Rezolvare pas cu pas: Matematică – Evaluarea Națională 2016, sesiunea iunie–iulie (rezervă) (varianta 03)

Rezultatul calculului \(10-10:10\) este egal cu … .

Metoda: Ordinea efectuării operațiilor

1. 1

   Stabilim ordinea operațiilor

   10-10:10

   Într-un calcul fără paranteze, împărțirea și înmulțirea se fac înaintea adunării și scăderii. De aceea împărțirea \(10:10\) se face prima, nu scăderea \(10-10\). Dacă am scădea întâi, am obține un rezultat greșit.

2. 2

   Efectuăm împărțirea

   10:10=1

   Orice număr nenul împărțit la el însuși dă 1. Deci \(10:10=1\). Calculul devine \(10-1\).

3. 3

   Efectuăm scăderea

   10-1=9

   După ce am rezolvat împărțirea, rămâne doar scăderea \(10-1\), care este 9. Acesta este rezultatul calculului.

Răspuns: 9

Știind că \(\frac{a}{3}=\frac{4}{b}\), numărul \(a\cdot b-12\) este egal cu … .

Metoda: Proprietatea fundamentală a proporțiilor

1. 1

   Aplicăm proprietatea fundamentală a proporțiilor

   \frac{a}{3}=\frac{4}{b}\Rightarrow a\cdot b=3\cdot 4

   Într-o proporție \(\frac{x}{y}=\frac{z}{t}\) avem \(x\cdot t=y\cdot z\), adică produsul extremilor este egal cu produsul mezilor. Aici extremii sunt \(a\) și \(b\), iar mezii sunt \(3\) și \(4\). Astfel scăpăm de fracții și aflăm direct produsul \(a\cdot b\), exact ce apare în expresia cerută.

2. 2

   Calculăm expresia cerută

   a\cdot b-12=12-12=0

   Am aflat că \(a\cdot b=12\). Înlocuim acest produs în expresia \(a\cdot b-12\) și efectuăm scăderea. Nu avem nevoie să aflăm separat pe \(a\) și pe \(b\), pentru că expresia conține doar produsul lor.

Suma numerelor întregi din intervalul \([-1,2)\) este egală cu … .

Metoda: Intervale și numere întregi

1. 1

   Citim intervalul

   [-1,2)

   Paranteza pătrată din stânga, \([\), înseamnă că numărul \(-1\) face parte din interval. Paranteza rotundă din dreapta, \()\), înseamnă că numărul \(2\) NU face parte din interval. Deci intervalul conține toate numerele reale de la \(-1\) până la \(2\), inclusiv \(-1\), dar fără \(2\).

2. 2

   Scriem numerele întregi din interval

   \{-1,\,0,\,1\}

   Numerele întregi care sunt mai mari sau egale cu \(-1\) și mai mici decât \(2\) sunt \(-1\), \(0\) și \(1\). Numărul \(2\) este exclus, iar \(-2\) este prea mic.

3. 3

   Calculăm suma

   (-1)+0+1=0

   Adunăm cele trei numere. Numerele \(-1\) și \(1\) sunt opuse, deci suma lor este \(0\), iar adunând și pe \(0\) rămâne tot \(0\).

Suma lungimilor bazelor trapezului \(ABCD\) este egală cu \(20\text{ cm}\). Linia mijlocie a acestui trapez are lungimea de … cm.

Metoda: Linia mijlocie în trapez

1. 1

   Reținem formula liniei mijlocii

   l = \frac{B+b}{2}

   Linia mijlocie a unui trapez unește mijloacele laturilor neparalele. Ea este paralelă cu bazele, iar lungimea ei este egală cu jumătate din suma lungimilor bazelor, adică media lor aritmetică. Notăm \(B\) baza mare și \(b\) baza mică.

2. 2

   Înlocuim suma bazelor

   l = \frac{20}{2}

   Enunțul ne dă direct suma bazelor: \(B+b=20\text{ cm}\). Nu trebuie să cunoaștem bazele separat, deoarece în formulă apare doar suma lor. O înlocuim la numărător.

