Matematică 2026

Ministerul Educației și Cercetării Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare Examenul național de bacalaureat 2026 Proba E. c) Matematică M_șt-nat Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii  Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.  Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Se consideră numerele complexe z1  4  3i și z2  1  2i . Arătați că z1  3iz2  10 . 5p 2. Se consideră funcțiile f : ℝ  ℝ , f  x   3  x și g : ℝ  ℝ , g  x   2 x  1 . Determinați numărul real a pentru care f  a   3a  g  3 . 5p  3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log 4 x 2  4  log 4 x  log 4 5 .  5p 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă produsul cifrelor egal cu 4 . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A  2,8 , B  0, 4  și C  a, b  , unde a și b sunt numere reale. Determinați numerele reale a și b , știind că segmentele OA și BC au același mijloc.  5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , cu C  . Raza cercului circumscris triunghiului 6 ABC este egală cu 4 . Arătați că AB  4 . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 0  x 1 1  1. Se consideră matricele I 2    și A  x     , unde x este număr real. 0 1 1  x x  5  5p a) Arătați că det  A  6    10 . 5p b) Determinați numărul real a pentru care A  3  A  3  aI 2 . 5p c) Demonstrați că numărul N  det  A  m   A  2   A  m  1  este natural, pentru orice număr întreg m. 2. Se consideră polinomul f  X 3  aX 2  2 X  2 , unde a este număr real. 5p a) Arătați că f  0   2 , pentru orice număr real a . 5p b) Determinați numărul real a pentru care x1 x2 x3 1  x1  x2  x3   4 , unde x1 , x2 și x3 sunt rădăcinile polinomului f . 5p c) Știind că polinomul f este divizibil cu polinomul X  1 , determinați restul împărțirii lui f la polinomul X 2  2 . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcția f : ℝ  ℝ , f  x   e x  x  x  1 . 2 5p  a) Arătați că f '  x   e x x 2  3 x , x ℝ .  ex  f  x 1 5p b) Arătați că lim  . x 0 f ' x  3 5p c) Demonstrați că e x3  x2  x  1  5 , pentru orice x   ,0 . 2. Se consideră funcția f : ℝ  ℝ , f  x   x  2 x 2  1 .   5 5p a) Arătați că  f  x   2 x 2  1 dx  8 . 3 2 x ln 3 5p b) Arătați că  dx  . 1  f  x  x 2 4 Probă scrisă la matematică M_șt-nat Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii Pagina 1 din 2  Ministerul Educației și Cercetării Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare 5p c) Determinați numărul real a pentru care volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției a g :  0, 2  ℝ , g  x   f  x  în jurul axei Ox este egal cu . 3 Probă scrisă la matematică M_șt-nat Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii Pagina 2 din 2