Rezolvare pas cu pas: Matematică – Mate-Info (M1) – Bacalaureat 2026, simulare

Se consideră numărul complex \(z = 2 + i\). Arătați că \(z + \overline{z} + z \cdot \overline{z} = 9\), unde \(\overline{z}\) este conjugatul numărului complex \(z\).

Metoda: Calcul cu numere complexe conjugate

1. 1

   Aflăm conjugatul lui z

   z = 2 + i \Rightarrow \overline{z} = 2 - i

   Conjugatul unui număr complex \(a + bi\) este \(a - bi\): păstrăm partea reală și schimbăm semnul părții imaginare. Avem nevoie de \(\overline{z}\) ca să putem scrie expresia din enunț.

2. 2

   Calculăm suma z + conjugatul lui z

   z + \overline{z} = (2 + i) + (2 - i) = 4

   Când adunăm un număr complex cu conjugatul lui, părțile imaginare se reduc (\(i - i = 0\)), iar părțile reale se dublează: \(2 + 2 = 4\).

3. 3

   Calculăm produsul z · conjugatul lui z

   z \cdot \overline{z} = (2 + i)(2 - i) = 4 - i^2 = 4 + 1 = 5

   Folosim formula \((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\), cu \(a = 2\) și \(b = i\). Cum \(i^2 = -1\), obținem \(4 - (-1) = 5\). Produsul unui număr complex cu conjugatul său este mereu un număr real, \(a^2 + b^2\).

4. 4

   Adunăm rezultatele și încheiem

   z + \overline{z} + z \cdot \overline{z} = 4 + 5 = 9

   Adunăm suma obținută la pasul 2 cu produsul de la pasul 3. Baremul scrie același calcul sub forma \(4 + 4 - i^2 = 8 + 1 = 9\), deci se ajunge la aceeași valoare, adică egalitatea cerută este adevărată.

Răspuns: Am obținut \(z + \overline{z} + z \cdot \overline{z} = 4 + 5 = 9\), deci egalitatea este demonstrată.

Se consideră funcțiile \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=2x-1\) și \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(g(x)=x^2-4x+m\), unde \(m\) este număr real. Determinați numărul real \(m\) pentru care graficele funcțiilor \(f\) și \(g\) au exact un punct comun.

Metoda: Egalarea funcțiilor și discriminantul

1. 1

   Egalăm cele două funcții

   f(x)=g(x)\iff x^2-6x+m+1=0

   Un punct comun are aceeași abscisă \(x\) și aceeași ordonată pe ambele grafice, deci \(f(x)=g(x)\). Avem \(2x-1=x^2-4x+m\). Mutăm totul în partea dreaptă: \(0=x^2-4x-2x+m+1\), adică \(x^2-6x+m+1=0\). Numărul punctelor comune este egal cu numărul soluțiilor reale ale acestei ecuații.

2. 2

   Condiția de soluție unică

   \Delta=(-6)^2-4\cdot1\cdot(m+1)=32-4m

   O ecuație de gradul al II-lea are o singură soluție reală când \(\Delta=0\). Aici \(a=1\), \(b=-6\), \(c=m+1\), deci \(\Delta=36-4(m+1)=36-4m-4=32-4m\). Dacă \(\Delta>0\) ar fi două puncte comune, iar dacă \(\Delta<0\) niciunul.

3. 3

   Aflăm valoarea lui m

   32-4m=0\Rightarrow m=8

   Din \(\Delta=0\) avem \(32-4m=0\), deci \(4m=32\) și \(m=8\). Atunci ecuația devine \(x^2-6x+9=0\), adică \((x-3)^2=0\), cu soluția unică \(x=3\). Punctul comun este \((3,5)\), pentru că \(f(3)=5\) și \(g(3)=9-12+8=5\).

Răspuns: \(m=8\)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \((1+\log_x 2)\log_2 x=5\). (5p)

Metoda: Proprietățile logaritmilor

1. 1

   Condițiile de existență

   x>0,\ x\neq 1

   Pentru ca \(\log_x 2\) și \(\log_2 x\) să existe, baza \(x\) trebuie să fie pozitivă și diferită de 1, iar argumentul \(x\) din \(\log_2 x\) trebuie să fie pozitiv. Fără aceste condiții nu putem accepta soluțiile la final.

2. 2

   Desfacem paranteza

   \log_2 x+\log_x 2\cdot\log_2 x=5

   Înmulțim \(\log_2 x\) cu fiecare termen din paranteză: \(1\cdot\log_2 x\) și \(\log_x 2\cdot\log_2 x\). Facem asta pentru a apărea produsul celor doi logaritmi inverși.

3. 3

   Folosim logaritmii inverși

   \log_x 2\cdot\log_2 x=1 \Rightarrow \log_2 x+1=5

   Avem formula \(\log_a b=\dfrac{1}{\log_b a}\), deci \(\log_x 2=\dfrac{1}{\log_2 x}\). Produsul lor este 1 (este corect pentru \(x\neq1\), când \(\log_2 x\neq 0\)). Ecuația devine \(\log_2 x+1=5\).

4. 4

   Aflăm x

   \log_2 x=4 \Rightarrow x=2^4=16

   Din definiția logaritmului, \(\log_2 x=4\) înseamnă că \(x=2^4\). Valoarea \(x=16\) este pozitivă și diferită de 1, deci respectă condițiile de existență și convine.

Răspuns: \(x=16\)

Se consideră \(A\), mulțimea numerelor naturale de două cifre, formate cu cifre nenule. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea \(A\), acesta să aibă produsul cifrelor divizibil cu \(5\).

