Rezolvare pas cu pas: Matematică – Științele naturii (M2) – Bacalaureat 2026, simulare

Determinați termenul \(a_4\) al progresiei aritmetice \((a_n)_{n\ge 1}\), în care \(a_1=2\) și \(a_3=14\).

Metoda: Rația progresiei aritmetice

1. 1

   Aflăm rația progresiei

   2r=a_3-a_1 \Rightarrow 2r=14-2=12 \Rightarrow r=6

   De la \(a_1\) la \(a_3\) facem doi pași, adică adunăm rația de două ori: \(a_3=a_1+2r\). De aici \(2r=a_3-a_1=14-2=12\), deci \(r=6\).

2. 2

   Calculăm termenul \(a_4\)

   a_4=a_3+r=14+6=20

   Termenul \(a_4\) vine imediat după \(a_3\), deci îl obținem adunând rația la \(a_3\): \(a_4=14+6=20\).

Răspuns: \(a_4=20\)

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=ax+3\), unde \(a\) este număr real. Determinați numărul real \(a\) pentru care \(f(0)+(f\circ f)(0)=0\).

Metoda: Compunerea funcțiilor și ecuația de gradul I

1. 1

   Calculăm f(0)

   f(0)=a\cdot 0+3=3

   Înlocuim pe \(x\) cu 0 în formula funcției \(f(x)=ax+3\). Termenul \(a\cdot 0\) este 0, deci rămâne doar 3, indiferent de valoarea lui \(a\).

2. 2

   Calculăm (f∘f)(0)

   (f\circ f)(0)=f(f(0))=f(3)=3a+3

   Prin definiție, \((f\circ f)(0)=f(f(0))\). Știm că \(f(0)=3\), deci trebuie să calculăm \(f(3)\). Înlocuim \(x=3\) în \(ax+3\) și obținem \(3a+3\), pentru orice număr real \(a\).

3. 3

   Punem condiția și aflăm a

   3+3a+3=0\Rightarrow 3a=-6\Rightarrow a=-2

   Condiția din enunț este \(f(0)+(f\circ f)(0)=0\). Înlocuim \(f(0)=3\) și \((f\circ f)(0)=3a+3\) și obținem o ecuație de gradul I în \(a\): \(3a+6=0\). De aici \(3a=-6\), deci \(a=-2\).

4. 4

   Verificare

   f(x)=-2x+3,\; f(0)=3,\; f(3)=-3,\; 3+(-3)=0

   Cu \(a=-2\) avem \(f(x)=-2x+3\). Atunci \(f(0)=3\), iar \((f\circ f)(0)=f(3)=-2\cdot 3+3=-3\). Suma este \(3+(-3)=0\), deci condiția este îndeplinită.

Răspuns: \(a=-2\)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(5^x - 4\cdot 5^{x-2} = 105\).

Metoda: Scoaterea factorului comun

1. 1

   Scriem \(5^x\) cu ajutorul lui \(5^{x-2}\)

   5^x = 5^{x-2}\cdot 5^2 = 25\cdot 5^{x-2}

   Folosim regula \(a^{m+n}=a^m\cdot a^n\). Deoarece \(x=(x-2)+2\), avem \(5^x=5^{x-2}\cdot 5^2=25\cdot 5^{x-2}\). Astfel ambii termeni din ecuație conțin același factor \(5^{x-2}\).

2. 2

   Dăm factor comun și calculăm

   25\cdot 5^{x-2} - 4\cdot 5^{x-2} = 105 \Rightarrow 5^{x-2}(25-4)=105 \Rightarrow 21\cdot 5^{x-2}=105

   Înlocuim \(5^x\) în ecuație și dăm factor comun pe \(5^{x-2}\). În paranteză rămâne \(25-4=21\). Obținem \(21\cdot 5^{x-2}=105\).

3. 3

   Aflăm \(5^{x-2}\)

   5^{x-2}=\frac{105}{21}=5

   Împărțim ambii membri la 21. Cum \(105:21=5\), obținem \(5^{x-2}=5\).

4. 4

   Egalăm exponenții și aflăm x

   5^{x-2}=5^1 \Rightarrow x-2=1 \Rightarrow x=3

   Cum \(5=5^1\), avem \(5^{x-2}=5^1\). Funcția exponențială cu baza 5 este injectivă, deci exponenții sunt egali: \(x-2=1\), de unde \(x=3\).

