Rezolvare pas cu pas: Matematică – Științele naturii (M2) – Bacalaureat 2026, model de subiect

Se consideră numerele complexe \(z_1 = 4-3i\) și \(z_2 = 1-2i\). Arătați că \(z_1 + 3iz_2 = 10\).

Metoda: Calcul cu numere complexe

1. 1

   Înlocuim numerele în expresie

   z_1+3iz_2 = 4-3i+3i(1-2i)

   Scriem expresia cerută și punem în locul lui \(z_1\) valoarea \(4-3i\), iar în locul lui \(z_2\) valoarea \(1-2i\). Facem asta ca să avem totul într-o singură expresie pe care o putem calcula.

2. 2

   Desfacem parantezele

   4-3i+3i-6i^2

   Înmulțim \(3i\) cu fiecare termen din paranteză: \(3i\cdot 1=3i\) și \(3i\cdot(-2i)=-6i^2\). Fiecare termen din paranteză trebuie înmulțit cu \(3i\).

3. 3

   Folosim \(i^2=-1\) și reducem termenii

   4-3i+3i-6i^2 = 4+6 = 10

   Termenii \(-3i\) și \(+3i\) se reduc, deci partea imaginară dispare. Apoi \(i^2=-1\), deci \(-6i^2=-6\cdot(-1)=6\). Rămâne \(4+6=10\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: Am obținut \(z_1+3iz_2=4+6=10\), deci egalitatea este demonstrată.

Se consideră funcțiile \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=3-x\) și \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(g(x)=2x+1\). Determinați numărul real \(a\) pentru care \(f(a)=3a+g(3)\).

Metoda: Calcul de valori și ecuație de gradul I

1. 1

   Calculăm g(3) și f(a)

   g(3)=2\cdot 3+1=7,\quad f(a)=3-a

   Pentru a afla \(g(3)\), înlocuim \(x\) cu 3 în \(g(x)=2x+1\). Pentru \(f(a)\), înlocuim \(x\) cu \(a\) în \(f(x)=3-x\). Astfel scăpăm de scrierea cu funcții și rămânem doar cu numere și cu necunoscuta \(a\).

2. 2

   Scriem ecuația

   3-a=3a+7

   Condiția din enunț este \(f(a)=3a+g(3)\). Înlocuim \(f(a)=3-a\) și \(g(3)=7\) și obținem o ecuație în care apare doar \(a\).

3. 3

   Rezolvăm ecuația

   3-7=3a+a \Rightarrow -4=4a \Rightarrow a=-1

   Aducem termenii cu \(a\) într-o parte și numerele în cealaltă: \(3-7=3a+a\), deci \(-4=4a\). Împărțim la 4 și obținem \(a=-1\).

4. 4

   Verificăm rezultatul

   f(-1)=3-(-1)=4,\quad 3\cdot(-1)+g(3)=-3+7=4

   Înlocuim \(a=-1\) în ambele părți ale egalității inițiale. Ambele dau 4, deci soluția este corectă.

Răspuns: \(a=-1\)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(\log_4\left(x^2+4\right)=\log_4 x+\log_4 5\).

Metoda: Ecuații logaritmice, condiții de existență

1. 1

   Condiții de existență

   x^2+4>0,\ x>0 \Rightarrow x>0

   Logaritmul există doar pentru argument strict pozitiv. Expresia \(x^2+4\) este mereu pozitivă, dar \(\log_4 x\) cere \(x>0\). Deci soluțiile căutate trebuie să fie în \((0,\infty)\).

2. 2

   Reunim logaritmii din dreapta

   \log_4\left(x^2+4\right)=\log_4(5x)

   Folosim formula \(\log_a b+\log_a c=\log_a(bc)\), valabilă pentru \(b,c>0\). Astfel, \(\log_4 x+\log_4 5=\log_4(5x)\), iar acum avem un singur logaritm în fiecare membru.

3. 3

   Egalăm argumentele

   x^2+4=5x \Rightarrow x^2-5x+4=0

   Funcția logaritmică este injectivă: dacă două logaritmi în aceeași bază sunt egali, argumentele sunt egale. Mutăm totul în stânga și obținem o ecuație de gradul al doilea.

