Rezolvare pas cu pas: Matematică – Științele naturii (M2) – Bacalaureat 2026, sesiunea august (varianta 04)

Se consideră numerele complexe \(z_1 = 2 - 3i\) și \(z_2 = 1 - 2i\). Arătați că \(iz_1 + z_2 = 4\).

Metoda: Calcul cu numere complexe

1. 1

   Înlocuim numerele și efectuăm înmulțirea cu i

   iz_1+z_2 = i(2-3i)+1-2i = 2i-3i^2+1-2i

   Scriem expresia cu valorile date pentru \(z_1\) și \(z_2\). Distribuim \(i\) în paranteză: \(i\cdot 2 = 2i\) și \(i\cdot(-3i) = -3i^2\). Restul termenilor rămân neschimbați.

2. 2

   Folosim i² = −1

   2i-3i^2+1-2i = 2i+3+1-2i

   Din definiția unității imaginare, \(i^2=-1\). Deci \(-3i^2 = -3\cdot(-1) = 3\). Astfel dispare puterea lui \(i\) și rămân doar termeni simpli.

3. 3

   Reducem termenii asemenea

   2i+3+1-2i = (3+1)+(2i-2i) = 4

   Grupăm părțile reale (\(3\) și \(1\)) și părțile imaginare (\(2i\) și \(-2i\)). Părțile imaginare se anulează, iar cele reale dau \(3+1=4\). Am obținut exact ce trebuia arătat: \(iz_1+z_2=4\).

Răspuns: \(iz_1+z_2 = 4\), deci egalitatea este demonstrată.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x+3\). Determinați numărul real \(a\) pentru care \(f(a+2)=a+f(a)\).

Metoda: Calculul valorilor funcției

1. 1

   Calculăm \(f(a+2)\) și \(f(a)\)

   f(a+2)=(a+2)+3=a+5,\quad f(a)=a+3

   Funcția spune: ia numărul din paranteză și adaugă-i 3. Pentru \(f(a+2)\) numărul din paranteză este \(a+2\), deci obținem \(a+2+3=a+5\). Pentru \(f(a)\) numărul este \(a\), deci obținem \(a+3\). Aceste două expresii sunt valabile pentru orice număr real \(a\).

2. 2

   Scriem și rezolvăm ecuația

   a+5=a+(a+3)\;\Rightarrow\; a+5=2a+3\;\Rightarrow\; a=2

   Condiția din enunț este \(f(a+2)=a+f(a)\). În stânga punem \(a+5\), iar în dreapta \(a+f(a)=a+a+3=2a+3\). Din \(a+5=2a+3\) trecem necunoscutele într-o parte: \(5-3=2a-a\), deci \(a=2\).

Răspuns: \(a=2\)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(\sqrt{2x}=\sqrt{x^2-x+2}\).

Metoda: Ridicare la pătrat și verificare

1. 1

   Condițiile de existență și ridicarea la pătrat

   2x=x^2-x+2

   Ambele expresii de sub radical trebuie să fie pozitive sau zero. Ridicând la pătrat ambii membri (care sunt amândoi \(\ge 0\)), radicalii dispar și obținem \(2x=x^2-x+2\).

2. 2

   Aducerea la forma ecuației de gradul II

   x^2-3x+2=0

   Mutăm termenul \(2x\) în dreapta: \(x^2-x+2-2x=0\), adică \(x^2-3x+2=0\).

3. 3

   Rezolvarea ecuației de gradul II

   \Delta=9-8=1,\quad x=\frac{3\pm1}{2}\Rightarrow x_1=1,\ x_2=2

   Calculăm discriminantul \(\Delta=b^2-4ac=9-8=1\). Apoi \(x=\frac{3\pm 1}{2}\), deci \(x=1\) sau \(x=2\). Se poate și prin descompunere: \((x-1)(x-2)=0\).