5. 5

   Verificarea soluției

   5^3-4\cdot 5^{1}=125-20=105

   Înlocuim \(x=3\) în ecuația inițială: \(5^3=125\) și \(4\cdot 5^{3-2}=4\cdot 5=20\). Rezultă \(125-20=105\), deci soluția este corectă.

Răspuns: x = 3

Determinați câte numere naturale impare, de trei cifre distincte, se pot forma cu cifre din mulțimea \(A=\{1,2,3,9\}\).

Metoda: Principiul multiplicării (regula produsului)

1. 1

   Alegem cifra unităților

   \text{unitati} \in \{1,3,9\} \Rightarrow 3 \text{ moduri}

   Un număr este impar dacă ultima lui cifră este impară. Dintre cifrele 1, 2, 3, 9, cele impare sunt 1, 3 și 9. Începem cu unitățile pentru că aici avem restricția, iar apoi ceilalți pași nu mai depind de paritate.

2. 2

   Alegem cifra zecilor

   4-1=3 \text{ moduri}

   Cifrele trebuie să fie distincte, deci cifra zecilor nu poate fi cea folosită deja la unități. Dintre cele 4 cifre ale mulțimii A ne rămân 3, iar oricare dintre ele este permisă (inclusiv 2, fiindcă nu e la final).

3. 3

   Alegem cifra sutelor

   4-2=2 \text{ moduri}

   Am folosit deja două cifre distincte (la unități și la zeci), deci pentru cifra sutelor rămân 2 cifre din cele 4. Niciuna nu este 0, deci nu apare problema cifrei zero la început.

4. 4

   Aplicăm regula produsului

   3\cdot 3\cdot 2=18

   Pentru fiecare alegere a unităților avem 3 alegeri pentru zeci, iar pentru fiecare pereche avem 2 alegeri pentru sute. Numărul total se obține înmulțind numărul de variante de la fiecare pas.

Răspuns: Se pot forma 18 numere.

În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(1,0)\) și \(B(5,4)\) și dreapta \(d\) de ecuație \(2x+ay=0\), unde \(a\) este număr real. Determinați numărul real \(a\) pentru care mijlocul segmentului \(AB\) aparține dreptei \(d\).

Metoda: Coordonatele mijlocului segmentului

1. 1

   Aflăm coordonatele mijlocului M

   M\left(\frac{1+5}{2},\frac{0+4}{2}\right)=M(3,2)

   Mijlocul unui segment are coordonatele egale cu media aritmetică a coordonatelor capetelor: \(x_M=\frac{x_A+x_B}{2}\) și \(y_M=\frac{y_A+y_B}{2}\). Pentru \(A(1,0)\) și \(B(5,4)\) obținem \(x_M=\frac{1+5}{2}=3\) și \(y_M=\frac{0+4}{2}=2\).

2. 2

   Punem condiția ca M să aparțină dreptei d

   2\cdot 3+a\cdot 2=0

   Punctul \(M(3,2)\) aparține dreptei \(d: 2x+ay=0\) dacă, înlocuind \(x=3\) și \(y=2\), egalitatea este adevărată. Obținem \(2\cdot 3+a\cdot 2=0\), adică \(6+2a=0\).

3. 3

   Rezolvăm ecuația în a

   6+2a=0\Rightarrow a=-3

   Din \(6+2a=0\) rezultă \(2a=-6\), deci \(a=-3\). Verificare: dreapta devine \(2x-3y=0\), iar pentru \(M(3,2)\) avem \(6-6=0\), adevărat.

Răspuns: \(a=-3\)

Se consideră triunghiul \(ABC\), dreptunghic în \(A\), cu \(BC=12\) și \(C=\frac{\pi}{6}\). Punctul \(M\) aparține segmentului \(AC\) astfel încât \(3AM=AC\). Arătați că \(BM=4\sqrt{3}\).

Metoda: Trigonometrie și teorema lui Pitagora

1. 1

   Aflăm cateta AB

   AB=BC\cdot\sin C=12\cdot\frac{1}{2}=6

   În triunghiul dreptunghic \(ABC\) avem \(\hat A=90^\circ\), deci \(BC\) este ipotenuza. Cateta \(AB\) este opusă unghiului \(C=\frac{\pi}{6}=30^\circ\). Atunci \(\sin C=\frac{AB}{BC}\), de unde \(AB=BC\cdot\sin C\). Cum \(\sin 30^\circ=\frac12\), obținem \(AB=6\).