3. 3

   Calculăm și verificăm

   l = 20 : 2 = 10\text{ cm}

   Împărțim \(20\) la \(2\) și obținem \(10\). Verificăm: dacă linia mijlocie este \(10\text{ cm}\), dublul ei este \(20\text{ cm}\), adică exact suma bazelor, deci rezultatul este corect.

Răspuns: 10

În Figura 1 este reprezentat un con circular drept, cu înălțimea \(VO = 8\) cm și raza bazei \(AO = 6\) cm. Generatoarea \(VA\) a acestui con are lungimea egală cu … cm.

Metoda: Teorema lui Pitagora

1. 1

   Găsim triunghiul dreptunghic

   \triangle VOA,\ \angle VOA = 90^\circ

   Într-un con circular drept, înălțimea \(VO\) este perpendiculară pe planul bazei. Deci \(VO\) este perpendiculară pe raza \(AO\), care se află în planul bazei. Astfel, triunghiul \(VOA\) este dreptunghic în \(O\), cu catetele \(VO = 8\) cm și \(AO = 6\) cm, iar ipotenuza este generatoarea \(VA\).

2. 2

   Scriem teorema lui Pitagora

   VA^2 = VO^2 + AO^2

   Teorema lui Pitagora spune că într-un triunghi dreptunghic pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor. Înlocuim valorile cunoscute: \(VA^2 = 8^2 + 6^2\).

3. 3

   Aflăm lungimea generatoarei

   VA = \sqrt{100} = 10

   Avem \(VA^2 = 100\). Lungimea este un număr pozitiv, deci \(VA\) este rădăcina pătrată a lui 100, adică 10 cm. Se potrivește și cu tripletul pitagoreic 6, 8, 10.

Răspuns: Generatoarea VA are lungimea de 10 cm.

În graficul de mai jos este reprezentat profitul, exprimat în mii lei, realizat de o firmă în ultimii cinci ani. Graficul este o diagramă cu bare: anul 2011 are profit 60, anul 2012 are 40, anul 2013 are 100, anul 2014 are 60, anul 2015 are 80 (mii lei). În perioada menționată, cel mai mare profit al firmei a fost înregistrat în anul … .

Metoda: Citirea unui grafic cu bare

1. 1

   Înțelegem ce arată graficul

   \text{an} \to \text{profit (mii lei)}

   Pe axa orizontală sunt anii 2011, 2012, 2013, 2014, 2015. Pe axa verticală este profitul, în mii lei. Cu cât bara este mai înaltă, cu atât profitul din acel an este mai mare. De aceea, ca să găsim cel mai mare profit, ne uităm la bara cea mai înaltă.

2. 2

   Citim valoarea fiecărei bare

   2011:60,\ 2012:40,\ 2013:100,\ 2014:60,\ 2015:80

   Ne uităm la vârful fiecărei bare și vedem în dreptul cărei valori de pe axa verticală se oprește. 2011 are 60, 2012 are 40, 2013 are 100, 2014 are 60, iar 2015 are 80 (mii lei). Notăm toate valorile ca să le putem compara ușor.

3. 3

   Comparăm valorile și alegem cea mai mare

   100 > 80 > 60 = 60 > 40

   Comparăm numerele 60, 40, 100, 60, 80. Cel mai mare este 100, iar el corespunde anului 2013. Deci cel mai mare profit a fost înregistrat în 2013. Acesta este și răspunsul din barem.

Răspuns: 2013

Desenați, pe foaia de examen, un paralelipiped dreptunghic \(ABCDEFGH\).

Metoda: Desenul paralelipipedului dreptunghic

1. 1

   Desenăm fața din față

   ABFE

   Un paralelipiped dreptunghic are 6 fețe, toate dreptunghiuri. Începem cu o față, pe care o desenăm ca un dreptunghi adevărat, cu laturile orizontale și verticale. Aceasta va fi fața din față, de exemplu dreptunghiul \(ABFE\), cu \(A\) și \(B\) jos și \(E\) și \(F\) sus.

2. 2

   Desenăm fața din spate, deplasată

   DCGH

   Desenăm același dreptunghi, dar mutat în sus și spre dreapta, pe o direcție oblică. Așa se arată adâncimea corpului. Obținem fața din spate \(DCGH\), cu vârfurile corespunzătoare: \(D\) în spatele lui \(A\), \(C\) în spatele lui \(B\), \(G\) în spatele lui \(F\), \(H\) în spatele lui \(E\). Cele două dreptunghiuri trebuie să fie egale și să aibă laturile paralele.

