Rezolvare pas cu pas: Matematică – Evaluarea Națională 2015, sesiunea iunie–iulie (rezervă) (varianta 03)

Rezultatul calculului \(10:5-2\) este egal cu ... .

Metoda: Ordinea efectuării operațiilor

1. 1

   Alegem prima operație

   10:5-2

   Într-un calcul fără paranteze, împărțirea și înmulțirea se fac înaintea adunării și a scăderii. Aici avem o împărțire (\(10:5\)) și o scădere (\(-2\)), deci începem cu împărțirea.

2. 2

   Efectuăm împărțirea

   10:5=2

   Calculăm \(10:5\). Întrebăm: de câte ori încape 5 în 10? De 2 ori. Înlocuim apoi în exercițiu și obținem \(2-2\).

3. 3

   Efectuăm scăderea

   2-2=0

   După împărțire, exercițiul devine \(2-2\). Dacă scădem două numere egale, obținem 0.

Subiectul I, itemul 2: Dacă \(\frac{x}{9}=\frac{5}{3}\), atunci \(x\) este egal cu ... .

Metoda: Proprietatea fundamentală a proporțiilor

1. 1

   Recunoaștem proporția

   \frac{x}{9}=\frac{5}{3}

   Egalitatea dintre două rapoarte se numește proporție. Termenii x și 3 sunt extremii, iar 9 și 5 sunt mezii. Ne ajută să știm care sunt aceștia, ca să putem aplica proprietatea fundamentală a proporțiilor.

2. 2

   Aplicăm proprietatea fundamentală

   x\cdot 3 = 9\cdot 5

   Într-o proporție, produsul mezilor este egal cu produsul extremilor. Înmulțim încrucișat: x cu 3 și 9 cu 5. Astfel scăpăm de fracții și obținem o ecuație simplă.

3. 3

   Aflăm pe x

   3x=45 \Rightarrow x=45:3=15

   Dacă 3 ori x este 45, atunci x este 45 împărțit la 3. Împărțirea desface înmulțirea cu 3.

4. 4

   Verificăm rezultatul

   \frac{15}{9}=\frac{5}{3}

   Verificăm înlocuind x cu 15. Simplificăm fracția \(\frac{15}{9}\) cu 3 și obținem \(\frac{5}{3}\), deci egalitatea este adevărată.

Răspuns: x = 15

Cel mai mic număr natural de două cifre este egal cu … .

Metoda: Numere naturale de două cifre

1. 1

   Ce înseamnă număr de două cifre?

   10,\ 11,\ 12,\ \ldots,\ 99

   Un număr de două cifre are cifra zecilor și cifra unităților, iar cifra zecilor nu poate fi 0. Dacă ar fi 0, numărul ar avea de fapt o singură cifră (de exemplu 05 este tot 5). Deci numerele de două cifre sunt de la \(10\) până la \(99\).

2. 2

   Alegem cel mai mic număr

   10 < 11 < 12 < \ldots < 99

   Cifra zecilor trebuie să fie cât mai mică, deci \(1\) (nu poate fi 0). Apoi alegem cifra unităților cea mai mică, adică \(0\). Obținem numărul \(10\). Orice alt număr de două cifre este mai mare decât \(10\).

3. 3

   Verificarea

   9 < 10 \quad \text{și} \quad 10 \text{ are două cifre}

   Numărul dinaintea lui \(10\) este \(9\), care are o singură cifră. Deci \(10\) este primul număr cu două cifre, adică cel mai mic.

Răspuns: Cel mai mic număr natural de două cifre este 10.

Trapezul \(ABCD\) are bazele \(AB = 6\) cm și \(CD = 4\) cm. Linia mijlocie a trapezului \(ABCD\) are lungimea de … cm.

Metoda: Linia mijlocie în trapez

1. 1

   Reținem formula liniei mijlocii

   l = \frac{AB + CD}{2}

   Linia mijlocie a trapezului este paralelă cu bazele, iar lungimea ei este jumătate din suma bazelor, adică media aritmetică a bazelor. Aceasta este proprietatea din clasa a VII-a pe care o folosim.

2. 2

   Înlocuim bazele cu valorile date

   l = \frac{6 + 4}{2}

   Datele problemei sunt \(AB = 6\) cm și \(CD = 4\) cm. Le punem în formulă la locul bazelor.

