Rezolvare pas cu pas: Matematică – Evaluarea Națională 2016, sesiunea iunie–iulie (varianta 04)

Rezultatul calculului \(10\cdot 5-10\) este egal cu … .

Metoda: Ordinea efectuării operațiilor

1. 1

   Stabilim ordinea operațiilor

   10\cdot 5-10

   Într-un calcul fără paranteze se efectuează mai întâi înmulțirile și împărțirile, apoi adunările și scăderile. Aici avem o înmulțire (\(10\cdot 5\)) și o scădere (\(-10\)). Deci începem cu înmulțirea, pentru că ea are prioritate.

2. 2

   Efectuăm înmulțirea

   10\cdot 5=50

   Calculăm produsul \(10\cdot 5\). Când înmulțim cu 10, adăugăm un zero la sfârșitul numărului: \(5\) devine \(50\). Expresia devine \(50-10\).

3. 3

   Efectuăm scăderea

   50-10=40

   După înmulțire rămâne doar scăderea \(50-10\). Scăzând 10 din 50, obținem 40. Acesta este rezultatul calculului și coincide cu cel din barem.

4. 4

   Verificăm rezultatul

   10\cdot 5-10=50-10=40

   Adunăm la rezultat ce am scăzut: \(40+10=50\), iar \(50=10\cdot 5\). Deci calculul este corect. Dacă am fi scăzut mai întâi, \(5-10\) nu ar fi avut sens la clasa a V-a în numere naturale, ceea ce arată de ce contează ordinea.

Răspuns: 40

Șase cărți de același fel costă în total 24 de lei. Trei dintre aceste cărți costă în total … lei.

Metoda: Metoda reducerii la unitate

1. 1

   Aflăm prețul unei cărți

   24 : 6 = 4

   Toate cele 6 cărți sunt de același fel, deci au același preț. Împărțim suma totală la numărul de cărți ca să aflăm cât costă una singură. Aceasta este metoda reducerii la unitate: ajungem la o singură carte. Rezultă \(24 : 6 = 4\) lei.

2. 2

   Aflăm prețul a 3 cărți

   3 \cdot 4 = 12

   Acum că știm că o carte costă 4 lei, trei cărți costă de 3 ori mai mult. Înmulțim prețul unei cărți cu 3: \(3 \cdot 4 = 12\) lei.

3. 3

   Verificăm rezultatul

   12 \cdot 2 = 24

   Trei cărți este jumătate din șase cărți. Deci prețul lor trebuie să fie jumătate din 24, adică 12. Dublul lui 12 este 24, deci rezultatul este corect.

Răspuns: Trei cărți costă în total 12 lei.

Cel mai mic număr natural care aparține intervalului \([1, 4]\) este egal cu … .

Metoda: Intervale de numere reale

1. 1

   Ce înseamnă intervalul [1, 4]

   [1,4]=\{x\in\mathbb{R}\mid 1\le x\le 4\}

   Parantezele pătrate arată că și capetele intervalului, 1 și 4, fac parte din el. Deci intervalul conține toate numerele reale de la 1 până la 4, inclusiv 1 și 4.

2. 2

   Numerele naturale din interval

   [1,4]\cap\mathbb{N}=\{1,2,3,4\}

   Numerele naturale sunt 0, 1, 2, 3, 4, 5 și așa mai departe. Din ele, doar cele care sunt între 1 și 4 (inclusiv) se află în interval. Numărul 0 este mai mic decât 1, deci nu este în interval. Numărul 5 este mai mare decât 4, deci nici el nu este.

3. 3

   Cel mai mic dintre ele

   \min\{1,2,3,4\}=1

   Dintre numerele 1, 2, 3 și 4, cel mai mic este 1. Acest număr aparține intervalului, pentru că paranteza din stânga este pătrată și include capătul 1. Dacă intervalul ar fi fost \((1, 4]\), răspunsul ar fi fost 2.

Răspuns: 1

Dreptunghiul \(ABCD\) are \(AB = 5\) cm și \(BC = 3\) cm. Aria acestui dreptunghi este egală cu … \(\text{cm}^2\).

Metoda: Aria dreptunghiului

1. 1

   Identificăm dimensiunile dreptunghiului

   L = AB = 5\text{ cm},\quad l = BC = 3\text{ cm}

   Într-un dreptunghi, laturile alăturate sunt lungimea și lățimea. \(AB\) și \(BC\) pornesc din același vârf \(B\), deci sunt laturi alăturate: una este lungimea, cealaltă lățimea. Le notăm ca să știm ce numere înmulțim.

