases}\), unde \(a\) este număr real. a) Arătați că \(\det(A(1))=2\).

Metoda: Calculul determinantului de ordin 3

1. 1

   Scriem matricea A(1)

   A(1)=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&3&1\\0&2&1\end{pmatrix}

   Înlocuim peste tot parametrul \(a\) cu 1 în matricea \(A(a)\). Elementele de pe poziții fără \(a\) (3, 2, 1, 0) rămân neschimbate. Astfel obținem o matrice cu numere, al cărei determinant îl putem calcula direct.

2. 2

   Calculăm determinantul prin regula lui Sarrus

   \det(A(1))=1\cdot3\cdot1+1\cdot1\cdot0+1\cdot1\cdot2-0\cdot3\cdot1-2\cdot1\cdot1-1\cdot1\cdot1

   Pentru un determinant de ordin 3, adunăm produsele elementelor de pe diagonala principală și de pe cele două paralele cu ea: \(1\cdot3\cdot1\), \(1\cdot1\cdot0\), \(1\cdot1\cdot2\). Apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și paralelele ei: \(0\cdot3\cdot1\), \(2\cdot1\cdot1\), \(1\cdot1\cdot1\).

3. 3

   Efectuăm calculele și obținem rezultatul

   \det(A(1))=3+0+2-0-2-1=2

   Adunăm și scădem termenii: \(3+0+2=5\), iar \(0+2+1=3\). Rezultă \(5-3=2\), exact valoarea cerută. Deci \(\det(A(1))=2\).

Răspuns: \(\det(A(1))=2\)

Se consideră matricea \(A(a)=\begin{pmatrix}1&a&a\\a&3&a\\0&2&1\end{pmatrix}\) și sistemul de ecuații liniare \(\begin{cases}x+ay+az=1\\ax+3y+az=0\\2y+z=0\end{cases}\), unde \(a\) este număr real. b) Arătați că, pentru orice număr real \(a\), sistemul de ecuații are soluție unică.

Metoda: Determinantul matricei sistemului

1. 1

   Calculăm determinantul matricei sistemului

   \det(A(a))=\begin{vmatrix}1&a&a\\a&3&a\\0&2&1\end{vmatrix}=3+2a^2+0-0-2a-a^2=a^2-2a+3

   Matricea sistemului conține coeficienții necunoscutelor \(x,y,z\). Calculăm determinantul de ordin 3 prin regula lui Sarrus: adunăm produsele de pe diagonala principală și de pe paralelele ei, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei. Produsele cu plus sunt \(1\cdot3\cdot1=3\), \(a\cdot2\cdot a=2a^2\), \(a\cdot a\cdot0=0\). Produsele cu minus sunt \(a\cdot3\cdot0=0\), \(1\cdot a\cdot2=2a\), \(a\cdot a\cdot1=a^2\). Rezultă \(3+2a^2-2a-a^2=a^2-2a+3\).

2. 2

   Arătăm că determinantul este nenul pentru orice a

   \det(A(a))=a^2-2a+1+2=(a-1)^2+2\ge 2>0

   Scriem \(a^2-2a+3\) ca pătrat perfect plus o constantă: \(a^2-2a+1+2=(a-1)^2+2\). Un pătrat este mereu \(\ge 0\), deci determinantul este cel puțin 2, adică diferit de zero, pentru orice \(a\) real.

3. 3

   Concluzia

   \det(A(a))\neq 0\ \Rightarrow\ \text{sistem compatibil determinat}

   Cum determinantul matricei sistemului este nenul pentru orice \(a\) real, sistemul este de tip Cramer, deci are soluție unică pentru orice \(a\).

Răspuns: \(\det(A(a))=(a-1)^2+2\neq 0\) pentru orice \(a\in\mathbb{R}\), deci sistemul are soluție unică pentru orice număr real \(a\).