4. 4

   Verificarea soluțiilor

   x=1:\ \sqrt{2}=\sqrt{2};\quad x=2:\ \sqrt{4}=\sqrt{4}

   Verificăm în ecuația inițială. Pentru \(x=1\): \(\sqrt{2}\) și \(\sqrt{1-1+2}=\sqrt{2}\), egale. Pentru \(x=2\): \(\sqrt{4}=2\) și \(\sqrt{4-2+2}=\sqrt{4}=2\), egale. Ambele soluții convin, iar sub radical avem numere pozitive.

Răspuns: x=1 sau x=2 (mulțimea soluțiilor este {1, 2})

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr \(n\) din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice inegalitatea \(3n^2 > 100\).

Metoda: Probabilitate: cazuri favorabile pe cazuri posibile

1. 1

   Aflăm numărul cazurilor posibile

   \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\Rightarrow 10 \text{ cazuri posibile}

   Numerele naturale de o cifră sunt \(0,1,2,\dots,9\). Atenție: și 0 este număr natural de o cifră. Sunt deci 10 elemente, adică 10 cazuri posibile, fiindcă oricare număr poate fi ales.

2. 2

   Aflăm numărul cazurilor favorabile

   3n^2>100 \Leftrightarrow n^2>\frac{100}{3}\approx 33{,}3

   Împărțim inegalitatea la 3 și obținem \(n^2>33{,}3\). Încercăm cifrele: \(5^2=25\), care nu e mai mare decât 33,3, deci 5 nu merge. \(6^2=36>33{,}3\), deci 6 merge. Cum \(n^2\) crește odată cu \(n\) (pentru \(n\ge 0\)), merg 6, 7, 8 și 9. Verificăm direct: \(3\cdot 25=75<100\), iar \(3\cdot 36=108>100\). Sunt 4 cazuri favorabile.

3. 3

   Calculăm probabilitatea

   p=\frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}

   Aplicăm formula probabilității: 4 cazuri favorabile din 10 posibile. Simplificăm fracția prin 2 și obținem \(\frac{2}{5}\), acesta fiind rezultatul din barem.

Răspuns: \(p=\dfrac{2}{5}\)

În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(6,0)\), \(B(8,2)\) și \(C(1,9)\). Determinați distanța dintre punctul \(C\) și mijlocul segmentului \(AB\).

Metoda: Mijlocul segmentului și distanța

1. 1

   Aflăm mijlocul segmentului AB

   M\left(\frac{6+8}{2},\frac{0+2}{2}\right)=M(7,1)

   Coordonatele mijlocului unui segment sunt media aritmetică a coordonatelor capetelor. Pentru \(A(x_A,y_A)\) și \(B(x_B,y_B)\), mijlocul este \(M\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)\). Facem media separat pentru abscise și pentru ordonate: \(\frac{6+8}{2}=7\) și \(\frac{0+2}{2}=1\).

2. 2

   Calculăm distanța CM

   CM=\sqrt{(7-1)^2+(1-9)^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10

   Distanța dintre punctele \(C(x_C,y_C)\) și \(M(x_M,y_M)\) este \(\sqrt{(x_M-x_C)^2+(y_M-y_C)^2}\). Diferența abscixelor este \(7-1=6\), iar a ordonatelor \(1-9=-8\). Prin ridicare la pătrat, semnul minus dispare: \(6^2+8^2=36+64=100\), deci distanța este \(\sqrt{100}=10\).

Răspuns: Distanța dintre \(C\) și mijlocul segmentului \(AB\) este \(CM=10\).

Se consideră triunghiul \(ABC\), cu \(AC = 9\) și \(B = \frac{\pi}{3}\). Arătați că raza cercului circumscris triunghiului \(ABC\) este egală cu \(3\sqrt{3}\).