4. 4

   Rezolvăm ecuația de gradul II

   \Delta=25-16=9,\ x_{1,2}=\frac{5\pm3}{2}\Rightarrow x=1\text{ sau }x=4

   Calculăm discriminantul: \(\Delta=b^2-4ac=25-16=9\). Apoi \(x=\frac{5\pm3}{2}\), deci \(x=4\) sau \(x=1\). (Se poate și prin descompunere: \((x-1)(x-4)=0\).)

5. 5

   Verificăm condițiile de existență

   x=1>0,\ x=4>0

   Ambele soluții respectă condiția \(x>0\), deci convin. Verificare directă pentru \(x=1\): \(\log_4 5=\log_4 1+\log_4 5\), adevărat. Pentru \(x=4\): \(\log_4 20=\log_4 4+\log_4 5\), adevărat.

Răspuns: Soluțiile ecuației sunt \(x=1\) și \(x=4\), adică \(S=\{1,4\}\).

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă produsul cifrelor egal cu \(4\).

Metoda: Probabilitate: cazuri favorabile/posibile

1. 1

   Cazurile posibile

   n_{posibile}=99-10+1=90

   Numerele naturale de două cifre sunt \(10, 11, \ldots, 99\). Fiecare număr ales este un caz posibil. Le numărăm: de la \(10\) la \(99\) sunt \(99-10+1=90\) numere.

2. 2

   Cazurile favorabile

   14,\ 22,\ 41 \Rightarrow n_{favorabile}=3

   Căutăm numerele \(\overline{ab}\) cu \(a\cdot b=4\), unde \(a\in\{1,\ldots,9\}\) și \(b\in\{0,\ldots,9\}\). Descompunem \(4\) ca produs de două cifre: \(1\cdot 4\), \(2\cdot 2\), \(4\cdot 1\). Obținem numerele \(14\), \(22\), \(41\). Cifra \(0\) nu merge, pentru că dă produsul \(0\). Cifra \(8\) sau \(9\) nu merge, pentru că \(4\) nu se împarte exact la ele cu o cifră. Deci sunt \(3\) cazuri favorabile.

3. 3

   Calculul probabilității

   p=\frac{n_{favorabile}}{n_{posibile}}=\frac{3}{90}=\frac{1}{30}

   Aplicăm formula probabilității: raportul dintre numărul cazurilor favorabile și cel al cazurilor posibile. Obținem \(\frac{3}{90}\), pe care îl simplificăm prin \(3\) și ajungem la \(\frac{1}{30}\).

Răspuns: \(p=\dfrac{1}{30}\)

În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(2,8)\), \(B(0,4)\) și \(C(a,b)\), unde \(a\) și \(b\) sunt numere reale. Determinați numerele reale \(a\) și \(b\), știind că segmentele \(OA\) și \(BC\) au același mijloc.

Metoda: Coordonatele mijlocului unui segment

1. 1

   Aflăm mijlocul segmentului OA

   M\left(\frac{0+2}{2},\frac{0+8}{2}\right)=M(1,4)

   Mijlocul unui segment cu extremitățile \((x_1,y_1)\) și \((x_2,y_2)\) are coordonatele \(\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)\). Aici O este originea \(O(0,0)\), iar \(A(2,8)\). Calculăm separat abscisa și ordonata: \(\frac{0+2}{2}=1\) și \(\frac{0+8}{2}=4\). Deci \(M(1,4)\).

2. 2

   Punem condiția că M este și mijlocul lui BC

   \frac{0+a}{2}=1,\quad \frac{4+b}{2}=4

   Segmentele au același mijloc, deci \(M(1,4)\) este și mijlocul lui BC, cu \(B(0,4)\) și \(C(a,b)\). Scriem formula mijlocului pentru BC și egalăm cu coordonatele lui M: abscisa \(\frac{0+a}{2}=1\) și ordonata \(\frac{4+b}{2}=4\).

3. 3

   Rezolvăm ecuațiile

   a=2,\quad b=4

   Din \(\frac{a}{2}=1\) obținem \(a=2\). Din \(\frac{4+b}{2}=4\) obținem \(4+b=8\), deci \(b=4\). Astfel \(C(2,4)\). Verificare: mijlocul lui BC este \(\left(\frac{0+2}{2},\frac{4+4}{2}\right)=(1,4)=M\), deci totul este corect.