Se consideră matricea \(A(a)=\begin{pmatrix}1&a&a\\a&3&a\\0&2&1\end{pmatrix}\) și sistemul de ecuații liniare \(\begin{cases}x+ay+az=1\\ax+3y+az=0\\2y+z=0\end{cases}\), unde \(a\) este număr real. c) Determinați numărul natural nenul \(a\) pentru care sistemul de ecuații are soluția \((x_0,y_0,z_0)\), cu \(z_0=nx_0\), unde \(n\) este număr natural.

Metoda: Rezolvarea sistemului prin substituție

1. 1

   Exprimăm \(y_0\) și \(z_0\) în funcție de \(x_0\) și \(a\)

   z_0=-2y_0,\quad ax_0+3y_0+az_0=0 \Rightarrow ax_0+3y_0-2ay_0=0

   Din ultima ecuație, \(2y+z=0\), avem \(z_0=-2y_0\). Înlocuim în a doua ecuație: \(ax_0+3y_0+a(-2y_0)=0\), deci \(ax_0+(3-2a)y_0=0\).

2. 2

   Folosim condiția \(z_0=nx_0\)

   -2y_0=nx_0 \Rightarrow y_0=-\frac{n x_0}{2}

   Din \(z_0=-2y_0\) și \(z_0=nx_0\) rezultă \(y_0=-\frac{nx_0}{2}\). Înlocuim în \(ax_0+(3-2a)y_0=0\): \(ax_0-(3-2a)\frac{nx_0}{2}=0\).

3. 3

   Arătăm că \(x_0\neq 0\) și obținem relația dintre \(a\) și \(n\)

   2a=n(3-2a)

   Dacă \(x_0=0\), atunci \(y_0=z_0=0\), iar prima ecuație ar da \(0=1\), fals. Deci \(x_0\neq0\) și putem simplifica prin \(x_0\) în \(ax_0-(3-2a)\frac{nx_0}{2}=0\). Înmulțim cu 2 și obținem \(2a=n(3-2a)\).

4. 4

   Determinăm \(a\) natural nenul

   n(3-2a)=2a>0 \Rightarrow 3-2a>0 \Rightarrow a<\frac32

   Avem \(2a>0\), deoarece \(a\) este nenul. Dacă \(n=0\), atunci \(2a=0\), imposibil. Deci \(n\ge1\) și \(3-2a=\frac{2a}{n}>0\), adică \(a<\frac32\). Cum \(a\) este natural nenul, rămâne \(a=1\). Atunci \(2=n\cdot1\), deci \(n=2\), număr natural, deci convine.

Răspuns: a = 1 (și atunci n = 2)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă \(x*y=\frac{2}{3}(x-3)(y-3)+3\). a) Arătați că \(0*2=5\).

Metoda: Calcul direct în legea de compoziție

1. 1

   Înlocuim x = 0 și y = 2 în formulă

   0*2=\frac{2}{3}(0-3)(2-3)+3

   Legea \(x*y\) ne spune ce să calculăm cu două numere. Pentru \(0*2\), în locul lui \(x\) punem 0, iar în locul lui \(y\) punem 2. Rezultă parantezele \((0-3)\) și \((2-3)\).

2. 2

   Calculăm produsul și obținem 5

   \frac{2}{3}\cdot(-3)\cdot(-1)+3=2+3=5

   Produsul \((-3)(-1)\) este 3, pentru că minus cu minus dă plus. Apoi \(\frac{2}{3}\cdot 3=2\). La final adunăm 3 și obținem \(2+3=5\), deci \(0*2=5\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(0*2=\frac{2}{3}(0-3)(2-3)+3=2+3=5\), deci egalitatea este adevărată.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă \(x*y=\frac{2}{3}(x-3)(y-3)+3\). b) Determinați numerele reale \(x\) pentru care \(x*\frac{3x}{2}=5x\).