3. 3

   Unim vârfurile corespunzătoare

   AD,\ BC,\ FG,\ EH

   Unim cu segmente vârfurile care se corespund: \(A\) cu \(D\), \(B\) cu \(C\), \(F\) cu \(G\), \(E\) cu \(H\). Aceste muchii sunt paralele între ele. Muchiile pe care nu le-am vedea într-o cutie reală (cele din spatele corpului) le desenăm punctat: \(AD\), \(DC\) și \(DH\).

4. 4

   Notăm vârfurile

   ABCDEFGH

   Ultimul punct din barem este pentru notarea corpului. Scriem literele la vârfuri în ordinea \(A,B,C,D\) pentru baza de jos și \(E,F,G,H\) pentru baza de sus, astfel încât \(E\) să fie deasupra lui \(A\), \(F\) deasupra lui \(B\), \(G\) deasupra lui \(C\) și \(H\) deasupra lui \(D\). Verifică și că muchiile paralele sunt desenate paralele.

Răspuns: Desenul corect: un paralelipiped dreptunghic cu vârfurile notate \(ABCDEFGH\), cu 6 fețe dreptunghiulare, 12 muchii și 8 vârfuri (4p desen + 1p notare).

Știind că \(a+\frac{1}{a}=\frac{5}{2}\), unde \(a\) este număr real nenul, arătați că \(a^2+\frac{1}{a^2}=\frac{17}{4}\).

Metoda: Formula pătratului unei sume

1. 1

   Ridicăm egalitatea dată la pătrat

   \left(a+\frac{1}{a}\right)^2=\left(\frac{5}{2}\right)^2=\frac{25}{4}

   Vrem să obținem \(a^2\) și \(\frac{1}{a^2}\). Dacă ridicăm la pătrat ambii membri ai egalității, ea rămâne adevărată, iar în stânga apare pătratul unei sume, pe care îl putem dezvolta. Pătratul lui \(\frac{5}{2}\) este \(\frac{25}{4}\).

2. 2

   Dezvoltăm pătratul sumei

   a^2+2\cdot a\cdot\frac{1}{a}+\frac{1}{a^2}=\frac{25}{4}

   Aplicăm \((x+y)^2=x^2+2xy+y^2\) cu \(x=a\) și \(y=\frac{1}{a}\). Mijlocul este \(2\cdot a\cdot\frac{1}{a}\). Deoarece \(a\neq0\), \(a\cdot\frac{1}{a}=1\), deci acest termen devine \(2\).

3. 3

   Scădem 2 și obținem rezultatul

   a^2+\frac{1}{a^2}=\frac{25}{4}-2=\frac{25}{4}-\frac{8}{4}=\frac{17}{4}

   Din pasul anterior avem \(a^2+2+\frac{1}{a^2}=\frac{25}{4}\). Scădem 2 din ambii membri ca să rămână doar \(a^2+\frac{1}{a^2}\). Aducem 2 la numitorul 4: \(2=\frac{8}{4}\). Rezultă \(\frac{25-8}{4}=\frac{17}{4}\), adică exact ce trebuia arătat.

Răspuns: Am obținut \(a^2+\frac{1}{a^2}=\frac{17}{4}\), deci egalitatea este demonstrată.

Un test conține 10 întrebări. Pentru fiecare răspuns corect se acordă 5 puncte, iar pentru fiecare răspuns greșit se scad 2 puncte. Nu se acordă puncte din oficiu. Un elev, care a răspuns la toate cele 10 întrebări, a obținut 36 de puncte. Determinați numărul de întrebări din test la care acest elev a răspuns corect.

Metoda: Ecuație de gradul I

1. 1

   Alegem necunoscuta

   n = \text{numărul de răspunsuri corecte}

   Ce ne cere problema? Numărul de întrebări la care elevul a răspuns corect. Pe acesta îl notăm cu \(n\). Elevul a răspuns la toate cele 10 întrebări, deci fiecare răspuns este corect sau greșit. Rezultă că numărul de răspunsuri greșite este \(10-n\).

