Matematică 2026

Ministerul Educației și Cercetării Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare Examenul național de bacalaureat 2026 Proba E. c) Matematică M_șt-nat Varianta 4 Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Se consideră numerele complexe z1 = 2 − 3i și z2 = 1 − 2i . Arătați că i z1 + z2 = 4 . 5p 2. Se consideră funcția f :ℝ → ℝ, f ( x ) = x + 3 . Determinați numărul real a pentru care f ( a + 2) = a + f ( a ) . 5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 x = x 2 − x + 2 . 5p 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice inegalitatea 3n 2 > 100 . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 6,0 ) , B (8, 2 ) și C (1,9 ) . Determinați distanța dintre punctul C și mijlocul segmentului AB . π 5p 6. Se consideră triunghiul ABC , cu AC = 9 și B = . Arătați că raza cercului circumscris 3 triunghiului ABC este egală cu 3 3 . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) x+ y xy  1. Se consideră matricea A ( x, y ) =   , unde x și y sunt numere reale.  4 x + y 5p a) Arătați că det ( A (1, 2 ) ) = 1 . 5p b) Arătați că matricea A ( x, y ) este inversabilă, pentru orice numere reale distincte x și y . 5p c) Determinați numerele reale x și y pentru care A ( x, 2 ) ⋅ A ( x, 2 ) = 4 A ( y,0 ) . x+ y 2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∗ y = 5 − + xy . 2 5p a) Arătați că 1∗ 3 = 6 . 5p b) Determinați numărul real x pentru care x ∗ 5 = 2 x . 5p c) Determinați perechile ( m, n ) de numere naturale pentru care ( m − n ) ∗ ( m + n ) = m2 . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) x2 + 8x − 2 1. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = . x2 + 2 8 ( x + 1)( 2 − x ) 5p a) Arătați că f ' ( x ) = , x ∈ℝ . ( ) 2 x2 + 2 5p b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f . 5p c) Demonstrați că −2 ≤ f ( x ) − f ( y ) ≤ 2 , pentru orice x, y ∈ [ −4, 0] . 2. Se consideră funcția f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = 5 x 2 − 3 + ln x . 2 26 5p a) Arătați că  ( f ( x ) − ln x ) dx = . 1 3 e 5p 1 ( 1 b) Arătați că  ⋅ f ( x ) − 5 x 2 + 3 dx = . x 2 ) 1 Probă scrisă la matematică M_șt-nat Varianta 4 Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii Pagina 1 din 2  Ministerul Educației și Cercetării Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare 5p c) Determinați numărul real m pentru care aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției f ( x) + 3 g : ( 0, +∞ ) → ℝ , g ( x ) = , axa Ox și dreptele de ecuații x = 1 și x = 4 este egală cu x 58 + m ln 2 . Probă scrisă la matematică M_șt-nat Varianta 4 Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii Pagina 2 din 2