Metoda: Probabilitate: cazuri favorabile/posibile

1. 1

   Numărăm cazurile posibile

   9\cdot 9=81

   Un număr de două cifre are forma \(\overline{ab}\). Cifrele sunt nenule, deci fiecare poate fi 1, 2, ..., 9, adică 9 variante pentru \(a\) și 9 pentru \(b\). Din regula produsului obținem \(9\cdot 9=81\) numere în A, deci 81 de cazuri posibile.

2. 2

   Când este produsul cifrelor divizibil cu 5?

   5\mid a\cdot b \Leftrightarrow a=5 \text{ sau } b=5

   5 este număr prim. Produsul \(a\cdot b\) este divizibil cu 5 doar dacă măcar unul dintre factori este divizibil cu 5. Cifrele sunt între 1 și 9, iar singura cifră nenulă divizibilă cu 5 este 5. Deci trebuie ca măcar una dintre cifre să fie 5.

3. 3

   Numărăm cazurile favorabile

   9+9-1=17

   Numerele cu prima cifră 5 sunt 9 (51, ..., 59). Numerele cu a doua cifră 5 sunt tot 9 (15, ..., 95). Numărul 55 a fost numărat de două ori, deci scădem 1. Obținem \(9+9-1=17\) cazuri favorabile.

4. 4

   Calculăm probabilitatea

   p=\frac{17}{81}

   Probabilitatea este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și cel al cazurilor posibile: \(p=\frac{17}{81}\). Fracția nu se simplifică, deoarece 17 este prim și nu divide 81.

Răspuns: \(p=\dfrac{17}{81}\)

În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(0,5)\) și \(B(4,2)\). Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul \(A\) și este perpendiculară pe dreapta \(OB\).

Metoda: Condiția de perpendicularitate a dreptelor

1. 1

   Panta dreptei OB

   m_{OB}=\frac{y_B-y_O}{x_B-x_O}=\frac{2-0}{4-0}=\frac{1}{2}

   Panta unei drepte care trece prin două puncte este raportul dintre diferența ordonatelor și diferența absciselor. Dreapta \(OB\) trece prin \(O(0,0)\) și \(B(4,2)\), deci \(m_{OB}=\frac{2-0}{4-0}=\frac{1}{2}\). Avem nevoie de ea ca să putem folosi perpendicularitatea.

2. 2

   Panta dreptei perpendiculare

   m_{OB}\cdot m_d=-1 \Rightarrow \frac{1}{2}\cdot m_d=-1 \Rightarrow m_d=-2

   Două drepte (neverticale și neorizontale) sunt perpendiculare dacă produsul pantelor lor este \(-1\). Deci \(\frac{1}{2}\cdot m_d=-1\), de unde \(m_d=-2\).

3. 3

   Ecuația dreptei d

   y-y_A=m_d(x-x_A) \Rightarrow y-5=-2x \Rightarrow y=-2x+5

   Dreapta care trece prin punctul \(A(0,5)\) și are panta \(m_d=-2\) are ecuația \(y-y_A=m_d(x-x_A)\), adică \(y-5=-2(x-0)\). Rezultă \(y-5=-2x\), deci \(y=-2x+5\). Același rezultat apare și din forma \(y=mx+n\), unde \(n=5\) este ordonata la origine, pentru că \(A\) se află pe axa \(Oy\).

Răspuns: Ecuația dreptei este \(y=-2x+5\).

Se consideră triunghiul \(ABC\), dreptunghic în \(A\), cu \(AB=9\) și \(AC=12\). Punctul \(M\) este mijlocul segmentului \(BC\). Arătați că distanța de la punctul \(C\) la dreapta \(AM\) este egală cu \(7{,}2\).

Metoda: Mediana în triunghi dreptunghic

1. 1

   Arătăm că distanța de la C la AM este înălțimea din A

   AM=CM \Rightarrow d(C,AM)=d(A,CM)=AD

   În triunghiul dreptunghic \(ABC\), \(AM\) este mediană corespunzătoare ipotenuzei, deci \(AM=\frac{BC}{2}=CM\). Triunghiul \(AMC\) este isoscel, iar aria lui se poate calcula în două moduri: cu baza \(AM\) și înălțimea din \(C\), sau cu baza \(CM\) și înălțimea din \(A\). Cum \(AM=CM\), cele două înălțimi sunt egale: \(d(C,AM)=d(A,CM)\). Dar \(CM\) este pe dreapta \(BC\), deci \(d(A,CM)=AD\), unde \(AD\) este înălțimea din \(A\) a triunghiului \(ABC\), cu \(D\in BC\).

2. 2

   Calculăm ipotenuza BC

   BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{81+144}=15

   Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic \(ABC\), cu catetele \(9\) și \(12\). Avem nevoie de \(BC\) pentru a calcula aria cu baza \(BC\) și înălțimea \(AD\).

3. 3

   Calculăm înălțimea AD prin egalarea ariilor

   \frac{BC\cdot AD}{2}=\frac{AB\cdot AC}{2}\Rightarrow AD=\frac{9\cdot 12}{15}=7{,}2

   Aria triunghiului dreptunghic \(ABC\) se poate scrie ca jumătate din produsul catetelor sau ca jumătate din produsul dintre ipotenuză și înălțimea corespunzătoare. Egalând cele două expresii obținem \(15\cdot AD=9\cdot 12=108\), deci \(AD=\frac{108}{15}=7{,}2\). Astfel \(d(C,AM)=AD=7{,}2\).