2. 2

   Scriem punctajul ca ecuație

   5n - 2(10-n) = 36

   Fiecare răspuns corect aduce 5 puncte, deci cele corecte dau \(5n\) puncte. Fiecare răspuns greșit scade 2 puncte, deci cele greșite scad \(2(10-n)\) puncte. Nu sunt puncte din oficiu, iar totalul este 36. Obținem \(5n-2(10-n)=36\).

3. 3

   Rezolvăm ecuația

   5n - 20 + 2n = 36 \Rightarrow 7n = 56 \Rightarrow n = 8

   Desfacem paranteza: \(-2(10-n)=-20+2n\). Ecuația devine \(5n-20+2n=36\), adică \(7n-20=36\). Adunăm 20 în ambii membri: \(7n=56\). Împărțim la 7 și obținem \(n=8\).

4. 4

   Verificăm rezultatul

   5\cdot 8 - 2\cdot 2 = 40 - 4 = 36

   Dacă \(n=8\), elevul are 8 răspunsuri corecte și \(10-8=2\) greșite. Punctajul este \(5\cdot 8-2\cdot 2=40-4=36\), exact cât spune problema. Deci rezultatul este bun.

Răspuns: Elevul a răspuns corect la 8 întrebări.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x-3\). a) Reprezentați grafic funcția \(f\) într-un sistem de coordonate \(xOy\).

Metoda: Reprezentarea grafică a unei funcții liniare

1. 1

   Primul punct al graficului

   f(0)=0-3=-3 \Rightarrow A(0,-3)

   Alegem o valoare pentru \(x\), de exemplu \(x=0\), și calculăm \(f(0)\). Perechea \((x, f(x))\) este un punct al graficului. Pentru \(x=0\) obținem punctul în care graficul taie axa Oy.

2. 2

   Al doilea punct al graficului

   f(3)=3-3=0 \Rightarrow B(3,0)

   Alegem o altă valoare pentru \(x\), diferită de prima, ca să avem două puncte distincte. Pentru \(x=3\) obținem punctul în care graficul taie axa Ox.

3. 3

   Reprezentăm punctele și trasăm graficul

   A(0,-3),\ B(3,0)\ \Rightarrow\ G_f=\text{dreapta }AB

   Într-un sistem de axe \(xOy\) marcăm punctul \(A(0,-3)\) pe axa Oy, sub origine, și punctul \(B(3,0)\) pe axa Ox, la dreapta originii. Graficul unei funcții de forma \(ax+b\) este o dreaptă, deci unim A și B cu o linie dreaptă, pe care o prelungim în ambele sensuri, deoarece funcția este definită pe \(\mathbb{R}\).

Răspuns: Graficul funcției \(f\) este dreapta care trece prin punctele \(A(0,-3)\) și \(B(3,0)\).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x-3\). b) Determinați distanța de la originea sistemului de coordonate \(xOy\) la graficul funcției \(f\).

Metoda: Distanța de la un punct la o dreaptă

1. 1

   Aflăm intersecția graficului cu axa Ox

   f(x)=0 \Rightarrow x-3=0 \Rightarrow x=3,\quad M(3,0),\ OM=3

   Punctul în care graficul taie axa Ox are ordonata 0. Punem \(f(x)=0\) și aflăm x. Obținem punctul \(M(3,0)\). Distanța de la O la M este abscisa lui, deci \(OM=3\).

2. 2

   Aflăm intersecția graficului cu axa Oy

   f(0)=0-3=-3,\quad N(0,-3),\ ON=|-3|=3

   Punctul în care graficul taie axa Oy are abscisa 0. Calculăm \(f(0)\) și obținem \(N(0,-3)\). Distanța \(ON\) este valoarea absolută a ordonatei, deci \(ON=3\).

3. 3

   Aflăm lungimea segmentului MN

   MN=\sqrt{OM^2+ON^2}=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}

   Triunghiul MON este dreptunghic în O, deoarece axele sunt perpendiculare. MN este ipotenuză, deci folosim teorema lui Pitagora.