Metoda: Teorema sinusurilor

1. 1

   Scriem teorema sinusurilor

   2R = \frac{AC}{\sin B}

   Într-un triunghi \(ABC\), raportul dintre o latură și sinusul unghiului opus ei este egal cu diametrul cercului circumscris, adică \(2R\). Latura \(AC\) este opusă unghiului \(B\), deci putem scrie \(2R = \frac{AC}{\sin B} = \frac{9}{\sin B}\). Alegem această formă pentru că ne dă exact datele pe care le avem: \(AC\) și \(B\).

2. 2

   Calculăm sinusul unghiului B

   \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}

   Unghiul \(B = \frac{\pi}{3}\) este de \(60^\circ\). Din valorile uzuale ale sinusului știm că \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Înlocuim în formula de la pasul anterior: \(2R = \frac{9}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\).

3. 3

   Aflăm raza R

   2R = \frac{9}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3} \Rightarrow R = 3\sqrt{3}

   Împărțirea la o fracție înseamnă înmulțire cu inversa ei: \(\frac{9}{\sqrt{3}/2} = \frac{9\cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{18}{\sqrt{3}}\). Raționalizăm amplificând cu \(\sqrt{3}\): \(\frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}\). Deci \(2R = 6\sqrt{3}\), de unde \(R = 3\sqrt{3}\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: Din teorema sinusurilor, \(2R = \frac{9}{\sin\frac{\pi}{3}} = 6\sqrt{3}\), deci \(R = 3\sqrt{3}\).

Se consideră matricea \(A(x,y)=\begin{pmatrix} x+y & xy \\ 4 & x+y \end{pmatrix}\), unde \(x\) și \(y\) sunt numere reale. a) Arătați că \(\det(A(1,2))=1\).

Metoda: Calculul determinantului de ordin 2

1. 1

   Înlocuim x = 1 și y = 2 în matrice

   A(1,2)=\begin{pmatrix} 1+2 & 1\cdot 2 \\ 4 & 1+2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}

   Matricea \(A(x,y)\) depinde de \(x\) și \(y\). Pentru \(A(1,2)\) punem peste tot \(x=1\) și \(y=2\). Atunci \(x+y=3\) și \(xy=2\). Pe diagonală apare \(3\), pe prima linie în dreapta \(2\), iar \(4\) rămâne neschimbat.

2. 2

   Calculăm determinantul

   \det(A(1,2))=\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{vmatrix}=3\cdot 3-2\cdot 4

   Determinantul unei matrice de ordin 2 este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Aici diagonala principală are \(3\) și \(3\), iar cea secundară are \(2\) și \(4\).

3. 3

   Concluzia

   \det(A(1,2))=9-8=1

   Am obținut \(9-8=1\), exact valoarea cerută în enunț. Deci egalitatea \(\det(A(1,2))=1\) este demonstrată.

Răspuns: \(\det(A(1,2))=9-8=1\)

Se consideră matricea \( A(x,y)=\begin{pmatrix} x+y & xy \\ 4 & x+y \end{pmatrix} \), unde \( x \) și \( y \) sunt numere reale. b) Arătați că matricea \( A(x,y) \) este inversabilă, pentru orice numere reale distincte \( x \) și \( y \).

Metoda: Criteriul determinantului nenul

1. 1

   Calculăm determinantul matricei

   \det(A(x,y))=(x+y)^2-4xy=(x-y)^2

   Pentru o matrice de ordin 2, determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Aici: \( (x+y)(x+y)-xy\cdot 4 = (x+y)^2-4xy \). Desfacem pătratul: \( x^2+2xy+y^2-4xy = x^2-2xy+y^2=(x-y)^2 \). Acest calcul este valabil pentru orice numere reale \( x \) și \( y \).

2. 2

   Folosim ipoteza \( x\neq y \) și tragem concluzia

   x\neq y \Rightarrow (x-y)^2>0 \Rightarrow \det(A(x,y))\neq 0

   Dacă \( x \) și \( y \) sunt distincte, atunci \( x-y\neq 0 \), iar un număr real nenul ridicat la pătrat este strict pozitiv. Deci determinantul este diferit de zero. O matrice cu determinantul nenul este inversabilă, deci \( A(x,y) \) este inversabilă pentru orice numere reale distincte \( x \) și \( y \).