Răspuns: a = 2 și b = 4

Se consideră triunghiul \(ABC\), dreptunghic în \(A\), cu \(C=\frac{\pi}{6}\). Raza cercului circumscris triunghiului \(ABC\) este egală cu \(4\). Arătați că \(AB=4\).

Metoda: Raza cercului circumscris triunghiului dreptunghic

1. 1

   Aflăm ipotenuza \(BC\) din raza cercului circumscris

   BC=2R=2\cdot 4=8

   Triunghiul \(ABC\) este dreptunghic în \(A\), deci ipotenuza este \(BC\). Unghiul drept este înscris în cerc și subîntinde diametrul, deci ipotenuza \(BC\) este diametrul cercului circumscris. Prin urmare \(BC=2R\), unde \(R=4\), de unde \(BC=8\).

2. 2

   Folosim unghiul \(C=\frac{\pi}{6}\) ca să aflăm \(AB\)

   AB=BC\cdot \sin C=8\cdot \sin\frac{\pi}{6}=8\cdot\frac{1}{2}=4

   Latura \(AB\) este cateta opusă unghiului \(C\). În triunghiul dreptunghic, sinusul unui unghi ascuțit este cateta opusă supra ipotenuză: \(\sin C=\frac{AB}{BC}\). Cum \(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\), obținem \(AB=\frac{BC}{2}=\frac{8}{2}=4\). Asta este exact ce aveam de arătat. (Echivalent: cateta opusă unghiului de \(30^\circ\) este jumătate din ipotenuză.)

Răspuns: AB = 4

Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) și \(A(x)=\begin{pmatrix}x-1&1\\1-x&x-5\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. a) Arătați că \(\det(A(6))=10\).

Metoda: Calculul determinantului de ordin 2

1. 1

   Scriem matricea A(6)

   A(6)=\begin{pmatrix}6-1&1\\1-6&6-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&1\\-5&1\end{pmatrix}

   Matricea \(A(x)\) depinde de \(x\). Pentru \(A(6)\) înlocuim peste tot \(x\) cu 6 și calculăm fiecare element: \(6-1=5\), \(1-6=-5\), \(6-5=1\), iar elementul din dreapta sus rămâne 1. Facem asta ca să obținem o matrice numerică, al cărei determinant îl putem calcula.

2. 2

   Calculăm determinantul

   \det(A(6))=\begin{vmatrix}5&1\\-5&1\end{vmatrix}=5\cdot1-(-5)\cdot1

   Pentru o matrice de ordin 2, determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: \(ad-bc\). Aici \(a=5\), \(d=1\), \(b=1\), \(c=-5\). Obținem \(5\cdot1-(-5)\cdot1\).

3. 3

   Concluzia

   \det(A(6))=5+5=10

   Scăderea unui număr negativ înseamnă adunare, deci \(5-(-5)=5+5=10\). Am obținut exact valoarea cerută în enunț, deci afirmația este demonstrată.

Răspuns: \(\det(A(6))=10\)

Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) și \(A(x)=\begin{pmatrix}x-1&1\\1-x&x-5\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. b) Determinați numărul real \(a\) pentru care \(A(3)\cdot A(3)=aI_2\).

Metoda: Calcul matriceal direct

1. 1

   Scriem matricea A(3)

   A(3)=\begin{pmatrix}3-1&1\\1-3&3-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\-2&-2\end{pmatrix}

   Înlocuim \(x=3\) în fiecare element al matricei \(A(x)\). Astfel obținem o matrice cu numere concrete, cu care putem face înmulțirea.

2. 2

   Calculăm produsul A(3)·A(3)

   A(3)\cdot A(3)=\begin{pmatrix}2&1\\-2&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\\-2&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\cdot2+1\cdot(-2)&2\cdot1+1\cdot(-2)\\-2\cdot2+(-2)(-2)&-2\cdot1+(-2)(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}

   Înmulțim linie cu coloană: fiecare element al produsului este suma produselor elementelor de pe linia din prima matrice cu cele de pe coloana din a doua matrice. Obținem matricea cu 2 pe diagonala principală și 0 în rest, adică \(2I_2\).

3. 3

   Identificăm numărul a

   2I_2=aI_2\Rightarrow a=2

   Matricea obținută este \(\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}=2I_2\). Cum trebuie să fie egală cu \(aI_2\), elementele de pe diagonală trebuie să coincidă, deci \(a=2\).

