Rezolvare pas cu pas: Matematică – Evaluarea Națională 2016, sesiunea iunie–iulie (varianta 07)

Rezultatul calculului \(10\cdot 5-50\) este egal cu … .

Metoda: Ordinea efectuării operațiilor

1. 1

   Efectuăm înmulțirea

   10\cdot 5=50

   În expresia \(10\cdot 5-50\) avem o înmulțire și o scădere. Conform ordinii efectuării operațiilor, înmulțirea se face prima. Deci calculăm \(10\cdot 5=50\).

2. 2

   Efectuăm scăderea

   50-50=0

   După înmulțire, expresia devine \(50-50\). Când scădem două numere egale, rezultatul este 0.

3. 3

   Verificare

   10\cdot 5-50=50-50=0

   Punem totul cap la cap: \(10\cdot 5-50=50-50=0\). Rezultatul coincide cu cel din barem.

Dacă \(\frac{a}{16}=\frac{7}{8}\), atunci \(a\) este egal cu … .

Metoda: Proporții: fracții echivalente

1. 1

   Recunoaștem proporția

   \frac{a}{16}=\frac{7}{8}

   Egalitatea \(\frac{a}{16}=\frac{7}{8}\) este o proporție. Termenii \(a\) și \(8\) sunt extremii, iar \(16\) și \(7\) sunt mezii. Ne interesează să aflăm termenul necunoscut \(a\).

2. 2

   Aplicăm proprietatea fundamentală

   a\cdot 8=16\cdot 7

   Proprietatea fundamentală a proporțiilor spune că produsul extremilor este egal cu produsul mezilor. Astfel scăpăm de numitori și obținem o egalitate simplă. Calculăm \(16\cdot 7=112\).

3. 3

   Aflăm necunoscuta

   a=\frac{112}{8}=14

   Din \(a\cdot 8=112\) rezultă că \(a\) se obține împărțind \(112\) la \(8\). Obținem \(a=14\), la fel ca în barem.

4. 4

   Verificare

   \frac{14}{16}=\frac{7}{8}

   Verificăm: dacă simplificăm fracția \(\frac{14}{16}\) prin \(2\), obținem \(\frac{7}{8}\). Deci valoarea \(a=14\) este corectă.

Răspuns: \(a=14\)

Cel mai mare număr natural care aparține intervalului \((2,6]\) este egal cu … .

Metoda: Citirea unui interval

1. 1

   Înțelegem intervalul

   (2,6]=\{x\in\mathbb{R}\mid 2<x\le 6\}

   Parantezele ne spun ce capete sunt incluse. Paranteza rotundă la 2 înseamnă că 2 NU aparține intervalului. Paranteza dreaptă la 6 înseamnă că 6 APARȚINE intervalului. Deci intervalul conține numerele mai mari decât 2 și mai mici sau egale cu 6.

2. 2

   Scriem numerele naturale din interval

   \{3,4,5,6\}

   Numerele naturale mai mari decât 2 și mai mici sau egale cu 6 sunt 3, 4, 5 și 6. Numărul 2 nu este inclus, iar 6 este inclus.

3. 3

   Alegem cel mai mare număr

   \max\{3,4,5,6\}=6

   Dintre numerele 3, 4, 5, 6, cel mai mare este 6. El aparține intervalului pentru că paranteza de la 6 este pătrată, deci capătul este inclus. Dacă intervalul ar fi fost \((2,6)\), răspunsul ar fi fost 5.

Răspuns: 6

Pătratul \(ABCD\) are latura de \(3\) cm. Perimetrul acestui pătrat este egal cu … cm.

Metoda: Perimetrul pătratului

1. 1

   Ce înseamnă perimetrul și ce știm despre pătrat

   P = AB + BC + CD + DA

   Perimetrul unei figuri este suma lungimilor tuturor laturilor ei. Pătratul \(ABCD\) are patru laturi: \(AB\), \(BC\), \(CD\) și \(DA\). Într-un pătrat toate laturile sunt egale, așa că fiecare are \(3\) cm.

