Rezolvare pas cu pas: Matematică – Evaluarea Națională 2015, sesiunea iunie–iulie (varianta 07)

Rezultatul calculului \(10\cdot 2-20\) este egal cu … .

Metoda: Ordinea efectuării operațiilor

1. 1

   Efectuăm înmulțirea

   10\cdot 2=20

   În exercițiu sunt două operații: înmulțirea și scăderea. Conform ordinii efectuării operațiilor, înmulțirea se face prima, deci calculăm \(10\cdot 2=20\). Dacă am scădea întâi, rezultatul ar ieși greșit.

2. 2

   Efectuăm scăderea

   20-20=0

   După înmulțire, expresia devine \(20-20\). Când scădem două numere egale, rezultatul este 0.

3. 3

   Verificare și rezultat

   10\cdot 2-20=20-20=0

   Punem pașii cap la cap: \(10\cdot 2-20=20-20=0\). Rezultatul coincide cu cel din barem.

Dacă \(\frac{a}{4}=\frac{3}{2}\), atunci \(a\) este egal cu ... .

Metoda: Proprietatea fundamentală a proporțiilor

1. 1

   Recunoaștem proporția

   \frac{a}{4}=\frac{3}{2}

   Egalitatea dintre două rapoarte se numește proporție. Aici \(a\) este un termen necunoscut, iar ceilalți trei termeni sunt cunoscuți: 4, 3 și 2. Pentru asemenea egalități există o regulă sigură: înmulțirea pe diagonală.

2. 2

   Aplicăm proprietatea fundamentală a proporțiilor

   a\cdot 2=4\cdot 3

   Într-o proporție, produsul extremilor este egal cu produsul mezilor. Extremii sunt \(a\) și 2, iar mezii sunt 4 și 3. Așa scăpăm de fracții și obținem o egalitate simplă.

3. 3

   Aflăm pe a

   a=\frac{12}{2}=6

   Din \(a\cdot 2=12\) aflăm \(a\) împărțind produsul la factorul cunoscut: \(a=12:2\). Obținem \(a=6\).

4. 4

   Verificăm rezultatul

   \frac{6}{4}=\frac{3}{2}

   Înlocuim \(a\) cu 6 și vedem dacă fracțiile sunt egale. Simplificând \(\frac{6}{4}\) prin 2 obținem \(\frac{3}{2}\), deci egalitatea e adevărată.

Răspuns: \(a=6\)

Cel mai mare număr natural care aparține intervalului \([1,5]\) este egal cu … .

Metoda: Intervale de numere reale

1. 1

   Ce înseamnă intervalul [1, 5]

   [1,5]=\{x\in\mathbb{R}\mid 1\le x\le 5\}

   Parantezele pătrate arată că și capetele intervalului fac parte din el. Deci în \([1,5]\) intră toate numerele reale cuprinse între 1 și 5, inclusiv 1 și 5. Contează asta, pentru că ne va spune dacă 5 este sau nu în interval.

2. 2

   Numerele naturale din interval

   [1,5]\cap\mathbb{N}=\{1,2,3,4,5\}

   Numerele naturale sunt 0, 1, 2, 3, ... Dintre ele, cele care sunt cuprinse între 1 și 5 (inclusiv) sunt 1, 2, 3, 4 și 5. Numărul 0 este prea mic, iar 6 este prea mare.

3. 3

   Cel mai mare dintre ele

   \max\{1,2,3,4,5\}=5

   Din mulțimea \(\{1,2,3,4,5\}\) cel mai mare număr este 5. Nu putem lua un număr mai mare, pentru că ar ieși din interval, iar 5 este chiar capătul de sus, care aparține intervalului. Răspunsul este deci 5.

Răspuns: 5

Pătratul \(ABCD\) are latura de \(6\) cm. Perimetrul pătratului \(ABCD\) este egal cu … cm.

Metoda: Perimetrul pătratului

1. 1

   Ce înseamnă perimetrul și ce știm despre pătrat

   P = AB + BC + CD + DA

   Perimetrul unei figuri este suma lungimilor laturilor ei. Pătratul are patru laturi și toate sunt egale, deci fiecare are \(6\) cm.

2. 2

   Adunăm lungimile celor patru laturi

   P = 6 + 6 + 6 + 6 = 24

   Cum toate laturile au \(6\) cm, adunăm de patru ori numărul \(6\). Același lucru se poate scrie ca înmulțire: \(P = 4 \cdot 6\), pentru că adunarea repetată este o înmulțire.