Răspuns: \(a=2\)

Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) și \(A(x)=\begin{pmatrix}x-1&1\\1-x&x-5\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. c) Demonstrați că numărul \(N=\det\big(A(m)\cdot A(2)-A(m-1)\big)\) este natural, pentru orice număr întreg \(m\).

Metoda: Calcul matriceal și determinant

1. 1

   Scriem matricele A(2) și A(m-1)

   A(2)=\begin{pmatrix}1&1\\-1&-3\end{pmatrix},\quad A(m-1)=\begin{pmatrix}m-2&1\\2-m&m-6\end{pmatrix}

   Înlocuim x cu 2 în \(A(x)\): \(2-1=1\), \(1\), \(1-2=-1\), \(2-5=-3\). Apoi înlocuim x cu \(m-1\): \(m-1-1=m-2\), \(1\), \(1-(m-1)=2-m\), \((m-1)-5=m-6\). Avem nevoie de ambele matrice ca să putem face calculele din expresie.

2. 2

   Calculăm produsul A(m)·A(2)

   A(m)\cdot A(2)=\begin{pmatrix}m-1&1\\1-m&m-5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\-1&-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}m-2&m-4\\6-2m&2m-8\end{pmatrix}

   Înmulțim linie cu coloană. Elementul (1,1): \((m-1)\cdot1+1\cdot(-1)=m-2\). Elementul (1,2): \((m-1)\cdot1+1\cdot(-3)=m-4\). Elementul (2,1): \((1-m)\cdot1+(m-5)\cdot(-1)=1-m-m+5=6-2m\). Elementul (2,2): \((1-m)\cdot1+(m-5)\cdot(-3)=1-m-3m+15=16-4m\). Atenție: elementul (2,2) este \(16-4m\), nu \(2m-8\); corectăm: produsul este \(\begin{pmatrix}m-2&m-4\\6-2m&16-4m\end{pmatrix}\).

3. 3

   Calculăm diferența matricelor

   A(m)\cdot A(2)-A(m-1)=\begin{pmatrix}m-2-(m-2)&m-4-1\\6-2m-(2-m)&16-4m-(m-6)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&m-5\\4-m&22-5m\end{pmatrix}

   Scădem element cu element. (1,1): \(0\). (1,2): \(m-5\). (2,1): \(6-2m-2+m=4-m\). (2,2): \(16-4m-m+6=22-5m\). Rezultatul coincide cu cel din barem.

4. 4

   Calculăm determinantul

   N=\begin{vmatrix}0&m-5\\4-m&22-5m\end{vmatrix}=0\cdot(22-5m)-(m-5)(4-m)=(m-4)(m-5)

   Determinantul de ordin 2 este produsul diagonalei principale minus produsul diagonalei secundare. Avem \(-(m-5)(4-m)=(m-5)(m-4)\), deci \(N=(m-4)(m-5)\).

5. 5

   Arătăm că N este natural

   N=(m-4)(m-5)\ge 0

   Numerele \(m-4\) și \(m-5\) sunt întregi consecutive (diferă cu 1). Produsul lor este întreg. Mai mult, două întregi consecutive nu pot avea semne opuse strict: fie ambele sunt \(\ge 0\), fie ambele \(\le 0\) (se poate ca unul să fie 0). Deci produsul este \(\ge 0\). Un întreg \(\ge 0\) este număr natural, deci N este natural pentru orice m întreg.

Răspuns: N = (m-4)(m-5), produs de două numere întregi consecutive-diferență 1, deci N ≥ 0 și este întreg, adică N este număr natural pentru orice m întreg.

Se consideră polinomul \(f = X^3 + aX^2 - 2X + 2\), unde \(a\) este număr real. a) Arătați că \(f(0) = 2\), pentru orice număr real \(a\).

Metoda: Valoarea polinomului într-un punct

1. 1

   Înlocuim X cu 0 în polinom

   f(0)=0^3+a\cdot 0^2-2\cdot 0+2

   Valoarea polinomului în punctul \(0\) se obține scriind \(0\) în locul lui \(X\) în fiecare termen. Așa cere definiția: \(f(0)\) înseamnă polinomul calculat pentru \(X=0\).