4. 4

   Calculăm distanța de la O la dreaptă

   d(O,G_f)=\frac{OM\cdot ON}{MN}=\frac{3\cdot 3}{3\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}

   Distanța de la O la dreapta MN este înălțimea din O a triunghiului dreptunghic MON, adică perpendiculara pe ipotenuză. Din aria triunghiului calculată în două moduri, \(OM\cdot ON=MN\cdot h\), deci \(h=\frac{OM\cdot ON}{MN}\). La final raționalizăm numitorul.

Răspuns: Distanța de la origine la graficul funcției f este \(\frac{3\sqrt{2}}{2}\).

Se consideră expresia \(E(x)=\left(\frac{1}{x-2}-\frac{2}{x}+\frac{1}{x+2}\right):\frac{4}{x(x^2-4)}\), unde \(x\) este număr real, \(x\neq -2\), \(x\neq 0\) și \(x\neq 2\). Arătați că \(E(x)=2\), pentru orice \(x\) număr real, \(x\neq -2\), \(x\neq 0\) și \(x\neq 2\).

Metoda: Fracții algebrice: numitor comun

1. 1

   Aducem paranteza la numitor comun

   \frac{1}{x-2}-\frac{2}{x}+\frac{1}{x+2}=\frac{x(x+2)-2(x-2)(x+2)+x(x-2)}{x(x-2)(x+2)}

   Numitorii sunt \(x-2\), \(x\) și \(x+2\). Numitorul comun este produsul lor, \(x(x-2)(x+2)\). Amplificăm fiecare fracție cu factorii care lipsesc din numitorul ei: prima cu \(x(x+2)\), a doua cu \((x-2)(x+2)\), a treia cu \(x(x-2)\). Numai după ce numitorii sunt egali putem aduna sau scădea numărătorii.

2. 2

   Calculăm numărătorul

   x^2+2x-2(x^2-4)+x^2-2x=x^2+2x-2x^2+8+x^2-2x=8

   Desfacem parantezele folosind formula \((x-2)(x+2)=x^2-4\). Termenii \(x^2\) se reduc: \(x^2-2x^2+x^2=0\). Termenii \(2x\) și \(-2x\) se reduc și ei. Rămâne doar \(-2\cdot(-4)=8\). Deci paranteza este \(\frac{8}{x(x-2)(x+2)}\).

3. 3

   Descompunem împărțitorul

   \frac{4}{x(x^2-4)}=\frac{4}{x(x-2)(x+2)}

   Folosim formula de calcul prescurtat \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), cu \(a=x\) și \(b=2\): \(x^2-4=(x-2)(x+2)\). Astfel numitorul arată la fel ca la prima fracție și putem simplifica ușor.

4. 4

   Efectuăm împărțirea

   E(x)=\frac{8}{x(x-2)(x+2)}\cdot\frac{x(x-2)(x+2)}{4}=\frac{8}{4}=2

   A împărți la o fracție înseamnă a înmulți cu inversa ei. Factorul \(x(x-2)(x+2)\) apare la numitorul primei fracții și la numărătorul celei de-a doua, deci se simplifică. Este permis, pentru că \(x\neq 0\), \(x\neq 2\), \(x\neq -2\), deci acest factor nu este zero. Rămâne \(\frac{8}{4}=2\), pentru orice \(x\) permis.

Răspuns: Am obținut \(E(x)=2\), pentru orice \(x\) real cu \(x\neq -2\), \(x\neq 0\), \(x\neq 2\).

În Figura 2 este reprezentat un romb \(ABCD\), cu \(AB = 10\) cm și \(m(\sphericalangle ABC) = 120^\circ\). a) Arătați că perimetrul rombului \(ABCD\) este egal cu 40 cm.

Metoda: Perimetrul rombului

1. 1

   Amintim proprietatea laturilor rombului

   AB = BC = CD = DA

   Rombul este un paralelogram particular care are toate cele patru laturi congruente (egale). De aceea, dacă știm lungimea unei singure laturi, le știm pe toate. Aici \(AB = 10\) cm, deci și \(BC\), \(CD\), \(DA\) au câte 10 cm.

2. 2

   Scriem formula perimetrului

   P_{ABCD} = AB + BC + CD + DA = 4 \cdot AB

   Perimetrul este suma lungimilor tuturor laturilor. Cum cele patru laturi sunt egale, în loc să adunăm de patru ori același număr, înmulțim lungimea unei laturi cu 4.