Răspuns: \( \det(A(x,y))=(x-y)^2\neq 0 \) pentru \( x\neq y \), deci matricea \( A(x,y) \) este inversabilă.

Se consideră matricea \(A(x,y)=\begin{pmatrix} x+y & xy \\ 4 & x+y \end{pmatrix}\), unde \(x\) și \(y\) sunt numere reale. c) Determinați numerele reale \(x\) și \(y\) pentru care \(A(x,2)\cdot A(x,2)=4A(y,0)\).

Metoda: Calcul matriceal și egalarea elementelor

1. 1

   Scriem matricea \(A(x,2)\)

   A(x,2)=\begin{pmatrix} x+2 & 2x \\ 4 & x+2 \end{pmatrix}

   Înlocuim \(y=2\) în \(A(x,y)\). Pe diagonală apare \(x+y=x+2\), iar produsul \(xy\) devine \(2x\).

2. 2

   Calculăm produsul \(A(x,2)\cdot A(x,2)\)

   A(x,2)\cdot A(x,2)=\begin{pmatrix} x^2+12x+4 & 4x^2+8x \\ 8x+16 & x^2+12x+4 \end{pmatrix}

   Înmulțim linie cu coloană. Pe poziția (1,1): \((x+2)^2+2x\cdot 4=x^2+12x+4\). Pe poziția (1,2): \((x+2)\cdot 2x+2x(x+2)=4x^2+8x\). Pe poziția (2,1): \(4(x+2)+(x+2)\cdot 4=8x+16\). Pe poziția (2,2): \(4\cdot 2x+(x+2)^2=x^2+12x+4\).

3. 3

   Calculăm \(4A(y,0)\)

   4A(y,0)=4\begin{pmatrix} y & 0 \\ 4 & y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4y & 0 \\ 16 & 4y \end{pmatrix}

   Pentru \(y\) și \(0\): \(x+y\) devine \(y\), iar \(xy\) devine \(0\). Apoi înmulțim fiecare element cu 4.

4. 4

   Egalăm elementele și aflăm \(x\) și \(y\)

   \begin{cases} 4x^2+8x=0 \\ 8x+16=16 \\ x^2+12x+4=4y \end{cases}\Rightarrow x=0,\ y=1

   Din poziția (2,1): \(8x+16=16\), deci \(x=0\). Acest \(x\) verifică și \(4x^2+8x=0\), adică poziția (1,2). Din poziția (1,1): \(0+0+4=4y\), deci \(y=1\).

Răspuns: x = 0 și y = 1

Subiectul II, itemul 2. a): Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x * y = 5 - \dfrac{x+y}{2} + xy\). Arătați că \(1 * 3 = 6\).

Metoda: Calcul direct prin înlocuire

1. 1

   Înlocuim x = 1 și y = 3 în definiția legii

   1 * 3 = 5 - \frac{1+3}{2} + 1\cdot 3

   Legea este \(x * y = 5 - \dfrac{x+y}{2} + xy\). Peste tot unde apare \(x\) punem 1, iar peste tot unde apare \(y\) punem 3. Astfel obținem o expresie numerică, pe care o putem calcula.

2. 2

   Calculăm expresia și obținem 6

   5 - \frac{4}{2} + 3 = 5 - 2 + 3 = 6

   Mai întâi calculăm fracția: \(\dfrac{4}{2}=2\). Apoi facem operațiile de la stânga la dreapta: \(5-2=3\), iar \(3+3=6\). Am obținut exact valoarea cerută, deci \(1 * 3 = 6\).

Răspuns: \(1 * 3 = 5 - 2 + 3 = 6\), deci egalitatea este adevărată.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x * y = 5 - \frac{x+y}{2} + xy\). Determinați numărul real \(x\) pentru care \(x * 5 = 2x\).