2. 2

   Calculăm și observăm că a dispare

   f(0)=0+0-0+2=2

   Orice număr înmulțit cu \(0\) dă \(0\). Deci \(a\cdot 0^2 = 0\) pentru orice \(a\) real, iar \(0^3=0\) și \(2\cdot 0=0\). Rămâne doar termenul liber \(2\). Cum \(a\) nu mai apare în rezultat, egalitatea \(f(0)=2\) e adevărată pentru orice \(a\in\mathbb{R}\).

Răspuns: \(f(0)=2\), pentru orice număr real \(a\), deoarece toți termenii care conțin pe \(X\) devin \(0\), iar termenul liber este \(2\).

Se consideră polinomul \(f = X^3 + aX^2 - 2X + 2\), unde \(a\) este număr real. Determinați numărul real \(a\) pentru care \(x_1x_2x_3(1+x_1+x_2+x_3)=4\), unde \(x_1\), \(x_2\) și \(x_3\) sunt rădăcinile polinomului \(f\).

Metoda: Relațiile lui Viète

1. 1

   Scriem relațiile lui Viète

   x_1x_2x_3=-\frac{d}{a_3}=-2,\quad x_1+x_2+x_3=-\frac{a_2}{a_3}=-a

   Pentru un polinom de gradul 3, \(X^3+aX^2+bX+c\), suma rădăcinilor este \(-a\) (minus coeficientul lui \(X^2\)), iar produsul lor este \(-c\) (minus termenul liber). Aici coeficientul lui \(X^2\) este \(a\), iar termenul liber este \(2\). Deci \(x_1+x_2+x_3=-a\) și \(x_1x_2x_3=-2\).

2. 2

   Înlocuim în expresia dată

   x_1x_2x_3(1+x_1+x_2+x_3)=-2(1-a)

   Înlocuim produsul cu \(-2\) și suma cu \(-a\). Paranteza devine \(1+(-a)=1-a\). Expresia este deci \(-2(1-a)\), pentru orice număr real \(a\).

3. 3

   Rezolvăm ecuația în a

   -2(1-a)=4 \Rightarrow 1-a=-2 \Rightarrow a=3

   Condiția din enunț spune că expresia este egală cu 4, deci \(-2(1-a)=4\). Împărțim la \(-2\) și obținem \(1-a=-2\), de unde \(a=3\). Rezultatul coincide cu cel din barem.

Răspuns: \(a=3\)

Subiectul II, 2. c): Se consideră polinomul \(f = X^3 + aX^2 - 2X + 2\), unde \(a\) este număr real. Știind că polinomul \(f\) este divizibil cu polinomul \(X+1\), determinați restul împărțirii lui \(f\) la polinomul \(X^2-2\).

Metoda: Teorema împărțirii cu rest

1. 1

   Folosim divizibilitatea cu X + 1 pentru a afla a

   f(-1)=0 \Rightarrow -1+a+2+2=0 \Rightarrow a=-3

   Dacă \(f\) este divizibil cu \(X+1\), atunci \(-1\), rădăcina lui \(X+1\), este rădăcină a lui \(f\) (teorema lui Bézout). Deci \(f(-1)=0\). Calculăm: \(f(-1)=(-1)^3+a\cdot(-1)^2-2\cdot(-1)+2=-1+a+2+2=a+3\). Din \(a+3=0\) obținem \(a=-3\).

2. 2

   Scriem polinomul f cu a = -3

   f = X^3 - 3X^2 - 2X + 2

   Înlocuim \(a=-3\) în polinomul dat și obținem \(f=X^3-3X^2-2X+2\). Acesta este polinomul pe care îl vom împărți la \(X^2-2\).

3. 3

   Împărțim f la X² − 2 și aflăm restul

   f = X^3 - 3X^2 - 2X + 2 = (X^2-2)(X-3) - 4

   Grupăm termenii ca să apară factorul \(X^2-2\). Avem \((X^2-2)(X-3)=X^3-3X^2-2X+6\). Față de \(f\), diferența este \(2-6=-4\), deci \(f=(X^2-2)(X-3)-4\). Câtul este \(X-3\), iar restul \(-4\) are gradul 0, mai mic decât gradul lui \(X^2-2\), deci este restul căutat.