2. 2

   Calculăm perimetrul

   P_{ABCD} = 4 \cdot AB = 4 \cdot 3 = 12 \text{ cm}

   Cum cele patru laturi sunt egale cu \(3\) cm, în loc să adunăm \(3+3+3+3\), putem înmulți: \(4\cdot 3\). Înmulțirea este o adunare repetată, deci obținem același rezultat, dar mai repede.

Răspuns: 12

În Figura 1 este reprezentat un cub \(ABCDEFGH\). Măsura unghiului determinat de dreptele \(AB\) și \(AD\) este egală cu …°. (Datele din figură: cubul are baza \(ABCD\) jos și baza \(EFGH\) sus; \(A\), \(B\), \(D\) sunt vârfuri ale bazei de jos, iar \(AB\) și \(AD\) sunt două muchii care pornesc din \(A\).)

Metoda: Unghiul a două drepte în cub

1. 1

   Găsim fața care conține dreptele AB și AD

   AB \subset (ABCD),\ AD \subset (ABCD)

   Dreptele \(AB\) și \(AD\) se intersectează în punctul \(A\), deci sunt într-un același plan. Ambele sunt muchii ale bazei \(ABCD\) a cubului. Unghiul dintre două drepte concurente se măsoară chiar în planul lor, deci ne uităm la unghiul \(\angle BAD\) din fața \(ABCD\).

2. 2

   Folosim faptul că fața este un pătrat

   ABCD \text{ pătrat} \Rightarrow m(\angle BAD)=90^\circ

   Toate fețele unui cub sunt pătrate. Într-un pătrat toate unghiurile sunt drepte, deci \(\angle BAD = 90^\circ\). Prin urmare muchiile \(AB\) și \(AD\) sunt perpendiculare.

3. 3

   Răspunsul și verificarea

   m(\angle(AB,AD)) = 90^\circ

   Unghiul determinat de dreptele \(AB\) și \(AD\) este unghiul \(\angle BAD\), deci măsoară \(90^\circ\). Același rezultat apare în barem: răspunsul este 90.

Răspuns: \(90^\circ\)

În diagrama de mai jos este prezentată repartiția notelor obținute la un test la matematică, de elevii unei clase a VIII-a dintr-o școală. Conform diagramei, numărul elevilor care au obținut nota 5 la acest test este egal cu … . (Diagrama cu bare: pe axa orizontală sunt notele de la 1 la 10, iar pe axa verticală numărul de elevi, de la 0 la 8. Barele au înălțimile: nota 3 → 1 elev, nota 4 → 2 elevi, nota 5 → 3 elevi, nota 6 → 6 elevi, nota 7 → 7 elevi, nota 8 → 5 elevi, nota 9 → 3 elevi, nota 10 → 3 elevi.)

Metoda: Citirea unei diagrame cu bare

1. 1

   Înțelegem ce arată diagrama

   Pe axa orizontală (de jos) sunt notele de la \(1\) la \(10\). Pe axa verticală (din stânga) este numărul de elevi. Înălțimea fiecărei bare ne spune câți elevi au luat nota respectivă. Trebuie să știm asta ca să nu confundăm nota cu numărul de elevi.

2. 2

   Găsim bara pentru nota 5

   Căutăm pe axa orizontală numărul \(5\) și ne uităm la bara de deasupra lui. Cerința cere doar elevii cu nota \(5\), deci ne interesează numai această bară, nu celelalte.

3. 3

   Citim răspunsul

   3

   Bara de deasupra notei \(5\) ajunge la linia \(3\) de pe axa verticală. Deci \(3\) elevi au obținut nota \(5\). Acesta este și rezultatul din barem.

Răspuns: 3

Desenați, pe foaia de examen, un paralelipiped dreptunghic \(ABCDA'B'C'D'\).

Metoda: Desenul unui paralelipiped dreptunghic

1. 1

   Desenăm fața din față (un dreptunghi)

   ABB'A'

   Începem cu o față a paralelipipedului. Desenăm un dreptunghi cu laturile orizontale și verticale, pe care îl vedem din față. Acesta este baza de pornire a desenului, iar fața din spate va fi același dreptunghi, mutat puțin în sus și spre dreapta.