2. 2

   Aflăm cateta AC

   AC=BC\cdot\cos C=12\cdot\frac{\sqrt3}{2}=6\sqrt3

   Cateta \(AC\) este alăturată unghiului \(C\), deci \(\cos C=\frac{AC}{BC}\). Cum \(\cos 30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\), obținem \(AC=6\sqrt3\). Am fi putut folosi și teorema lui Pitagora: \(AC=\sqrt{144-36}=\sqrt{108}=6\sqrt3\).

3. 3

   Aflăm lungimea AM

   3AM=AC\Rightarrow AM=\frac{AC}{3}=\frac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3

   Din condiția \(3AM=AC\) rezultă că \(AM\) este a treia parte din \(AC\). Împărțim \(6\sqrt3\) la 3 și obținem \(AM=2\sqrt3\).

4. 4

   Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul ABM

   BM^2=AM^2+AB^2=(2\sqrt3)^2+6^2=12+36=48\Rightarrow BM=\sqrt{48}=4\sqrt3

   Punctul \(M\) se află pe \(AC\), deci unghiul \(\hat{BAM}=90^\circ\), iar triunghiul \(ABM\) este dreptunghic în \(A\). Ipotenuza este \(BM\). Teorema lui Pitagora dă \(BM^2=AM^2+AB^2=12+36=48\). Cum \(48=16\cdot3\), avem \(BM=\sqrt{48}=4\sqrt3\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(BM=4\sqrt{3}\)

Se consideră matricea \(A(a)=\begin{pmatrix}1 & a\\ -a & 1-a\end{pmatrix}\), unde \(a\) este număr real. a) Arătați că \(\det(A(1))=1\).

Metoda: Calculul determinantului de ordin 2

1. 1

   Scriem matricea A(1)

   A(1)=\begin{pmatrix}1 & 1\\ -1 & 1-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix}

   Înlocuim peste tot parametrul \(a\) cu 1 în matricea \(A(a)\). Elementul din stânga sus rămâne 1, cel din dreapta sus devine \(a=1\), cel din stânga jos devine \(-a=-1\), iar cel din dreapta jos devine \(1-a=0\). Facem acest pas ca să avem o matrice cu numere concrete, al cărei determinant se poate calcula.

2. 2

   Calculăm determinantul

   \det(A(1))=\begin{vmatrix}1 & 1\\ -1 & 0\end{vmatrix}=1\cdot 0-1\cdot(-1)=0+1=1

   Pentru o matrice de ordin 2, determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Aici diagonala principală dă \(1\cdot 0=0\), iar diagonala secundară dă \(1\cdot(-1)=-1\). Scăzând: \(0-(-1)=0+1=1\). Deci \(\det(A(1))=1\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\det(A(1))=1\)

Se consideră matricea \(A(a)=\begin{pmatrix}1 & a\\ -a & 1-a\end{pmatrix}\), unde \(a\) este număr real. Arătați că \(A(a+b)-A(a)\cdot A(b)=ab\,A(1)\), pentru orice numere reale \(a\) și \(b\).

Metoda: Calcul matriceal direct

1. 1

   Scriem matricea A(a+b)

   A(a+b)=\begin{pmatrix}1 & a+b\\ -a-b & 1-a-b\end{pmatrix}

   Înlocuim peste tot în definiția lui \(A(x)\) pe \(x\) cu \(a+b\). Astfel, în colțul din dreapta sus apare \(a+b\), iar jos \(-(a+b)\) și \(1-(a+b)\).

2. 2

   Calculăm produsul A(a)·A(b)

   A(a)\cdot A(b)=\begin{pmatrix}1 & a\\ -a & 1-a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & b\\ -b & 1-b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-ab & b+a-ab\\ -a-b+ab & -ab+1-a-b+ab\end{pmatrix}

   Înmulțim linie cu coloană. Element (1,1): \(1\cdot1+a\cdot(-b)=1-ab\). Element (1,2): \(1\cdot b+a(1-b)=b+a-ab\). Element (2,1): \(-a\cdot1+(1-a)(-b)=-a-b+ab\). Element (2,2): \(-a\cdot b+(1-a)(1-b)=-ab+1-a-b+ab\), care se reduce la \(1-a-b\).

3. 3

   Scădem cele două matrice

   A(a+b)-A(a)A(b)=\begin{pmatrix}1-(1-ab) & a+b-(a+b-ab)\\ -a-b-(-a-b+ab) & 1-a-b-(1-a-b)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ab & ab\\ -ab & 0\end{pmatrix}

   Scădem element cu element. Sus-stânga: \(1-1+ab=ab\). Sus-dreapta: \(a+b-a-b+ab=ab\). Jos-stânga: \(-a-b+a+b-ab=-ab\). Jos-dreapta: \(1-a-b-1+a+b=0\).