3. 3

   Calculăm perimetrul

   P_{ABCD} = 4 \cdot 10 = 40 \text{ cm}

   Înlocuim \(AB = 10\) cm în formulă și obținem \(4 \cdot 10 = 40\) cm. Am arătat astfel că perimetrul rombului este 40 cm, exact cum cerea problema.

Răspuns: Perimetrul rombului este \(P_{ABCD} = 4 \cdot AB = 4 \cdot 10 = 40\) cm.

În Figura 2 este reprezentat un romb \(ABCD\), cu \(AB = 10\) cm și \(m(\sphericalangle ABC) = 120^\circ\). b) Arătați că lungimea diagonalei \(AC\) este egală cu \(10\sqrt{3}\) cm.

Metoda: Diagonalele rombului și Pitagora

1. 1

   Folosim proprietatea diagonalelor

   AC \perp BD,\quad AC \cap BD = \{O\}

   Fiindcă \(ABCD\) este romb, diagonalele sale sunt perpendiculare. Notăm cu \(O\) punctul lor de intersecție. Astfel triunghiul \(AOB\) este dreptunghic în \(O\), iar în el putem calcula lungimile.

2. 2

   Aflăm unghiul din triunghiul AOB

   m(\sphericalangle ABO) = 120^\circ : 2 = 60^\circ

   Diagonala \(BD\) este și bisectoarea unghiului \(B\) al rombului. Deci unghiul \(ABO\) are jumătate din \(120^\circ\), adică \(60^\circ\). Atunci în triunghiul dreptunghic \(AOB\) celălalt unghi ascuțit este \(30^\circ\), deoarece \(90-60=30\).

3. 3

   Calculăm AO

   AO = \frac{AB\sqrt{3}}{2} = \frac{10\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\text{ cm}

   Triunghiul \(AOB\) are unghiurile de \(30^\circ\), \(60^\circ\), \(90^\circ\), iar ipotenuza \(AB=10\). Cateta opusă unghiului de \(30^\circ\) este \(BO=\frac{AB}{2}=5\) cm. Apoi, cu teorema lui Pitagora: \(AO^2 = AB^2 - BO^2 = 100-25=75\), deci \(AO=\sqrt{75}=5\sqrt{3}\) cm.

4. 4

   Aflăm AC și verificăm

   AC = 2\cdot AO = 2\cdot 5\sqrt{3} = 10\sqrt{3}\text{ cm}

   Diagonalele rombului se înjumătățesc, deci \(O\) este mijlocul lui \(AC\). Prin urmare \(AC = 2\cdot AO = 10\sqrt{3}\) cm, exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(AC = 10\sqrt{3}\) cm

Subiectul III, itemul 1. c): În figura 2 este reprezentat un romb \(ABCD\), cu \(AB=10\) cm și \(m(\angle ABC)=120^\circ\). Pe laturile \(AB\), \(BC\), \(CD\) și \(DA\) ale rombului se consideră punctele \(M\), \(N\), \(P\), respectiv \(Q\), astfel încât \(MN \parallel AC\) și \(MNPQ\) este pătrat. Demonstrați că \(MN=5(3-\sqrt{3})\) cm.

Metoda: Asemănarea triunghiurilor

1. 1

   Triunghiurile BMN și BAC sunt asemenea

   \frac{MN}{AC}=\frac{BM}{BA}

   Deoarece \(MN \parallel AC\), triunghiul \(BMN\) este asemenea cu triunghiul \(BAC\) (teorema fundamentală a asemănării). Laturile corespunzătoare sunt proporționale, deci raportul \(MN/AC\) este egal cu raportul \(BM/BA\).

2. 2

   Triunghiurile AMQ și ABD sunt asemenea

   \frac{MQ}{BD}=\frac{AM}{AB}

   Într-un romb diagonalele sunt perpendiculare: \(AC \perp BD\). Cum \(MNPQ\) este pătrat, \(MN \perp MQ\), iar \(MN \parallel AC\), rezultă \(MQ \perp AC\). Dar și \(BD \perp AC\), deci \(MQ \parallel BD\). Atunci \(\triangle AMQ \sim \triangle ABD\), de unde raportul \(MQ/BD=AM/AB\).