Răspuns: Distanța de la \(C\) la dreapta \(AM\) este \(7{,}2\).

Se consideră matricea \(A(a)=\begin{pmatrix} a & 1 & 1\\ 1 & -1 & a\\ 3 & 2 & 1\end{pmatrix}\) și sistemul de ecuații liniare \(\begin{cases} ax+y+z=2a\\ x-y+az=-4\\ 3x+2y+z=8\end{cases}\), unde \(a\) este număr real. a) Arătați că \(\det(A(1))=4\).

Metoda: Calculul determinantului de ordin 3

1. 1

   Scriem matricea A(1)

   A(1)=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 1\\ 3 & 2 & 1\end{pmatrix}

   Matricea \(A(a)\) depinde de parametrul \(a\), care apare pe prima linie în poziția (1,1) și pe a doua linie în poziția (2,3). Pentru \(a=1\) înlocuim peste tot \(a\) cu 1. Celelalte elemente rămân neschimbate. Apoi scriem determinantul acestei matrice.

2. 2

   Aplicăm regula lui Sarrus

   \det(A(1))=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 1\\ 3 & 2 & 1\end{vmatrix}=-1+2+3+3-2-1

   Regula triunghiului: adunăm produsele elementelor de pe diagonala principală și de pe cele două „triunghiuri” paralele cu ea, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și de pe triunghiurile paralele cu ea. Termenii cu plus: \(1\cdot(-1)\cdot 1=-1\), \(1\cdot 1\cdot 3=3\), \(1\cdot 1\cdot 2=2\). Termenii cu minus: \(1\cdot(-1)\cdot 3=-3\), \(1\cdot 1\cdot 1=1\), \(1\cdot 1\cdot 2=2\) (cu semnul minus în fața lor, deci \(+3-1-2\)). Împreună dau \(-1+2+3+3-2-1\).

3. 3

   Calculăm suma și tragem concluzia

   -1+2+3+3-2-1=4

   Adunăm și scădem termenii în ordine: \(-1+2=1\), \(1+3=4\), \(4+3=7\), \(7-2=5\), \(5-1=4\). Am obținut exact valoarea cerută, deci \(\det(A(1))=4\), ceea ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\det(A(1))=-1+2+3+3-2-1=4\).

Se consideră matricea \(A(a)=\begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & -1 & a \\ 3 & 2 & 1\end{pmatrix}\) și sistemul de ecuații liniare \(\begin{cases} ax+y+z=2a \\ x-y+az=-4 \\ 3x+2y+z=8\end{cases}\), unde \(a\) este număr real. b) Determinați mulțimea numerelor reale \(a\) pentru care matricea \(A(a)\) este inversabilă.

Metoda: Determinantul și inversabilitatea matricei

1. 1

   Condiția de inversabilitate

   A(a)\text{ inversabilă} \iff \det(A(a))\neq 0

   O matrice pătratică are inversă doar dacă determinantul ei este nenul. De aceea tot ce trebuie să facem este să calculăm \(\det(A(a))\) și să vedem când nu este zero.

2. 2

   Calculul determinantului

   \det(A(a))=\begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & -1 & a \\ 3 & 2 & 1\end{vmatrix}=-a-2a+... = -2a^2+2a+4

   Aplicăm regula triunghiului (Sarrus). Termenii cu semnul plus: \(a\cdot(-1)\cdot 1=-a\), \(1\cdot a\cdot 3=3a\), \(1\cdot 1\cdot 2=2\). Termenii cu semnul minus: \(1\cdot(-1)\cdot 3=-3\), \(a\cdot a\cdot 2=2a^2\), \(1\cdot 1\cdot 1=1\). Deci \(\det=-a+3a+2-(-3+2a^2+1)=2a+2+2-2a^2=-2a^2+2a+4\). Rezultatul este corect pentru orice a real, la fel ca în barem.

3. 3

   Aflăm când determinantul este zero

   -2a^2+2a+4=0 \iff a^2-a-2=0 \iff (a+1)(a-2)=0 \iff a\in\{-1,2\}

   Împărțim ecuația cu \(-2\) și obținem \(a^2-a-2=0\). Discriminantul este \(1+8=9\), deci \(a=\frac{1\pm 3}{2}\), adică \(a=2\) sau \(a=-1\). Pentru aceste două valori matricea NU este inversabilă.

4. 4

   Concluzie

   A(a)\text{ inversabilă} \iff a\in\mathbb{R}\setminus\{-1,2\}

   Matricea este inversabilă când determinantul este nenul, adică pentru toate valorile reale ale lui a, cu excepția celor două la care determinantul se anulează: \(-1\) și \(2\).

Răspuns: \(a\in\mathbb{R}\setminus\{-1,2\}\)

Se consideră matricea \(A(a)=\begin{pmatrix} a & 1 & 1\\ 1 & -1 & a\\ 3 & 2 & 1\end{pmatrix}\) și sistemul de ecuații liniare \(\begin{cases} ax+y+z=2a\\ x-y+az=-4\\ 3x+2y+z=8\end{cases}\), unde \(a\) este număr real. Itemul 1. c) (5p): Considerăm \((x_1,y_1,z_1)\) soluția sistemului pentru \(a=1\). Pentru \(a=2\), determinați soluțiile \((x_0,y_0,z_0)\) ale sistemului pentru care \(x_0y_0=y_1\).