4. 4

   Recunoaștem abA(1)

   \begin{pmatrix}ab & ab\\ -ab & 0\end{pmatrix}=ab\begin{pmatrix}1 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix}=ab\,A(1)

   Pentru \(a=1\): \(A(1)=\begin{pmatrix}1&1\\-1&0\end{pmatrix}\). Scoatem factorul comun \(ab\) din toate elementele matricei obținute și vedem exact \(ab\,A(1)\). Deci egalitatea este adevărată pentru orice numere reale \(a\) și \(b\).

Răspuns: A(a+b) − A(a)·A(b) = abA(1), pentru orice a, b reale, deoarece diferența este \(\begin{pmatrix}ab & ab\\ -ab & 0\end{pmatrix}=abA(1)\).

Se consideră matricea \(A(a)=\begin{pmatrix}1 & a\\ -a & 1-a\end{pmatrix}\), unde \(a\) este număr real. c) Determinați numerele reale \(a\) pentru care \(2A(2a)-A(a)\cdot A(a)-A(1)\cdot A(2a-1)=2A(1)\).

Metoda: Relația din b) și calcul matriceal

1. 1

   Folosim relația de la b) pentru \(A(a)\cdot A(a)\)

   2A(2a)-A(a)A(a)=a^2A(1)

   Din b) cu \(b=a\) obținem \(A(2a)-A(a)\cdot A(a)=a\cdot a\cdot A(1)=a^2A(1)\). Observăm că în expresia dată avem \(2A(2a)\), deci un \(A(2a)\) îl folosim aici, iar celălalt \(A(2a)\) îl păstrăm pentru pasul următor.

2. 2

   Folosim relația de la b) pentru \(A(1)\cdot A(2a-1)\)

   A(2a)-A(1)A(2a-1)=(2a-1)A(1)

   Scriem \(2a=1+(2a-1)\) și aplicăm b) cu numerele \(1\) și \(2a-1\): \(A(1+(2a-1))-A(1)\cdot A(2a-1)=1\cdot(2a-1)\cdot A(1)\).

3. 3

   Adunăm cele două rezultate

   2A(2a)-A(a)A(a)-A(1)A(2a-1)=(a^2+2a-1)A(1)

   Adunăm rezultatele din pașii 1 și 2: \(a^2A(1)+(2a-1)A(1)=(a^2+2a-1)A(1)\), pentru orice număr real \(a\).

4. 4

   Rezolvăm ecuația

   (a^2+2a-1)A(1)=2A(1)\Rightarrow a^2+2a-1=2\Rightarrow a^2+2a-3=0

   Ecuația din enunț devine \((a^2+2a-1)A(1)=2A(1)\). Matricea \(A(1)=\begin{pmatrix}1&1\\-1&0\end{pmatrix}\) este nenulă, deci putem identifica coeficienții: \(a^2+2a-1=2\), adică \(a^2+2a-3=0\). Discriminantul este \(\Delta=4+12=16\), deci \(a=\frac{-2\pm4}{2}\), adică \(a=1\) sau \(a=-3\).

Răspuns: \(a=-3\) sau \(a=1\)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă \(x\circ y=\frac{1}{6}(x-5)(y-5)+5\), cu elementul neutru \(e=11\). Arătați că \(7\circ 8=6\).

Metoda: Calcul direct în lege de compoziție

1. 1

   Înlocuim x = 7 și y = 8 în formulă

   7\circ 8=\frac{1}{6}(7-5)(8-5)+5

   Legea de compoziție este doar o regulă de calcul. Pentru a afla \(7\circ 8\), punem 7 în locul lui \(x\) și 8 în locul lui \(y\) peste tot în formulă. Obținem \(\frac{1}{6}(7-5)(8-5)+5\).

2. 2

   Efectuăm calculele

   \frac{1}{6}\cdot 2\cdot 3+5=1+5=6

   Calculăm parantezele: \(7-5=2\) și \(8-5=3\). Apoi \(\frac{1}{6}\cdot 2\cdot 3=\frac{6}{6}=1\). Adunăm 5 și obținem \(1+5=6\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(7\circ 8=1+5=6\), deci egalitatea este demonstrată.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă \(x\circ y=\frac{1}{6}(x-5)(y-5)+5\), cu elementul neutru \(e=11\). b) Determinați numerele reale \(x\) pentru care \(x\circ(6x-1)=10\).