3. 3

   Folosim MN = MQ și adunăm rapoartele

   \frac{AM}{AB}+\frac{BM}{BA}=1 \Rightarrow \frac{MN}{10\sqrt{3}}+\frac{MN}{10}=1

   Punctul \(M\) se află pe segmentul \(AB\), deci \(AM+BM=AB\), adică \(\frac{AM}{AB}+\frac{BM}{BA}=1\). Cum \(MNPQ\) este pătrat, \(MN=MQ\). Din pasul 1: \(\frac{BM}{BA}=\frac{MN}{AC}=\frac{MN}{10\sqrt{3}}\). Din pasul 2, cu \(BD=10\) cm (triunghiul \(ABD\) este echilateral, fiindcă \(AB=AD\) și \(\angle BAD=60^\circ\)): \(\frac{AM}{AB}=\frac{MQ}{BD}=\frac{MN}{10}\).

4. 4

   Rezolvăm și aflăm MN

   MN\left(\frac{1}{10\sqrt{3}}+\frac{1}{10}\right)=1 \Rightarrow MN=\frac{10\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}=5(3-\sqrt{3})

   Aducem la numitor comun \(10\sqrt{3}\): \(MN\cdot\frac{1+\sqrt{3}}{10\sqrt{3}}=1\), deci \(MN=\frac{10\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}\). Raționalizăm înmulțind cu \(\sqrt{3}-1\): \(\frac{10\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{10(3-\sqrt{3})}{3-1}=5(3-\sqrt{3})\) cm.

Răspuns: \(MN=5(3-\sqrt{3})\) cm

În Figura 3 este reprezentată o prismă dreaptă \(ABCA'B'C'\), cu baza triunghi echilateral, \(AB = 8\sqrt{3}\) cm și \(AA' = 5\) cm. Punctul \(M\) este mijlocul laturii \(AB\). a) Arătați că aria laterală a prismei este egală cu \(120\sqrt{3}\ \text{cm}^2\).

Metoda: Aria laterală a prismei drepte

1. 1

   Ce este aria laterală a prismei

   \mathcal{A}_{lat} = P_{baza} \cdot h

   Aria laterală este suma ariilor fețelor laterale, fără cele două baze. La o prismă dreaptă, fețele laterale sunt dreptunghiuri cu înălțimea egală cu muchia laterală \(AA' = 5\) cm. Suma ariilor lor este perimetrul bazei înmulțit cu înălțimea.

2. 2

   Folosim baza echilaterală

   \mathcal{A}_{lat} = 3 \cdot AB \cdot AA'

   Baza \(ABC\) este triunghi echilateral, deci are toate laturile egale cu \(AB\). Perimetrul bazei este \(3\cdot AB\). Cele trei fețe laterale sunt dreptunghiuri identice, cu dimensiunile \(AB\) și \(AA'\).

3. 3

   Înlocuim și calculăm

   \mathcal{A}_{lat} = 3 \cdot 8\sqrt{3} \cdot 5 = 120\sqrt{3}\ \text{cm}^2

   Punem datele în formulă: \(AB = 8\sqrt{3}\) cm și \(AA' = 5\) cm. Înmulțim numerele întregi: \(3\cdot 8\cdot 5 = 120\), iar \(\sqrt{3}\) rămâne. Aria se măsoară în \(\text{cm}^2\). Am obținut exact rezultatul cerut.

Răspuns: Aria laterală este \(3\cdot 8\sqrt{3}\cdot 5 = 120\sqrt{3}\ \text{cm}^2\).

În Figura 3 este reprezentată o prismă dreaptă \(ABCA'B'C'\), cu baza triunghi echilateral, \(AB = 8\sqrt{3}\) cm și \(AA' = 5\) cm. Punctul \(M\) este mijlocul laturii \(AB\). b) Arătați că \(C'M = 13\) cm.