Metoda: Calcul direct cu legea de compoziție

1. 1

   Calculăm \(x*\frac{3x}{2}\)

   x*\frac{3x}{2}=\frac{2}{3}(x-3)\left(\frac{3x}{2}-3\right)+3=\frac{2}{3}(x-3)\cdot\frac{3(x-2)}{2}+3=(x-3)(x-2)+3=x^2-5x+9

   Înlocuim în definiția legii y cu \(\frac{3x}{2}\). Factorul \(\frac{3x}{2}-3\) se scrie \(\frac{3(x-2)}{2}\), iar \(\frac{2}{3}\) se reduce cu \(\frac{3}{2}\). Rămâne \((x-3)(x-2)+3=x^2-5x+6+3=x^2-5x+9\), pentru orice x real.

2. 2

   Scriem ecuația

   x^2-5x+9=5x

   Egalăm rezultatul cu \(5x\), conform enunțului. Obținem o ecuație de gradul al doilea.

3. 3

   Rezolvăm ecuația de gradul al doilea

   x^2-10x+9=0\Rightarrow \Delta=100-36=64,\; x=\frac{10\pm 8}{2}\Rightarrow x=1\text{ sau }x=9

   Calculăm discriminantul și apoi rădăcinile. Orice număr real este valid, deci ambele soluții convin. Verificare: pentru \(x=1\), \(1-5+9=5=5\cdot1\); pentru \(x=9\), \(81-45+9=45=5\cdot9\).

Răspuns: \(x=1\) sau \(x=9\)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă \(x*y=\frac{2}{3}(x-3)(y-3)+3\). Itemul 2. c) cere: Determinați perechile \((m,n)\) de numere naturale pentru care \(m*m*n=-1\).

Metoda: Calcul cu legea de compoziție

1. 1

   Calculăm m * m

   m*m=\frac{2}{3}(m-3)^2+3

   Înlocuim în formula legii și pe \(x\), și pe \(y\) cu \(m\). Obținem \(m*m=\frac{2}{3}(m-3)(m-3)+3=\frac{2}{3}(m-3)^2+3\). Facem acest pas întâi pentru că expresia \(m*m*n\) se calculează de la stânga la dreapta, adică \((m*m)*n\).

2. 2

   Calculăm (m * m) * n

   m*m*n=\frac{2}{3}\left(\frac{2}{3}(m-3)^2+3-3\right)(n-3)+3=\frac{4}{9}(m-3)^2(n-3)+3

   Aplicăm legea pentru \(x=m*m\) și \(y=n\). Atunci \(x-3=\frac{2}{3}(m-3)^2\), pentru că +3 și −3 se reduc. Înmulțind cu factorul \(\frac{2}{3}\) din lege obținem \(\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{9}\).

3. 3

   Scriem ecuația și o simplificăm

   \frac{4}{9}(m-3)^2(n-3)+3=-1\iff (m-3)^2(n-3)=-9

   Scădem 3 din ambii membri și obținem \(\frac{4}{9}(m-3)^2(n-3)=-4\). Apoi înmulțim cu \(\frac{9}{4}\) și rezultă \((m-3)^2(n-3)=-9\).

4. 4

   Căutăm soluțiile naturale

   (m-3)^2(n-3)=-9,\quad n-3\in\{-3,-2,-1,0,1,\dots\}\Rightarrow n-3\in\{-1,-3\}

   Produsul este negativ, iar \((m-3)^2\ge 0\), deci \(n-3<0\). Cum \(n\) este natural, \(n-3\ge -3\). Pentru că \(n-3\) trebuie să dividă 9, rămân doar \(n-3=-1\) sau \(n-3=-3\). Dacă \(n-3=-1\), atunci \(n=2\) și \((m-3)^2=9\), deci \(m-3=\pm 3\), adică \(m=0\) sau \(m=6\). Dacă \(n-3=-3\), atunci \(n=0\) și \((m-3)^2=3\), care nu are soluții naturale. Soluțiile sunt perechile \((0,2)\) și \((6,2)\).