Metoda: Calcul direct cu legea de compoziție

1. 1

   Înlocuim în definiția legii

   x\circ(6x-1)=\frac{1}{6}(x-5)(6x-1-5)+5

   Legea spune că \(x\circ y=\frac{1}{6}(x-5)(y-5)+5\). Punem \(y=6x-1\) peste tot unde apare \(y\). Astfel obținem o expresie care depinde doar de \(x\).

2. 2

   Simplificăm expresia

   \frac{1}{6}(x-5)\cdot 6(x-1)+5=(x-5)(x-1)+5=x^2-6x+10

   Factorul \(6\) din \(6x-6=6(x-1)\) se reduce cu \(\frac{1}{6}\). Rămâne \((x-5)(x-1)+5\). Înmulțim parantezele: \(x^2-x-5x+5\), apoi adunăm \(5\) și obținem \(x^2-6x+10\), pentru orice \(x\) real.

3. 3

   Rezolvăm ecuația

   x^2-6x+10=10\iff x^2-6x=0\iff x(x-6)=0

   Egalăm rezultatul cu \(10\), conform cerinței. Scădem \(10\) din ambii membri și dăm factor comun \(x\). Un produs este zero când un factor este zero, deci \(x=0\) sau \(x=6\).

4. 4

   Verificăm soluțiile

   x=0:\ 0\circ(-1)=\frac{1}{6}(-5)(-6)+5=10;\quad x=6:\ 6\circ 35=\frac{1}{6}\cdot 1\cdot 30+5=10

   Înlocuim fiecare soluție în enunțul inițial. Pentru \(x=0\), \(6x-1=-1\). Pentru \(x=6\), \(6x-1=35\). În ambele cazuri se obține \(10\), deci ambele soluții sunt bune.

Răspuns: \(x\in\{0,\,6\}\)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă \(x\circ y=\frac{1}{6}(x-5)(y-5)+5\), cu elementul neutru \(e=11\). c) Determinați numerele naturale \(n\), \(n\neq 5\), ale căror simetrice în raport cu legea de compoziție „\(\circ\)” sunt numere naturale pare.

Metoda: Simetricul față de legea \(\circ\)

1. 1

   Scriem condiția de simetric

   n\circ n'=n'\circ n=e=11

   Dacă \(n'\) este simetricul lui \(n\), atunci compunerea lor dă elementul neutru, care este \(e=11\). Legea este comutativă, deci e suficient să scriem o singură egalitate: \(n\circ n'=11\).

2. 2

   Obținem ecuația cu produs

   \frac{1}{6}(n-5)(n'-5)+5=11 \Rightarrow (n-5)(n'-5)=36

   Înlocuim legea în egalitatea \(n\circ n'=11\). Scădem 5 din ambii membri: \(\frac{1}{6}(n-5)(n'-5)=6\). Apoi înmulțim cu 6 și obținem \((n-5)(n'-5)=36\).

3. 3

   Folosim condițiile: n natural, n' natural par

   n-5\in\mathbb{Z},\; n'-5\in\mathbb{Z},\; n'\text{ par}\Rightarrow n'-5\text{ impar}

   Dacă \(n'\) este par, atunci \(n'-5\) este impar. Deci \(n'-5\) este un divizor impar al lui 36 (pozitiv sau negativ). Divizorii impari ai lui 36 sunt \(\pm1,\pm3,\pm9\). Pentru \(n'\) natural trebuie \(n'-5\ge -5\), deci \(-9\) nu convine.

4. 4

   Calculăm n și verificăm

   n-5=\frac{36}{n'-5}\in\{36,12,4\}\Rightarrow n\in\{41,17,9\}

   Pentru \(n'-5=1\) obținem \(n-5=36\), deci \(n=41\) și \(n'=6\) (par). Pentru \(n'-5=3\): \(n-5=12\), \(n=17\), \(n'=8\). Pentru \(n'-5=9\): \(n-5=4\), \(n=9\), \(n'=14\). Pentru valorile negative: \(n'-5=-1\) dă \(n-5=-36\), \(n=-31\), nu e natural; \(n'-5=-3\) dă \(n-5=-12\), \(n=-7\), nu e natural. Rămân doar trei valori.