3. 3

   Calculăm și verificăm rezultatul

   l = \frac{10}{2} = 5 \text{ cm}

   Împărțim suma bazelor la 2. Rezultatul 5 cm este între 4 cm și 6 cm, deci are sens: linia mijlocie trebuie să fie mai mare decât baza mică și mai mică decât baza mare.

Răspuns: Linia mijlocie a trapezului \(ABCD\) are lungimea de 5 cm.

Subiectul I, itemul 5. În Figura 1 este reprezentat un con circular drept cu raza bazei \(AO = 3\) cm și generatoarea \(VA = 5\) cm. Înălțimea \(VO\) a acestui con este egală cu … cm. (Din figură: V este vârful conului, O este centrul bazei, A este un punct de pe cercul bazei, iar VO este perpendiculară pe baza conului.)

Metoda: Teorema lui Pitagora

1. 1

   Găsim triunghiul dreptunghic

   \triangle VOA,\ \angle VOA = 90^\circ

   Înălțimea \(VO\) a conului este perpendiculară pe baza conului, deci și pe orice dreaptă din bază care trece prin \(O\), adică pe raza \(OA\). Rezultă că triunghiul \(VOA\) este dreptunghic în \(O\). Catetele sunt \(VO\) și \(OA\), iar ipotenuza este generatoarea \(VA\), pentru că este latura opusă unghiului drept.

2. 2

   Scriem teorema lui Pitagora

   VA^2 = VO^2 + OA^2

   Teorema lui Pitagora spune că pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor. Înlocuim datele: \(VA = 5\) și \(OA = 3\). Obținem \(5^2 = VO^2 + 3^2\), deci \(25 = VO^2 + 9\).

3. 3

   Aflăm \(VO^2\) și apoi \(VO\)

   VO^2 = 25 - 9 = 16 \Rightarrow VO = \sqrt{16} = 4

   Din \(25 = VO^2 + 9\) scădem 9 din 25 și obținem \(VO^2 = 16\). Pentru a afla \(VO\), căutăm numărul pozitiv care la pătrat dă 16. Acesta este 4, pentru că \(4^2 = 16\). Luăm doar valoarea pozitivă, deoarece \(VO\) este o lungime.

4. 4

   Verificăm rezultatul

   3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2

   Verificăm dacă \(3, 4, 5\) respectă teorema lui Pitagora. Dacă suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei, rezultatul este corect. Aici \(9 + 16 = 25\), deci înălțimea de 4 cm este bună.

Răspuns: Înălțimea conului este \(VO = 4\) cm.

În tabelul de mai jos sunt prezentate temperaturile măsurate la o stație meteorologică, la aceeași oră, în fiecare zi a unei săptămâni din luna aprilie. Luni: 11 °C, Marți: 18 °C, Miercuri: 15 °C, Joi: 15 °C, Vineri: 13 °C, Sâmbătă: 19 °C, Duminică: 17 °C. Cea mai mare temperatură măsurată în acea săptămână a fost egală cu … °C.

Metoda: Citirea datelor dintr-un tabel

1. 1

   Scriem toate temperaturile din tabel

   11,\ 18,\ 15,\ 15,\ 13,\ 19,\ 17

   Ne uităm pe rândul „Temperatura (°C)” și notăm valorile în ordinea zilelor, de luni până duminică. Facem asta ca să le avem pe toate sub ochi și să nu sărim vreuna. Observă că 15 apare de două ori (miercuri și joi), dar asta nu ne încurcă.

2. 2

   Comparăm numerele și găsim cel mai mare

   19 > 18 > 17 > 15 = 15 > 13 > 11

   Cea mai mare temperatură este cel mai mare număr din listă. Comparăm numerele: 11 și 13 sunt mici, 15 este mai mare, 17 și 18 sunt și mai mari, iar 19 este mai mare decât toate. Deci cel mai mare număr este 19, măsurat sâmbătă.

3. 3

   Verificăm și scriem răspunsul

   \max\{11,18,15,15,13,19,17\}=19

   Verificăm că 19 este într-adevăr mai mare decât fiecare temperatură: 19 > 11, 19 > 18, 19 > 15, 19 > 13, 19 > 17. Da, este cea mai mare. Deci cea mai mare temperatură a fost de 19 °C.