2. 2

   Aplicăm formula ariei

   \mathcal{A} = L \cdot l = 5 \cdot 3 = 15

   Aria dreptunghiului este produsul dintre lungime și lățime. Dacă așezăm pătrățele de 1 cm², avem 3 rânduri a câte 5 pătrățele, adică \(3 \cdot 5 = 15\) pătrățele. De aceea înmulțim.

3. 3

   Scriem rezultatul cu unitatea de măsură

   \mathcal{A} = 15\ \text{cm}^2

   Laturile sunt în centimetri, deci aria se măsoară în centimetri pătrați (\(\text{cm}^2\)). Itemul cere doar numărul care completează spațiul punctat, adică 15.

Răspuns: 15

În Figura 1 este reprezentat un paralelipiped dreptunghic \(ABCDA'B'C'D'\). Măsura unghiului determinat de dreptele \(AD\) și \(AA'\) este egală cu … \(^\circ\).

Metoda: Unghiul dintre două drepte perpendiculare

1. 1

   Identificăm dreptele și fața în care se află

   AD \subset (ADD'A'),\quad AA' \subset (ADD'A')

   Dreptele \(AD\) și \(AA'\) pornesc din același punct, \(A\), și se află amândouă în fața laterală \(ADD'A'\). Unghiul dintre ele este unghiul \(\angle DAA'\) al acestei fețe. Ne uităm la fața respectivă pentru că într-un paralelipiped dreptunghic știm exact ce formă au fețele.

2. 2

   Folosim faptul că fața este dreptunghi

   ADD'A' \text{ este dreptunghi} \Rightarrow \angle DAA' = 90^\circ

   Într-un paralelipiped dreptunghic toate fețele sunt dreptunghiuri. Fața \(ADD'A'\) este deci dreptunghi, iar un dreptunghi are toate unghiurile drepte. Prin urmare \(AD \perp AA'\), adică unghiul dintre cele două drepte este de \(90^\circ\).

3. 3

   Concluzia

   m(\angle(AD, AA')) = 90^\circ

   Dreptele \(AD\) și \(AA'\) sunt perpendiculare, deci unghiul determinat de ele are \(90^\circ\). Același rezultat îl dă și baremul.

Răspuns: 90

În diagrama de mai jos este prezentată repartiția după vârstă a elevilor unui club sportiv. Diagrama are bare pentru vârstele 6 ani, 7 ani, 8 ani, 9 ani, 10 ani, iar axa verticală (Număr de elevi) merge de la 0 la 140, din 20 în 20. Bara pentru 6 ani ajunge la 80, cea pentru 7 ani la 120, cele pentru 8 și 9 ani la 100, iar cea pentru 10 ani la 80. Numărul elevilor acestui club sportiv care au vârsta de 7 ani este egal cu … .

Metoda: Citirea unei diagrame cu bare

1. 1

   Găsim bara pentru 7 ani

   \text{vârsta } 7 \text{ ani} \Rightarrow \text{a doua bară}

   Sub fiecare bară este scrisă vârsta elevilor. Întrebarea ne cere doar elevii de 7 ani, deci ne uităm numai la bara de sub „7 ani”. Celelalte bare nu ne interesează, pentru că ele arată alte vârste.

2. 2

   Citim înălțimea barei pe axa verticală

   \text{bara de 7 ani ajunge la } 120

   Înălțimea barei ne arată câți elevi sunt. Ne uităm de la vârful barei spre stânga, pe axa „Număr de elevi”. Axa are liniile din 20 în 20: 0, 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140. Vârful barei de 7 ani atinge exact linia 120. Este și cea mai înaltă bară, așa că verificăm: celelalte ajung doar la 80 sau 100.

3. 3

   Scriem răspunsul

   120

   Citirea diagramei ne dă direct răspunsul: 120 de elevi au 7 ani, la fel ca în barem.

Răspuns: 120

Desenați, pe foaia de examen, un cub \(ABCDEFGH\).

Metoda: Desenarea cubului în perspectivă

1. 1

   Desenăm fața din față (un pătrat)

   Un cub are 6 fețe, toate pătrate egale. Începem cu fața din față, pe care o desenăm ca un pătrat obișnuit, cu laturi egale și unghiuri drepte. Folosim rigla și echerul, ca desenul să fie curat.

2. 2

   Desenăm fața din spate (alt pătrat, mutat)

   Desenăm al doilea pătrat, egal cu primul, mutat în sus și spre dreapta (sau în sus și spre stânga). Acesta este peretele din spate. Mutarea oblică dă impresia de adâncime. Cele două pătrate se suprapun parțial.