2. 2

   Desenăm fața din spate, mutată în sus și în dreapta

   DCC'D'

   Desenăm al doilea dreptunghi, identic cu primul, dar deplasat puțin în sus și spre dreapta. Așa se vede că cutia are adâncime. Latura lui trebuie să fie paralelă și egală cu a primului dreptunghi.

3. 3

   Unim vârfurile și folosim linii punctate

   AD,\ BC,\ A'D',\ B'C'

   Unim vârfurile corespunzătoare ale celor două dreptunghiuri cu patru segmente paralele între ele. Muchiile pe care nu le-am vedea într-o cutie reală (cele din spate și de jos) le desenăm cu linie punctată. Se obțin 3 muchii punctate, care pornesc din vârful ascuns.

4. 4

   Notăm vârfurile: ABCDA'B'C'D'

   ABCDA'B'C'D'

   Notăm vârfurile conform numelui din enunț. Baza de jos este ABCD, iar baza de sus este A'B'C'D'. Vârful A' se află deasupra lui A, B' deasupra lui B și tot așa. Această notare aduce 1 punct la barem.

Răspuns: Desenul este un paralelipiped dreptunghic cu două fețe dreptunghiulare paralele, legate prin 4 muchii paralele (muchiile ascunse se desenează punctat) și cu vârfurile notate ABCDA'B'C'D'.

Știind că \(x=\sqrt{3}\) și \(y=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\), arătați că \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=\dfrac{10}{3}\).

Metoda: Calcul cu numere reale

1. 1

   Calculăm raportul x/y

   \frac{x}{y}=\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{1}=3

   Împărțirea la o fracție înseamnă înmulțire cu inversa ei. Inversa lui \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) este \(\sqrt{3}\). Deci \(\frac{x}{y}=\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}\). Iar \(\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3\), pentru că rădăcina pătrată a lui 3 înmulțită cu ea însăși dă 3.

2. 2

   Calculăm raportul y/x

   \frac{y}{x}=\frac{x}{y}\text{ inversat}=\frac{1}{3}

   Raportul \(\frac{y}{x}\) este inversul raportului \(\frac{x}{y}\). Cum \(\frac{x}{y}=3\), obținem \(\frac{y}{x}=\frac{1}{3}\).

3. 3

   Adunăm cele două rapoarte

   \frac{x}{y}+\frac{y}{x}=3+\frac{1}{3}=\frac{9}{3}+\frac{1}{3}=\frac{10}{3}

   Înlocuim valorile găsite. Pentru a aduna 3 cu \(\frac{1}{3}\), scriem 3 ca \(\frac{9}{3}\), ca să avem același numitor. Apoi adunăm numărătorii: \(9+1=10\). Rezultatul este \(\frac{10}{3}\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: Am obținut \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=3+\frac{1}{3}=\frac{10}{3}\), deci egalitatea este demonstrată.

În vacanță, Mihai a economisit o sumă de bani. După ce a cheltuit două cincimi din această sumă, lui Mihai i-au mai rămas 72 de lei. Calculați suma de bani pe care a economisit-o Mihai în vacanță.

Metoda: Ecuație cu fracții

1. 1

   Notăm necunoscuta și scriem ecuația

   \frac{2}{5}\cdot x+72=x

   Notăm cu \(x\) suma economisită de Mihai. A cheltuit \(\frac{2}{5}\) din ea, adică \(\frac{2}{5}\cdot x\). I-au rămas 72 de lei. Dacă adunăm ce a cheltuit cu ce a rămas, obținem exact suma de la început, \(x\). De aceea scriem \(\frac{2}{5}\cdot x+72=x\).