Metoda: Rezolvarea sistemului cu parametru

1. 1

   Aflăm \(y_1\) pentru \(a=1\)

   \begin{cases} x+y+z=2\\ x-y+z=-4\\ 3x+2y+z=8\end{cases}\ \Rightarrow\ 2y=6\ \Rightarrow\ y_1=3

   Pentru \(a=1\) sistemul devine \(x+y+z=2\), \(x-y+z=-4\), \(3x+2y+z=8\). Din \(\det A(1)=4\neq 0\) (subpunctul a)) sistemul are soluție unică. Scădem a doua ecuație din prima: termenii \(x\) și \(z\) se reduc și rămâne \(2y=6\), deci \(y_1=3\). Din soluție ne trebuie doar \(y_1\), așa că nu mai calculăm \(x_1\) și \(z_1\).

2. 2

   Rezolvăm sistemul pentru \(a=2\)

   \begin{cases} 2x+y+z=4\\ x-y+2z=-4\\ 3x+2y+z=8\end{cases}\ \Rightarrow\ (x,y,z)=(\alpha,\,4-\alpha,\,-\alpha),\ \alpha\in\mathbb{C}

   Pentru \(a=2\) avem \(\det A(2)=0\), deci sistemul nu are soluție unică. Adunăm primele două ecuații: \(3x+3z=0\), deci \(z=-x\). Notăm \(x=\alpha\). Din prima ecuație, \(2\alpha+y-\alpha=4\), deci \(y=4-\alpha\). A treia ecuație este verificată automat: \(3\alpha+2(4-\alpha)-\alpha=8\). Soluțiile sunt \((\alpha,4-\alpha,-\alpha)\), cu \(\alpha\) parametru.

3. 3

   Punem condiția \(x_0y_0=y_1\)

   \alpha(4-\alpha)=3\ \Rightarrow\ \alpha^2-4\alpha+3=0\ \Rightarrow\ \alpha\in\{1,3\}

   Pentru \(a=2\) avem \(x_0=\alpha\) și \(y_0=4-\alpha\). Condiția \(x_0y_0=y_1=3\) devine \(\alpha(4-\alpha)=3\). După ce mutăm totul în stânga obținem \(\alpha^2-4\alpha+3=0\). Are \(\Delta=16-12=4\), deci \(\alpha=\frac{4\pm 2}{2}\), adică \(\alpha=1\) sau \(\alpha=3\).

4. 4

   Scriem soluțiile cerute

   \alpha=1:\ (1,3,-1)\qquad \alpha=3:\ (3,1,-3)

   Înlocuim fiecare valoare în \((\alpha,4-\alpha,-\alpha)\). Pentru \(\alpha=1\) obținem \((1,3,-1)\), iar pentru \(\alpha=3\) obținem \((3,1,-3)\). Verificare: \(1\cdot 3=3=y_1\) și \(3\cdot 1=3=y_1\).

Răspuns: Soluțiile cerute sunt \((1,3,-1)\) și \((3,1,-3)\).

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x * y = \sqrt{(x^2+2)(y^2+2)+m}\), unde \(m \in [-4,+\infty)\). a) Pentru \(m=3\), arătați că \(0 * 1 = 3\).

Metoda: Calcul direct prin înlocuire

1. 1

   Înlocuim x = 0, y = 1 și m = 3 în formulă

   0 * 1 = \sqrt{(0^2+2)(1^2+2)+3}

   Legea ne spune cum se calculează \(x * y\) pentru orice numere reale. Pentru \(0 * 1\) punem \(x=0\) și \(y=1\), iar parametrul \(m\) devine 3, cum cere enunțul. Astfel apare expresia de sub radical, pe care o calculăm la pasul următor.

2. 2

   Calculăm expresia de sub radical

   \sqrt{2\cdot 3+3}=\sqrt{9}=3

   Avem \(0^2+2=2\) și \(1^2+2=3\), deci produsul este 6. Adunăm \(m=3\) și obținem 9. Rădăcina pătrată din 9 este 3, adică exact rezultatul cerut: \(0 * 1 = 3\).

Răspuns: Pentru m = 3 obținem \(0 * 1 = \sqrt{9} = 3\), deci egalitatea este demonstrată.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x*y=\sqrt{(x^2+2)(y^2+2)+m}\), unde \(m\in[-4,+\infty)\). b) Pentru \(m=7\), determinați numerele reale \(x\) pentru care \(x*(2x)=5\).

Metoda: Înlocuire și ecuație bipătrată

1. 1

   Scriem \(x*(2x)\) cu \(m=7\)

   x*(2x)=\sqrt{(x^2+2)(4x^2+2)+7}

   Înlocuim în definiția legii pe \(y\) cu \(2x\) și pe \(m\) cu 7. Cum \((2x)^2=4x^2\), al doilea factor devine \(4x^2+2\). Expresia de sub radical este pozitivă pentru orice \(x\) real, deci \(x*(2x)\) este definită.

2. 2

   Punem condiția \(x*(2x)=5\) și ridicăm la pătrat

   \sqrt{(x^2+2)(4x^2+2)+7}=5 \Rightarrow (x^2+2)(4x^2+2)+7=25

   Ridicăm ambii membri la pătrat ca să scăpăm de radical. Ambii membri sunt pozitivi (5 este pozitiv), deci nu apar soluții străine. Obținem \((x^2+2)(4x^2+2)=18\).