3. 3

   Unim vârfurile și marcăm muchiile ascunse

   Unim cu segmente vârfurile corespunzătoare ale celor două pătrate, ca să obținem cele 4 muchii care merg spre spate. Muchiile care nu s-ar vedea (cele din spate, de jos) se desenează punctat. Așa desenul arată ca un corp în spațiu. Cubul are 12 muchii în total.

4. 4

   Notăm vârfurile: ABCDEFGH

   Cubul are 8 vârfuri, iar numele lui, ABCDEFGH, folosește 8 litere. Pentru cele 4 vârfuri ale unei fețe scriem literele în ordine, de exemplu A, B, C, D, apoi, pe fața opusă, E, F, G, H, în aceeași ordine, astfel încât E să fie deasupra lui A, F deasupra lui B, G deasupra lui C și H deasupra lui D. Notarea corectă valorează 1 punct.

Răspuns: Cubul se desenează ca două pătrate egale, decalate oblic și unite prin 4 muchii (cele ascunse punctate), iar vârfurile se notează A, B, C, D, E, F, G, H. Baremul dă 4p pentru desen și 1p pentru notare.

Știind că \(\frac{a}{b}=4\), unde \(a\) și \(b\) sunt numere reale nenule, arătați că \(\frac{3a-2b}{b}=10\).

Metoda: Separarea fracției și înlocuire

1. 1

   Despărțim fracția în două

   \frac{3a-2b}{b}=\frac{3a}{b}-\frac{2b}{b}

   Numitorul \(b\) este același pentru ambii termeni de la numărător, deci putem scrie fracția ca diferență de două fracții cu numitorul \(b\). Facem asta ca să apară \(\frac{a}{b}\), valoarea pe care o știm.

2. 2

   Scoatem raportul a/b și simplificăm

   \frac{3a}{b}-\frac{2b}{b}=3\cdot\frac{a}{b}-2

   Fracția \(\frac{3a}{b}\) este \(3\cdot\frac{a}{b}\). Fracția \(\frac{2b}{b}\) se simplifică prin \(b\) (este nenul) și dă 2.

3. 3

   Înlocuim \(\frac{a}{b}=4\) și calculăm

   3\cdot 4-2=12-2=10

   Știm din enunț că \(\frac{a}{b}=4\), deci înlocuim și obținem 10, exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\frac{3a-2b}{b}=3\cdot\frac{a}{b}-2=3\cdot 4-2=10\), deci egalitatea este adevărată.

Prețul unui obiect este de 360 lei. După o reducere cu \(p\%\) din prețul obiectului, noul preț va fi de 324 lei. Determinați numărul \(p\).

Metoda: Procente dintr-un număr

1. 1

   Scriem relația dintre preț, reducere și noul preț

   360 - p\% \cdot 360 = 324

   Prețul nou se obține scăzând reducerea din prețul inițial. Reducerea este \(p\%\) din 360 lei, adică \(p\%\cdot 360\). Așa că: preț inițial minus reducere este egal cu preț nou.

2. 2

   Aflăm cât reprezintă reducerea în lei

   p\% \cdot 360 = 360 - 324 = 36

   Din egalitatea de la pasul 1 rezultă că reducerea este diferența dintre prețul inițial și cel nou: \(360-324=36\) lei. Deci \(p\%\) din 360 este 36.

3. 3

   Transformăm procentul în fracție și aflăm p

   \frac{p}{100}\cdot 360 = 36 \Rightarrow p = \frac{36\cdot 100}{360} = 10

   \(p\%\) înseamnă \(\frac{p}{100}\). Deci \(\frac{p}{100}\cdot 360=36\). Mai întâi aflăm \(\frac{p}{100}\) împărțind 36 la 360: obținem \(\frac{1}{10}\), adică \(\frac{10}{100}\). Deci \(p=10\). Altfel: \(\frac{p}{100}\cdot 360 = p\cdot 3,6\), iar \(p\cdot 3,6=36\) dă \(p=10\).

4. 4

   Verificăm rezultatul

   10\% \cdot 360 = 36,\quad 360-36=324

   Verificăm: 10% din 360 este \(360:10=36\). Scădem: \(360-36=324\), exact noul preț din enunț. Deci \(p=10\) este corect.

Răspuns: \(p = 10\)

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x-4\). a) Reprezentați grafic funcția \(f\) într-un sistem de coordonate \(xOy\).