Răspuns: n ∈ {9, 17, 41}

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\frac{1}{x}-1+4\ln(x+3)\). a) Arătați că \(f'(x)=\frac{(x-1)(4x+3)}{x^2(x+3)}\), \(x\in(0,+\infty)\).

Metoda: Derivarea și aducerea la numitor comun

1. 1

   Derivăm fiecare termen al funcției

   f'(x)=\left(\frac{1}{x}\right)'-(1)'+4\left(\ln(x+3)\right)'=-\frac{1}{x^2}-0+\frac{4}{x+3}

   Derivata unei sume este suma derivatelor. Folosim \((x^{-1})'=-\frac{1}{x^2}\), derivata unei constante este 0, iar \((\ln u)'=\frac{u'}{u}\), cu \(u=x+3\) și \(u'=1\). Deci \(f'(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac{4}{x+3}\).

2. 2

   Aducem la numitor comun

   f'(x)=\frac{-(x+3)+4x^2}{x^2(x+3)}=\frac{4x^2-x-3}{x^2(x+3)}

   Numitorii sunt \(x^2\) și \(x+3\), deci numitorul comun este \(x^2(x+3)\). Amplificăm prima fracție cu \(x+3\) și a doua cu \(x^2\). Numărătorul devine \(-(x+3)+4x^2=4x^2-x-3\).

3. 3

   Descompunem numărătorul în factori

   4x^2-x-3=(x-1)(4x+3)

   Observăm că \(x=1\) este rădăcină: \(4-1-3=0\). Deci \(x-1\) este factor. Cealaltă rădăcină este \(-\frac{3}{4}\) (din produsul rădăcinilor \(\frac{-3}{4}\)), deci al doilea factor este \(4x+3\). Verificăm prin înmulțire: \((x-1)(4x+3)=4x^2+3x-4x-3=4x^2-x-3\). Astfel \(f'(x)=\frac{(x-1)(4x+3)}{x^2(x+3)}\), \(x\in(0,+\infty)\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(f'(x)=\frac{(x-1)(4x+3)}{x^2(x+3)}\), \(x\in(0,+\infty)\)

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\frac{1}{x}-1+4\ln(x+3)\). b) Arătați că \(\lim_{x\to 1}\frac{4\ln(x+3)-f(x)}{\ln x}=1\).

Metoda: Regula lui L'Hospital

1. 1

   Simplificăm numărătorul

   4\ln(x+3)-f(x)=4\ln(x+3)-\frac{1}{x}+1-4\ln(x+3)=-\frac{1}{x}+1

   Înlocuim \(f(x)\) cu expresia ei: \(4\ln(x+3)-\left(\frac{1}{x}-1+4\ln(x+3)\right)\). Termenii \(4\ln(x+3)\) se reduc, iar semnul minus schimbă semnele din paranteză. Rămâne \(-\frac{1}{x}+1\). Deci limita devine \(\lim_{x\to1}\frac{-\frac{1}{x}+1}{\ln x}\).

2. 2

   Verificăm forma nedeterminată 0/0

   \lim_{x\to1}\left(-\frac{1}{x}+1\right)=0,\quad \lim_{x\to1}\ln x=0

   Pentru \(x\to1\): \(-\frac11+1=0\) și \(\ln 1=0\). Avem forma \(\frac{0}{0}\), deci putem aplica regula lui L'Hospital (funcțiile sunt derivabile pe vecinătatea lui 1, iar derivata numitorului \(\frac1x\) nu se anulează).

3. 3

   Aplicăm L'Hospital

   \lim_{x\to1}\frac{\left(-\frac{1}{x}+1\right)'}{(\ln x)'}=\lim_{x\to1}\frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x}}

   Derivăm numărătorul: \(\left(-\frac1x+1\right)'=\frac{1}{x^2}\). Derivăm numitorul: \((\ln x)'=\frac1x\). Obținem raportul \(\frac{1/x^2}{1/x}\).

4. 4

   Calculăm limita

   \lim_{x\to1}\frac{1/x^2}{1/x}=\lim_{x\to1}\frac{1}{x}=1

   Simplificăm: \(\frac{1/x^2}{1/x}=\frac{1}{x^2}\cdot x=\frac1x\). Pentru \(x\to1\), \(\frac1x\to1\). Am arătat că limita este 1.

Răspuns: \(\lim_{x\to1}\frac{4\ln(x+3)-f(x)}{\ln x}=1\)

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\frac{1}{x}-1+4\ln(x+3)\). c) Demonstrați că \(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}\ge 4\ln\frac{x+3}{x^2+3}\), pentru orice \(x\in(0,1]\).