3. 3

   Dezvoltăm și aducem la forma bipătrată

   4x^4+2x^2+8x^2+4+7=25 \Rightarrow 4x^4+10x^2-14=0 \Rightarrow 2x^4+5x^2-7=0

   Înmulțim: \((x^2+2)(4x^2+2)=4x^4+2x^2+8x^2+4=4x^4+10x^2+4\). Adăugăm 7 și egalăm cu 25, apoi mutăm totul în stânga: \(4x^4+10x^2-14=0\). Împărțim la 2 și obținem \(2x^4+5x^2-7=0\), ca în barem.

4. 4

   Substituția \(t=x^2\) și rezolvarea ecuației de gradul II

   2t^2+5t-7=0,\ t\ge 0;\ \Delta=25+56=81,\ t=\frac{-5\pm 9}{4}\Rightarrow t=1\text{ sau }t=-\frac{7}{2}

   Notăm \(t=x^2\), deci \(t\ge 0\). Ecuația devine \(2t^2+5t-7=0\), cu \(\Delta=5^2-4\cdot2\cdot(-7)=81\). Rădăcinile sunt \(t=\frac{-5+9}{4}=1\) și \(t=\frac{-5-9}{4}=-\frac{7}{2}\). A doua nu convine, pentru că \(x^2\) nu poate fi negativ.

5. 5

   Revenim la \(x\) și verificăm

   x^2=1\Rightarrow x=-1\text{ sau }x=1;\quad 1*2=\sqrt{3\cdot 6+7}=\sqrt{25}=5

   Din \(x^2=1\) obținem \(x=\pm1\). Verificare pentru \(x=1\): \(x^2+2=3\), \(4x^2+2=6\), deci \(\sqrt{18+7}=5\). Pentru \(x=-1\) se obține același rezultat, pentru că \(x\) apare doar la pătrat.

Răspuns: x = -1 sau x = 1

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x*y=\sqrt{(x^2+2)(y^2+2)+m}\), unde \(m\in[-4,+\infty)\). c) Determinați \(m\in[-4,+\infty)\) pentru care legea de compoziție „\(*\)” este asociativă.

Metoda: Condiția de asociativitate

1. 1

   Scriem condiția de asociativitate

   (x*y)*z=x*(y*z),\ \forall x,y,z\in\mathbb{R}

   Legea este asociativă dacă nu contează cum punem parantezele când compunem trei numere. Deci trebuie să avem \((x*y)*z=x*(y*z)\) pentru orice numere reale \(x,y,z\).

2. 2

   Calculăm \((x*y)*z\)

   (x*y)*z=\sqrt{\big((x^2+2)(y^2+2)+m+2\big)(z^2+2)+m}

   Avem \(x*y=\sqrt{(x^2+2)(y^2+2)+m}\). Când îl punem în locul lui „x” în formula legii, apare \((x*y)^2+2\). Rădăcina dispare prin ridicare la pătrat: \((x*y)^2+2=(x^2+2)(y^2+2)+m+2\). Apoi înmulțim cu \(z^2+2\) și adăugăm \(m\).

3. 3

   Calculăm \(x*(y*z)\)

   x*(y*z)=\sqrt{(x^2+2)\big((y^2+2)(z^2+2)+m+2\big)+m}

   La fel, \((y*z)^2+2=(y^2+2)(z^2+2)+m+2\). Acum acest factor se înmulțește cu \(x^2+2\), apoi se adaugă \(m\).

4. 4

   Egalăm și simplificăm

   (x^2+2)(y^2+2)(z^2+2)+(m+2)(z^2+2)+m=(x^2+2)(y^2+2)(z^2+2)+(x^2+2)(m+2)+m \iff (m+2)(z^2+2)=(x^2+2)(m+2)

   Rădăcinile pătrate sunt egale când expresiile de sub ele sunt egale (ambele sunt pozitive). Termenii \((x^2+2)(y^2+2)(z^2+2)\) și \(m\) apar în ambele părți și se reduc. Rămâne \((m+2)(z^2+2)=(x^2+2)(m+2)\), adică \((m+2)(z^2-x^2)=0\).

5. 5

   Determinăm \(m\)

   (m+2)(z^2-x^2)=0,\ \forall x,z\in\mathbb{R}\iff m=-2

   Egalitatea \((m+2)(z^2-x^2)=0\) trebuie să fie adevărată pentru toți \(x\) și \(z\). Dar \(z^2-x^2\) nu este mereu 0 (de exemplu \(x=0,z=1\) dă 1). Deci singura posibilitate este \(m+2=0\), adică \(m=-2\). Verificăm că \(m=-2\) aparține lui \([-4,+\infty)\): da. De asemenea, pentru \(m=-2\) expresia de sub radical este \((x^2+2)(y^2+2)-2\ge 4-2>0\), deci legea este bine definită.

Răspuns: \(m=-2\)

Se consideră funcția \( f:(1,+\infty)\to\mathbb{R} \), \( f(x)=\dfrac{e^{x-2}}{\sqrt{x-1}} \). a) Arătați că \( f'(x)=\dfrac{e^{x-2}(2x-3)}{2(x-1)\sqrt{x-1}} \), \( x\in(1,+\infty) \).

Metoda: Derivata unui raport de funcții

1. 1

   Alegem formula de derivare

   \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}

   Funcția are forma \(\frac{u}{v}\) cu \(u(x)=e^{x-2}\) și \(v(x)=\sqrt{x-1}\). De aceea folosim formula de derivare a câtului. Pe \((1,+\infty)\) avem \(v(x)>0\), deci fracția are sens.