2. 2

   Rezolvăm ecuația

   72=x-\frac{2}{5}x=\frac{3}{5}x \Rightarrow x=72\cdot\frac{5}{3}=120

   Mutăm termenul \(\frac{2}{5}x\) în partea dreaptă: \(72=x-\frac{2}{5}x=\frac{3}{5}x\). Deci cele 72 de lei reprezintă \(\frac{3}{5}\) din sumă. Pentru a afla \(x\), înmulțim 72 cu inversul lui \(\frac{3}{5}\), adică cu \(\frac{5}{3}\): \(x=72\cdot\frac{5}{3}=24\cdot 5=120\).

3. 3

   Verificăm rezultatul

   \frac{2}{5}\cdot 120=48,\quad 120-48=72

   Verificăm: dacă Mihai a avut 120 lei, a cheltuit \(\frac{2}{5}\cdot120=48\) lei. Atunci îi rămân \(120-48=72\) lei, exact cât spune problema. Deci rezultatul este corect.

Răspuns: Mihai a economisit 120 de lei.

Se consideră funcția \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x + 2\). a) Reprezentați grafic funcția \(f\) într-un sistem de coordonate \(xOy\).

Metoda: Reprezentarea grafică a funcției

1. 1

   Alegem primul punct al graficului

   f(0)=0+2=2 \Rightarrow N(0,2)

   Un punct al graficului are coordonatele \((x, f(x))\). Alegem \(x=0\) pentru că este cel mai ușor de calculat, iar punctul obținut se află pe axa \(Oy\). Calculăm \(f(0)=0+2=2\), deci punctul \(N(0,2)\) aparține graficului.

2. 2

   Alegem al doilea punct al graficului

   f(-2)=-2+2=0 \Rightarrow M(-2,0)

   Ne trebuie încă un punct, diferit de primul, ca să putem trasa dreapta. Alegem \(x=-2\), pentru că atunci \(f(-2)=-2+2=0\), iar punctul \(M(-2,0)\) se află pe axa \(Ox\). Acest punct ne va ajuta și la partea b) a problemei.

3. 3

   Marcăm punctele și trasăm graficul

   d = MN, \quad M(-2,0),\ N(0,2)

   În sistemul de axe \(xOy\) marcăm punctul \(M(-2,0)\), două unități la stânga originii pe axa \(Ox\), și punctul \(N(0,2)\), două unități în sus pe axa \(Oy\). Unim cele două puncte cu o riglă și prelungim dreapta în ambele sensuri, deoarece funcția este definită pe \(\mathbb{R}\). Dreapta obținută este graficul funcției \(f\).

Răspuns: Graficul funcției \(f(x)=x+2\) este dreapta care trece prin punctele \(M(-2,0)\) și \(N(0,2)\).

Se consideră funcția \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x + 2\). b) Calculați aria triunghiului determinat de graficul funcției \(f\) și axele sistemului de coordonate \(xOy\).

Metoda: Aria triunghiului dreptunghic

1. 1

   Intersecția cu axa Ox

   f(x)=0 \Rightarrow x+2=0 \Rightarrow x=-2

   Un punct de pe axa \(Ox\) are ordonata \(0\). Punem \(f(x)=0\) și aflăm \(x\). Obținem punctul \(M(-2,0)\). Distanța de la origine la \(M\) este \(OM=2\), pentru că lungimea este mereu pozitivă.

2. 2

   Intersecția cu axa Oy

   x=0 \Rightarrow f(0)=0+2=2

   Un punct de pe axa \(Oy\) are abscisa \(0\). Calculăm \(f(0)\) și obținem punctul \(N(0,2)\). Deci \(ON=2\).

3. 3

   Aria triunghiului MON

   \mathcal{A}_{\Delta MON}=\dfrac{OM\cdot ON}{2}=\dfrac{2\cdot 2}{2}=2

   Axele \(Ox\) și \(Oy\) sunt perpendiculare, deci \(\Delta MON\) este dreptunghic în \(O\). Catetele sunt \(OM\) și \(ON\). Aria unui triunghi dreptunghic este produsul catetelor împărțit la \(2\).

Răspuns: Aria triunghiului determinat de graficul funcției și de axe este \(2\) (unități pătrate).