Metoda: Teorema lui Pitagora în spațiu

1. 1

   Aflăm lungimea lui CM

   CM=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{8\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2}=12

   Triunghiul \(ABC\) este echilateral, iar \(M\) este mijlocul lui \(AB\). Atunci \(CM\) este mediană, dar și înălțime. Într-un triunghi echilateral de latură \(l\), înălțimea este \(\frac{l\sqrt{3}}{2}\). Aici \(l=8\sqrt{3}\), deci \(CM=\frac{8\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2}=\frac{8\cdot 3}{2}=12\) cm. Ne trebuie \(CM\) pentru că el este una dintre catetele triunghiului în care aplicăm Pitagora.

2. 2

   Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul C'CM

   C'M=\sqrt{CC'^2+CM^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13

   Prisma este dreaptă, deci muchia laterală \(CC'\) este perpendiculară pe planul bazei. Cum \(CM\) este în planul bazei, \(CC'\perp CM\). Așadar triunghiul \(C'CM\) este dreptunghic în \(C\), cu catetele \(CC'=AA'=5\) cm și \(CM=12\) cm, iar \(C'M\) este ipotenuza. Din teorema lui Pitagora: \(C'M^2=5^2+12^2=25+144=169\), deci \(C'M=13\) cm, adică exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(C'M = 13\) cm

În Figura 3 este reprezentată o prismă dreaptă \(ABCA'B'C'\), cu baza triunghi echilateral, \(AB = 8\sqrt{3}\) cm și \(AA' = 5\) cm. Punctul \(M\) este mijlocul laturii \(AB\). c) Demonstrați că distanța de la punctul \(C\) la planul \((ABC')\) este egală cu \(\frac{60}{13}\) cm. (De la punctele a) și b) avem \(CM = 12\) cm și \(C'M = 13\) cm.)

Metoda: Teorema celor trei perpendiculare

1. 1

   Arătăm că AB este perpendiculară pe planul (CC'M)

   AB \perp C'M,\ AB \perp CC' \Rightarrow AB \perp (CC'M)

   Triunghiul \(ABC\) este echilateral, iar \(M\) este mijlocul lui \(AB\), deci \(CM\) este mediană și înălțime: \(CM \perp AB\). Prisma este dreaptă, deci \(CC' \perp (ABC)\) și atunci \(CC' \perp AB\). Cum \(CM\) și \(CC'\) sunt două drepte concurente din planul \((CC'M)\) și ambele sunt perpendiculare pe \(AB\), rezultă \(AB \perp (CC'M)\). Atunci \(AB\) este perpendiculară pe orice dreaptă din acest plan, deci și pe \(C'M\) și pe orice dreaptă dusă din \(C\) în planul \((CC'M)\). Facem acest pas ca să putem folosi mai departe perpendicularitatea lui \(AB\).

2. 2

   Ducem CP perpendicular pe C'M și arătăm că CP ⊥ (ABC')

   CP \perp C'M,\ CP \perp AB \Rightarrow CP \perp (ABC')

   Fie \(P\) piciorul perpendicularei din \(C\) pe \(C'M\), adică \(CP \perp C'M\), cu \(P \in C'M\). Cum \(CP\) se află în planul \((CC'M)\) și \(AB \perp (CC'M)\), avem \(CP \perp AB\). Așadar \(CP\) este perpendiculară pe două drepte concurente din planul \((ABC')\), anume \(AB\) și \(C'M\) (se taie în \(M\)). Rezultă \(CP \perp (ABC')\), deci distanța de la \(C\) la plan este \(CP\).

3. 3

   Calculăm CP ca înălțime în triunghiul dreptunghic CC'M

   CP=\frac{CM\cdot CC'}{C'M}=\frac{12\cdot 5}{13}=\frac{60}{13}

   Triunghiul \(CC'M\) este dreptunghic în \(C\), cu catetele \(CM = 12\) cm și \(CC' = 5\) cm și ipotenuza \(C'M = 13\) cm. \(CP\) este înălțimea corespunzătoare ipotenuzei. Aria triunghiului se poate scrie în două moduri: \(\frac{CM\cdot CC'}{2}=\frac{C'M\cdot CP}{2}\), de unde \(CP=\frac{CM\cdot CC'}{C'M}\). Înlocuind, obținem \(\frac{60}{13}\) cm, exact ce trebuia demonstrat.

Răspuns: Distanța de la \(C\) la planul \((ABC')\) este \(CP=\frac{60}{13}\) cm.