Răspuns: 19

Desenați, pe foaia de examen, un paralelipiped dreptunghic \(ABCDEFGH\).

Metoda: Desenul paralelipipedului dreptunghic

1. 1

   Desenăm fața de jos (baza)

   ABCD

   Paralelipipedul dreptunghic are 6 fețe dreptunghiulare. Începem cu o bază. În desen în perspectivă, baza se vede ca un paralelogram: laturile opuse sunt paralele și egale. Notăm vârfurile \(A, B, C, D\) în ordine, pe rând, ca să nu le încurcăm.

2. 2

   Desenăm muchiile laterale

   AE \parallel BF \parallel CG \parallel DH

   Din fiecare vârf al bazei ducem o muchie verticală, toate paralele și de aceeași lungime. Ele sunt perpendiculare pe bază, de aceea paralelipipedul este dreptunghic. La capete punem \(E, F, G, H\): \(E\) deasupra lui \(A\), \(F\) deasupra lui \(B\), \(G\) deasupra lui \(C\), \(H\) deasupra lui \(D\).

3. 3

   Desenăm fața de sus și muchiile invizibile

   EFGH

   Unim \(E, F, G, H\) ca să obținem fața de sus, identică cu baza (același paralelogram, mutat în sus). Muchiile care nu s-ar vedea într-un corp opac (de obicei \(AD\), \(DC\) și \(DH\)) se desenează punctat. Așa desenul arată ca un corp în spațiu.

4. 4

   Verificăm notarea

   ABCDEFGH

   Ultimul punct din barem este pentru notare. Verificăm că toate cele 8 vârfuri au litere și că ordinea este bună: \(ABCD\) jos, \(EFGH\) sus, cu \(E\) peste \(A\), \(F\) peste \(B\), \(G\) peste \(C\), \(H\) peste \(D\). Corpul se numește \(ABCDEFGH\).

Răspuns: Desenul: baza \(ABCD\) jos, fața \(EFGH\) sus, cu muchiile \(AE, BF, CG, DH\) paralele, muchiile nevăzute punctate și toate cele 8 vârfuri notate (4p desen + 1p notare).

Calculați media geometrică a numerelor \(x = 8 - 2\cdot 3\) și \(y = 2^3\).

Metoda: Media geometrică a două numere

1. 1

   Calculăm numărul x

   x = 8 - 2\cdot 3 = 8 - 6 = 2

   Respectăm ordinea operațiilor: întâi înmulțirea, apoi scăderea. Deci \(2\cdot 3 = 6\), iar \(8 - 6 = 2\).

2. 2

   Calculăm numărul y

   y = 2^3 = 2\cdot 2\cdot 2 = 8

   Puterea \(2^3\) înseamnă 2 înmulțit cu el însuși de 3 ori. Rezultatul este 8.

3. 3

   Scriem formula mediei geometrice

   m_g = \sqrt{x\cdot y} = \sqrt{2\cdot 8}

   Media geometrică a două numere pozitive se obține extrăgând rădăcina pătrată din produsul lor. Înlocuim \(x = 2\) și \(y = 8\) și obținem \(\sqrt{2\cdot 8}\).

4. 4

   Calculăm rădăcina pătrată

   m_g = \sqrt{16} = 4

   Căutăm numărul pozitiv care înmulțit cu el însuși dă 16. Acesta este 4, pentru că \(4\cdot 4 = 16\). Așadar media geometrică este 4, la fel ca în barem.

Răspuns: Media geometrică a numerelor x și y este \(m_g = 4\).

Într-o clasă cu 30 de elevi, numărul băieților reprezintă \(40\%\) din numărul elevilor clasei. Determinați numărul fetelor din această clasă.

Metoda: Procente dintr-un număr

1. 1

   Aflăm ce procent reprezintă fetele

   100\% - 40\% = 60\%

   Toți elevii clasei reprezintă \(100\%\). Clasa are doar băieți și fete, deci dacă băieții sunt \(40\%\), restul sunt fetele: \(100\%-40\%=60\%\).

2. 2

   Calculăm \(60\%\) din 30

   \frac{60}{100}\cdot 30 = 18

   Un procent dintr-un număr se află transformând procentul în fracție (\(60\%=\frac{60}{100}\)) și înmulțind cu numărul. Aici: \(\frac{60}{100}\cdot 30=\frac{1800}{100}=18\).