2. 2

   Calculăm derivatele lui u și v

   u'=e^{x-2},\quad v'=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}

   Derivata lui \(e^{x-2}\) este \(e^{x-2}\cdot(x-2)'=e^{x-2}\). Derivata lui \(\sqrt{x-1}\) este \(\frac{(x-1)'}{2\sqrt{x-1}}=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}\).

3. 3

   Înlocuim în formulă

   f'(x)=\frac{e^{x-2}\sqrt{x-1}-e^{x-2}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x-1}}}{x-1}

   Numitorul \(v^2=(\sqrt{x-1})^2=x-1\). În numărător punem \(u'v-uv'\), adică \(e^{x-2}\sqrt{x-1}-e^{x-2}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x-1}}\).

4. 4

   Aducem numărătorul la numitor comun

   f'(x)=\frac{e^{x-2}\left(2(x-1)-1\right)}{2\sqrt{x-1}\,(x-1)}=\frac{e^{x-2}(2x-3)}{2(x-1)\sqrt{x-1}}

   Scoatem factor comun \(e^{x-2}\) și amplificăm \(\sqrt{x-1}\) cu \(2\sqrt{x-1}\): \(\sqrt{x-1}=\frac{2(x-1)}{2\sqrt{x-1}}\), deoarece \(\sqrt{x-1}\cdot\sqrt{x-1}=x-1\). Atunci numărătorul devine \(e^{x-2}\cdot\frac{2(x-1)-1}{2\sqrt{x-1}}\). Cum \(2(x-1)-1=2x-3\), iar împărțirea la \(x-1\) trece în numitor, obținem exact forma cerută, pentru orice \(x\in(1,+\infty)\).

Răspuns: \( f'(x)=\dfrac{e^{x-2}(2x-3)}{2(x-1)\sqrt{x-1}} \), \( x\in(1,+\infty) \), ceea ce trebuia arătat.

Se consideră funcția \(f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{e^{x-2}}{\sqrt{x-1}}\). b) Arătați că \(\lim_{x\to 2}\left(f(x)\right)^{\frac{1}{x-2}}=\sqrt{e}\).

Metoda: Limită de tip \(1^\infty\) și derivată

1. 1

   Calculăm f(2) și recunoaștem nedeterminarea

   f(2)=\frac{e^{0}}{\sqrt{1}}=1,\qquad 1^{\infty}

   Calculăm \(f(2)=\dfrac{e^{2-2}}{\sqrt{2-1}}=1\). Baza tinde la 1, iar exponentul \(\dfrac{1}{x-2}\) tinde la infinit. Deci avem nedeterminarea \(1^\infty\), pe care o rezolvăm cu limita remarcabilă \(\lim_{u\to0}(1+u)^{1/u}=e\).

2. 2

   Aducem expresia la forma (1+u)^(1/u)

   \lim_{x\to2}\big(1+f(x)-1\big)^{\frac1{x-2}}=\lim_{x\to2}\left[\big(1+f(x)-1\big)^{\frac{1}{f(x)-1}}\right]^{\frac{f(x)-1}{x-2}}

   Scriem \(f(x)=1+(f(x)-1)\), unde \(u=f(x)-1\to0\) când \(x\to2\). Înmulțim și împărțim exponentul cu \(f(x)-1\), ca să apară \((1+u)^{1/u}\), care tinde la \(e\). Rămâne în exponent fracția \(\dfrac{f(x)-1}{x-2}\).

3. 3

   Recunoaștem derivata lui f în 2

   \lim_{x\to2}\frac{f(x)-1}{x-2}=\lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=f'(2)

   Cum \(f(2)=1\), fracția \(\dfrac{f(x)-1}{x-2}\) este exact \(\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}\), adică definiția derivatei lui f în punctul 2. Deci limita ei este \(f'(2)\).

4. 4

   Calculăm f'(2) cu formula de la punctul a)

   f'(x)=\frac{e^{x-2}(2x-3)}{2(x-1)\sqrt{x-1}}\Rightarrow f'(2)=\frac{e^{0}\cdot1}{2\cdot1\cdot1}=\frac12

   Folosim rezultatul de la a). Pentru \(x=2\): \(e^{0}=1\), \(2x-3=1\), \(x-1=1\) și \(\sqrt{1}=1\). Numitorul este \(2\cdot1\cdot1=2\), deci \(f'(2)=\dfrac12\).

5. 5

   Concluzia

   \lim_{x\to2}(f(x))^{\frac1{x-2}}=e^{f'(2)}=e^{\frac12}=\sqrt e

   Limita parantezei pătrate este \(e\), iar exponentul tinde la \(f'(2)=\frac12\). Obținem \(e^{1/2}=\sqrt{e}\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\lim_{x\to2}(f(x))^{\frac1{x-2}}=e^{f'(2)}=e^{\frac12}=\sqrt e\)

Se consideră funcția \( f:(1,+\infty)\to\mathbb{R} \), \( f(x)=\dfrac{e^{x-2}}{\sqrt{x-1}} \). Determinați mulțimea numerelor reale \( m \) pentru care ecuația \( f(x)=mx \) are exact două soluții.

Metoda: Studiul monotoniei cu derivata

1. 1

   Separăm parametrul m

   f(x)=mx \iff \frac{f(x)}{x}=m,\quad g(x)=\frac{f(x)}{x},\ x\in(1,+\infty)

   Pe intervalul \( (1,+\infty) \) avem \( x>1 \), deci \( x\neq 0 \) și putem împărți ecuația la \( x \). Definim \( g:(1,+\infty)\to\mathbb{R} \), \( g(x)=\dfrac{f(x)}{x} \). Ecuația devine \( g(x)=m \). Numărul de soluții este numărul de puncte în care graficul lui \( g \) este tăiat de dreapta orizontală \( y=m \).