5. 5

   Verificăm perechile

   (0,2):\ 0*0=9,\ 9*2=-1;\quad (6,2):\ 6*6=9,\ 9*2=-1

   Verificăm direct în lege. Pentru \(m=0\) și pentru \(m=6\) obținem \(m*m=9\), iar \(9*2=\frac{2}{3}\cdot 6\cdot(-1)+3=-1\). Ambele perechi convin.

Răspuns: Perechile căutate sunt \((0,2)\) și \((6,2)\).

Se consideră funcția \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \), \( f(x)=\dfrac{x^3-4x}{x^2+5} \). a) Arătați că \( f'(x)=\dfrac{(x^2-1)(x^2+20)}{(x^2+5)^2} \), \( x\in\mathbb{R} \).

Metoda: Derivata unui raport de funcții

1. 1

   Alegem formula de derivare

   \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}

   Funcția este un cât, \( f=\frac{u}{v} \), cu \( u(x)=x^3-4x \) și \( v(x)=x^2+5 \). Pentru un cât folosim formula derivatei câtului. Numitorul \( x^2+5 \) nu se anulează niciodată, deci f este derivabilă pe \( \mathbb{R} \).

2. 2

   Calculăm derivatele lui u și v

   u'(x)=3x^2-4,\quad v'(x)=2x

   Derivăm termen cu termen: \( (x^3)'=3x^2 \), \( (4x)'=4 \), \( (x^2)'=2x \), iar derivata constantei 5 este 0.

3. 3

   Înlocuim în formula câtului

   f'(x)=\frac{(3x^2-4)(x^2+5)-(x^3-4x)\cdot 2x}{(x^2+5)^2}

   Punem \( u', v, u, v' \) în formulă. Numitorul devine \( (x^2+5)^2 \), adică rămâne la pătrat, nu se desface.

4. 4

   Efectuăm calculele la numărător

   (3x^2-4)(x^2+5)-2x(x^3-4x)=3x^4+15x^2-4x^2-20-2x^4+8x^2=x^4+19x^2-20

   Desfacem parantezele: \( (3x^2-4)(x^2+5)=3x^4+11x^2-20 \), iar \( 2x(x^3-4x)=2x^4-8x^2 \). Scădem și reducem termenii asemenea: \( 3x^4-2x^4=x^4 \) și \( 11x^2+8x^2=19x^2 \).

5. 5

   Descompunem numărătorul în factori

   x^4+19x^2-20=(x^2-1)(x^2+20)

   Notăm \( t=x^2 \): \( t^2+19t-20 \) are rădăcinile 1 și −20, deci se scrie \( (t-1)(t+20) \). Verificăm: \( (x^2-1)(x^2+20)=x^4+20x^2-x^2-20=x^4+19x^2-20 \). Așadar \( f'(x)=\frac{(x^2-1)(x^2+20)}{(x^2+5)^2} \), \( x\in\mathbb{R} \), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \( f'(x)=\dfrac{x^4+19x^2-20}{(x^2+5)^2}=\dfrac{(x^2-1)(x^2+20)}{(x^2+5)^2} \), \( x\in\mathbb{R} \).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{x^3-4x}{x^2+5}\). b) Arătați că dreapta de ecuație \(y=x\) este asimptota oblică spre \(+\infty\) la graficul funcției \(f\).

Metoda: Definiția asimptotei oblice

1. 1

   Scriem limita diferenței f(x) − x

   \lim_{x\to+\infty}\big(f(x)-x\big)

   Dreapta \(y=mx+n\) este asimptotă oblică spre \(+\infty\) dacă \(\lim_{x\to+\infty}(f(x)-mx-n)=0\). Aici \(m=1\) și \(n=0\), deci studiem \(\lim_{x\to+\infty}(f(x)-x)\). Dacă obținem 0, dreapta dată este chiar asimptota.