Metoda: Reprezentarea grafică a funcției liniare

1. 1

   Alegem prima valoare a lui x și aflăm primul punct

   f(0)=0-4=-4 \Rightarrow N(0,-4)

   Un punct al graficului are forma \((x, f(x))\). Alegem o valoare ușoară pentru \(x\), de exemplu \(x=0\), și calculăm \(f(0)=0-4=-4\). Deci punctul \(N(0,-4)\) aparține graficului. El se află pe axa \(Oy\).

2. 2

   Aflăm al doilea punct

   f(4)=4-4=0 \Rightarrow M(4,0)

   Mai avem nevoie de încă un punct, diferit de primul. Alegem \(x=4\), pentru că atunci \(f(4)=4-4=0\). Punctul \(M(4,0)\) se află pe axa \(Ox\). Prin două puncte distincte trece o singură dreaptă, deci acestea ne ajung.

3. 3

   Reprezentăm punctele în sistemul xOy și trasăm dreapta

   N(0,-4),\ M(4,0)

   Desenăm axele \(Ox\) (orizontală) și \(Oy\) (verticală), cu aceeași unitate de măsură. Marcăm \(N(0,-4)\): pornim din origine, rămânem pe \(Oy\) și coborâm 4 unități. Marcăm \(M(4,0)\): mergem 4 unități la dreapta pe \(Ox\). Unim punctele cu o linie dreaptă, pe care o prelungim în ambele sensuri, deoarece funcția este definită pe \(\mathbb{R}\). Aceasta este reprezentarea grafică a lui \(f\).

Răspuns: Graficul lui \(f(x)=x-4\) este dreapta care trece prin punctele \(N(0,-4)\) și \(M(4,0)\).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x-4\). b) Arătați că triunghiul determinat de graficul funcției \(f\) și axele sistemului de coordonate \(xOy\) este isoscel.

Metoda: Intersecțiile graficului cu axele

1. 1

   Găsim punctul M, unde graficul taie axa Ox

   f(x)=0 \Rightarrow x-4=0 \Rightarrow x=4,\; M(4,0)

   Un punct de pe axa Ox are ordonata 0, adică \(y=f(x)=0\). Rezolvăm ecuația \(x-4=0\) și obținem \(x=4\). Deci \(M(4,0)\). Cum O este originea, \(OM\) este distanța de la O la punctul de abscisă 4, deci \(OM=4\).

2. 2

   Găsim punctul N, unde graficul taie axa Oy

   x=0 \Rightarrow f(0)=0-4=-4,\; N(0,-4)

   Un punct de pe axa Oy are abscisa 0. Calculăm \(f(0)=0-4=-4\), deci \(N(0,-4)\). Lungimea \(ON\) este distanța de la O la N, adică \(|-4|=4\), deci \(ON=4\).

3. 3

   Comparăm OM și ON și concluzionăm

   OM=4,\; ON=4 \Rightarrow OM=ON \Rightarrow \triangle MON \text{ isoscel}

   Am obținut \(OM=4\) și \(ON=4\). Un triunghi cu două laturi egale este isoscel. Deci triunghiul MON este isoscel, cu baza MN. Este și dreptunghic în O, deoarece axele sunt perpendiculare.

Răspuns: Graficul taie axele în \(M(4,0)\) și \(N(0,-4)\), iar \(OM=ON=4\). Deci triunghiul MON este isoscel.

Se consideră expresia \(E(x)=\left(\frac{x+2}{x-3}-\frac{x-3}{x+2}-\frac{25}{(x-3)(x+2)}\right):\frac{5}{x+2}\), unde \(x\) este număr real, \(x\neq -2\) și \(x\neq 3\). Arătați că \(E(x)=2\), pentru orice \(x\) număr real, \(x\neq -2\) și \(x\neq 3\).

Metoda: Calcul cu fracții algebrice

1. 1

   Numitorul comun din paranteză

   \frac{x+2}{x-3}-\frac{x-3}{x+2}-\frac{25}{(x-3)(x+2)}=\frac{(x+2)^2-(x-3)^2-25}{(x-3)(x+2)}

   Numitorii sunt \(x-3\), \(x+2\) și \((x-3)(x+2)\). Numitorul comun este \((x-3)(x+2)\). Prima fracție se amplifică cu \(x+2\), a doua cu \(x-3\), iar a treia rămâne neschimbată. Apoi scriem totul pe o singură linie de fracție. Putem face asta pentru că \(x\neq -2\) și \(x\neq 3\), deci numitorii nu sunt zero.