3. 3

   Verificăm rezultatul

   12+18=30

   Băieții sunt \(40\%\) din 30, adică \(\frac{40}{100}\cdot 30=12\). Cu cele 18 fete obținem \(12+18=30\), exact numărul elevilor din clasă, deci rezultatul este corect.

Răspuns: În clasă sunt 18 fete.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x-3\). a) Calculați \(f(3)\).

Metoda: Valoarea unei funcții într-un punct

1. 1

   Înlocuim x cu 3 în formula funcției

   f(3)=3-3

   Formula \(f(x)=x-3\) spune ce face funcția cu orice număr x: îl ia și scade 3 din el. Ca să aflăm \(f(3)\), punem numărul 3 peste tot unde apare x în formulă. Obținem \(f(3)=3-3\).

2. 2

   Calculăm rezultatul

   f(3)=3-3=0

   Acum avem o simplă scădere de numere: 3 minus 3 este 0. Deci valoarea funcției în punctul 3 este 0. Asta înseamnă că graficul funcției trece prin punctul \((3,0)\), adică taie axa Ox în 3.

Răspuns: \(f(3)=0\)

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x-3\). b) Reprezentați grafic funcția \(f\) într-un sistem de coordonate \(xOy\).

Metoda: Reprezentarea grafică a funcției liniare

1. 1

   Primul punct al graficului

   f(3)=3-3=0 \Rightarrow A(3,0)

   Alegem o valoare pentru \(x\) și calculăm \(f(x)\). Alegem \(x=3\), pentru că am calculat deja \(f(3)=0\) la subpunctul a). Punctul de pe grafic are coordonatele \((x, f(x))\), deci obținem punctul \(A(3,0)\), aflat pe axa Ox.

2. 2

   Al doilea punct al graficului

   f(0)=0-3=-3 \Rightarrow B(0,-3)

   Pentru a trasa dreapta ne trebuie un al doilea punct, diferit de primul. Alegem \(x=0\), pentru că e ușor de calculat. Obținem \(B(0,-3)\), punctul în care graficul taie axa Oy.

3. 3

   Trasarea graficului

   G_f=\text{dreapta } AB

   Desenăm un sistem de axe \(xOy\) cu unitate de măsură. Marcăm punctele \(A(3,0)\) și \(B(0,-3)\). Graficul unei funcții \(f(x)=ax+b\) este o dreaptă, deci unim punctele cu o linie dreaptă și o prelungim în ambele sensuri, pentru că funcția este definită pe \(\mathbb{R}\). Dreapta trece și prin \((1,-2)\), ceea ce ne confirmă că am calculat corect.

Răspuns: Graficul funcției \(f\) este dreapta care trece prin punctele \(A(3,0)\) și \(B(0,-3)\).

Se consideră \(E(n)=(3n+7)^2-2(3n+7)+1\), unde \(n\) este număr natural. Arătați că \(E(n)\) este pătrat perfect divizibil cu 9, pentru orice număr natural \(n\).

Metoda: Formula pătratului diferenței

1. 1

   Recunoaștem formula pătratului diferenței

   (a-b)^2=a^2-2ab+b^2

   Observăm că \(E(n)\) are forma \(a^2-2ab+b^2\) cu \(a=3n+7\) și \(b=1\): primul termen este \(a^2\), al doilea este \(2\cdot a\cdot 1\), iar ultimul este \(1^2=1\). De aceea putem folosi formula pătratului diferenței.

2. 2

   Scriem expresia ca pătrat

   E(n)=(3n+7-1)^2=(3n+6)^2

   Aplicăm formula: \(E(n)=(a-b)^2=(3n+7-1)^2\). Calculăm \(7-1=6\), deci \(E(n)=(3n+6)^2\). Cum \(3n+6\) este număr natural, \(E(n)\) este pătratul unui număr natural, adică pătrat perfect.

3. 3

   Dovedim divizibilitatea cu 9

   E(n)=(3n+6)^2=\left(3(n+2)\right)^2=9(n+2)^2

   Dăm factor comun 3 în paranteză: \(3n+6=3(n+2)\). Ridicăm la pătrat: \((3(n+2))^2=3^2\cdot(n+2)^2=9(n+2)^2\). Cum \((n+2)^2\) este număr natural, \(E(n)\) este multiplu de 9, deci divizibil cu 9. Este și pătrat perfect, pentru orice \(n\) natural.