2. 2

   Aducem la numitor comun și simplificăm

   f(x)-x=\frac{x^3-4x}{x^2+5}-x=\frac{x^3-4x-x^3-5x}{x^2+5}=\frac{-9x}{x^2+5}

   Scriem \(x=\dfrac{x(x^2+5)}{x^2+5}=\dfrac{x^3+5x}{x^2+5}\) și scădem. Termenii \(x^3\) se reduc, iar \(-4x-5x=-9x\). Rămâne o fracție simplă, ușor de studiat la infinit.

3. 3

   Calculăm limita și concluzionăm

   \lim_{x\to+\infty}\frac{-9x}{x^2+5}=0

   Numărătorul are gradul 1, iar numitorul gradul 2. Când gradul numitorului este mai mare, fracția tinde la 0. Putem și împărți sus și jos la \(x^2\): obținem \(\dfrac{-9/x}{1+5/x^2}\to\dfrac{0}{1}=0\). Deoarece \(\lim_{x\to+\infty}(f(x)-x)=0\), dreapta \(y=x\) este asimptotă oblică spre \(+\infty\) la graficul lui \(f\).

Răspuns: \(\lim_{x\to+\infty}(f(x)-x)=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{-9x}{x^2+5}=0\), deci dreapta \(y=x\) este asimptota oblică spre \(+\infty\) la graficul lui \(f\).

Se consideră funcția \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=\dfrac{x^3-4x}{x^2+5} \). c) Determinați mulțimea numerelor reale \( m \) pentru care ecuația \( f(x)=m \) are exact trei soluții.

Metoda: Studiul monotoniei cu derivata

1. 1

   Găsim punctele critice

   f'(x)=\frac{(x^2-1)(x^2+20)}{(x^2+5)^2}=0 \Rightarrow x=-1 \text{ sau } x=1

   Din punctul a) știm că \( f'(x)=\dfrac{(x^2-1)(x^2+20)}{(x^2+5)^2} \). Numitorul este mereu pozitiv și \( x^2+20>0 \), deci semnul derivatei depinde doar de \( x^2-1 \). Derivata se anulează când \( x^2=1 \), adică \( x=-1 \) sau \( x=1 \). Aceste puncte despart axa în intervale pe care \( f \) are monotonie constantă.

2. 2

   Semnul derivatei și monotonia

   f'>0 \text{ pe } (-\infty,-1);\ f'<0 \text{ pe } (-1,1);\ f'>0 \text{ pe } (1,+\infty)

   Factorii \( x^2+20 \) și \( (x^2+5)^2 \) sunt pozitivi, deci semnul lui \( f' \) este semnul lui \( x^2-1 \). Pentru \( x<-1 \) și \( x>1 \) avem \( x^2-1>0 \), deci \( f \) este strict crescătoare pe \( (-\infty,-1) \) și pe \( (1,+\infty) \). Pentru \( x\in(-1,1) \) avem \( x^2-1<0 \), deci \( f \) este strict descrescătoare pe \( (-1,1) \). Așadar \( -1 \) este punct de maxim local, iar \( 1 \) punct de minim local.

3. 3

   Valorile în punctele de extrem și limitele

   f(-1)=\frac{-1+4}{6}=\frac12,\quad f(1)=\frac{1-4}{6}=-\frac12,\quad \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty,\ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty

   Calculăm \( f(-1)=\dfrac{(-1)^3-4(-1)}{1+5}=\dfrac{3}{6}=\dfrac12 \) și \( f(1)=\dfrac{1-4}{6}=-\dfrac12 \). La capete, \( f(x)\sim x \) (și asimptota oblică din b) este \( y=x \)), deci limitele sunt \( -\infty \) la \( -\infty \) și \( +\infty \) la \( +\infty \). Funcția este continuă, deci ia toate valorile intermediare.