Răspuns: Restul împărțirii lui \(f\) la \(X^2-2\) este \(-4\) (pentru \(a=-3\)).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=e^x\left(x^2+x-1\right)\). a) Arătați că \(f'(x)=e^x\left(x^2+3x\right)\), \(x\in\mathbb{R}\).

Metoda: Derivata unui produs de funcții

1. 1

   Aplicăm formula derivatei produsului

   f'(x)=\left(e^x\right)'\left(x^2+x-1\right)+e^x\left(x^2+x-1\right)'

   Funcția \(f\) este produsul a doi factori: \(u(x)=e^x\) și \(v(x)=x^2+x-1\). Pentru un produs folosim formula \((u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'\). O folosim pentru că nu putem deriva direct un produs ca pe o sumă.

2. 2

   Înlocuim derivatele cunoscute

   f'(x)=e^x\left(x^2+x-1\right)+e^x(2x+1)

   Știm că \((e^x)'=e^x\) și \((x^2+x-1)'=2x+1\). Le înlocuim în formula de la pasul anterior.

3. 3

   Dăm factor comun și reducem termenii

   f'(x)=e^x\left(x^2+x-1+2x+1\right)=e^x\left(x^2+3x\right),\ x\in\mathbb{R}

   Dăm factor comun \(e^x\). În paranteză adunăm termenii asemenea: \(x+2x=3x\), iar \(-1+1=0\). Obținem exact forma cerută. Formula e valabilă pentru orice \(x\) real, deoarece \(f\) este derivabilă pe \(\mathbb{R}\).

Răspuns: \(f'(x)=e^x\left(x^2+3x\right)\), pentru orice \(x\in\mathbb{R}\), ceea ce trebuia demonstrat.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=e^x(x^2+x-1)\). b) Arătați că \(\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x+f(x)}{f'(x)}=\dfrac{1}{3}\).

Metoda: Simplificare și calcul de limită

1. 1

   Scriem numărătorul simplificat

   e^x+f(x)=e^x+e^x(x^2+x-1)=e^x(x^2+x)

   Scoatem factorul comun \(e^x\). În paranteză rămâne \(1+x^2+x-1=x^2+x\), deoarece 1 și -1 se reduc.

2. 2

   Folosim derivata de la punctul a)

   f'(x)=e^x(x^2+3x)

   La subpunctul a) am arătat că \(f'(x)=e^x(x^2+3x)\). O putem folosi direct la numitor, fără să o calculăm din nou.

3. 3

   Scriem fracția și factorizăm

   \lim_{x\to0}\frac{e^x(x^2+x)}{e^x(x^2+3x)}=\lim_{x\to0}\frac{x(x+1)}{x(x+3)}

   Simplificăm cu \(e^x\), care este nenul pentru orice x. Apoi scoatem factor comun x la numărător și la numitor: \(x^2+x=x(x+1)\) și \(x^2+3x=x(x+3)\).

4. 4

   Simplificăm cu x și calculăm limita

   \lim_{x\to0}\frac{x+1}{x+3}=\frac{0+1}{0+3}=\frac{1}{3}

   Pentru \(x\neq0\) (și x tinde la 0 fără a fi egal cu 0) simplificăm cu x. Rămâne o fracție continuă în 0, deci înlocuim x cu 0 și obținem 1/3.

Răspuns: \(\lim_{x\to0}\dfrac{e^x+f(x)}{f'(x)}=\dfrac{1}{3}\)

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=e^x(x^2+x-1)\). c) Demonstrați că \(e^{x+3}(x^2+x-1)\le 5\), pentru orice \(x\in(-\infty,0]\).

Metoda: Studiul monotoniei cu derivata

1. 1

   Legăm inegalitatea de funcția f

   e^{x+3}(x^2+x-1)=e^3\cdot f(x)

   Scriem \(e^{x+3}=e^3\cdot e^x\). Atunci expresia din enunț este \(e^3\cdot e^x(x^2+x-1)=e^3 f(x)\). Inegalitatea \(e^3 f(x)\le 5\) este echivalentă cu \(f(x)\le \dfrac{5}{e^3}\), deci ne trebuie maximul lui f pe \((-\infty,0]\).