3. 3

   Răspunsul și verificarea

   P_{ABCD} = 24 \text{ cm}

   Perimetrul pătratului \(ABCD\) este \(24\) cm. Verificăm: \(24 : 4 = 6\), adică exact lungimea unei laturi, deci rezultatul e corect.

Răspuns: 24

În Figura 1 este reprezentat un cub \(ABCDEFGH\). Măsura unghiului determinat de dreptele \(AB\) și \(BF\) este egală cu …°. (În figură: baza este \(ABCD\), fața de sus este \(EFGH\), iar \(BF\) este muchia laterală care pornește din \(B\).)

Metoda: Unghiul dintre două drepte în cub

1. 1

   Găsim fața cubului care conține ambele drepte

   A,B,F \in \text{fața } ABFE

   Dreapta \(AB\) este o muchie a bazei, iar \(BF\) este o muchie laterală. Ambele sunt muchii ale aceleiași fețe, anume \(ABFE\). Așa putem lucra într-o figură plană simplă, nu în spațiu.

2. 2

   Aflăm unghiul dintre muchii în pătratul ABFE

   \angle ABF = 90^\circ

   Într-un pătrat toate unghiurile sunt drepte. Unghiul \(ABF\) este unghi al pătratului \(ABFE\), deci are \(90^\circ\). Dreptele \(AB\) și \(BF\) se taie în \(B\) și formează acest unghi, deci sunt perpendiculare.

3. 3

   Concluzia

   m(\angle(AB,BF)) = 90^\circ

   Unghiul determinat de dreptele \(AB\) și \(BF\) este unghiul lor din punctul de intersecție \(B\), adică \(90^\circ\). Așadar \(AB \perp BF\).

Răspuns: 90

În diagrama de mai jos este prezentată repartiția elevilor unei clase a VIII-a, în funcție de notele obținute la teza de matematică pe semestrul al II-lea. Numărul elevilor care au obținut nota 10 este egal cu … . (Datele din figură: diagramă cu bare; pe axa orizontală sunt notele de la 1 la 10, pe axa verticală numărul de elevi, de la 0 la 8. Bara de la nota 10 ajunge la înălțimea 3.)

Metoda: Citirea unei diagrame cu bare

1. 1

   Înțelegem ce arată diagrama

   Pe axa orizontală (cea de jos) sunt scrise notele, de la 1 la 10. Pe axa verticală (cea din stânga) este scris numărul de elevi. Înălțimea fiecărei bare ne spune câți elevi au obținut nota de sub ea. Trebuie să știm asta înainte de a citi, ca să nu confundăm nota cu numărul de elevi.

2. 2

   Găsim bara pentru nota 10

   Căutăm pe axa orizontală nota 10, adică ultima valoare din dreapta. Deasupra ei se află ultima bară a diagramei. Citim înălțimea acestei bare ducând privirea spre axa verticală: bara ajunge la linia cu numărul 3.

3. 3

   Formulăm răspunsul

   3

   Bara de la nota 10 are înălțimea 3, deci 3 elevi au obținut nota 10. Același rezultat este dat și în barem.

Răspuns: 3 elevi au obținut nota 10.

Desenați, pe foaia de examen, un paralelipiped dreptunghic \(ABCDA'B'C'D'\).

Metoda: Desenul paralelipipedului dreptunghic

1. 1

   Desenăm baza de jos ABCD

   Baza paralelipipedului este un dreptunghi, dar în desenul în perspectivă ea apare ca un paralelogram. Desenăm un dreptunghi ABCD în față, cu A jos-stânga și B jos-dreapta. Alegem o față din față (dreptunghi) și o baza în spate, deplasată în sus și spre dreapta. Mai simplu: desenăm mai întâi fața din față ABB'A', un dreptunghi cu A și B jos, A' și B' sus. Apoi trasăm laturile fugitive (oblice, paralele între ele) din A, B, A', B' spre stânga-sus sau dreapta-sus.

2. 2

   Desenăm al doilea dreptunghi, din spate

   Copiem dreptunghiul din față, deplasat în sus și spre dreapta, cu aceeași formă și mărime. Acesta este dreptunghiul din spate. Muchiile de legătură dintre cele două dreptunghiuri trebuie să fie paralele între ele și egale, pentru că paralelipipedul are muchiile laterale paralele și egale.