Metoda: Calcul cu legea de compoziție

1. 1

   Calculăm \(x * 5\)

   x*5 = 5-\frac{x+5}{2}+5x = \frac{9x+5}{2}

   Înlocuim \(y\) cu 5 în formula legii: \(x * 5 = 5 - \frac{x+5}{2} + 5x\). Aducem la același numitor (2): \(\frac{10 - x - 5 + 10x}{2} = \frac{9x+5}{2}\). Așa obținem o expresie simplă în \(x\), cu care putem lucra în ecuație.

2. 2

   Scriem ecuația \(x * 5 = 2x\)

   \frac{9x+5}{2} = 2x

   Condiția din enunț spune că \(x * 5\) trebuie să fie egal cu \(2x\). Înlocuim rezultatul de la pasul anterior și obținem o ecuație cu o singură necunoscută.

3. 3

   Rezolvăm ecuația

   9x+5 = 4x \Rightarrow 5x = -5 \Rightarrow x = -1

   Mutăm termenii cu \(x\) într-o parte: \(9x - 4x = -5\), deci \(5x = -5\) și \(x = -1\). Verificăm: \((-1) * 5 = \frac{9 \cdot (-1)+5}{2} = -2\), iar \(2 \cdot (-1) = -2\). Egalitatea este adevărată.

Răspuns: \(x = -1\)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x * y = 5 - \frac{x+y}{2} + xy\). c) Determinați perechile \((m,n)\) de numere naturale pentru care \((m-n)*(m+n)=m^2\).

Metoda: Calcul direct cu legea de compoziție

1. 1

   Înlocuim în legea de compoziție

   (m-n)*(m+n)=5-\frac{(m-n)+(m+n)}{2}+(m-n)(m+n)

   Legea spune că \(x*y = 5 - \frac{x+y}{2} + xy\). Punem \(x=m-n\) și \(y=m+n\) peste tot unde apar x și y în formulă.

2. 2

   Simplificăm expresia

   5-m+m^2-n^2

   Suma \((m-n)+(m+n)=2m\), deci \(\frac{2m}{2}=m\). Produsul \((m-n)(m+n)=m^2-n^2\) (diferența de pătrate). Obținem \(5-m+m^2-n^2\).

3. 3

   Obținem ecuația m + n² = 5

   5-m+m^2-n^2=m^2 \Rightarrow m+n^2=5

   Egalăm cu \(m^2\), ca în enunț. Termenul \(m^2\) se reduce în ambele părți și rămâne \(5-m-n^2=0\), adică \(m+n^2=5\).

4. 4

   Căutăm perechile de numere naturale

   m=5-n^2 \ge 0 \Rightarrow n\in\{0,1,2\}

   Cum \(m=5-n^2\) trebuie să fie natural, avem \(n^2\le 5\), deci \(n\in\{0,1,2\}\). Pentru \(n=0\): \(m=5\). Pentru \(n=1\): \(m=4\). Pentru \(n=2\): \(m=1\). Valoarea \(n=3\) nu merge, pentru că \(9>5\).

Răspuns: Perechile sunt \((m,n)\in\{(1,2),(4,1),(5,0)\}\).

Se consideră funcția \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \), \( f(x)=\dfrac{x^2+8x-2}{x^2+2} \). a) Arătați că \( f'(x)=\dfrac{8(x+1)(2-x)}{(x^2+2)^2} \), \( x\in\mathbb{R} \).

Metoda: Derivata unui raport de funcții

1. 1

   Scriem formula derivatei unui cât

   \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}

   Funcția \(f\) este un cât de două funcții: \(u(x)=x^2+8x-2\) la numărător și \(v(x)=x^2+2\) la numitor. Pentru un cât folosim formula \(\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\). Numitorul \(x^2+2\) nu se anulează niciodată, deci \(f\) este derivabilă pe \(\mathbb{R}\).