Răspuns: \(E(n)=(3n+6)^2=9(n+2)^2\), deci este pătrat perfect divizibil cu 9, pentru orice număr natural \(n\).

Figura 2 este schița unui aranjament floral dintr-un parc. Vârfurile dreptunghiului \(ABCD\) sunt situate pe cercul de centru \(O\) și rază \(OA = 5\) m, iar \(AB = 8\) m. Pe suprafața hașurată (dreptunghiul) sunt plantate flori, iar suprafața nehașurată din interiorul cercului este acoperită cu gazon. a) Arătați că lungimea cercului de centru \(O\) și rază \(OA\) este egală cu \(10\pi\) m.

Metoda: Lungimea cercului

1. 1

   Scriem formula lungimii cercului

   L_{cerc} = 2\pi R

   Lungimea unui cerc de rază \(R\) se calculează cu formula \(L = 2\pi R\). O folosim pentru că ea leagă direct raza cercului de lungimea lui. Aici raza este \(R = OA = 5\) m.

2. 2

   Înlocuim raza și calculăm

   L_{cerc} = 2\pi \cdot 5 = 10\pi \text{ m}

   Înlocuim \(R = 5\) în formulă: \(L = 2\pi \cdot 5\). Înmulțim numerele: \(2 \cdot 5 = 10\), deci \(L = 10\pi\) m. Exact aceasta era egalitatea pe care trebuia să o arătăm.

Răspuns: Lungimea cercului este \(L = 2\pi \cdot 5 = 10\pi\) m, deci egalitatea cerută este demonstrată.

Figura 2 este schița unui aranjament floral dintr-un parc. Vârfurile dreptunghiului \(ABCD\) sunt situate pe cercul de centru \(O\) și rază \(OA = 5\) m, iar \(AB = 8\) m. Pe suprafața hașurată (dreptunghiul) sunt plantate flori, iar suprafața nehașurată din interiorul cercului este acoperită cu gazon. b) Calculați perimetrul dreptunghiului \(ABCD\).

Metoda: Teorema lui Pitagora

1. 1

   Aflăm diagonala AC

   AC = 2 \cdot AO = 2 \cdot 5 = 10 \text{ m}

   Vârfurile dreptunghiului sunt pe cerc, iar triunghiul \(ABC\) are unghiul drept în \(B\). Un unghi drept înscris în cerc cuprinde un diametru, deci \(AC\) este diametru al cercului. Diametrul este dublul razei, deci \(AC = 2 \cdot 5 = 10\) m.

2. 2

   Aflăm latura BC cu teorema lui Pitagora

   BC^2 = AC^2 - AB^2 = 10^2 - 8^2 = 36 \Rightarrow BC = 6 \text{ m}

   În triunghiul \(ABC\), dreptunghic în \(B\), ipotenuza este \(AC = 10\) m, iar o catetă este \(AB = 8\) m. Din teorema lui Pitagora, \(AC^2 = AB^2 + BC^2\), deci \(BC^2 = AC^2 - AB^2 = 100 - 64 = 36\). Cum \(6^2 = 36\), obținem \(BC = 6\) m.

3. 3

   Calculăm perimetrul

   P_{ABCD} = 2(AB + BC) = 2(8 + 6) = 28 \text{ m}

   Dreptunghiul are laturile opuse egale, deci perimetrul este \(2\) înmulțit cu suma a două laturi alăturate: \(2 \cdot (8 + 6) = 2 \cdot 14 = 28\) m.

Răspuns: Perimetrul dreptunghiului \(ABCD\) este \(28\) m.

Figura 2 este schița unui aranjament floral dintr-un parc. Vârfurile dreptunghiului \(ABCD\) sunt situate pe cercul de centru \(O\) și rază \(OA = 5\) m, iar \(AB = 8\) m. Pe suprafața hașurată (dreptunghiul) sunt plantate flori, iar suprafața nehașurată din interiorul cercului este acoperită cu gazon. c) Arătați că suprafața acoperită cu gazon are aria mai mică decât \(30{,}75\ \text{m}^2\). Se consideră cunoscut faptul că \(3{,}14 < \pi < 3{,}15\).