3. 3

   Trasăm muchiile nevăzute cu linie întreruptă

   Într-un corp opac, trei muchii nu se văd din fața noastră: cele care pornesc din vârful ascuns din spate-jos-stânga. Le desenăm cu linie întreruptă (punctată), ca desenul să se citească drept corp 3D. Acest detaliu face parte din cele 4 puncte pentru desen.

4. 4

   Notăm vârfurile: ABCDA'B'C'D'

   ABCDA'B'C'D'

   Notăm baza de jos cu A, B, C, D, în ordine, apoi baza de sus cu A', B', C', D', astfel încât A' să fie deasupra lui A, B' deasupra lui B etc. Pentru acest ultim detaliu se acordă 1 punct în barem. Respectăm exact notația din enunț.

Răspuns: Desenul unui paralelipiped dreptunghic cu vârfurile notate ABCDA'B'C'D' (4p pentru desen + 1p pentru notare).

Calculați media aritmetică a numerelor de două cifre, multipli ai lui 40.

Metoda: Media aritmetică a două numere

1. 1

   Aflăm multiplii lui 40 de două cifre

   40\cdot 0=0,\ 40\cdot 1=40,\ 40\cdot 2=80,\ 40\cdot 3=120

   Multiplii lui 40 se obțin înmulțind 40 cu 0, 1, 2, 3 etc. Numărul 0 are o singură cifră, 40 și 80 au două cifre, iar 120 are trei cifre și este prea mare. Deci numerele cerute sunt \(40\) și \(80\).

2. 2

   Calculăm media aritmetică

   m_a=\frac{40+80}{2}=\frac{120}{2}=60

   Media aritmetică a două numere este suma lor împărțită la 2, deoarece avem două numere. Suma este \(40+80=120\), iar \(120:2=60\).

Răspuns: Media aritmetică este 60.

Mihai a cheltuit o sumă de bani în două zile. În prima zi Mihai a cheltuit \(30\%\) din sumă, iar în a doua zi restul de 35 de lei. Calculați suma de bani cheltuită de Mihai în prima zi.

Metoda: Ecuație din procente

1. 1

   Alegem necunoscuta și scriem suma totală

   x + 35

   Notăm cu \(x\) suma cheltuită în prima zi. În a doua zi a cheltuit 35 de lei. Deci în cele două zile a cheltuit \(x+35\) lei. Facem asta pentru că putem exprima suma totală cu ajutorul necunoscutei.

2. 2

   Scriem ecuația din procent

   \frac{30}{100}\cdot (x+35)=x

   Suma din prima zi, \(x\), este \(30\%\) din suma totală \(x+35\). \(30\%\) înseamnă \(\frac{30}{100}\). De aceea egalăm \(\frac{30}{100}\cdot(x+35)\) cu \(x\).

3. 3

   Rezolvăm ecuația

   30(x+35)=100x \Rightarrow 30x+1050=100x \Rightarrow 70x=1050 \Rightarrow x=15

   Înmulțim ecuația cu 100 ca să scăpăm de numitor: \(30(x+35)=100x\). Desfacem paranteza: \(30x+1050=100x\). Trecem \(30x\) în dreapta: \(1050=70x\). Împărțim la 70 și obținem \(x=15\).

4. 4

   Verificăm rezultatul

   \frac{30}{100}\cdot 50=15

   Dacă în prima zi a cheltuit 15 lei, suma totală este \(15+35=50\) lei. \(30\%\) din 50 este 15, ceea ce coincide cu prima zi. Deci rezultatul este corect.

Răspuns: Mihai a cheltuit 15 lei în prima zi.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x+2\). a) Calculați \(f(-2)\).

Metoda: Valoarea unei funcții într-un punct

1. 1

   Înlocuim x cu -2

   f(-2)=-2+2

   Formula \(f(x)=x+2\) ne spune ce facem cu orice număr x: îi adăugăm 2. Pentru \(f(-2)\) punem numărul -2 în locul lui x, peste tot unde apare x. Așa obținem \(f(-2)=-2+2\).

2. 2

   Calculăm rezultatul

   f(-2)=-2+2=0

   Adunăm -2 cu 2. Sunt numere opuse, deci suma lor este 0. Așadar \(f(-2)=0\), exact ca în barem.