2. 2

   Înlocuim în formulă

   f'(x)=\frac{(2x+8)(x^2+2)-(x^2+8x-2)\cdot 2x}{(x^2+2)^2}

   Avem \(u'=2x+8\), \(v=x^2+2\), \(u=x^2+8x-2\) și \(v'=2x\). Le punem în formula câtului, iar numitorul rămâne \((x^2+2)^2\).

3. 3

   Desfacem parantezele la numărător

   (2x+8)(x^2+2)-2x(x^2+8x-2)=2x^3+4x+8x^2+16-2x^3-16x^2+4x=-8x^2+8x+16

   Primul produs este \(2x^3+8x^2+4x+16\), iar al doilea este \(2x^3+16x^2-4x\). Scădem și termenii \(2x^3\) se reduc. Rămâne \(-8x^2+8x+16\).

4. 4

   Descompunem numărătorul în factori

   -8x^2+8x+16=-8(x^2-x-2)=-8(x+1)(x-2)=8(x+1)(2-x)

   Dăm factor comun \(-8\). Trinomul \(x^2-x-2\) are rădăcinile \(-1\) și \(2\), deci \(x^2-x-2=(x+1)(x-2)\). Mutăm semnul minus în \(x-2\) și obținem \(8(x+1)(2-x)\). Astfel \(f'(x)=\dfrac{8(x+1)(2-x)}{(x^2+2)^2}\), \(x\in\mathbb{R}\), ceea ce trebuia arătat.

Răspuns: \( f'(x)=\dfrac{8(x+1)(2-x)}{(x^2+2)^2} \), pentru orice \( x\in\mathbb{R} \).

Se consideră funcția \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=\dfrac{x^2+8x-2}{x^2+2} \). b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre \( +\infty \) la graficul funcției \( f \).

Metoda: Limita la infinit a funcției raționale

1. 1

   Ce căutăm: limita lui f la +∞

   y=l,\quad l=\lim_{x\to+\infty} f(x)

   Graficul se apropie de o dreaptă orizontală \(y=l\) când \(x\) crește foarte mult dacă limita lui \(f\) la \(+\infty\) există și este un număr real \(l\). De aceea calculăm mai întâi limita.

2. 2

   Dăm factor comun forțat \(x^2\)

   \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+8x-2}{x^2+2}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2\left(1+\frac{8}{x}-\frac{2}{x^2}\right)}{x^2\left(1+\frac{2}{x^2}\right)}

   Numărătorul și numitorul sunt polinoame de gradul 2 și ambele tind la \(+\infty\) (caz \(\infty/\infty\)). Dăm factor comun termenul de grad maxim, \(x^2\), ca să putem simplifica.

3. 3

   Calculăm limita

   \lim_{x\to+\infty}\frac{1+\frac{8}{x}-\frac{2}{x^2}}{1+\frac{2}{x^2}}=\frac{1+0-0}{1+0}=1

   După simplificarea cu \(x^2\), fracțiile \(\frac{8}{x}\), \(\frac{2}{x^2}\) tind la \(0\) când \(x\to+\infty\). Rămâne \(\frac{1}{1}=1\). Deci \(l=1\).

4. 4

   Scriem ecuația asimptotei

   y=1

   Limita este finită și egală cu \(1\), deci graficul are asimptotă orizontală spre \(+\infty\) dreapta \(y=1\).

Răspuns: Dreapta de ecuație \(y=1\) este asimptota orizontală spre \(+\infty\) la graficul funcției \(f\).

Subiectul III, 1. Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{x^2+8x-2}{x^2+2}\). c) Demonstrați că \(-2\le f(x)-f(y)\le 2\), pentru orice \(x,y\in[-4,0]\).