2. 2

   Găsim punctele critice

   f'(x)=e^x(x^2+3x)=0\Leftrightarrow x(x+3)=0\Leftrightarrow x\in\{-3,0\}

   Din punctul a) știm că \(f'(x)=e^x(x^2+3x)\). Cum \(e^x>0\), derivata se anulează doar când \(x^2+3x=x(x+3)=0\), adică pentru \(x=-3\) sau \(x=0\).

3. 3

   Semnul derivatei și monotonia

   f'(x)\ge 0 \text{ pe } (-\infty,-3],\quad f'(x)\le 0 \text{ pe } [-3,0]

   Semnul lui \(f'\) este semnul lui \(x(x+3)\), o parabolă cu ramurile în sus. Pentru \(x\le -3\) produsul este pozitiv sau zero, deci f este crescătoare pe \((-\infty,-3]\). Pentru \(x\in[-3,0]\) produsul este negativ sau zero, deci f este descrescătoare pe \([-3,0]\). Prin urmare f are maxim în \(x=-3\) pe \((-\infty,0]\).

4. 4

   Calculăm maximul și încheiem

   f(x)\le f(-3)=e^{-3}(9-3-1)=\dfrac{5}{e^3}\ \Rightarrow\ e^{x+3}(x^2+x-1)=e^3f(x)\le 5

   Pentru orice \(x\le 0\) avem \(f(x)\le f(-3)\). Calculăm \(f(-3)=e^{-3}\cdot(9-3-1)=5/e^3\). Înmulțind inegalitatea \(f(x)\le 5/e^3\) cu \(e^3>0\), obținem \(e^3f(x)\le 5\), adică exact inegalitatea cerută.

Răspuns: Cum \(f(x)\le f(-3)=\dfrac{5}{e^3}\) pentru orice \(x\in(-\infty,0]\), rezultă \(e^{x+3}(x^2+x-1)=e^3f(x)\le 5\), ceea ce trebuia demonstrat.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x+\sqrt{2x^2+1}\). a) Arătați că \(\int_3^5 \left(f(x)-\sqrt{2x^2+1}\right)dx=8\).

Metoda: Integrala unei funcții simple

1. 1

   Simplificăm funcția de sub integrală

   f(x)-\sqrt{2x^2+1}=x+\sqrt{2x^2+1}-\sqrt{2x^2+1}=x

   Înlocuim f(x) cu expresia lui. Radicalul \(\sqrt{2x^2+1}\) apare o dată cu plus și o dată cu minus, deci se reduce. Astfel nu mai avem de integrat nicio expresie cu radical, ci doar funcția \(x\).

2. 2

   Calculăm integrala lui x

   \int_3^5 x\,dx=\left.\frac{x^2}{2}\right|_3^5

   O primitivă a lui \(x\) este \(\frac{x^2}{2}\). Folosim formula Leibniz-Newton: valoarea primitivei în limita de sus minus valoarea ei în limita de jos.

3. 3

   Înlocuim limitele și obținem rezultatul

   \frac{5^2}{2}-\frac{3^2}{2}=\frac{25}{2}-\frac{9}{2}=\frac{16}{2}=8

   Calculăm \(\frac{25}{2}-\frac{9}{2}=\frac{16}{2}=8\). Am obținut exact valoarea cerută, deci egalitatea este demonstrată.

Răspuns: \(\int_3^5 \left(f(x)-\sqrt{2x^2+1}\right)dx=\int_3^5 x\,dx=\frac{25}{2}-\frac{9}{2}=8\), deci egalitatea este demonstrată.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x+\sqrt{2x^2+1}\). Arătați că \(\int_1^2 \frac{x}{(f(x)-x)^2}\,dx=\frac{\ln 3}{4}\).

Metoda: Integrare prin logaritm (derivata numitorului)

1. 1

   Simplificăm numitorul

   f(x)-x=\sqrt{2x^2+1}\ \Rightarrow\ (f(x)-x)^2=2x^2+1

   Din \(f(x)=x+\sqrt{2x^2+1}\) rezultă \(f(x)-x=\sqrt{2x^2+1}\). Ridicând la pătrat, radicalul dispare, pentru că \(2x^2+1>0\). Integrala devine \(\int_1^2 \frac{x}{2x^2+1}\,dx\).