Metoda: Aria discului minus aria dreptunghiului

1. 1

   Aflăm latura BC a dreptunghiului

   AC=2\cdot AO=10,\quad BC^2=AC^2-AB^2=10^2-8^2=36\Rightarrow BC=6

   Unghiul \(B\) al dreptunghiului este drept, iar \(B\) este pe cerc, deci \(AC\) este diametru: \(AC = 2\cdot OA = 10\) m. În triunghiul dreptunghic \(ABC\) aplicăm teorema lui Pitagora: \(BC^2 = AC^2 - AB^2 = 100 - 64 = 36\), deci \(BC = 6\) m. Avem nevoie de \(BC\) ca să calculăm aria dreptunghiului.

2. 2

   Scriem aria gazonului

   \mathcal{A}_{gazon}=\mathcal{A}_{disc}-\mathcal{A}_{ABCD}=\pi\cdot 5^2-8\cdot 6=(25\pi-48)\ \text{m}^2

   Aria discului este \(\pi R^2 = 25\pi\). Aria dreptunghiului este \(AB\cdot BC = 8\cdot 6 = 48\). Gazonul este discul fără dreptunghi, deci scădem cele două arii.

3. 3

   Folosim \(\pi<3{,}15\) și comparăm

   \pi<3{,}15\Rightarrow 25\pi<78{,}75\Rightarrow 25\pi-48<30{,}75

   Dacă \(\pi\) este mai mic decât 3,15, atunci și \(25\pi\) este mai mic decât \(25\cdot 3{,}15 = 78{,}75\). Scăzând 48 din ambele părți, inegalitatea se păstrează: \(25\pi - 48 < 78{,}75 - 48 = 30{,}75\). Deci aria gazonului este mai mică decât \(30{,}75\ \text{m}^2\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: Aria gazonului este \(25\pi-48\) m², iar din \(\pi<3{,}15\) rezultă \(25\pi-48<30{,}75\) m², deci aria este mai mică decât \(30{,}75\ \text{m}^2\).

În Figura 3 este reprezentată o piramidă triunghiulară regulată \(VABC\) cu înălțimea \(VO\), \(BC = 12\) cm și \(VM = 6\) cm, unde punctul \(M\) este mijlocul segmentului \(BC\). a) Arătați că aria triunghiului \(VBC\) este egală cu \(36\ \text{cm}^2\).

Metoda: Aria triunghiului: bază ori înălțime

1. 1

   Stabilim baza și înălțimea triunghiului VBC

   \mathcal{A}_{\Delta VBC}=\frac{BC\cdot VM}{2}

   Piramida este regulată, deci fața laterală \(VBC\) este un triunghi isoscel cu \(VB = VC\). \(M\) fiind mijlocul bazei \(BC\), segmentul \(VM\) este mediană, iar într-un triunghi isoscel mediana la bază este și înălțime. Deci \(VM\) este înălțimea corespunzătoare bazei \(BC\). Atunci aria este baza înmulțită cu înălțimea, împărțită la 2.

2. 2

   Înlocuim datele și calculăm

   \mathcal{A}_{\Delta VBC}=\frac{12\cdot 6}{2}=\frac{72}{2}=36\ \text{cm}^2

   Înlocuim \(BC = 12\) cm și \(VM = 6\) cm. Mai întâi înmulțim \(12\cdot 6 = 72\), apoi împărțim la 2 și obținem 36. Rezultatul este în \(\text{cm}^2\), fiindcă este o arie. Este exact ce trebuia arătat.

Răspuns: Aria triunghiului \(VBC\) este \(36\ \text{cm}^2\).

În Figura 3 este reprezentată o piramidă triunghiulară regulată \(VABC\) cu înălțimea \(VO\), \(BC = 12\) cm și \(VM = 6\) cm, unde punctul \(M\) este mijlocul segmentului \(BC\). b) Calculați volumul piramidei \(VABC\).

Metoda: Volumul piramidei regulate

1. 1

   Aflăm lungimea medianei AM

   AM=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}

   Baza \(ABC\) este triunghi echilateral cu latura 12 cm. Mediana \(AM\) este și înălțime, deci \(AM=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\) cm. Putem verifica și cu Pitagora în triunghiul \(ABM\): \(AM^2=12^2-6^2=108\).