Metoda: Monotonie și mărginirea funcției

1. 1

   Semnul derivatei pe [-4,0]

   f'(x)=\frac{8(x+1)(2-x)}{(x^2+2)^2},\quad f'(x)=0\iff x=-1\text{ sau }x=2

   Folosim derivata de la punctul a). Numitorul \((x^2+2)^2\) este mereu pozitiv, deci semnul lui \(f'\) depinde doar de \((x+1)(2-x)\). Pe \([-4,0]\) factorul \(2-x\) este pozitiv (\(x\le 0<2\)), deci semnul este dat de \(x+1\). Pentru \(x\in[-4,-1]\) avem \(x+1\le 0\), deci \(f'(x)\le 0\) și \(f\) este descrescătoare pe \([-4,-1]\). Pentru \(x\in[-1,0]\) avem \(x+1\ge 0\), deci \(f'(x)\ge 0\) și \(f\) este crescătoare pe \([-1,0]\).

2. 2

   Valorile lui f la capete și în punctul de minim

   f(-4)=\frac{16-32-2}{18}=-1,\quad f(-1)=\frac{1-8-2}{3}=-3,\quad f(0)=\frac{-2}{2}=-1

   Pe un interval unde funcția scade apoi crește, valoarea cea mai mică este în punctul de minim \(x=-1\), iar cea mai mare este într-unul dintre capete. Calculăm valorile în \(-4\), \(-1\) și \(0\).

3. 3

   Mărginirea lui f și concluzia

   -3\le f(x)\le -1,\;-3\le f(y)\le -1\;\Rightarrow\;-2\le f(x)-f(y)\le 2

   Din monotonie rezultă că pe \([-4,0]\) cea mai mică valoare este \(-3\), iar cea mai mare este \(-1\). Deci \(-3\le f(x)\le -1\) și \(-3\le f(y)\le -1\) pentru orice \(x,y\in[-4,0]\). Din \(-3\le f(y)\le -1\) obținem \(1\le -f(y)\le 3\). Adunând cu \(-3\le f(x)\le -1\), obținem \(-2\le f(x)-f(y)\le 2\).

Răspuns: Pe \([-4,0]\) avem \(-3\le f(x)\le -1\), deci \(-2\le f(x)-f(y)\le 2\), pentru orice \(x,y\in[-4,0]\).

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=5x^2-3+\ln x\). a) Arătați că \(\int_1^2 (f(x)-\ln x)\,dx=\frac{26}{3}\).

Metoda: Integrarea funcțiilor polinomiale

1. 1

   Simplificăm expresia de sub integrală

   f(x)-\ln x=5x^2-3+\ln x-\ln x=5x^2-3

   Scădem \(\ln x\) din \(f(x)\). Termenii \(\ln x\) se reduc, deci rămâne doar \(5x^2-3\), un polinom. Avem așadar \(\int_1^2 (f(x)-\ln x)\,dx=\int_1^2 (5x^2-3)\,dx\). Polinoamele se integrează ușor, de aceea simplificăm întâi.

2. 2

   Aflăm o primitivă

   \int (5x^2-3)\,dx=\frac{5x^3}{3}-3x

   Folosim formula \(\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\). Pentru \(5x^2\) obținem \(5\cdot\frac{x^3}{3}\), iar pentru constanta \(-3\) obținem \(-3x\). Astfel \(F(x)=\frac{5x^3}{3}-3x\) este o primitivă.

3. 3

   Aplicăm formula Leibniz-Newton

   \left(\frac{5x^3}{3}-3x\right)\Big|_1^2=\left(\frac{40}{3}-6\right)-\left(\frac{5}{3}-3\right)=\frac{35}{3}-3

   Calculăm \(F(2)-F(1)\). \(F(2)=\frac{5\cdot 8}{3}-6=\frac{40}{3}-6\), iar \(F(1)=\frac{5}{3}-3\). Diferența este \(\frac{40}{3}-\frac{5}{3}-6+3=\frac{35}{3}-3\). Aceasta corespunde cu baremul: \(\frac{35}{3}-3\).