2. 2

   Recunoaștem derivata numitorului

   (2x^2+1)'=4x\ \Rightarrow\ \frac{x}{2x^2+1}=\frac14\cdot\frac{(2x^2+1)'}{2x^2+1}

   Derivata lui \(2x^2+1\) este \(4x\). Numărătorul \(x\) este deci \(\frac14\) din ea. Scoatem factorul \(\frac14\) în fața integralei, ca să apară forma \(\int \frac{u'}{u}\,dx=\ln u\).

3. 3

   Calculăm integrala

   \frac14\int_1^2 \frac{(2x^2+1)'}{2x^2+1}\,dx=\frac14\ln(2x^2+1)\Big|_1^2=\frac{\ln 9}{4}-\frac{\ln 3}{4}=\frac{\ln 3}{4}

   Primitiva este \(\frac14\ln(2x^2+1)\). Pentru \(x=2\): \(2\cdot4+1=9\). Pentru \(x=1\): \(2\cdot1+1=3\). Avem \(\ln 9=2\ln 3\), deci diferența este \(\frac{2\ln 3-\ln 3}{4}=\frac{\ln 3}{4}\).

Răspuns: \(\int_1^2 \frac{x}{(f(x)-x)^2}\,dx=\frac{\ln 3}{4}\)

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x+\sqrt{2x^2+1}\). c) Determinați numărul real \(a\) pentru care volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției \(g:[0,2]\to\mathbb{R}\), \(g(x)=f(x)\) în jurul axei \(Ox\) este egal cu \(\frac{a\pi}{3}\).

Metoda: Volumul corpului de rotație

1. 1

   Scriem formula volumului

   V=\pi\int_0^2 g^2(x)\,dx=\pi\int_0^2\left(x+\sqrt{2x^2+1}\right)^2dx

   Pentru o funcție continuă \(g\) pe \([0,2]\), volumul corpului obținut prin rotația graficului în jurul axei Ox este \(V=\pi\int_0^2 g^2(x)dx\). Aici \(g(x)=f(x)=x+\sqrt{2x^2+1}\).

2. 2

   Dezvoltăm pătratul

   g^2(x)=x^2+2x\sqrt{2x^2+1}+2x^2+1=3x^2+1+2x\sqrt{2x^2+1}

   Folosim \((u+v)^2=u^2+2uv+v^2\) cu \(u=x\), \(v=\sqrt{2x^2+1}\). Avem \(v^2=2x^2+1\), deci \(x^2+2x^2+1=3x^2+1\).

3. 3

   Separăm integrala în trei părți

   V=\pi\left(\int_0^2 3x^2dx+\int_0^2 1\,dx+\int_0^2 2x\sqrt{2x^2+1}\,dx\right)

   Integrala sumei este suma integralelor. Primele două sunt simple: \(\int_0^2 3x^2dx=x^3\big|_0^2=8\) și \(\int_0^2 1\,dx=2\). Rămâne partea cu radical.

4. 4

   Calculăm integrala cu radical

   \int_0^2 2x\sqrt{2x^2+1}\,dx=\frac12\int_0^2\sqrt{2x^2+1}\,(2x^2+1)'\,dx=\frac{(2x^2+1)\sqrt{2x^2+1}}{3}\Big|_0^2

   Observăm că \((2x^2+1)'=4x\), deci \(2x=\frac12(2x^2+1)'\). Atunci integrala are forma \(\int u'\sqrt{u}\), cu primitiva \(\frac{2}{3}u\sqrt{u}\); cu factorul \(\frac12\) obținem \(\frac{u\sqrt{u}}{3}\). Pentru \(x=2\): \(u=9\), deci \(\frac{9\cdot3}{3}=9\). Pentru \(x=0\): \(u=1\), deci \(\frac13\). Rezultă \(9-\frac13=\frac{26}{3}\).

5. 5

   Aflăm volumul

   V=\pi\left(10+\frac{26}{3}\right)=\frac{56\pi}{3}

   Adunăm cele trei rezultate: \(8+2+\frac{26}{3}=10+\frac{26}{3}=\frac{56}{3}\). Astfel \(V=\frac{56\pi}{3}\), în concordanță cu baremul.

6. 6

   Determinăm numărul a

   \frac{a\pi}{3}=\frac{56\pi}{3}\Rightarrow a=56

   Egalăm volumul calculat cu cel din enunț și simplificăm cu \(\frac{\pi}{3}\), care este nenul. Rezultă \(a=56\).

Răspuns: a = 56