Răspuns: \(f(-2)=0\)

Subiectul II, item 4. b): Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x+2\). Reprezentați grafic funcția \(f\) într-un sistem de coordonate \(xOy\).

Metoda: Graficul funcției liniare prin două puncte

1. 1

   Alegem și calculăm primul punct al graficului

   f(-2)=-2+2=0 \Rightarrow A(-2,0)

   Un punct de pe grafic are forma \((x, f(x))\). Alegem o valoare pentru x și calculăm f(x). Din punctul a) știm deja că \(f(-2)=0\), deci punctul \(A(-2,0)\) aparține graficului. Acest punct se află pe axa Ox.

2. 2

   Alegem și calculăm al doilea punct

   f(0)=0+2=2 \Rightarrow B(0,2)

   Avem nevoie de un al doilea punct, diferit de primul. Alegem \(x=0\), care dă un calcul ușor, iar punctul \(B(0,2)\) se află pe axa Oy. Prin două puncte distincte trece o singură dreaptă, deci acestea ne ajung.

3. 3

   Reprezentăm punctele și trasăm dreapta

   A(-2,0),\ B(0,2) \Rightarrow G_f=\text{dreapta }AB

   Desenăm un sistem de axe xOy cu unități egale pe ambele axe. Marcăm punctul A(-2,0) pe axa Ox, la două unități la stânga lui O. Marcăm B(0,2) pe axa Oy, la două unități deasupra lui O. Unim A cu B cu rigla și prelungim dreapta în ambele sensuri, deoarece funcția este definită pe toți numerele reale. Dreapta trece și prin (1,3).

Răspuns: Graficul funcției \(f(x)=x+2\) este dreapta care trece prin punctele \(A(-2,0)\) și \(B(0,2)\) (și prin \((1,3)\)).

Se consideră expresia \(E(x)=\dfrac{x^2-49}{x^2-7x}-\dfrac{2x+7}{x^2+x}:\dfrac{1}{x+1}\), unde \(x\) este număr real, \(x\neq -1\), \(x\neq 0\) și \(x\neq 7\). Arătați că \(E(x)=-1\), pentru orice \(x\) număr real, \(x\neq -1\), \(x\neq 0\) și \(x\neq 7\).

Metoda: Descompunere în factori și fracții algebrice

1. 1

   Descompunem în factori

   x^2-49=(x-7)(x+7),\quad x^2-7x=x(x-7),\quad x^2+x=x(x+1)

   Descompunem cu formula \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) și cu factor comun. Facem asta ca să putem simplifica fracțiile în pașii următori.

2. 2

   Transformăm împărțirea în înmulțire

   E(x)=\frac{(x-7)(x+7)}{x(x-7)}-\frac{2x+7}{x(x+1)}\cdot\frac{x+1}{1}

   A împărți la \(\frac{1}{x+1}\) înseamnă a înmulți cu inversul său, \(\frac{x+1}{1}\). Înlocuim și numitorii descompuși.

3. 3

   Simplificăm fracțiile

   E(x)=\frac{x+7}{x}-\frac{2x+7}{x}

   În prima fracție simplificăm cu \(x-7\) (diferit de 0 pentru \(x\neq 7\)). În a doua simplificăm cu \(x+1\) (diferit de 0 pentru \(x\neq -1\)). Rămân două fracții cu același numitor \(x\).

4. 4

   Scădem fracțiile și obținem rezultatul

   E(x)=\frac{x+7-(2x+7)}{x}=\frac{-x}{x}=-1

   Fracțiile au același numitor, deci scădem numărătorii. Atenție la paranteză: \(x+7-2x-7=-x\). Apoi simplificăm cu \(x\neq 0\) și obținem -1, pentru orice \(x\) permis.

Răspuns: E(x) = -1, pentru orice x real, x ≠ -1, x ≠ 0, x ≠ 7.

Figura 2 este schița unui teren în formă de dreptunghi \(ABCD\) cu \(AB = 150\) m și \(AD = 100\) m. Punctul \(M\) este mijlocul laturii \(AD\), iar punctul \(N\) este situat pe latura \(DC\) astfel încât \(DN = 2NC\). a) Arătați că aria terenului \(ABCD\) este egală cu \(1{,}5\) ha.