2. 2

   Calculăm numărătorul cu formulele de calcul prescurtat

   (x+2)^2-(x-3)^2-25=(x^2+4x+4)-(x^2-6x+9)-25=10x-30

   Folosim \((a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2\): \((x+2)^2=x^2+4x+4\) și \((x-3)^2=x^2-6x+9\). Atenție la semnul minus din fața parantezei: schimbă semnele tuturor termenilor din a doua paranteză. Se reduc \(x^2\) cu \(-x^2\), iar \(4x+6x=10x\) și \(4-9-25=-30\).

3. 3

   Simplificăm fracția din paranteză

   \frac{10x-30}{(x-3)(x+2)}=\frac{10(x-3)}{(x-3)(x+2)}=\frac{10}{x+2}

   Dăm factor comun 10 la numărător: \(10x-30=10(x-3)\). Apoi simplificăm cu \(x-3\), ceea ce se poate pentru că \(x\neq 3\), deci \(x-3\neq 0\).

4. 4

   Efectuăm împărțirea

   E(x)=\frac{10}{x+2}:\frac{5}{x+2}=\frac{10}{x+2}\cdot\frac{x+2}{5}=2

   A împărți la o fracție înseamnă a înmulți cu inversa ei. Inversa lui \(\frac{5}{x+2}\) este \(\frac{x+2}{5}\). Simplificăm \(x+2\) (nenul, pentru că \(x\neq -2\)) și rămâne \(\frac{10}{5}=2\). Deci \(E(x)=2\) pentru orice \(x\) real, \(x\neq -2\) și \(x\neq 3\), ceea ce trebuia arătat.

Răspuns: Am obținut \(E(x)=2\), pentru orice \(x\) real, \(x\neq -2\) și \(x\neq 3\).

Figura 2 este schița unui teren. \(ABCD\) și \(BEFC\) sunt paralelograme cu \(AD = 60\) m, \(AB = BE = 80\) m și punctele \(A\), \(B\) și \(E\) coliniare. Se consideră punctele \(M\) și \(N\) pe laturile \(BE\), respectiv \(CD\), astfel încât \(MN \perp BC\) și \(BM = CN = 60\) m. a) Arătați că perimetrul paralelogramului \(ABCD\) este egal cu \(280\) m.

Metoda: Perimetrul paralelogramului

1. 1

   Scriem formula perimetrului paralelogramului

   P_{ABCD} = 2(AB + AD)

   Într-un paralelogram laturile opuse sunt egale: \(AB = CD\) și \(AD = BC\). Perimetrul este suma tuturor celor patru laturi: \(AB + BC + CD + DA\). Cum \(CD = AB\) și \(BC = AD\), suma devine \(2 \cdot AB + 2 \cdot AD = 2(AB + AD)\).

2. 2

   Înlocuim datele și calculăm

   P_{ABCD} = 2(80 + 60) = 2 \cdot 140 = 280 \text{ m}

   Din enunț știm \(AB = 80\) m și \(AD = 60\) m. Le punem în formulă: mai întâi calculăm paranteza \(80 + 60 = 140\), apoi înmulțim cu 2. Obținem \(280\) m, exact ce trebuia arătat.

Răspuns: Perimetrul paralelogramului \(ABCD\) este \(P = 2(80 + 60) = 280\) m.

Figura 2 este schița unui teren. \(ABCD\) și \(BEFC\) sunt paralelograme cu \(AD = 60\) m, \(AB = BE = 80\) m și punctele \(A\), \(B\) și \(E\) coliniare. Se consideră punctele \(M\) și \(N\) pe laturile \(BE\), respectiv \(CD\), astfel încât \(MN \perp BC\) și \(BM = CN = 60\) m. b) Demonstrați că unghiul \(DAB\) are măsura de \(60^\circ\).

Metoda: Paralelogram, romb și triunghi echilateral

1. 1

   Arătăm că BMCN este paralelogram

   BM = CN,\; BM \parallel CN \Rightarrow BMCN \text{ paralelogram}

   Avem \(BM = CN = 60\) m. Punctul \(M\) este pe \(BE\), iar \(N\) pe \(CD\). Dreptele \(AB\) și \(DC\) sunt paralele (laturi opuse în paralelogramul \(ABCD\)), deci \(BM \parallel CN\). Un patrulater care are două laturi opuse paralele și congruente este paralelogram.

2. 2

   Arătăm că BMCN este romb

   MN \perp BC \Rightarrow BMCN \text{ romb}

   \(MN\) și \(BC\) sunt diagonalele paralelogramului \(BMCN\). Ele sunt perpendiculare. Un paralelogram cu diagonalele perpendiculare este romb, deci toate laturile sale sunt egale.