Se consideră expresia \(E(x)=\left(1+\frac{1}{x-2}-\frac{2}{x+2}\right):\frac{1}{x^2-4}-x(x-1)\), unde \(x\) este număr real, \(x\neq -2\) și \(x\neq 2\). Arătați că \(E(x)=2\), pentru orice \(x\) număr real, \(x\neq -2\) și \(x\neq 2\).

Metoda: Calcul cu fracții algebrice

1. 1

   Aducem paranteza la numitor comun

   1+\frac{1}{x-2}-\frac{2}{x+2}=\frac{(x-2)(x+2)+(x+2)-2(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{x^2-x+2}{(x-2)(x+2)}

   Ca să adunăm și să scădem fracții, le aducem la același numitor. Numitorul comun este \((x-2)(x+2)\). Numărătorul: \((x-2)(x+2)=x^2-4\), apoi \(+x+2\) și \(-2x+4\). Adunăm: \(x^2-4+x+2-2x+4=x^2-x+2\).

2. 2

   Scriem numitorul \(x^2-4\) ca produs

   x^2-4=(x-2)(x+2)

   Formula \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) cu \(a=x\), \(b=2\) ne arată că \(x^2-4=(x-2)(x+2)\). Astfel vom putea simplifica la împărțire.

3. 3

   Efectuăm împărțirea

   \frac{x^2-x+2}{(x-2)(x+2)}:\frac{1}{(x-2)(x+2)}=\frac{x^2-x+2}{(x-2)(x+2)}\cdot\frac{(x-2)(x+2)}{1}=x^2-x+2

   A împărți la o fracție înseamnă a înmulți cu inversa ei. Inversa lui \(\frac{1}{(x-2)(x+2)}\) este \((x-2)(x+2)\). Acesta se simplifică cu numitorul primei fracții (se poate, deoarece \(x\neq\pm 2\)) și rămâne \(x^2-x+2\).

4. 4

   Scădem ultimul termen și obținem 2

   E(x)=x^2-x+2-x(x-1)=x^2-x+2-x^2+x=2

   Desfacem paranteza: \(x(x-1)=x^2-x\). Scăzând, semnele se schimbă: \(-x^2+x\). Termenii \(x^2\) și \(-x^2\) se anulează, la fel \(-x\) și \(+x\). Rămâne doar 2, deci \(E(x)=2\) pentru orice \(x\neq\pm 2\).

Răspuns: \(E(x)=2\) pentru orice \(x\in\mathbb{R}\), \(x\neq -2\), \(x\neq 2\).

Figura 2 este schița unui teren. Triunghiul \(ABC\) este echilateral cu \(AB = 18\) m și punctul \(D\) este situat pe dreapta \(BC\) astfel încât triunghiul \(ACD\) este obtuzunghic, cu \(CD = 9\) m. Punctul \(E\) este situat pe segmentul \(AD\), astfel încât \(\angle ACE \equiv \angle DCE\). a) Arătați că aria triunghiului \(ABC\) este egală cu \(81\sqrt{3}\) m².

Metoda: Aria triunghiului echilateral

1. 1

   Alegem formula ariei triunghiului echilateral

   \mathcal{A}_{\triangle ABC}=\frac{AB^2\sqrt{3}}{4}

   Triunghiul \(ABC\) este echilateral, deci aria lui se află cu formula \(\frac{l^2\sqrt{3}}{4}\), unde \(l\) este latura. Aici \(l = AB = 18\) m. Formula vine din aria \(\frac{b\cdot h}{2}\), unde înălțimea se află cu teorema lui Pitagora.

2. 2

   Înlocuim latura și calculăm pătratul

   \mathcal{A}_{\triangle ABC}=\frac{18^2\sqrt{3}}{4}=\frac{324\sqrt{3}}{4}

   Înlocuim \(AB = 18\) în formulă. Calculăm \(18^2 = 18\cdot 18 = 324\), deoarece pătratul înseamnă înmulțirea numărului cu el însuși.

3. 3

   Simplificăm fracția și scriem rezultatul

   \frac{324\sqrt{3}}{4}=81\sqrt{3}\ \text{m}^2

   Împărțim 324 la 4 și obținem 81. Aria se măsoară în metri pătrați, deci rezultatul este \(81\sqrt{3}\) m², exact cât trebuia arătat.