4. 4

   Calculăm rezultatul final

   \frac{35}{3}-3=\frac{35}{3}-\frac{9}{3}=\frac{26}{3}

   Aducem pe 3 la numitorul 3: \(3=\frac{9}{3}\). Apoi \(\frac{35-9}{3}=\frac{26}{3}\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\int_1^2 (f(x)-\ln x)\,dx=\frac{26}{3}\)

Rezolvarea scrisă pentru acest item vine în curând.

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=5x^2-3+\ln x\). Determinați numărul real \(m\) pentru care aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției \(g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(g(x)=\dfrac{f(x)+3}{\sqrt{x}}\), axa \(Ox\) și dreptele de ecuații \(x=1\) și \(x=4\) este egală cu \(58+m\ln 2\).

Metoda: Aria cu integrala, prin părți

1. 1

   Scriem funcția g într-o formă simplă

   g(x)=\frac{5x^2+\ln x}{\sqrt{x}},\quad x>0

   Înlocuim f(x) în g: \(f(x)+3=5x^2-3+\ln x+3=5x^2+\ln x\). Termenii -3 și +3 se reduc, deci rămâne o formulă mai simplă, cu care se lucrează ușor.

2. 2

   Scriem aria ca integrală

   \mathcal{A}=\int_1^4 |g(x)|\,dx=\int_1^4 g(x)\,dx

   Pe [1,4] avem \(x\ge1\), deci \(\ln x\ge 0\) și \(5x^2>0\). Atunci g(x) > 0 și graficul este deasupra axei Ox, deci modulul poate fi scos. Descompunem: \(\dfrac{5x^2}{\sqrt{x}}=5x\sqrt{x}\) și \(\dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}=(2\sqrt{x})'\cdot\ln x\), pentru că \((2\sqrt{x})'=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\). Astfel pregătim integrarea prin părți.

3. 3

   Calculăm integrala prin părți

   \mathcal{A}=\int_1^4 5x\sqrt{x}\,dx+\int_1^4 \frac{\ln x}{\sqrt{x}}\,dx=2x^2\sqrt{x}\Big|_1^4+\Big(2\sqrt{x}\ln x\Big|_1^4-\int_1^4\frac{2}{x}\sqrt{x}\,dx\Big)

   Prima integrală: \(5x\sqrt{x}=5x^{3/2}\), cu primitiva \(5\cdot\frac{2}{5}x^{5/2}=2x^2\sqrt{x}\). A doua se face prin părți: \(\int u'v=uv-\int uv'\), cu \(u=2\sqrt{x}\), \(v=\ln x\). Atunci \(uv'=2\sqrt{x}\cdot\frac1x=\frac{2}{\sqrt{x}}\), a cărei primitivă este \(4\sqrt{x}\). Deci \(\mathcal{A}=2x^2\sqrt{x}+2\sqrt{x}\ln x-4\sqrt{x}\), calculată între 1 și 4.

4. 4

   Punem limitele de integrare

   2x^2\sqrt{x}\Big|_1^4+2\sqrt{x}\ln x\Big|_1^4-4\sqrt{x}\Big|_1^4=58+8\ln 2

   Calculăm fiecare parte. Primul termen: \(2\cdot16\cdot2-2\cdot1\cdot1=64-2=62\). Al doilea: \(2\cdot2\cdot\ln4-0=4\ln 4=8\ln2\), pentru că \(\ln 4=2\ln2\) și \(\ln1=0\). Al treilea: \(-(4\cdot2-4\cdot1)=-4\). Suma: \(62-4+8\ln2=58+8\ln2\).

5. 5

   Aflăm m

   58+m\ln 2=58+8\ln 2\ \Rightarrow\ m=8

   Aria calculată este \(58+8\ln2\), iar enunțul spune că aria este \(58+m\ln2\). Egalăm cele două expresii: termenii 58 se reduc, iar \(m\ln 2=8\ln 2\), deci \(m=8\).

Răspuns: m = 8