3. 3

   Triunghiul BMC este echilateral

   BC = 60,\; BM = CM = BC \Rightarrow \triangle BMC \text{ echilateral}, \; m(\angle CBM) = 60^\circ

   Deoarece \(BC = AD = 60\) m (laturi opuse în paralelogramul \(ABCD\)), iar în rombul \(BMCN\) laturile sunt egale, avem \(BM = CM = BC = 60\) m. Triunghiul \(BMC\) are toate laturile egale, deci este echilateral, iar unghiurile lui au \(60^\circ\).

4. 4

   Transferăm unghiul în DAB

   AD \parallel BC,\; AB \text{ secantă} \Rightarrow \angle DAB \equiv \angle CBM \Rightarrow m(\angle DAB)=60^\circ

   În paralelogramul \(ABCD\) avem \(AD \parallel BC\), iar \(AB\) este secantă. Punctele \(A\), \(B\), \(M\) sunt coliniare, deci unghiurile \(DAB\) și \(CBM\) sunt unghiuri corespondente și sunt congruente. Așadar \(m(\angle DAB) = 60^\circ\).

Răspuns: Unghiul \(DAB\) are măsura de \(60^\circ\).

Subiectul III, 1. c): Figura 2 este schița unui teren. \(ABCD\) și \(BEFC\) sunt paralelograme cu \(AD = 60\) m, \(AB = BE = 80\) m și punctele \(A, B, E\) coliniare. Punctele \(M\) și \(N\) sunt pe laturile \(BE\), respectiv \(CD\), astfel încât \(MN \perp BC\) și \(BM = CN = 60\) m. Demonstrați că aria suprafeței \(CMEF\) este mai mică decât \(2600\ \text{m}^2\).

Metoda: Aria trapezului și comparare de radicali

1. 1

   Găsim înălțimea trapezului

   d(M,CF)=d(C,BM)=\frac{60\sqrt{3}}{2}=30\sqrt{3}

   Dreptele \(BM\) și \(CF\) sunt paralele (\(BE\parallel CF\), fiindcă \(BEFC\) este paralelogram). Distanța dintre două drepte paralele este aceeași oriunde o măsurăm, deci distanța de la \(M\) la \(CF\) este egală cu distanța de la \(C\) la \(BM\), adică înălțimea triunghiului echilateral \(BMC\) cu latura 60. Înălțimea unui triunghi echilateral de latură \(l\) este \(\frac{l\sqrt{3}}{2}\), deci \(\frac{60\sqrt{3}}{2}=30\sqrt{3}\) m.

2. 2

   Calculăm aria trapezului CMEF

   \mathcal{A}_{CMEF}=\frac{(ME+CF)\cdot d(M,CF)}{2}=\frac{(20+80)\cdot 30\sqrt{3}}{2}=1500\sqrt{3}

   \(CMEF\) are bazele paralele \(ME\) și \(CF\). \(ME=BE-BM=80-60=20\) m. \(CF=BE=80\) m (laturi opuse în paralelogramul \(BEFC\)). Aria trapezului este (suma bazelor · înălțimea) : 2, deci \(\frac{100\cdot 30\sqrt{3}}{2}=1500\sqrt{3}\ \text{m}^2\).

3. 3

   Comparăm cu 2600

   1500\sqrt{3}<2600 \Leftrightarrow 15\sqrt{3}<26 \Leftrightarrow \sqrt{675}<\sqrt{676}

   Împărțim ambii membri la 100: \(15\sqrt{3}<26\). Băgăm 15 sub radical: \(15\sqrt{3}=\sqrt{225\cdot 3}=\sqrt{675}\), iar \(26=\sqrt{676}\). Cum \(675<676\), inegalitatea este adevărată. Deci \(\mathcal{A}_{CMEF}<2600\ \text{m}^2\).

Răspuns: Aria \(CMEF\) este \(1500\sqrt{3}\ \text{m}^2\), iar \(1500\sqrt{3}<2600\) deoarece \(\sqrt{675}<\sqrt{676}\). Deci aria este mai mică decât \(2600\ \text{m}^2\).

În Figura 3 este reprezentată o piramidă triunghiulară regulată \(VABC\), cu baza triunghiul \(ABC\) și \(AB = 12\) m. Punctul \(M\) este mijlocul segmentului \(BC\) și \(VM = 6\sqrt{3}\) m, iar \(VO\) este înălțimea piramidei. a) Arătați că aria laterală a piramidei \(VABC\) este egală cu \(108\sqrt{3}\) m².