Răspuns: Aria triunghiului \(ABC\) este \(81\sqrt{3}\) m².

Figura 2 este schița unui teren. Triunghiul \(ABC\) este echilateral cu \(AB=18\) m și punctul \(D\) este situat pe dreapta \(BC\) astfel încât triunghiul \(ACD\) este obtuzunghic, cu \(CD=9\) m. Punctul \(E\) este situat pe segmentul \(AD\), astfel încât \(\angle ACE \equiv \angle DCE\). b) Demonstrați că dreptele \(EC\) și \(AB\) sunt paralele.

Metoda: Unghiuri alterne interne congruente

1. 1

   Aflăm măsura unghiului ACD

   m(\angle ACD)=180^\circ-60^\circ=120^\circ

   Triunghiul \(ABC\) este echilateral, deci \(\angle ACB=60^\circ\). Punctele \(B, C, D\) sunt coliniare, deci \(\angle ACB\) și \(\angle ACD\) sunt unghiuri suplementare (suma lor este \(180^\circ\)). Așadar \(\angle ACD=120^\circ\), ceea ce se potrivește cu faptul că triunghiul \(ACD\) este obtuzunghic.

2. 2

   Aflăm măsura unghiului ACE

   m(\angle ACE)=\frac{120^\circ}{2}=60^\circ

   Din enunț, \(\angle ACE \equiv \angle DCE\), iar \(E\) este pe segmentul \(AD\), deci \(CE\) este bisectoarea unghiului \(ACD\). Bisectoarea împarte unghiul în două unghiuri congruente, fiecare cu jumătate din \(120^\circ\).

3. 3

   Comparăm cu unghiul BAC

   \angle ACE \equiv \angle BAC \;(=60^\circ)

   Triunghiul \(ABC\) este echilateral, deci \(\angle BAC=60^\circ\). Am găsit și \(\angle ACE=60^\circ\), deci cele două unghiuri sunt congruente.

4. 4

   Concluzia: EC ∥ AB

   EC \parallel AB

   Dreptele \(EC\) și \(AB\) sunt tăiate de secanta \(AC\). Unghiurile \(\angle ACE\) și \(\angle BAC\) sunt alterne interne (se află de o parte și de alta a secantei \(AC\), între cele două drepte) și sunt congruente. Conform criteriului de paralelism, dacă unghiurile alterne interne sunt congruente, dreptele sunt paralele. Deci \(EC \parallel AB\).

Răspuns: Deoarece \(\angle ACE \equiv \angle BAC\) (amândouă de \(60^\circ\)) și sunt alterne interne, rezultă \(EC \parallel AB\).

Figura 2 este schița unui teren. Triunghiul \(ABC\) este echilateral cu \(AB=18\) m și punctul \(D\) este situat pe dreapta \(BC\) astfel încât triunghiul \(ACD\) este obtuzunghic, cu \(CD=9\) m. Punctul \(E\) este situat pe segmentul \(AD\), astfel încât \(\angle ACE \equiv \angle DCE\). Itemul III.1 c): Arătați că triunghiul \(EAC\) are perimetrul egal cu \(6(4+\sqrt{7})\) m.

Metoda: Pitagora și teorema paralelelor

1. 1

   Calculăm înălțimea AM

   AM=\frac{18\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}

   Fie \(M\) mijlocul laturii \(BC\). Într-un triunghi echilateral, mediana \(AM\) este și înălțime. Triunghiul \(AMC\) este dreptunghic în \(M\), cu \(MC=9\) m și \(AC=18\) m. Rezultă \(AM=\sqrt{18^2-9^2}=\sqrt{243}=9\sqrt{3}\) m. Avem nevoie de \(AM\) ca să putem aplica Pitagora în triunghiul \(AMD\).