4. 4

   Numărul de soluții în funcție de m

   m\in\left(-\frac12,\frac12\right)

   Pe \( (-\infty,-1] \) funcția crește de la \( -\infty \) la \( \tfrac12 \), pe \( [-1,1] \) scade de la \( \tfrac12 \) la \( -\tfrac12 \), iar pe \( [1,+\infty) \) crește de la \( -\tfrac12 \) la \( +\infty \). Dacă \( m\in(-\tfrac12,\tfrac12) \), dreapta \( y=m \) taie fiecare din cele trei ramuri exact o dată, deci sunt exact trei soluții. Dacă \( m=\pm\tfrac12 \), două ramuri se întâlnesc în punctul de extrem și apar doar două soluții. Dacă \( |m|>\tfrac12 \), există o singură soluție.

Răspuns: \( m\in\left(-\dfrac12,\dfrac12\right) \)

Se consideră funcția \(f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{x^2-4}{x\ln x}\). Arătați că \(\displaystyle\int_2^3 f(x)\,x\ln x\,dx=\dfrac{7}{3}\).

Metoda: Integrare directă a polinomului

1. 1

   Simplificăm integrandul

   f(x)\,x\ln x=\frac{x^2-4}{x\ln x}\cdot x\ln x=x^2-4

   Înlocuim \(f(x)\) cu expresia dată. Pe intervalul \([2,3]\) avem \(x>1\), deci \(x\neq 0\) și \(\ln x\neq 0\), iar simplificarea cu \(x\ln x\) este permisă. Obținem \(\int_2^3 (x^2-4)\,dx\).

2. 2

   Aflăm o primitivă și aplicăm Leibniz–Newton

   \int_2^3 (x^2-4)\,dx=\left(\frac{x^3}{3}-4x\right)\Big|_2^3

   Primitiva lui \(x^2\) este \(\frac{x^3}{3}\), iar a constantei \(-4\) este \(-4x\). Apoi calculăm valoarea primitivei în capătul superior minus valoarea în capătul inferior.

3. 3

   Calculăm valorile în capete

   \left(\frac{27}{3}-12\right)-\left(\frac{8}{3}-8\right)=-3+\frac{16}{3}=\frac{7}{3}

   În \(x=3\): \(\frac{27}{3}-12=9-12=-3\). În \(x=2\): \(\frac{8}{3}-8=-\frac{16}{3}\). Diferența este \(-3-\left(-\frac{16}{3}\right)=-3+\frac{16}{3}=\frac{7}{3}\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\displaystyle\int_2^3 f(x)\,x\ln x\,dx=\int_2^3(x^2-4)\,dx=\frac{7}{3}\)

Se consideră funcția \(f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{x^2-4}{x\ln x}\). Arătați că \(\displaystyle\int_{e}^{e^2}\dfrac{f(x)}{x^2-4}\,dx=\ln 2\).

Metoda: Integrare prin formula derivatei logaritmului

1. 1

   Înlocuim f(x) și simplificăm

   \frac{f(x)}{x^2-4}=\frac{1}{x\ln x}

   Împărțim \(f(x)=\dfrac{x^2-4}{x\ln x}\) la \(x^2-4\). Factorul \(x^2-4\) se simplifică, iar pe intervalul \([e,e^2]\) el este nenul (x > 2, pentru că e > 2). Rămâne \(\dfrac{1}{x\ln x}\), mult mai simplu de integrat.

2. 2

   Recunoaștem derivata lui ln(ln x)

   \int_{e}^{e^2}\frac{1}{x\ln x}\,dx=\int_{e}^{e^2}\frac{1}{\ln x}\cdot(\ln x)'\,dx=\ln(\ln x)\Big|_{e}^{e^2}

   Știm că \((\ln x)'=\dfrac1x\). Atunci \(\dfrac{1}{x\ln x}=\dfrac{1}{\ln x}\cdot(\ln x)'\), adică are forma \(\dfrac{u'}{u}\) cu \(u=\ln x\). O primitivă a lui \(\dfrac{u'}{u}\) este \(\ln u\), deci o primitivă este \(\ln(\ln x)\). Pe intervalul considerat \(\ln x>0\), deci expresia are sens.