Metoda: Aria laterală a piramidei regulate

1. 1

   Aria laterală este suma ariilor a trei fețe

   \mathcal{A}_{lat} = 3 \cdot \mathcal{A}_{VBC}

   Piramida triunghiulară regulată are baza \(ABC\) echilaterală, iar fețele laterale \(VAB\), \(VBC\), \(VAC\) sunt triunghiuri isoscele congruente. Aria laterală înseamnă suma ariilor acestor trei fețe, deci este de 3 ori aria unei fețe, de exemplu \(VBC\).

2. 2

   Aria unei fețe laterale

   \mathcal{A}_{VBC} = \frac{VM \cdot BC}{2}

   În triunghiul isoscel \(VBC\), \(M\) este mijlocul bazei \(BC\), deci \(VM\) este mediană și, în triunghiul isoscel, ea este și înălțime. Aria triunghiului este baza înmulțită cu înălțimea, împărțită la 2, adică \(\frac{BC \cdot VM}{2}\).

3. 3

   Calculul numeric

   \mathcal{A}_{lat} = 3 \cdot \frac{6\sqrt{3} \cdot 12}{2} = 3 \cdot 36\sqrt{3} = 108\sqrt{3}\ \text{m}^2

   Înlocuim \(VM = 6\sqrt{3}\) m și \(BC = AB = 12\) m (baza este triunghi echilateral). Avem \(\frac{6 \cdot 12}{2} = 36\), deci aria unei fețe este \(36\sqrt{3}\) m². Înmulțind cu 3 obținem \(108\sqrt{3}\) m², exact ce trebuia arătat.

Răspuns: Aria laterală a piramidei este \(108\sqrt{3}\) m².

În Figura 3 este reprezentată o piramidă triunghiulară regulată \(VABC\), cu baza triunghiul \(ABC\) și \(AB = 12\) m. Punctul \(M\) este mijlocul segmentului \(BC\) și \(VM = 6\sqrt{3}\) m, iar \(VO\) este înălțimea piramidei. b) Arătați că volumul piramidei \(VABC\) este egal cu \(144\sqrt{2}\) \(\text{m}^3\).

Metoda: Volumul piramidei regulate

1. 1

   Aflăm lungimea segmentului OM

   OM=\frac{1}{3}AM=\frac{1}{3}\cdot 6\sqrt{3}=2\sqrt{3}

   Piramida este regulată, deci baza \(ABC\) este triunghi echilateral, iar \(O\) este centrul lui (centrul de greutate). În triunghiul echilateral \(AM\) este mediană și înălțime: \(AM=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\) m. Centrul de greutate se află pe mediană la o treime de bază, deci \(OM=\frac{1}{3}AM=2\sqrt{3}\) m. Ne trebuie \(OM\) pentru a calcula \(VO\) în pasul următor.

2. 2

   Aflăm înălțimea VO cu teorema lui Pitagora

   VO=\sqrt{VM^2-OM^2}=\sqrt{108-12}=\sqrt{96}=4\sqrt{6}

   \(VO\) este înălțimea piramidei, deci este perpendiculară pe planul bazei. Rezultă că triunghiul \(VOM\) este dreptunghic în \(O\), cu ipotenuza \(VM=6\sqrt{3}\) și cateta \(OM=2\sqrt{3}\). Avem \(VM^2=(6\sqrt{3})^2=108\) și \(OM^2=(2\sqrt{3})^2=12\). Atunci \(VO^2=108-12=96\), iar \(VO=\sqrt{96}=\sqrt{16\cdot 6}=4\sqrt{6}\) m.

3. 3

   Calculăm aria bazei

   \mathcal{A}_{ABC}=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}=\frac{12^2\sqrt{3}}{4}=36\sqrt{3}

   Baza este triunghi echilateral cu latura 12 m. Putem folosi formula \(\frac{l^2\sqrt{3}}{4}\), care dă \(\frac{144\sqrt{3}}{4}=36\sqrt{3}\) \(\text{m}^2\). Același rezultat se obține cu \(\frac{BC\cdot AM}{2}=\frac{12\cdot 6\sqrt{3}}{2}=36\sqrt{3}\). Aria bazei intră în formula volumului.

4. 4

   Calculăm volumul piramidei

   V=\frac{\mathcal{A}_{b}\cdot h}{3}=\frac{36\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{6}}{3}=\frac{144\sqrt{18}}{3}=144\sqrt{2}

   Volumul piramidei este \(\frac{\mathcal{A}_b\cdot h}{3}\). Înlocuim: \(\frac{36\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{6}}{3}=\frac{144\sqrt{18}}{3}\). Cum \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), obținem \(\frac{144\cdot 3\sqrt{2}}{3}=144\sqrt{2}\) \(\text{m}^3\). Exact ce trebuia arătat.