Metoda: Monotonia funcției și comparare

1. 1

   Studiem semnul derivatei

   f'(x)=\frac{(x-1)(4x+3)}{x^2(x+3)}

   De la punctul a) știm că \(f'(x)=\frac{(x-1)(4x+3)}{x^2(x+3)}\). Pe intervalul \((0,1]\) avem \(x-1\le 0\), iar \(4x+3>0\), \(x^2>0\), \(x+3>0\). Deci fracția este negativă sau zero, adică \(f'(x)\le 0\).

2. 2

   Concluzia: f este descrescătoare

   f'(x)\le 0 \Rightarrow f \text{ descrescătoare pe } (0,1]

   Dacă derivata este negativă sau nulă pe un interval (și se anulează doar în capătul 1), funcția este descrescătoare pe acel interval: valorile ei scad când x crește.

3. 3

   Comparăm x cu x²

   x\in(0,1]\Rightarrow x\ge x^2 \Rightarrow f(x)\le f(x^2)

   Pentru \(x\in(0,1]\) avem \(x^2\le x\), deoarece \(x^2=x\cdot x\le x\cdot 1\). Ambele numere sunt în (0,1], unde f este descrescătoare. Cum \(x\ge x^2\), obținem \(f(x)\le f(x^2)\).

4. 4

   Scriem inegalitatea f(x) ≤ f(x²) explicit

   \frac1x-1+4\ln(x+3)\le \frac1{x^2}-1+4\ln(x^2+3)

   Înlocuim în \(f(x)\le f(x^2)\): \(f(x^2)=\frac1{x^2}-1+4\ln(x^2+3)\). Simplificăm cu \(-1\) și mutăm termenii: \(\frac1{x^2}-\frac1x\ge 4\ln(x+3)-4\ln(x^2+3)\). Cu proprietatea logaritmilor, partea dreaptă este \(4\ln\frac{x+3}{x^2+3}\). Astfel obținem inegalitatea cerută pentru orice \(x\in(0,1]\).

Răspuns: Inegalitatea \(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}\ge 4\ln\frac{x+3}{x^2+3}\) este adevărată pentru orice \(x\in(0,1]\), deoarece f este descrescătoare pe (0,1] și \(x\ge x^2\), deci \(f(x)\le f(x^2)\).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=(x^2+4x)e^{-x}\). a) Arătați că \(\int_0^3 f(x)e^x\,dx=27\).

Metoda: Integrare directă a unui polinom

1. 1

   Simplificăm expresia de integrat

   f(x)e^x=(x^2+4x)e^{-x}\cdot e^x=x^2+4x

   Înlocuim \(f(x)\) cu \((x^2+4x)e^{-x}\) și folosim \(e^{-x}\cdot e^{x}=e^{0}=1\). Astfel exponențiala dispare și rămâne doar polinomul \(x^2+4x\). Deci \(\int_0^3 f(x)e^x\,dx=\int_0^3 (x^2+4x)\,dx\).

2. 2

   Aflăm o primitivă a polinomului

   \int (x^2+4x)\,dx=\frac{x^3}{3}+2x^2

   Integrăm termen cu termen, cu formula \(\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\). Pentru \(x^2\) obținem \(\frac{x^3}{3}\), iar pentru \(4x\) obținem \(4\cdot\frac{x^2}{2}=2x^2\).

3. 3

   Aplicăm formula Leibniz-Newton

   \left(\frac{x^3}{3}+2x^2\right)\Big|_0^3=\frac{27}{3}+2\cdot 9-0=9+18=27

   Calculăm primitiva în limita de sus (3), apoi în cea de jos (0), și scădem. În 0 valoarea este 0. În 3 avem \(\frac{3^3}{3}=9\) și \(2\cdot 3^2=18\). Suma \(9+18=27\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\int_0^3 f(x)e^x\,dx=27\)

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=(x^2+4x)e^{-x}\). b) Arătați că \(\int_{-1}^{0}\frac{f(x)}{x+4}\,dx=-1\).

Metoda: Integrare prin părți

1. 1

   Simplificăm fracția de sub integrală

   \frac{f(x)}{x+4}=\frac{x(x+4)e^{-x}}{x+4}=xe^{-x}

   Scoatem factor comun: \(x^2+4x=x(x+4)\). Pe intervalul \([-1,0]\) avem \(x+4>0\), deci putem simplifica cu \(x+4\). Rămâne o integrală mult mai simplă: \(\int_{-1}^{0}xe^{-x}\,dx\).