Metoda: Aria dreptunghiului și transformarea unităților

1. 1

   Calculăm aria dreptunghiului în metri pătrați

   \mathcal{A}_{ABCD} = AB \cdot AD = 150 \cdot 100 = 15000\ \text{m}^2

   Aria unui dreptunghi se obține înmulțind lungimea cu lățimea. Aici \(AB = 150\) m este lungimea, iar \(AD = 100\) m este lățimea. Deoarece măsurile sunt în metri, aria rezultă în metri pătrați.

2. 2

   Transformăm metri pătrați în hectare

   1\ \text{ha} = 10000\ \text{m}^2 \Rightarrow 15000\ \text{m}^2 = \frac{15000}{10000}\ \text{ha} = 1{,}5\ \text{ha}

   Un hectar are \(10000\) m². Ca să trecem din m² în hectare (unitate mai mare), împărțim la \(10000\). Obținem \(1{,}5\) ha, exact ce trebuia arătat.

Răspuns: Aria terenului este \(15000\) m² \(= 1{,}5\) ha.

Figura 2 este schița unui teren în formă de dreptunghi \(ABCD\) cu \(AB=150\) m și \(AD=100\) m. Punctul \(M\) este mijlocul laturii \(AD\), iar punctul \(N\) este situat pe latura \(DC\) astfel încât \(DN=2NC\). Itemul 1. b): Demonstrați că triunghiul \(MNB\) este isoscel.

Metoda: Congruența triunghiurilor dreptunghice

1. 1

   Calculăm lungimile segmentelor \(DM\), \(DN\) și \(CN\)

   DM=\frac{100}{2}=50,\quad DN+NC=150,\ DN=2NC\Rightarrow 3NC=150

   \(M\) este mijlocul lui \(AD\), deci \(DM=AD:2=50\) m. Latura \(DC=AB=150\) m (laturi opuse în dreptunghi). Cum \(DN=2NC\), segmentul \(DC\) are 3 părți egale: \(NC=150:3=50\) m și \(DN=2\cdot 50=100\) m. Avem nevoie de aceste lungimi ca să comparăm triunghiurile.

2. 2

   Comparăm triunghiurile \(MDN\) și \(NCB\)

   DM=CN=50,\quad DN=CB=100,\quad \angle D=\angle C=90^\circ

   Triunghiurile \(MDN\) și \(NCB\) sunt dreptunghice, în \(D\) și în \(C\), pentru că \(ABCD\) este dreptunghi. Catetele lor sunt egale: \(DM=CN=50\) m și \(DN=CB=100\) m (\(CB=AD=100\) m, laturi opuse). Deci \(\Delta MND\equiv\Delta NBC\) după criteriul catetă–catetă (CC).

3. 3

   Concluzia: \(MN=NB\)

   \Delta MND\equiv\Delta NBC\Rightarrow MN=NB

   În triunghiuri congruente, laturile care se opun unghiurilor egale sunt egale. Aici \(MN\) și \(NB\) sunt ipotenuzele celor două triunghiuri, deci \(MN=NB\). Triunghiul \(MNB\) are două laturi egale, deci este isoscel, cu baza \(MB\).

Răspuns: Din \(\Delta MND\equiv\Delta NBC\) (CC) rezultă \(MN=NB\), deci triunghiul \(MNB\) este isoscel.

Figura 2 este schița unui teren în formă de dreptunghi \(ABCD\) cu \(AB=150\) m și \(AD=100\) m. Punctul \(M\) este mijlocul laturii \(AD\), iar punctul \(N\) este situat pe latura \(DC\) astfel încât \(DN=2NC\). Itemul 1. c): Calculați măsura unghiului format de dreptele \(MN\) și \(NB\).

Metoda: Congruența triunghiurilor dreptunghice

1. 1

   Aflăm lungimile necesare

   DM=50,\ DN=100,\ CN=50

   \(M\) este mijlocul lui \(AD\), deci \(DM=100:2=50\) m. Latura \(DC=150\) m, iar \(DN=2NC\) înseamnă că \(DC\) are 3 părți egale: \(NC=150:3=50\) m și \(DN=100\) m. Avem nevoie de aceste lungimi ca să comparăm triunghiurile \(MND\) și \(NCB\).

2. 2

   Triunghiurile \(MND\) și \(NBC\) sunt congruente

   \triangle MND\equiv\triangle NBC\ (CC)

   Ambele triunghiuri sunt dreptunghice (în \(D\) și în \(C\), unghiurile dreptunghiului sunt de 90°). Au catetele \(DM=CN=50\) m și \(DN=CB=100\) m. Conform cazului catetă-catetă (CC), triunghiurile sunt congruente. Deci unghiurile corespunzătoare sunt egale: \(\angle DMN\equiv\angle CNB\).