3. 3

   Aplicăm formula Leibniz-Newton

   \ln(\ln e^2)-\ln(\ln e)=\ln 2-\ln 1=\ln 2

   Înlocuim limitele: \(\ln e^2=2\), deci primul termen este \(\ln 2\). Apoi \(\ln e=1\), deci al doilea termen este \(\ln 1=0\). Diferența este \(\ln 2-0=\ln 2\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\displaystyle\int_{e}^{e^2}\dfrac{f(x)}{x^2-4}\,dx=\ln(\ln x)\Big|_e^{e^2}=\ln 2-\ln 1=\ln 2\)

Subiectul III, 2. c): Se consideră funcția \(f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{x^2-4}{x\ln x}\). Arătați că \(\displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{1}{F^2(x)}\int_2^x (t-2)F(t)\,dt=\dfrac{\ln 2}{4}\), unde \(F:(1,+\infty)\to\mathbb{R}\) este primitiva funcției \(f\) pentru care \(F(2)=0\).

Metoda: Regula lui L'Hospital

1. 1

   Recunoaștem nedeterminarea \(\frac{0}{0}\)

   \int_2^2 (t-2)F(t)\,dt=0,\quad F^2(2)=0

   Pentru \(x\to 2\), integrala de la 2 la \(x\) tinde la integrala de la 2 la 2, adică 0. Numitorul \(F^2(x)\) tinde la \(F^2(2)=0^2=0\). Deci avem forma \(\frac{0}{0}\), iar regula lui L'Hospital se poate aplica (F este derivabilă, deoarece F este primitiva lui f, iar f este continuă pe \((1,+\infty)\)).

2. 2

   Aplicăm regula lui L'Hospital

   \lim_{x\to2}\frac{\left(\int_2^x (t-2)F(t)\,dt\right)'}{\left(F^2(x)\right)'}=\lim_{x\to2}\frac{(x-2)F(x)}{2F(x)f(x)}

   Derivata integralei cu limita superioară \(x\) este funcția de sub integrală calculată în \(x\), adică \((x-2)F(x)\). Derivata lui \(F^2(x)\) este \(2F(x)F'(x)=2F(x)f(x)\), pentru că \(F'=f\).

3. 3

   Simplificăm prin \(F(x)\)

   \lim_{x\to2}\frac{(x-2)F(x)}{2F(x)f(x)}=\lim_{x\to2}\frac{x-2}{2f(x)}

   Pentru \(x\) apropiat de 2, dar diferit de 2, \(F(x)\neq0\) (F este strict crescătoare după 2, fiindcă \(f>0\) pe \((2,\infty)\), și strict descrescătoare... oricum nenulă lângă 2, în afară de x=2), deci putem simplifica prin \(F(x)\).

4. 4

   Înlocuim \(f(x)\) și calculăm limita

   \lim_{x\to2}\frac{x-2}{2f(x)}=\lim_{x\to2}\frac{x\ln x}{2(x+2)}=\frac{2\ln2}{2\cdot4}=\frac{\ln2}{4}

   Avem \(\frac{x-2}{2f(x)}=\frac{(x-2)\,x\ln x}{2(x^2-4)}\). Cum \(x^2-4=(x-2)(x+2)\), simplificăm prin \(x-2\) și obținem \(\frac{x\ln x}{2(x+2)}\). Acum nu mai e nedeterminare: înlocuim \(x=2\) și obținem \(\frac{2\ln 2}{2\cdot 4}=\frac{\ln 2}{4}\).

Răspuns: \(\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{1}{F^2(x)}\int_2^x (t-2)F(t)\,dt=\frac{\ln 2}{4}\)