2. 2

   Pregătim integrarea prin părți

   \int_{-1}^{0}xe^{-x}\,dx=\int_{-1}^{0}x\left(-e^{-x}\right)'\,dx

   Observăm că \((-e^{-x})'=e^{-x}\). Deci îl scriem pe \(e^{-x}\) ca derivata lui \(-e^{-x}\). Formula de integrare prin părți este \(\int u\,v'=uv-\int u'\,v\), cu \(u=x\) și \(v=-e^{-x}\).

3. 3

   Aplicăm formula și calculăm

   \int_{-1}^{0}x\left(-e^{-x}\right)'dx=-xe^{-x}\Big|_{-1}^{0}-\int_{-1}^{0}\left(-e^{-x}\right)dx=-xe^{-x}\Big|_{-1}^{0}-e^{-x}\Big|_{-1}^{0}=-e-1+e=-1

   Pentru primul termen, \(-xe^{-x}\) la \(x=0\) dă \(0\), iar la \(x=-1\) dă \(-(-1)e^{1}=e\). Deci \(-xe^{-x}\Big|_{-1}^{0}=0-e=-e\). Pentru al doilea termen: \(\int_{-1}^{0}(-e^{-x})dx=e^{-x}\Big|_{-1}^{0}\), deci în formulă apare \(-e^{-x}\Big|_{-1}^{0}\). La \(x=0\), \(e^{-x}=1\); la \(x=-1\), \(e^{-x}=e\). Deci \(-e^{-x}\Big|_{-1}^{0}=-1-(-e)=-1+e\). Adunând: \(-e+(-1+e)=-1\).

Răspuns: \(\int_{-1}^{0}\frac{f(x)}{x+4}\,dx=-e-1+e=-1\), deci egalitatea cerută este demonstrată.

Se consideră funcția \(g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(g(x)=\dfrac{f(x^2)}{x^2}\), unde \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=(x^2+4x)e^{-x}\). Demonstrați că orice primitivă \(G:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\) a funcției \(g\) este concavă.

Metoda: Derivata a doua și concavitatea

1. 1

   Aflăm expresia funcției g

   g(x)=\frac{f(x^2)}{x^2}=\frac{(x^4+4x^2)e^{-x^2}}{x^2}=(x^2+4)e^{-x^2}

   Înlocuim x cu \(x^2\) în f: \(f(x^2)=((x^2)^2+4x^2)e^{-x^2}=(x^4+4x^2)e^{-x^2}\). Dăm factor comun \(x^2\) și simplificăm cu \(x^2\), care este nenul pe \((0,+\infty)\). Obținem \(g(x)=(x^2+4)e^{-x^2}\).

2. 2

   Legătura dintre G și g

   G'(x)=g(x)=(x^2+4)e^{-x^2},\quad G''(x)=g'(x)

   G este primitivă a lui g, deci \(G'(x)=g(x)\) pe \((0,+\infty)\). Derivând încă o dată, \(G''(x)=g'(x)\). Așadar studiem semnul lui \(g'\).

3. 3

   Calculăm derivata lui g

   G''(x)=2xe^{-x^2}+(x^2+4)(-2x)e^{-x^2}=-2x(x^2+3)e^{-x^2}

   Folosim regula produsului: \((x^2+4)'=2x\) și \((e^{-x^2})'=-2xe^{-x^2}\). Apoi dăm factor comun \(2xe^{-x^2}\): \(2xe^{-x^2}\,[1-(x^2+4)]=2xe^{-x^2}(-x^2-3)=-2x(x^2+3)e^{-x^2}\).

4. 4

   Stabilim semnul și concluzia

   G''(x)=-2x(x^2+3)e^{-x^2}\le 0,\ \forall x\in(0,+\infty)

   Pentru \(x>0\) avem \(2x>0\), \(x^2+3>0\) și \(e^{-x^2}>0\). Produsul lor este pozitiv, iar cu semnul minus în față obținem \(G''(x)<0\), deci în particular \(\le 0\). Deoarece \(G''\le 0\) pe \((0,+\infty)\), orice primitivă G a lui g este concavă.

Răspuns: \(G''(x)=-2x(x^2+3)e^{-x^2}\le 0\) pentru orice \(x>0\), deci orice primitivă G a lui g este concavă pe \((0,+\infty)\).