2. 2

   Calculăm AD cu teorema lui Pitagora

   AD^2=AM^2+MD^2=(9\sqrt{3})^2+18^2

   Punctul \(D\) este pe dreapta \(BC\), după \(C\), deci \(MD=MC+CD=9+9=18\) m. Triunghiul \(AMD\) este dreptunghic în \(M\). Atunci \(AD^2=243+324=567\), deci \(AD=\sqrt{567}=9\sqrt{7}\) m, pentru că \(567=81\cdot 7\).

3. 3

   Folosim EC ∥ AB și teorema fundamentală a asemănării

   \frac{DE}{DA}=\frac{EC}{AB}=\frac{DC}{DB}

   De la punctul b) știm că \(EC\parallel AB\). În triunghiul \(DAB\) avem \(DB=DC+CB=9+18=27\) m. Deci rapoartele sunt egale: \(\frac{DE}{9\sqrt{7}}=\frac{EC}{18}=\frac{9}{27}=\frac{1}{3}\). Obținem \(DE=3\sqrt{7}\) m și \(EC=6\) m.

4. 4

   Calculăm AE și perimetrul

   AE=AD-DE=9\sqrt{7}-3\sqrt{7}=6\sqrt{7}

   Punctul \(E\) este pe segmentul \(AD\), deci \(AE=AD-DE=6\sqrt{7}\) m. Perimetrul este \(P=AE+EC+AC=6\sqrt{7}+6+18=24+6\sqrt{7}=6(4+\sqrt{7})\) m. Am dat factor comun 6.

Răspuns: Perimetrul triunghiului \(EAC\) este \(P=24+6\sqrt{7}=6(4+\sqrt{7})\) m.

În Figura 3 este reprezentată o prismă dreaptă \(ABCDEF\), cu baza triunghi echilateral, \(AB = 10\) cm și \(AD = 10\sqrt{3}\) cm. Punctele \(M\) și \(N\) sunt mijloacele segmentelor \(AD\), respectiv \(BE\). a) Arătați că perimetrul triunghiului \(ABC\) este egal cu 30 cm.

Metoda: Perimetrul triunghiului echilateral

1. 1

   Ce știm despre triunghiul ABC

   AB = BC = AC = 10 \text{ cm}

   Baza prismei este triunghiul \(ABC\), care este echilateral. Un triunghi echilateral are toate cele trei laturi egale. Deoarece \(AB = 10\) cm, rezultă că și \(BC = 10\) cm și \(AC = 10\) cm. Facem acest pas pentru că perimetrul cere toate cele trei laturi.

2. 2

   Calculăm perimetrul

   P_{\triangle ABC} = AB + BC + AC = 3 \cdot AB = 3 \cdot 10 = 30 \text{ cm}

   Perimetrul este suma lungimilor tuturor laturilor. Cum cele trei laturi sunt egale cu 10 cm, adunăm \(10+10+10\), adică \(3 \cdot 10\). Obținem 30 cm, exact ce trebuia arătat.

Răspuns: Perimetrul triunghiului \(ABC\) este \(P = 3 \cdot AB = 3 \cdot 10 = 30\) cm.

În Figura 3 este reprezentată o prismă dreaptă \(ABCDEF\), cu baza triunghi echilateral, \(AB=10\) cm și \(AD=10\sqrt{3}\) cm. Punctele \(M\) și \(N\) sunt mijloacele segmentelor \(AD\), respectiv \(BE\). b) Arătați că aria laterală a prismei este mai mică decât \(525\ \text{cm}^2\).

Metoda: Aria laterală a prismei drepte

1. 1

   Amintim formula ariei laterale

   \mathcal{A}_{lat}=P_{bază}\cdot h

   Fețele laterale ale unei prisme drepte sunt dreptunghiuri. Toate au înălțimea egală cu muchia laterală \(AD\). Dacă le adunăm ariile, scoatem înălțimea factor comun și obținem perimetrul bazei înmulțit cu înălțimea. Aici baza este triunghiul \(ABC\), iar înălțimea prismei este \(AD=10\sqrt{3}\) cm.