2. 2

   Calculăm derivata lui g

   g'(x)=\frac{xf'(x)-f(x)}{x^2}=\frac{e^{x-2}\left(2x^2-5x+2\right)}{2x^2(x-1)\sqrt{x-1}}

   Folosim formula derivatei câtului: \( g'(x)=\dfrac{xf'(x)-f(x)}{x^2} \). Din punctul a) știm că \( f'(x)=\dfrac{e^{x-2}(2x-3)}{2(x-1)\sqrt{x-1}} \). Atunci \( xf'(x)-f(x)=\dfrac{e^{x-2}}{\sqrt{x-1}}\left[\dfrac{x(2x-3)}{2(x-1)}-1\right]=\dfrac{e^{x-2}}{\sqrt{x-1}}\cdot\dfrac{2x^2-5x+2}{2(x-1)} \). Împărțind la \( x^2 \), obținem formula de mai sus.

3. 3

   Semnul derivatei și monotonia

   2x^2-5x+2=0\Rightarrow x=\frac{5\pm 3}{4}\Rightarrow x=2\ \text{sau}\ x=\frac12;\quad g'<0\text{ pe }(1,2),\ g'>0\text{ pe }(2,+\infty)

   Factorii \( e^{x-2} \), \( 2x^2 \), \( x-1 \) și \( \sqrt{x-1} \) sunt pozitivi pe \( (1,+\infty) \). Semnul lui \( g' \) este deci semnul lui \( 2x^2-5x+2 \). Discriminantul este \( 25-16=9 \), iar rădăcinile sunt \( 2 \) și \( \tfrac12 \). Doar \( x=2 \) aparține intervalului \( (1,+\infty) \). Parabola are ramurile în sus, deci trinomul este negativ între rădăcini și pozitiv în afara lor. Pe \( (1,2) \) avem \( g'(x)<0 \), deci \( g \) este strict descrescătoare. Pe \( (2,+\infty) \) avem \( g'(x)>0 \), deci \( g \) este strict crescătoare. Punctul \( x=2 \) este minim.

4. 4

   Limitele, valoarea minimă și concluzia

   \lim_{x\to1}g(x)=+\infty,\quad g(2)=\frac12,\quad \lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty\ \Rightarrow\ m\in\left(\frac12,+\infty\right)

   Când \( x\to1,\ x>1 \), numărătorul \( e^{x-2}\to e^{-1} \), iar \( x\sqrt{x-1}\to 0^+ \), deci \( g(x)\to+\infty \). Valoarea în punctul de minim este \( g(2)=\dfrac{e^0}{2\sqrt{1}}=\dfrac12 \). Când \( x\to+\infty \), \( e^{x} \) crește mult mai repede decât orice putere a lui \( x \), deci \( g(x)\to+\infty \). Funcția \( g \) este continuă. Pe \( (1,2] \) coboară de la \( +\infty \) la \( \tfrac12 \), iar pe \( [2,+\infty) \) urcă de la \( \tfrac12 \) la \( +\infty \). Dacă \( m>\tfrac12 \), dreapta \( y=m \) taie graficul o dată pe fiecare ramură, deci avem exact două soluții. Dacă \( m=\tfrac12 \), există o singură soluție, \( x=2 \). Dacă \( m<\tfrac12 \), nu există nicio soluție.

Răspuns: \( m\in\left(\dfrac12,+\infty\right) \)

Se consideră funcția \( f:(0,+\infty)\to\mathbb{R},\ f(x)=\left(4x+\dfrac{6}{x^2}\right)\ln x \). a) Arătați că \( \displaystyle\int_2^3 \dfrac{f(x)}{\ln x}\,dx=11 \).

Metoda: Integrala unei funcții elementare

1. 1

   Simplificăm raportul cu \( \ln x \)

   \frac{f(x)}{\ln x}=4x+\frac{6}{x^2}

   Avem \( f(x)=\left(4x+\frac{6}{x^2}\right)\ln x \). Pe intervalul \( [2,3] \) avem \( x>1 \), deci \( \ln x\neq 0 \) și putem simplifica prin \( \ln x \). Rămâne doar paranteza, adică \( 4x+\frac{6}{x^2} \).

2. 2

   Găsim o primitivă

   \int\left(4x+\frac{6}{x^2}\right)dx=2x^2-\frac{6}{x}+C

   Integrăm pe rând. Pentru \( 4x \): \( \int 4x\,dx=2x^2 \). Pentru \( \frac{6}{x^2}=6x^{-2} \): \( \int 6x^{-2}dx=6\cdot\frac{x^{-1}}{-1}=-\frac{6}{x} \). Deci o primitivă este \( 2x^2-\frac{6}{x} \).

3. 3

   Aplicăm formula Leibniz-Newton

   \int_2^3\left(4x+\frac{6}{x^2}\right)dx=\left(2x^2-\frac{6}{x}\right)\Big|_2^3=\left(18-2\right)-\left(8-3\right)

   Calculăm primitiva în limita de sus \( x=3 \): \( 2\cdot 9-\frac{6}{3}=18-2=16 \). Apoi în limita de jos \( x=2 \): \( 2\cdot 4-\frac{6}{2}=8-3=5 \). Scădem: \( 16-5=11 \). Putem scrie și \( 2x^2\big|_2^3=18-8=10 \) și \( -\frac{6}{x}\big|_2^3=-2+3=1 \), iar suma este \( 10+1=11 \), ca în barem.