Răspuns: Volumul piramidei este \(V=144\sqrt{2}\) \(\text{m}^3\).

Subiectul III, 2. c): În Figura 3 este reprezentată o piramidă triunghiulară regulată \(VABC\), cu baza triunghiul \(ABC\) și \(AB = 12\) m. Punctul \(M\) este mijlocul segmentului \(BC\) și \(VM = 6\sqrt{3}\) m, iar \(VO\) este înălțimea piramidei. Demonstrați că distanța de la mijlocul înălțimii \(VO\) la dreapta \(VA\) este mai mică decât \(3\) m.

Metoda: Asemănarea triunghiurilor dreptunghice

1. 1

   Aflăm AO și VO

   AM=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3},\ AO=\frac{2}{3}AM=4\sqrt{3},\ OM=2\sqrt{3},\ VO=\sqrt{VM^2-OM^2}=4\sqrt{6}

   Baza \(ABC\) este triunghi echilateral cu latura \(12\), deci mediana \(AM=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\) m. Punctul \(O\) este centrul de greutate al bazei, deci \(AO=\frac{2}{3}AM=4\sqrt{3}\) m și \(OM=\frac{1}{3}AM=2\sqrt{3}\) m. În triunghiul dreptunghic \(VOM\) (cu \(VO\perp OM\)) aplicăm teorema lui Pitagora: \(VO^2=VM^2-OM^2=108-12=96\), deci \(VO=4\sqrt{6}\) m.

2. 2

   Aflăm VA

   VA=\sqrt{VO^2+AO^2}=\sqrt{96+48}=\sqrt{144}=12

   Triunghiul \(VOA\) este dreptunghic în \(O\), deoarece \(VO\) este înălțimea piramidei și este perpendiculară pe planul bazei. Aplicăm teorema lui Pitagora: \(VA^2=VO^2+AO^2=96+48=144\), deci \(VA=12\) m. Este normal: piramida este regulată, deci muchiile laterale sunt egale, iar \(VA\) trebuie să fie cât \(VB\) și \(VC\).

3. 3

   Construim distanța NP și folosim asemănarea

   \Delta VPN\sim\Delta VOA\Rightarrow \frac{VN}{VA}=\frac{NP}{AO}

   Fie \(N\) mijlocul lui \(VO\) și \(P\in VA\) astfel încât \(NP\perp VA\). Atunci \(NP\) este distanța cerută. Triunghiurile \(VPN\) și \(VOA\) sunt dreptunghice (în \(P\), respectiv în \(O\)) și au unghiul \(V\) comun, deci sunt asemenea. Din asemănare, rapoartele laturilor corespunzătoare sunt egale: \(\frac{VN}{VA}=\frac{NP}{AO}\).

4. 4

   Calculăm NP

   VN=\frac{VO}{2}=2\sqrt{6},\ NP=\frac{VN\cdot AO}{VA}=\frac{2\sqrt{6}\cdot 4\sqrt{3}}{12}=2\sqrt{2}

   Cum \(N\) este mijlocul lui \(VO\), avem \(VN=2\sqrt{6}\) m. Din proporția pasului anterior obținem \(NP=\frac{VN\cdot AO}{VA}=\frac{2\sqrt{6}\cdot4\sqrt{3}}{12}=\frac{8\sqrt{18}}{12}=\frac{8\cdot3\sqrt{2}}{12}=2\sqrt{2}\) m.

5. 5

   Comparăm NP cu 3

   2\sqrt{2}<3\iff\sqrt{8}<\sqrt{9}

   Trebuie să arătăm că \(2\sqrt{2}<3\). Introducem factorul sub radical: \(2\sqrt{2}=\sqrt{4\cdot2}=\sqrt{8}\), iar \(3=\sqrt{9}\). Cum \(8<9\), rezultă \(\sqrt{8}<\sqrt{9}\), deci \(NP<3\) m. Așadar distanța de la mijlocul înălțimii \(VO\) la dreapta \(VA\) este mai mică decât \(3\) m.

Răspuns: Distanța de la mijlocul lui \(VO\) la dreapta \(VA\) este \(NP=2\sqrt{2}\) m, iar \(2\sqrt{2}=\sqrt{8}<\sqrt{9}=3\), deci \(NP<3\) m.