3. 3

   Suma unghiurilor ascuțite din triunghiul dreptunghic

   m(\angle MND)+m(\angle DMN)=90^\circ \Rightarrow m(\angle MND)+m(\angle CNB)=90^\circ

   În triunghiul dreptunghic \(MND\) suma unghiurilor este 180°, iar unghiul din \(D\) are 90°, deci celelalte două unghiuri însumează 90°. Cum \(\angle DMN\equiv\angle CNB\), înlocuim și obținem că \(\angle MND\) și \(\angle CNB\) însumează tot 90°.

4. 4

   Calculăm unghiul \(MNB\)

   m(\angle MNB)=180^\circ-\big(m(\angle MND)+m(\angle CNB)\big)=180^\circ-90^\circ=90^\circ

   Punctele \(D, N, C\) sunt coliniare, deci în \(N\) avem un unghi alungit de 180°, format din \(\angle MND\), \(\angle MNB\) și \(\angle CNB\). Scădem din 180° suma \(\angle MND+\angle CNB=90^\circ\) și rămâne \(\angle MNB=90^\circ\).

Răspuns: Unghiul format de dreptele \(MN\) și \(NB\) are \(90^\circ\).

În Figura 3 este reprezentată o piramidă patrulateră regulată \(VABCD\) cu \(VA = 3\sqrt{5}\) dm și \(AB = 6\) dm. Punctul \(M\) este mijlocul laturii \(AD\). a) Arătați că \(VM = 6\) dm. (Figura arată piramida cu vârful \(V\), baza pătrat \(ABCD\) și segmentul \(VM\) de la vârf la mijlocul laturii \(AD\).)

Metoda: Teorema lui Pitagora

1. 1

   Aflăm lungimea lui AM

   AM=\frac{AD}{2}=\frac{6}{2}=3\text{ dm}

   Baza \(ABCD\) este pătrat, deci \(AD = AB = 6\) dm. Punctul \(M\) este mijlocul lui \(AD\), deci îl împarte în două segmente egale. De aceea \(AM\) este jumătate din \(AD\).

2. 2

   Observăm triunghiul dreptunghic VMA

   VM\perp AD\ \Rightarrow\ \triangle VMA \text{ dreptunghic în } M

   Piramida este regulată, deci \(VA = VD\) și triunghiul \(VAD\) este isoscel cu baza \(AD\). Într-un triunghi isoscel, mediana corespunzătoare bazei este și înălțime. Cum \(M\) este mijlocul lui \(AD\), avem \(VM \perp AD\). Deci triunghiul \(VMA\) are unghi drept în \(M\), iar \(VA\) este ipotenuza.

3. 3

   Aplicăm teorema lui Pitagora

   VM^2=VA^2-AM^2=(3\sqrt{5})^2-3^2=45-9=36

   În triunghiul dreptunghic \(VMA\) avem \(VA^2 = VM^2 + AM^2\). De aici \(VM^2 = VA^2 - AM^2\). Calculăm \((3\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45\) și \(3^2 = 9\), deci \(VM^2 = 36\).

4. 4

   Aflăm VM și verificăm

   VM=\sqrt{36}=6\text{ dm}

   Lungimea este pozitivă, deci \(VM\) este rădăcina pătrată a lui 36, adică 6 dm. Verificare: \(6^2 + 3^2 = 36 + 9 = 45 = (3\sqrt{5})^2\), deci Pitagora se verifică.

Răspuns: Am arătat că \(VM = 6\) dm.

În Figura 3 este reprezentată o piramidă patrulateră regulată \(VABCD\) cu \(VA = 3\sqrt{5}\) dm și \(AB = 6\) dm. Punctul \(M\) este mijlocul laturii \(AD\). b) Calculați câte grame de vopsea sunt necesare pentru vopsirea suprafeței laterale a piramidei, știind că pentru vopsirea unei suprafețe de un decimetru pătrat se folosesc 30 de grame de vopsea.