2. 2

   Calculăm aria laterală

   P_{ABC}=3\cdot 10=30,\quad \mathcal{A}_{lat}=30\cdot 10\sqrt{3}=300\sqrt{3}\ \text{cm}^2

   Triunghiul \(ABC\) este echilateral cu latura de 10 cm, deci perimetrul este \(3\cdot 10=30\) cm (la punctul a). Înmulțim cu înălțimea prismei \(10\sqrt{3}\) și obținem \(300\sqrt{3}\).

3. 3

   Comparăm cu 525

   300\sqrt{3}<525 \iff 4\sqrt{3}<7 \iff \sqrt{48}<\sqrt{49}

   Împărțim ambii membri ai inegalității la 75 (număr pozitiv, deci sensul nu se schimbă): \(300:75=4\) și \(525:75=7\). Apoi introducem factorul sub radical: \(4\sqrt{3}=\sqrt{16\cdot 3}=\sqrt{48}\), iar \(7=\sqrt{49}\). Cum \(48<49\), inegalitatea este adevărată.

Răspuns: Aria laterală este \(300\sqrt{3}\ \text{cm}^2\), iar pentru că \(\sqrt{48}<\sqrt{49}\), avem \(\mathcal{A}_{lat}<525\ \text{cm}^2\).

În Figura 3 este reprezentată o prismă dreaptă \(ABCDEF\), cu baza triunghi echilateral, \(AB=10\) cm și \(AD=10\sqrt{3}\) cm. Punctele \(M\) și \(N\) sunt mijloacele segmentelor \(AD\), respectiv \(BE\). c) Demonstrați că planele \((CMN)\) și \((FMN)\) sunt perpendiculare.

Metoda: Unghiul dintre două plane

1. 1

   Triunghiurile CMN și FMN sunt isoscele

   CM=CN,\quad FM=FN

   Prisma este dreaptă, deci \(AD\) și \(BE\) sunt perpendiculare pe baze, iar \(M\) și \(N\) sunt mijloacele lor, la aceeași înălțime. Triunghiurile \(CMA\) și \(CNB\) sunt dreptunghice, cu \(AM=BN=5\sqrt{3}\). Triunghiul \(ABC\) este echilateral, deci \(CA=CB\). Din cateta și ipotenuza egale rezultă \(CM=CN\). La fel, triunghiurile \(FMD\) și \(FNE\) sunt dreptunghice cu \(DM=EN\) și \(FD=FE\), deci \(FM=FN\). Astfel triunghiurile \(CMN\) și \(FMN\) sunt isoscele cu baza \(MN\).

2. 2

   Înălțimile CO și FO sunt perpendiculare pe MN

   FO\perp MN,\quad CO\perp MN

   Fie \(O\) mijlocul lui \(MN\). În triunghiul isoscel, mediana din vârf este și înălțime. Deci \(CO\perp MN\) cu \(CO\subset(CMN)\) și \(FO\perp MN\) cu \(FO\subset(FMN)\).

3. 3

   Unghiul dintre plane este unghiul dintre CO și FO

   (CMN)\cap(FMN)=MN,\quad m(\angle((CMN),(FMN)))=m(\angle(CO,FO))

   Planele se intersectează după dreapta \(MN\). Cum \(CO\) și \(FO\) sunt perpendiculare pe \(MN\), în câte un plan, unghiul \(COF\) este unghiul plan al diedrului. Rămâne să arătăm că \(\angle COF=90^\circ\).

4. 4

   Arătăm că unghiul COF este drept

   FO^2+CO^2=(5\sqrt6)^2+(5\sqrt6)^2=300=FC^2

   Avem \(FO=CO=5\sqrt6\) cm, iar \(FC=10\sqrt3\) cm (muchie laterală), deci \(FC^2=300\). Se verifică egalitatea \(FO^2+CO^2=FC^2\). Din reciproca teoremei lui Pitagora, triunghiul \(COF\) este dreptunghic în \(O\), deci \(\angle COF=90^\circ\). Prin urmare unghiul dintre plane este de 90°, adică \((CMN)\perp(FMN)\).

Răspuns: Unghiul \(COF\) are 90°, deci planele \((CMN)\) și \((FMN)\) sunt perpendiculare.