Răspuns: \( \displaystyle\int_2^3 \frac{f(x)}{\ln x}\,dx=11 \)

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\left(4x+\dfrac{6}{x^2}\right)\ln x\). b) Arătați că \(\displaystyle\int_1^e x\big(f(x)-4x\ln x\big)\,dx=3\).

Metoda: Integrare prin recunoașterea derivatei

1. 1

   Simplificăm expresia de sub integrală

   x\big(f(x)-4x\ln x\big)=x\cdot\frac{6}{x^2}\ln x=\frac{6\ln x}{x}

   Scriem \(f(x)-4x\ln x=\left(4x+\frac{6}{x^2}\right)\ln x-4x\ln x=\frac{6}{x^2}\ln x\), deoarece termenul \(4x\ln x\) se reduce. Apoi înmulțim cu \(x\) și simplificăm: \(x\cdot\frac{6}{x^2}=\frac{6}{x}\). Facem asta ca să rămânem cu o funcție mult mai simplă de integrat.

2. 2

   Recunoaștem derivata lui ln x

   \int_1^e \frac{6\ln x}{x}\,dx=6\int_1^e \ln x\,(\ln x)'\,dx

   Știm că \((\ln x)'=\frac1x\). Deci \(\frac{\ln x}{x}=\ln x\cdot(\ln x)'\), adică o funcție înmulțită cu derivata ei. Scoatem constanta 6 în fața integralei.

3. 3

   Calculăm integrala

   6\int_1^e \ln x(\ln x)'\,dx=6\cdot\frac{\ln^2 x}{2}\Big|_1^e=3\ln^2 x\Big|_1^e=3\ln^2 e-3\ln^2 1

   Cu \(u=\ln x\), primitiva lui \(u\,u'\) este \(\frac{u^2}{2}\). Înmulțit cu 6 dă \(3\ln^2 x\). Apoi aplicăm formula Leibniz-Newton: valoarea în \(e\) minus valoarea în \(1\).

4. 4

   Concluzia

   3\ln^2 e-3\ln^2 1=3\cdot1-3\cdot0=3

   Cum \(\ln e=1\) și \(\ln 1=0\), obținem \(3-0=3\), exact valoarea cerută în enunț.

Răspuns: \(\displaystyle\int_1^e x\big(f(x)-4x\ln x\big)\,dx=3\ln^2 e-3\ln^2 1=3\)

Se consideră funcția \( f:(0,+\infty)\to\mathbb{R},\ f(x)=\left(4x+\dfrac{6}{x^2}\right)\ln x \). c) Determinați primitiva \( F:(0,+\infty)\to\mathbb{R} \) a funcției \( f \), pentru care axa \( Ox \) este tangentă la graficul funcției \( F \).

Metoda: Primitivă și condiția de tangență

1. 1

   Traducem tangența axei Ox

   F(a)=0,\ F'(a)=0

   Dacă axa Ox este tangentă la graficul lui \( F \) în punctul \( A(a,F(a)) \), atunci punctul este pe axă, deci \( F(a)=0 \), iar panta tangentei (care este 0, panta axei Ox) este \( F'(a)=0 \). Cum \( F \) este primitivă a lui \( f \), avem \( F'(x)=f(x) \), deci \( f(a)=0 \).

2. 2

   Aflăm punctul a

   f(a)=0\Rightarrow \left(4a+\frac{6}{a^2}\right)\ln a=0\Rightarrow \ln a=0\Rightarrow a=1

   Pentru \( a>0 \) avem \( 4a+\frac{6}{a^2}>0 \), deci produsul este 0 doar când \( \ln a=0 \). Rezultă \( a=1 \). Prin urmare \( F(1)=0 \).

3. 3

   Scriem F ca integrală de la 1 la x

   F(x)=\int_1^x f(t)\,dt

   Primitivele lui \( f \) sunt de forma \( \int_1^x f(t)dt + c \). Condiția \( F(1)=0 \) dă \( c=0 \). Observăm că \( 4t+\frac{6}{t^2} \) are primitiva \( 2t^2-\frac{6}{t} \), deci putem integra prin părți.

4. 4

   Integrăm prin părți

   F(x)=\left(2t^2-\frac{6}{t}\right)\ln t\Big|_1^x-\int_1^x\left(2t-\frac{6}{t^2}\right)dt

   Luăm \( u=\ln t \) și \( v'=4t+\frac{6}{t^2} \), deci \( v=2t^2-\frac{6}{t} \). Atunci \( \int v'u=vu-\int vu' \), iar \( u'=\frac1t \), deci \( vu'=2t-\frac{6}{t^2} \). Ultima integrală dă \( t^2+\frac{6}{t} \).

5. 5

   Calculăm rezultatul final

   F(x)=\left(2x^2-\frac{6}{x}\right)\ln x-x^2-\frac{6}{x}+7

   La \( t=1 \): \( \left(2-6\right)\ln 1=0 \), iar \( 1^2+6=7 \). Deci \( F(x)=\left(2x^2-\frac6x\right)\ln x-\left(x^2+\frac6x\right)+7 \). Verificare: \( F(1)=0-7+7=0 \) și \( F'(1)=f(1)=0 \).

Răspuns: \( F(x)=\left(2x^2-\dfrac{6}{x}\right)\ln x-x^2-\dfrac{6}{x}+7,\ x>0 \)