2. 2

   Aflăm OM

   OM=\frac{1}{3}AM=2\sqrt{3}

   Punctul \(O\) este centrul de greutate al triunghiului echilateral \(ABC\) (piramida este regulată, deci \(VO\) cade în centrul bazei). Centrul de greutate se află la o treime de bază pe mediană, deci \(OM=\frac{1}{3}AM=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}\) cm.

3. 3

   Aflăm înălțimea VO

   VO^2=VM^2-OM^2=36-12=24 \Rightarrow VO=2\sqrt{6}

   Piramida e regulată, deci \(VO\perp (ABC)\), iar triunghiul \(VOM\) este dreptunghic în \(O\). Din Pitagora: \(VO^2=VM^2-OM^2=6^2-(2\sqrt{3})^2=36-12=24\). Deci \(VO=\sqrt{24}=2\sqrt{6}\) cm.

4. 4

   Aria bazei

   A_{ABC}=\frac{BC\cdot AM}{2}=\frac{12\cdot 6\sqrt{3}}{2}=36\sqrt{3}

   Aria triunghiului este baza ori înălțimea împărțit la 2. Baza este \(BC=12\), înălțimea \(AM=6\sqrt{3}\), deci aria este \(36\sqrt{3}\) cm².

5. 5

   Calculăm volumul

   V=\frac{A_{ABC}\cdot VO}{3}=\frac{36\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{6}}{3}=72\sqrt{2}

   Înlocuim în formula volumului: \(\frac{36\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{6}}{3}=\frac{72\sqrt{18}}{3}\). Cum \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), obținem \(\frac{72\cdot 3\sqrt{2}}{3}=72\sqrt{2}\) cm³.

Răspuns: \(V = 72\sqrt{2}\ \text{cm}^3\)

În Figura 3 este reprezentată o piramidă triunghiulară regulată \(VABC\) cu înălțimea \(VO\), \(BC = 12\) cm și \(VM = 6\) cm, unde punctul \(M\) este mijlocul segmentului \(BC\). c) Demonstrați că dreptele \(VA\) și \(VM\) sunt perpendiculare.

Metoda: Perpendicularitate dreaptă-plan

1. 1

   Triunghiul VBC este dreptunghic în V

   VM=\frac{BC}{2}=\frac{12}{2}=6

   Punctul \(M\) este mijlocul lui \(BC\), deci \(VM\) este mediană în triunghiul \(VBC\). Avem \(BC=12\), deci \(BC/2=6\), iar \(VM=6\) cm. Mediana este egală cu jumătate din latura pe care cade, deci, conform reciprocei teoremei medianei corespunzătoare ipotenuzei, triunghiul \(VBC\) este dreptunghic în \(V\). Rezultă \(VB \perp VC\).

2. 2

   VA este perpendiculară pe VB și pe VC

   VA\perp VB,\quad VA\perp VC

   Piramida \(VABC\) este regulată, deci muchiile laterale \(VA, VB, VC\) sunt egale, iar fețele laterale sunt triunghiuri isoscele congruente. Triunghiul \(VBC\) are unghi drept în \(V\), deci și triunghiurile congruente \(VAB\) și \(VAC\) au unghi drept în \(V\). Rezultă \(VA \perp VB\) și \(VA \perp VC\).

3. 3

   VA este perpendiculară pe planul (VBC)

   VA\perp VB,\ VA\perp VC,\ VB\cap VC=\{V\}\Rightarrow VA\perp(VBC)

   O dreaptă perpendiculară pe două drepte concurente dintr-un plan este perpendiculară pe plan. Dreptele \(VB\) și \(VC\) sunt concurente în \(V\) și sunt în planul \(VBC\), deci \(VA \perp (VBC)\).

4. 4

   Concluzia: VA ⊥ VM

   VM\subset(VBC),\ VA\perp(VBC)\Rightarrow VA\perp VM

   Dreapta \(VM\) se află în planul \(VBC\), iar \(VA\) este perpendiculară pe acest plan. O dreaptă perpendiculară pe un plan este perpendiculară pe orice dreaptă din plan. Deci \(VA \perp VM\), ceea ce trebuia demonstrat.

Răspuns: Triunghiul \(VBC\) este dreptunghic în \(V\), \(VA \perp (VBC)\) și \(VM \subset (VBC)\), deci \(VA \perp VM\).