Metoda: Aria laterală a piramidei regulate

1. 1

   Ce avem de calculat și ce știm

   VM = 6 \text{ dm}, \quad AB = 6 \text{ dm}

   Suprafața laterală a piramidei patrulatere regulate este formată din 4 triunghiuri isoscele egale (\(VAD, VAB, VBC, VCD\)). Înălțimea fiecărui triunghi dusă din \(V\) este apotema piramidei. Cum \(M\) este mijlocul lui \(AD\), în triunghiul isoscel \(VAD\) segmentul \(VM\) este și înălțime, deci \(VM = 6\) dm este apotema (rezultatul de la punctul a)). Baza este pătratul \(ABCD\) cu latura de \(6\) dm.

2. 2

   Calculăm perimetrul bazei

   P_{ABCD} = 4 \cdot AB = 4 \cdot 6 = 24 \text{ dm}

   Formula ariei laterale a unei piramide regulate folosește perimetrul bazei. Baza este un pătrat cu latura de \(6\) dm, deci perimetrul este de 4 ori latura.

3. 3

   Calculăm aria laterală

   \mathcal{A}_{lat} = \frac{P_{ABCD} \cdot VM}{2} = \frac{24 \cdot 6}{2} = 72 \text{ dm}^2

   Aria laterală este suma ariilor celor 4 triunghiuri, fiecare cu aria \(\frac{6 \cdot 6}{2} = 18\) dm². Adunate, dau \(4 \cdot 18 = 72\) dm², ceea ce coincide cu formula \(\frac{P \cdot a_p}{2}\), unde \(a_p\) este apotema.

4. 4

   Aflăm cantitatea de vopsea

   72 \cdot 30 = 2160 \text{ g}

   Pentru fiecare dm² se folosesc 30 g de vopsea. Avem 72 dm², deci înmulțim 72 cu 30.

Răspuns: Sunt necesare 2160 g de vopsea.

În Figura 3 este reprezentată o piramidă patrulateră regulată \(VABCD\) cu \(VA = 3\sqrt{5}\) dm și \(AB = 6\) dm. Punctul \(M\) este mijlocul laturii \(AD\). c) Demonstrați că sinusul unghiului dintre planele \((VAD)\) și \((VBC)\) este egal cu \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Metoda: Unghiul dintre două plane

1. 1

   Găsim dreapta comună a celor două plane

   AD \parallel BC \Rightarrow (VAD)\cap(VBC)=d,\ d\parallel AD

   \(ABCD\) este pătrat, deci \(AD \parallel BC\). Dreapta \(AD\) este în planul \((VAD)\), iar \(BC\) în planul \((VBC)\). Planele au punctul comun \(V\), deci se intersectează după o dreaptă \(d\) prin \(V\). Dacă două drepte paralele sunt în două plane diferite, dreapta de intersecție a planelor este paralelă cu ele. Deci \(d \parallel AD \parallel BC\). Ne trebuie această dreaptă ca să măsurăm unghiul dintre plane, care se măsoară cu perpendiculare pe ea.

2. 2

   Ducem perpendicularele pe dreapta comună

   VM\perp AD,\quad VN\perp BC

   Fie \(N\) mijlocul lui \(BC\). Triunghiul \(VAD\) este isoscel (\(VA=VD\)), deci mediana \(VM\) este și înălțime: \(VM \perp AD\). La fel, \(VN \perp BC\). Cum \(d \parallel AD\) și \(d \parallel BC\), avem \(VM \perp d\) și \(VN \perp d\). Atunci unghiul dintre planele \((VAD)\) și \((VBC)\) este egal cu unghiul dintre \(VM\) și \(VN\), adică \(\angle MVN\).

3. 3

   Arătăm că triunghiul VMN este echilateral

   VM=VN=6,\quad MN=AB=6

   Din punctul a), \(VM=6\) dm. Fețele \(VAD\) și \(VBC\) sunt congruente, deci și \(VN=6\) dm. \(M\) și \(N\) sunt mijloacele laturilor opuse \(AD\) și \(BC\) ale pătratului, deci \(MN=AB=6\) dm. Toate cele trei laturi au 6 dm, deci triunghiul \(VMN\) este echilateral, iar \(\angle MVN=60^\circ\).

4. 4

   Calculăm sinusul

   \sin\angle MVN=\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}

   Unghiul dintre planele \((VAD)\) și \((VBC)\) are \(60^\circ\), deci sinusul lui este \(\sin 60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\), exact ce trebuia demonstrat.

Răspuns: Unghiul dintre planele \((VAD)\) și \((VBC)\) este \(\angle MVN=60^\circ\), deci sinusul său este \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).